推荐-江苏省前黄高级中学2018届第三次阶段考试数学试卷(理科) 精品

中档大题规范练1．解三角形1．(2017·苏锡常镇调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知a cos B ＝3，b cos A ＝1，且A －B ＝π6.(1)求c 的长；(2)求B 的大小．解 (1)方法一 在△ABC 中，a cos B ＝3，由余弦定理， 得a ·a 2＋c 2－b 22ac＝3，得a 2＋c 2－b 2＝6c ，① b cos A ＝1，则b ·b 2＋c 2－a 22bc＝1，得b 2＋c 2－a 2＝2c ，② ①＋②得2c 2＝8c ，所以c ＝4.方法二 因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，则sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得sin A ＝a sin C c ，sin B ＝b sin C c，代入上式得 c ＝a cos B ＋b cos A ＝3＋1＝4.(2)由正弦定理得a cos Bb cos A ＝sin A cos B sin B cos A ＝tan A tan B ＝3. 又tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝2tan B 1＋3tan B ＝33， 解得tan B ＝33.又B ∈(0，π)，所以B ＝π6. 2．(2017·苏州暑假测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B ＝2a cos A .(1)求角A 的大小；(2)若AB →·AC →＝3，求△ABC 的面积．解 (1)方法一 在△ABC 中，由正弦定理及b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos A ，即sin A ＝2sin A cos A .因为A ∈(0，π)，则sin A ≠0，所以cos A ＝12， 所以A ＝π3. 方法二 在△ABC 中，由余弦定理及b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ，得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a ·b 2＋c 2－a 22bc，所以a 2＝b 2＋c 2－bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)由AB →·AC →＝bc cos A ＝3，得bc ＝23，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×23sin π3＝32. 3．(2017·南京、盐城一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin2C ＝c sin B .(1)求角C 的大小；(2)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，求sin A 的值． 解 (1)由b sin2C ＝c sin B ，根据正弦定理得2sin B sin C cos C ＝sin C sin B .因为sin B ＞0，sin C ＞0，所以cos C ＝12. 又C ∈(0，π)，所以C ＝π3. (2)因为C ＝π3，所以B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3， 所以B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3， 又sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝45. 又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ， 所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝sinπ3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3－cos π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3 ＝32×45－12×35＝43－310. 4.(2017·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在△ABC 中，已知点D 在边AB 上，AD ＝3DB ，cos A ＝45，cos ∠ACB ＝513，BC ＝13.(1)求cos B 的值；(2)求CD 的长．解 (1)在△ABC 中，cos A ＝45，A ∈(0，π)， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 同理可得，sin ∠ACB ＝1213. 所以cos B ＝cos[π－(A ＋∠ACB )]＝－cos(A ＋∠ACB )＝sin A sin ∠ACB －cos A cos ∠ACB ＝35×1213－45×513＝1665. (2)在△ABC 中，由正弦定理，得AB ＝BC sin A sin ∠ACB ＝1335×1213＝20.又AD ＝3DB ，所以BD ＝14AB ＝5.在△BCD 中，由余弦定理，得CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos B ＝52＋132－2×5×13×1665＝9 2.。

江苏省常州市江苏前黄高级中学2018年高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积胃（）A．1+B．3+ C．D．3参考答案：C考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图确定该几何体的结构，然后利用相应的体积公式进行求解．解答：解：由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱．其中棱柱的高为1．底面直角梯形的上底为1，下底为2，梯形的高为1．所以四棱柱的体积为V==．故选：C．点评：本题主要考查三视图的识别以及几何体的体积公式．2. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式是（）A. B. C.D.参考答案：A3. 正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的，则它的体积是原来的A． B．C．D．参考答案：B略4. 下列说法中，错误的个数是（）①一条直线与一个点就能确定一个平面②若直线∥，平面，则∥③若函数定义域内存在满足，则必定是的极值点④函数的极大值就是最大值A、1个B、2个C、3个D、4个参考答案：D略5. 用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是（）A．∫a c f（x）dx B．|∫a c f（x）dx|C．∫a b f（x）dx+∫b c f（x）dx D．∫b c f（x）dx﹣∫a b f（x）dx参考答案：D【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】先将阴影部分的面积用定积分表示∫b c f（x）dx﹣∫a b f（x）dx，然后根据定积分的意义进行选择即可．【解答】解析：由定积分的几何意义知区域内的曲线与X轴的面积代数和．即∫b c f（x）dx﹣∫a b f（x）dx选项D正确．故选D．6. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、参考答案：A7. 点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离为（）A．2 B．C．1 D．参考答案：B【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题．【分析】点P（x0，y0）到直线ax+by+c=0的距离：d=，由此能求出点P （﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离．【解答】解：点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离：d==，故选B．【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，解题时要注意公式的灵活运用，合理地进行求解．8. 函数的定义域是（）A. B. C.D.参考答案：A9. 若方程x＋（a是常数），则下列结论正确的是（）A.,方程表示椭圆。

2018高三数学模拟卷(五) (江苏卷)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷为选择题，共10小题，50分；第II 卷为填空题和解答题，共11小题，100分.全卷满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷 (选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．是符合题目要求的。

1．已知U 是全集，M 、N 是U 的两个子集，若M N U ≠ ，M N φ≠ ，则下列选项中正确的是( )A ．U C M N =B ．UC N M =C ．()()U U C M C N φ=D ． ()()U U C M C N U =2．从8名女生，4名男生中选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数为（ ）A ．4284C C B ．3384C C C ．412CD ．4284A A 3．若110a b <<，则下列不等式：①a b ab +<；②a b >；③a b <；④2>+baa b 中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个4．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a ,b参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )＝kn C P k (1－P )n -k正棱锥、圆锥的侧面积公式S 锥侧＝21cl其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长球的体积公式V 球＝34πR 3其中R 表示球的半径的值分别为（ ） A ．0.27,78 B ．0.27,83 C ．2.7,78D ．2.7,835．双曲线222006x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为其右支上一点，且21214A PA PA A ∠=∠，则21A PA ∠等于 （ ）A ．36π B ．18π C ． 12πD ．无法确定6．设函数x x x y cos sin +=的图象上的点（x ，y ）的切线斜率为k ，若)(x g k =，则函数)(x g k =的图象大致为（ ）7．定义在R 上的函数()f x 对任意的x 都有(3)()3f x f x +≤+和(2)()2f x f x +≥+且(1)1f =，则(2006)f 的值为（ ）A ．2003B ．2004C ．2005D ．20068．有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（ ） A ．262+a B ．()26+a C ．132+a D ．()13+a 9．若点O 是ABC △的外心，且OA OB CO ++=0，则ABC △的内角C 等于( )A ．45B ．60C ．90D ．12010．在坐标平面上，集合(){}22,1M x y xy =+≤，(){},N x y y x =≤，则M N 表示的平面区域的面积是（ ）A ．4π B ．34π C ．2π D ．π第Ⅱ卷 （非选择题共100分)二、填空题： 本大题共6小题，每小题5分，共30分.11．在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m T m a a +=对于任意的正整数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期.已知数列{}n x 是周期数列且满足()*112,n n n x x x n n N +-=-≥∈， 11x =，()2,0x a a R a =∈≠，当数列{}n x 的周期最小时，该数列的前2006项和是12．某厂有三个顾问A 、B 、C ，假定每个顾问发表的意见是正确的概率均为0.8，现就某事可行与否征求各顾问的意见，并按顾问中多数人的意见作出正确决策.则该厂作出正确决策的概率为 .13.已知函数()()2'212f x x xf =++,则()1f 的值是 .14．若对于任意实数,x y 都有()()()()()2006200620052004222004012200422222x y a x y a x y y a x y y a x y y -=++++++++ ()20052006200520062a x y y a y +++，则01220052006a a a a a +++++=. 15．抛一枚均匀硬币，正、反每面出现的概率都是12，反复这样地抛掷，数列{}n a 定义如下：11n a ⎧=⎨-⎩，　当第n 次投掷出现正面　　，当第n 次投掷出现反面，若()*123n n S a a a a n N =++++∈ ，则事件“82S =”的概率为 ；事件“20S ≠且82S =”的概率为 . 16．已知函数()f x 的定义域为R ，且同时满足下列条件：①(2)f x +为偶函数； ②函数()f x 没有最小值；③函数()f x 的图象被x 轴截得的线段长为4.请写出同时满足于以上三个条件的一个．．函数解析式：_________ . 三、解答题： 本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）()f x 是定义在[]2,2ππ-上的偶函数，当[]0,x π∈时，()c o s f x x =，当(],2x ππ∈时，()y f x =的图像时斜率为2π且在y 轴上的截距为2-的直线在相应区间上的部分.（1） 求()2f π-、3f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2） 写出函数()y f x =的表达式，作出其图像，并根据图像写出函数的单调区间. 18．（本小题满分14分）某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为51，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元，某顾客买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券，（I ）求家具城恰好返还该顾客现金1000元的概率； （II ）求家具城至少返还该顾客现金1000元的概率. 19．（本小题满分14分）在三棱柱'''ABC A B C -中，侧面''CBB C ⊥底面',60,90ABC B BC ACB ∠=︒∠=︒，且'CB CC CA ==.（1） 求证：平面'AB C ⊥平面''AC B ； （2） 求异面直线'A B 与'AC 所成的角.20．（本小题满分16分，第一、第二小问满分各8分）过抛物线22(y px p =>0)的对称轴上的定点(,0)(0)M m m >，作直线AB 与抛物线相交于,A B 两点. （1）试证明：,A B 两点的纵坐标之积为定值；（2）若点N 是定直线:l x m =-上的任一点，试探索三条直线,,AN MN BN 的斜率之间的关系，并给出证明.21．（本小题满分14分）已知函数()32f x x ax bx c =-+++图像上的点()()1,P f x 处的切线方程为31y x =-+.（1） 若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式； （2）函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围高三模拟卷(五)参考答案及评分标准说明：1.本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容对照评分标准制订相应的评分细则．2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4. 给分或扣分均以1分为单位．选择题和填空题不给中间分． 一．选择题：1. D 由韦恩图知A 、B 一定不成立，由集合运算率()()()U U U U C M C N C M N C U φ=≠= ，所以选项C 错，对于D 选项，()()()U U UUC M C NC M N C U φ=≠=，故选D.评析 对于处理有关集合间的关系问题，通常可以考虑借助于韦恩图来帮助解决，注意画图时一定要结合相应题目的已知条件来画出，从而解决相关问题.2. A 应从8名女生中选出4人，4名男生中选出2人，有4284C C ⋅种选法，故选A ．评析 对于象这样的抽样与排列组合的综合问题，要注意弄清题目中的按性别比例分层抽样的含义，即意味着从8名女生中选出4人，4名男生中选出2人，从而得以求解. 3. B 由110a b <<得0b a <<，0ab a b >>+，b a >，0b a >，0a b >，且b aa b≠，故①④正确，选B ．评析 对于此类问题，通常应该考虑将已知条件明显化，然后利用不等式的相关性质来判定相应的一些结论是否成立. 4. A 注意到纵轴表示组距频率，由图象可知，前4组的公比为3，最大频率30.130.10.27a =⨯⨯=，设后六组公差为d ，则560.010.030.090.27612d ⨯+++⨯+=，解得：0.05d =-， 即后四组公差为0.05-， 所以，视力在4.6到5.0之间的学生数为 （0.27＋0.22＋0.17＋0.12）×100＝78（人），选A.评析 本题巧妙地将统计与数列的相关知识结合起来，对于这样的问题看似情景新颖，但只要仔细读题将所学的数列的知识应用到其中去，不难将问题解决.5. C 设),(y x P ，不妨设0>y ，过点P 作x 轴的垂线PH ，垂足为H ，则 ,tan 1a x y H PA +=∠ ax y H PA -=∠2tan （ 其中22006a =） ∴1tan tan 22221=-=∠⋅∠a x y H PA H PA ，∴221π=∠+∠H PA H PA ， 设 12PA A θ∠= ， 则25PA H θ∠=，∴52πθθ+= ，∴12πθ=，即1221π=∠A PA ， 故选C ．评析 对于此类问题，在解决过程中要注意充分地使用已知条件，寻找其中的隐含条件，利用其中的角间的关系，尤其是涉及到有关直线问题时，常常要注意考虑对应直线的斜率情况.6. A 由已知得sin cos sin cos k x x x x x x =+-=，容易得知，)(x g k =是奇函数，故其图象关于原点成中心对称，并且当02x π<<时，cos 0k x x =>，故结合各选项知，选A.评析对于此类问题，首先要注意真正清楚一些基本的求导规则，正确地求出相应函数的导函数，然后注意结合分析相关函数的性质，从而确定相应函数的大致图象. 7. D 由已知得()()()()32321f x f x f x f x +-+≤+-+=⎡⎤⎣⎦，又()()()()()()21111121332f x f x f x f x f x f x -≤+---=++--+≤+-+⎡⎤⎣⎦，即()()132f x f x ≤+-+，所以()()321f x f x +-+=，数列(){}()*f n n N ∈是以()11f =为首项、1为公差的等差数列，所以()f n n =，()20062006f =，故选D.评析有关这样的抽象函数的问题，往往需要针对已知条件中的恒等式（或恒不等式）中的变量取某些特殊值，从而将问题解决.8. A 把该正四棱锥的四个侧面展开与底面处于同一个平面上，恰好以这四个正三角形的四个顶点为一个正方形的顶点的对应正方形的边长最小，而这个正方形的边长是====，故选A.评析 对于此类问题，通常要考虑将空间问题转化为平面问题，从而结合平面图形将其最小边长确定.9. B 由已知得OA OB CO OC +=-= ，22()OA OB OC += ， 即2222OA OB OA OB OC ++= ，又点O 是ABC △的外心，所以222OA OB OC == ，OA OB OC == ，故有2222cos OC OC OC OC AOB OC ++∠= ，1cos 2AOB ∠=-，所以120AOB ∠= ，1602C AOB ∠=∠= ，故选B.评析 对于此类有关向量与平面几何相结合的问题，要注意在一个三角形中的特殊点所、具有的性质，尤其是三角形的常见的垂心、外心、重心、内心所具有的性质一定要注意，并且作为选择题目在处理时要注意一些特殊的方法.10. A 由集合M 可知，其中的元素就是以原点为圆心、1为半径的圆周及其内部的点的集合；而集合N 中的元素是夹在射线()0y x x =≥与射线()0y x x =-≤之间的x 轴上方的区域，结合图形不难得知M N 表示的平面区域的面积是4π，故选A ． 评析 对于此类有关线性规划（或类似于线性规划）的问题的解决，常常要注意数形结合，首先正确地将相应的图形画出，然后结合具体的问题，将要求的问题解决. 二、填空题：11.1338. 若其最小周期为1，则该数列是常数列，即每一项都等于1，此时1a =，该数列的项分别为1，1，0，1，1，0，1，1，0，……,即此时该数列是以3为周期的数列；若其最小周期为2，则有31a a =，即11a -=，11a -=或1-，2a =或0a =，又0a ≠，故2a =，此时该数列的项依次为1，2，1，1，0，……,由此可见，此时它并不是以2为周期的数列.综上所述，当数列{}n x 的周期最小时，其最小周期是3，1a =，又200636682=⨯+，故此时该数列的前2006项和是()()668110111338⨯++++=.评析 有关这类问题，要注意结合题意的叙述探求相应的项的变化规律，从而将问题解决，并且注意适当地分类讨论.12. 0.896. 由题意可知，该厂作出正确决策，即意味着这三个人中至少有两个作出正确决策，故该厂作出正确决策的概率为3322330.80.80.20.896C C += .评析 对于此类有关生活中的概率或排列组合问题，要恰当地将生活语言转化为数学语言，从而将问题求解.13. 1- 由已知得()()''221f x x f =+，令1x =，得()()''1221f f =+，()'12f =-，故()242f x x x =-+，()2114121f =-⨯+=-.评析 对于本题这样的问题看似不定，但通过对函数的求导，不难以发现其中的()'1f 又是可以确定的，注意挖掘题目中的隐含条件. 14. 20063考查二项式定理的理解以及展开式中的各项系数和与二项式间的关系.观察已知等式两边，容易知道，只要令21x y +=且1y =，即1x =-且1y =即可得到()200620060122005200633a a a a a +++++=-= .评析 对于这类型问题，要正确地理解二项式定理，其实二项式定理仅是对一个式子的一个变形而已，只要等式两边字母取相同的值，左、右两边的值恒相等，只是在具体问题中要注意观察其中的字母究竟取何值时，能够得到要得到的值，在具体问题只有具体分析，通常可能要将其中的字母取1或1-等值. 15.732；13128由题意得，事件“82S =”即在将一枚均匀硬币抛掷8次中，恰好出现了5次正面，3次反面，故事件“82S =” 的概率为3585588111722232C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，事件“20S ≠且82S =”即在将一枚均匀硬币抛掷8次中，恰好出现了5次正面3次反面且前两次的抛掷中出现的必须同为正面或反面，故事件“20S ≠且82S =”的概率为31668132128C C +=. 评析 考查数列与概率的相关知识的综合.对于这类型问题，要正确理解题意，对于题目中的n S 的值的取得又不能简单地理解为数列的和，这就要求考生能恰当地根据题意来解决具体问题，而不能一味地死记硬背而达到目的.16. ()24f x x x =-+ 24y x x =-；22)(--=x x f 等 （答案不唯一）评析 对于此类开放性问题，考生要注意根据要求先找到突破口，比如这个题目中的(2)f x +或()f x 为偶函数这一特定要求，可先考虑函数(2)f x +或()f x 的雏形，再结合其他约束条件，进而写出满足题意的函数()f x 。

江苏省常州市江苏前黄高级中学2018-2019学年高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数在处取得极小值，则的最小值为（）A. 4B. 5C. 9D. 10参考答案：C由，得，则，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选C.2. 函数f（x）=x3﹣2的零点所在的区间是（）A．（﹣2，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用根的存在定理分别判断端点值的符合关系．【解答】解：因为f（0）=﹣2＜0，f（1）=1﹣2＜0，f（2）=23﹣2=6＞0，f（3）=33﹣2=25＞0所以函数f（x）=x3﹣2的零点所在的区间为（1，2）．故选：C．3. 底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是A、一定是正三棱锥B、一定是正四面体C、不是斜三棱锥D、可能是斜三棱锥参考答案：D4. 等比数列{a n}中,a5a14=5,则a8a9a10a11等于( ).A.75B.50C.25D.10参考答案：D略5. 在中，角所对的边分别是，若，且，则的面积等于 ( )A． B． C． D．参考答案：C由和余弦定理可得又因为6. .复数的模是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先将复数化成形式，再求模。

【详解】所以模是故选D.【点睛】本题考查复数的计算，解题的关键是将复数化成形式，属于简单题。

7. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.参考答案：B8. 设，则的大小顺序是（）A. B.C. D．参考答案：D9. ⊿ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA平面ABC，则点P到BC的距离是（）A . 4B . 3C . 2D .参考答案：A略10. 已知S={x|x=2n,n∈Z}, T={x|x=4k±1,k∈Z},则（）A.S TB.T SC.S≠TD.S=T参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线的焦点坐标为_______.参考答案：12. 已知经过点作圆的两条切线，切点分别为A，B两点，则直线AB的方程为．参考答案：由切点弦方程得直线的方程为13. 已知2a=5b=，则=．参考答案：2【考点】对数的运算性质．【分析】先由指对互化得到，再利用log a b?log b a=1，得出题目所求．【解答】解：由题意可知，所以，所以=，故答案为2．【点评】本题考查指对互化，以及换底公式的结论，对数运算性质，属中档题．14. 已知，若，则．参考答案：3略15. 若向量与向量共线，且，=，则向量= ___ ▲ __ .参考答案：（2，―4，―2）略16. 某同学在证明命题“”时作了如下分析，请你补充完整.要证明，只需证明________________,只需证明_________________,展开得，即, 只需证明,________________, 所以原不等式:成立.参考答案：, ，因为成立。

江苏省前黄高级中学2018—2018学年第一学期 高一年级第二次阶段考试数学试卷 2018-12-18命题人：邵炳良一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1.不等式0341≤--x x的解集是 （ C ）A ．｛43|≤x x 或1≥x ｝B ．｛143|≤≤x x ｝ C ．｛43|<x x 或1≥x ｝D ．｛143|≤<x x ｝2.在等差数列{}n a 中，已知1590S =,则8a 等于 （ C ）A ．3B ．4C ．6D ．123. 三个数0.76,60.7,0.7log 6的大小顺序是 ( D )A. 60.7<0.7log 6<0.76 B.60.7<0.76<0.7log 6C. 0.7log 6<0.76<60.7 D. 0.7log 6<60.7<0.764.函数3)1(22+++=x m x y 在区间(]2,∞-上是减函数，则m 的取值范围是 （ C ）A ．3m ≤B ．3m ≥C ．3m ≤-D ．3m ≥- 5.下列命题中，p 是q 的必要不充分条件是 （ B ）A ．p ：0x y >>；q ：22x y >B ．p ：2x ≠；q ：24x ≠C ．p ：,,a b c 成等比数列，q：b =D ．p ：A B ⇒；q ：B A ⇒非非6.下列函数中值域为()0,+∞的是 ( B )A.1231xy -=+ B.115x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭C.y =y =7.等差数列{}n a 中的项124,,a a a 恰成等比数列,则14a a 的值为 ( D ) A.1 B.12 C.14D. 以上均不成立 8.等差数列{}n a 中,59a a =,公差0d <,则当n S 取最大时n 的值为 ( C )A.4 或5B.5 或6C.6 或7D.不存在9．若一个等差数列{}n a 前三项的和为34,最后三项的和为146,所有项的和为390,则此数列的项数 （ C ） A ．11 B 。

……01 、…此时f （九）= ,对应方程组为0 1所以另一个特征值2对应的一个特征向量为10分（C）解：直线的普通方程为x + y—1 = 0 ；由p = 2,得曲线C 的普通方程 2 2x + y =4 , ........................... 5 分所以, 所以直线l被曲线C截得的弦长2 22；2"（f）2 =应. ••…10 分2 2 2 2 2 2 2(D)解：根据柯西不等式，有(x+2y+3z)主(1 +2+3)(x +y +z),因x+2y+3z=2 , 所4122232当且仅当-=1=-时等号成立，解得x = 1,y=2,z=3,1 2 3 7 7 7… 1 2 3…即当x = —，y =—，z =—时,77 710分2 1 2 1 322.解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为C3（—）（1——） = —.……2 2 84分2 1 2 1 13 1 一 1 3 1 （2）因为每人可被录用的概率为C3（一）（1-一）+（一）=一，所以P（X=0） = （1——）=—,2 2 2 2 2 8_ -1 1 1 1 2 3 _ -2 1 2 1 1 3P(X =1) =03(3(1 =)2二， P(X =2)=C2(京2(1 二)1=匕2 2 8 2 2 81 3 1P(X =3)=(二)=；•2 8故X的概率分布表为：8分所以，X 的数学期望13 3 13E(X) =0乂一十1 x一十2乂—+3尺一 =一 .-••…10分所以y = 0,23.解：(1)(里+ ^)01+a?) =W +房a 〔 a 2a十餐，a 22 2 a2。

a^----- 0,--------- 0 a i a2a2b2i a ba〔a2I』2 2ab2ab治--- 乂----- = 2D i b2 ,a〔a2b2 b2(4也)(a a2) _b； b22bb2 =(b b2)a a2b b(—+—)(a〔+a2)兰(加 +烷) a i a2.2.2 2b| b2(b| b2)所以—+—> — -------- -- , 当且仅a i a2 立. ……2分推广：2 2 2b b2bn2■ H I ■工a a2 a n(2) a i a2 a ia i bfa2,即a2 b i = a i b时等号成已知司》0（b i b2 川町）2a〔a?川a”b i 0证明：①当n=i时命题显然成立；当n=2时，由上述过程可知命题成立；②假设n=k（k芝2）时命题成立，即已知a^>0,b^>0（^ N*,i W 主k）时,有《堕.川b2 （b b2川b k）a i a2则n=k +1时,由W b2由—•一a i 球b2故a i 故na2b2a2b2 (b b2 |l| b k)2+——>------------------ 成*a k a a2 HI a k(b2 十房+川+ &)+*♦兰(b+B+lll + b k)2^ 隽a a2 a k a k ia a2 川a k(b+烷)2可知(b b2 b k)2况*' a k a k< b ki)2a k ia i a2b k b《ia k a k ik i时命题也成立.(b ia ia2b2a2 ak综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切2_+=a ki '(b b2 b k b ki)2a k a k i 'a i a2恒成立.（注：推广命题中未包含n i的不扣分）证明:由（i）中所得的推广命题知\ 3 5 2n「C n C n C n C ni23252(2n i)2H 3 5 (2n i)? ①C。

注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第 1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）.本卷满分160 分，考试时间为120分钟•考试结束后，请将答题卡交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答， 在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米 黑色墨水的签字笔•请注意字体工整，笔迹清楚.4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损•一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.参考公式：球的表面积公式 S=4 n 2，其中r 为球的半径一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答 案直接填在答题卡相应位置上 .1已知i 为虚数单位，复数z 诗弓的模为 2. 已知集合 A 二｛1,2a ｝，B =｛ -1,1,4｝，且 A 5B ，则正整数 a 二 ▲23.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y =-8x 的焦点坐标为 ▲苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台 立即能乘上车的概率为 ▲ .已知 4a =2，log a x=2a ，则正实数 *=▲_.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中 提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法. 右边的流程图是秦九韶算法的一个实例.若输入 n ，x 的值分别 为3，3，则输出v 的值为▲.苏州市2018届高三调研测试数学试题2018. 14. 5.开始：'（第6题图）I0 < x < 3, 7.已知变量x , y 满足x y > 0, 则z=2x-3y 的最大值为▲x - y 3 < 0,已知等比数列｛ an ｝的前n 项和为S n ，且詈「罟，a「a2鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为 5,底面正方形的边长为 1,现将该鲁 班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为 _▲忽略不计，结果保留 n AB , CD 的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角.CAD =45，则这两座建筑物 AB 和CD 的底部之间的距离BD 二 ▲ m .11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知过点A （2, -1）的圆C 和直 线x y =1相切，且圆心在直线 y- _2x 上，则圆C 的 标准方程为 ▲ .11 1 112.已知正实数a ， b ， c 满足 1， 1，则c的取值范围是▲a b a +b c13. 如图，△ ABC 为等腰三角形，• BAC=120，AB = AC =4，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AB ，AC 与点E ，F ，点P 是劣弧EF 上的BC一点，贝U PB PC 的取值范围是▲ .（第13题图）14 •已知直线y = a 分别与直线y =2x -2，曲线y =2e x - x 交于点A ，B ，则线段AB 长度的 最小值为▲.、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出1515，则33的值为 ▲9. 10.如图，两座建筑物（第10题图）（第 9题图）（容器壁的厚文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)已知函数f (x) =(. 3cosx sin x)2-2 3sin2x .(1)求函数f(x)的最小值，并写岀f(x)取得最小值时自变量x的取值集合;(2)若x ■，匸，求函数f (x)的单调增区间.IL 2 216. (本小题满分14分)如图，在正方体ABCD -A1BQ1D1中，已知E, F, G,H 分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C 的中点.(1)求证：EF //平面ABHG ;(2)求证：平面ABHG丄平面CFED .17. (本小题满分14分)如图，B,C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100km，海岛A在城市B的正东方50km处.从海岛A到城市C,先乘船按北偏西B角(w n，21其中锐角：•的正切值为-)航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽2车到城市 C .已知船速为25km/h，车速为75km/h.(1 )试建立由A经P到C所用时间与二的函数解析式；(2)试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由.18. (本小题满分16分)北•.东2x 2 yxOy 中，椭圆C ：p 牙=1(a b . 0)的离心率为a b点P 到一个焦点的距离的最小值为3(、. 2 —1).(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M(0, —1)的动直线I 与椭圆C 交于A , B 两点，试判断以 AB 为直径的圆是 否恒过定点，并说明理由.19. (本小题满分16分)已知各项是正数的数列｛a n ｝的前n 项和为S n .a 2 +2(1 )若 S n= -----------------5迂N *, n 》2),且 a t =2 .3① 求数列｛a n ｝的通项公式；②若S n w ■・2n1对任意n N *恒成立，求实数■的取值范围；(2)数列｛a n ｝是公比为q (q >0, q -1)的等比数列，且｛a n ｝的前n 项积为10Tn •若 存在正整数k ,对任意N *，使得卫3 为定值，求首项a 1的值.T kn20. (本小题满分16分)'32x x ,x ：： 0,已知函数f(x)二x、e x —ax, x > 0.(1 )当a =2时，求函数f(x)的单调区间;(2)若方程f (-X )• f (x)二e* _3在区间(0,+ ：：)上有实数解，求实数 a 的取值范围;在平面直角坐标系，椭圆上动(3)若存在实数m,n [0,2],且|m-n| >1 ,使得f (m) = f (n),求证：1 w 旦w e . e —122018届高三调研测试数学n （附加题）2018. 1注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷只有解答题，供理工方向考生使用.本试卷第21题有A、B、C、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题•若学生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分•第22、23题为必答题•每小题10分，共40分•考试时间30分钟•考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效•作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔•请注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损•一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选•其中两题.，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A .选修4 -1:几何证明选讲（本小题满分10分）如图，AB，AC与圆O分别切于点B，C，点P为圆O上异于点B，C的任意一点，PD_AB 于点D，PE_AC 于点E，PF _ BC 于点F.B .选修4 - 2:矩阵与变换（本小题满分10分）C .选修4 - 4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）求证：PF—PDPE.DBPFOCEAi x =1 t,在平面直角坐标系 xOy 中，直线I 的参数方程为(t 为参数)，以原点0为』=t -3极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 亍=竺二，若直线Isin 日与曲线C 相交于A ，B 两点，求△ AOB 的面积. D .选修4 - 5:不等式选讲(本小题满分10分)已知 a , b , c € R , a 2 b 2c 2 =1，若 |x -1| |x 1|> (a -b • c)2 对一切实数 a , b ,c 恒成立，求实数x 的取值范围.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区域.内作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分10分)如图，已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE AB 二BP =2, AD=AE=1 , AE 丄 AB , 且 AE // BP . (1) 求平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角的余弦值； (2)线段PD 上是否存在一点 N ,使得直线BN 与2平面PCD 所成角的正弦值等于 -?若存在，试确定5点N 的位置；若不存在，请说明理由.23. (本小题满分10分)在正整数集上定义函数 y = f( n)，满足f( n)[ f(n • 1) • 1] =2[2 - f (n • 1)]，且f(1)=2 .9(1) 求证：f (3) - f (2p101(2) -------------------------------------------------------- 是否存在实数a , b ,使f(n) = 1，对任意正整数n 恒成立，并证a(-3)n -b 2明你的结论.z CB苏州市2018届高三调研测试数学试卷参考答案、填空题(共70 分)15.解(1) f (x) =( 3cosx sinx)2 -2 3sin 2x亠2 .3sin xcosx 亠sin? x -2 . 3sin 2x= cos2x - ■ 3sin2x 2 =2cos(2x )2 . 3■TT-TT当2x 2k 二•二，即x =k (k ・Z )时，f (x)取得最小值0.3 3此时，f (x)取得最小值时自变量 x 的取值集合为』xx=k^+上，k € Z 》.I3 J....................................................................... •分(注：结果不写集合形式扣 1分) (2)因为 f(x) =2cos(2x ) 2 ,3设 BH P]CF =P , △ BCH ◎△ CC 1F ，所以 HBC =”FCC 1, 因为/ HBC + Z PHC=90，所以 ZFCC 1 + / PHC=90 .11.3 2. 2 3. (-2,0)4.102 210. 1811. (x -1) (y 2) =2二、解答题(共90分)195.6. 487. -9 8.9.2443 In 2 12. (1-] 13. [-11,-9]14.322二 3cos3(1 cos2x) 1 -cos2x2 2i£：3sin 2x令〔2k 二 w 2x< ^;：>2^:(^= Z ), (3)解得 k 二 w x w k 二(k Z ),.....................................................................3 6又 x ・［一二 T ，令 k 「1, x -匸二，令 k=0 , x 二二，2 2 126」 13 2」口丿〕和徑兰］ .............IL 2, 6. IL 3,21分，其中写对一个区间给 2分)B 1C 1的中点，所以EFJi Ji•10分所以函数在的单调增区间是 2 2(注：如果写成两区间的并集，扣 16.证明：(1)因为E , F 是A 1D 1 ,在正方体 ABCD - A 1BQD 1中， (注：缺少 A 1B 1 / AB 扣1分)所以 EF // AB . .......................Ji Ji14分A 1B 1 // AB ,又EF 二平面ABHG , AB 平面 ABHG , (注：缺少 AB 二平面ABHG 不扣分) 所以EF //平面 ABHG ........................................ 6分(2)在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，CD —平面 BB 1C 1C , 又BH 平面BB 1C 1C ，所以BH — CD .①.........C 1H3分C11分所以.HPC =90，即 BH _CF •② ................由①②，又 DC "CF =C , DC , CF 平面 CFED , 所以BH —平面CFED • 又BH 平面ABHG ,所以平面 ABHG 丄平面 CFED •............................................................................. 14分（注：缺少BH 平面ABHG ，此三分段不给分）（注：AP , BP 写对一个给 2分） 由A 至U P 所用的时间为右二塑 —25 si n 日50cos J100 -si n 日75所以由A 经P 到C 所用时间与9的函数关系为函数f （力的定义域为（:•，匸］，其中锐角:-的正切值为-2 2（2）由（1）, f （®=6：4日十 朕（口£ ,3sin 日 32f G ） =6H，令 f （刃“，解得 COST -1 , •9si n 日311设 (0, —)，使 COS^o :312分所以，当v - -0时函数f （9）取得最小值，此时 BP=50cos 玉二经2胡7.68 km ,sin 日0 2 答：在BC 上选择距离B 为17.68 km 处为登陆点，所用时间最少. (14)（注：结果保留根号，不扣分 ）17•解（1）由题意，轮船航行的方位角为9,所以 N BAP = 90“一日,AB=50 ,贝U AP =•50cos(90 -力50BP = 50ta n(90 -^)=50sin(90 - ^) cos(90 - RPC =100 - BP =100 -50cos v2cos 3sin r由P 到C 所用的时间为t 2 f (力二t 1 t 2 二4 2cos v3 3sin 二 6 - 2cos 二 4一 3si nr 310分1分解得 c=3, a = 3.. 2，所以 b 2 =a 2 _c 2 =9,...............................................2 2所以椭圆C 的标准方程为 —•X=1. ..........................................................................18 9(2)当直线l 的斜率为0时，令y = _1，则x = 4 ,此时以AB 为直径的圆的方程为 X 2 (y • 1)=16 •...........................................当直线I 的斜率不存在时，以 AB 为直径的圆的方程为 x 2 • y 2 =9 , ...........................『x 2 +(y +1) =16,联立 解得x=0,y=3，即两圆过点T(0,3) •[x 2 +y 2 =9,猜想以AB 为直径的圆恒过定点 T(0,3) • .........................................................对一般情况证明如下：设过点M(0,-1)的直线I 的方程为y=kx-1与椭圆C 交于A(x 1,y 1), B(x 2,y 2),f y 二kx -1,22则 2 2 整理得(1 - 2k )x-4kx -16 =0 ,x 2y =18,所以 E +x 2=—, x 1x 21 +2k②-①得an -an 4(a2 -a 2)，即时记a +2当 n =2 时，由①知 a a 2 a 12，即 a ； -3a 2 T0 = 0 , 解得a 2 =5或a 2 ■ -2（舍）, 所以a 2 =3，即数列｛a .｝为等差数列，且首项 印=3, 所以数列｛a .｝的通项公式为a .=3n -1.18.解(1)由题意一,故 a,a 2又椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为 3(.. 2 一1)，所以a - c = 3'.空-3 ,2分 4分16 ~21 2k12分3分） (注果不猜想，直接写出上面的联立方程、韦达定理，正确的给 因为 TA TB 二区，％-3)化』2 -3) 7X 2 丫必 -3(% y 2)92= )^X 2(kjq-1)(kx 2 T) 一3(心-1 kx 2 一 1) 9 =(k"X 1X 2 -4k (X 1 X 2) 16-16(k 2 1) 16k 2 -16(1 2k 2)2 … 2 16- 1+2k 2 1 +2k 2所以TA_TB • 所以存在 以AB 为直径的圆恒过定点1 2k 216 =0 , 19•解（1）①当 n > 2 时，由 S n S n 1 =T ,且定点 a ： 2 3，T 的坐标为(0,3) •16分(注：不验证a ? -a<i =3扣1分)S n3n 2 + n■ >扩2^对一切n N *恒成立,②由①知,2an=3n -1，所以"込口UJ ,记c -汇 记 c n - _n 2 n，则 C n tWZ), n > 2 ,2n 12所以c n ③「忙4，n > 2 , n 2当n 4时,13C n <C n!，当 n =4 时，C 4，且 1615C3 :16 所以当n =3时, 2 3n 亠 n 15 代取得最大值一，2 16 15 所以实数•的取值范围为右；).• 11分(2)由题意，设 n 」 an 二 a 1q(q >0,q 式1), a 1 a^10Tn ，两边取常用对数,T n =lga i Iga 2 Hl Iga n • 令 b n =lga n =n Igq lg 印-lg q , 则数列｛0｝是以lga i 为首项，lgq 为公差的等差数列, 13分(k +1)nlga 十(k+1)n[(k+1)n_ 1]T T(k 1) nlga 1 lgq若上少为定值，令上少一I ,贝V T kn T kn kn lg a 1 如第一1)lg q 2 即{[( k 1)2 - 'k 2]lg q}n [(k 1) -」k](lg aL)lg q =0对 n N * 恒成立, q l7k +1)2 _“2 =0 因为q 〉0,q 右，问题等价于广l) k O ， i (k 1)-」k =0或a ； = q. 将-—=\、1 代入(k ■ 1) - "k =0 ,解得」=0或"=1. k因为k ・N *，所以J0/-1, 所以a ； =q ，又a n - 0,故耳=.q.16分由题意可得20.解(i )当 …时，e +2x, x > 0,322当 X ：：：0 时，f(x)二-x x ,则 f(x)=—3x 2x =「x(3x -2),2令 f (x) =0，解得 X = 0 或 X 丄(舍)，所以 x ：：：0时，f (x) ::： 0,3所以函数f(x)在区间(亠,0)上为减函数. ...................................... •分 当 x > 0 时，f(x) =e x -2x , f (x) =e x —2 ,令 f (x) =0，解得 x = In2，当 0 ：：： x ：：： ln2 时，f (x) ：：：0，当 x In2 时，f(x) . 0 , 所以函数f(x)在区间(0,ln2)上为减函数，在区间(In2,；)上为增函数，且 f (0) =1>0................................................................................................... •分综上，函数f(x)的单调减区间为(-：：,0)和(0,1 n 2)，单调增区间为(I n2,；)............................................................................................................................ 5分(注：将单调减区间为 (-：：,0)和(0,ln2)写出(-：,ln2)的扣1分) (2)设 x • 0 ,则-X ：：： 0 ,所以 f (-x) • f (x) = x 3 • x 2 • e x —ax , 由题意，x 3 x 2 e x -ax =e x -3在区间(0,；)上有解， 等价于 x 2 x 3在区间(0,；)上有解.x记 g(x) =x 2 x 3(x 0),则 g (x) =2x ・1 -2 -2-2xxx令g (x) =0，因为x • 0 ,所以2x 2 3x 3 0，故解得x =1 , 当 x^(0,1)时，g(x)c0，当 x^(1,亦)时，g(x)n0,所以函数g(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,=)上单调递增， 故函数g(x)在x =1处取得最小值 g(1) = 5. .................................................... 9分要使方程a =g(x)在区间(0,；)上有解，当且仅当a > g(x)min 二g(1)=5 ,综上，满足题意的实数 a 的取值范围为［5, ；). ............................ 10分 (3)由题意，f (x) =e x -a ,当a <0时，f (x)・0，此时函数f (x)在［0,；)上单调递增，由f (m) = f (n)，可得m = n ,与条件| m - n |> 1矛盾，所以a 0 . ........................ 11分 令 f (x) =0，解得 x = lna ,x3 2x 3 x 2 -3 (x -1)(2x 2 3x 3)当x (0,ln a)时，f (x) ：：0,当x (l n a,；)时，f (x) 0 ,所以函数f (x)在(0,l n a)上单调递减，在(I na,；)上单调递增.若存在m, n可0,2］, f(m)=f( n)，则lna介于m, n之间， (12)不妨设 0 < m ：：： In a ::: n < 2,因为f(x)在(m,l n a)上单调递减，在(I na, n)上单调递增，且 f(m)=f( n), 所以当 m < x < n 时，f (x) < f (m) = f (n),由 0 < m ::: n < 2 , | m -n 1，可得 1 二［m, n ］，故 f (1)< f (m) = f (n), 又f (x)在(m,lna)上单调递减，且0匕m ：：： Ina ，所以f (m) < f (0).所以f ⑴w f (0)，同理f ⑴w f(2) . (14)e _a w 1即-； 解得 e-1 w a w e 2 -e ,|e -a w e -2a,所以1 w 旦w e. (16)e —12018届高三调研测试数学附加题参考答案21A 选修4— 1几何证明选讲证明连PB , PC ,因为.PCF,. PBD 分别为 同弧BP 上的圆周角和弦切角， 所以.PCF =/PBD. ......................... 2 分因为 PD _BD , PF _ FC ,所以△ PDBPFC ，故 匹二EB ................. 5分PF PC 同理， PBF =PCE , 又 PE _EC , PF _FB , PF所以△ PFB PEC ，故竺PEPD PF 2所以——=——，即PF =PD PE . (10)PF PE21B 选修4— 2矩阵与变换九 _1 -2解矩阵M 的特征多项式为f 仏)==丸2—2k —3 , .......................... 2分一2 九 一1令f( ■) =0，解得'1 =3,匕二-1，解得所以 M 4 ：二 M 4(4 打 _3： 2) =4(M " J -3(M 4 2) =4(人4円)一3(财 口PB PC属于入的一个特征向量为 令：二m ： 1 • nd ,即 了=¥ "，属于甩的一个特征向量为«2】1」 1 w 1n 1，所以 m n^7 1 <1m-n=7, 解得 m = 4, n - -3.卜(町擋］ 10分8分2) =4 汉34fl21C选修4—4坐标系与参数方程所以曲线C 的直角坐标方程是 \ =1 由直线I 的参数方程一'l y =t -3所以直线l 的普通方程为x _y -4 =0 ...........................................将直线I 的参数方程代入曲线 C 的普通方程y 2=2x ,得t 2 -8t • 7 = 0, 设A , B 两点对应的参数分别为 t 1, t 2, 所以 AB = .2 出—t 2 |= .2 馆 t 2)2 -4址2 二 2 . 82 -4 7 =6.2 , 因为原点到直线x —y —4=0的距离d= 2^2 ,42所以△ AOB 的面积是 AB d 二1(6 2) (2、一 2) =12 . ..................2 221D 选修4— 5不等式选讲解因为 a , b , c € R , a 2 b 2 c 2 =1,2 2 2 2由柯西不等式得(a-b ・c)< (a b c )(1 11^3, ...............因为|x-1| Tx ，1p (a -b c)2对一切实数a , b , c 恒成立， 所以 | x -1| | x 1|> 3 . 3 当 x ：：： -1 时，-2x > 3，即 x < - 3 ； 2 当_K x <1时，2 > 3不成立； 3 当x ・1时，2x > 3，即x > 3；2综上，实数x 的取值范围为(亠一勻山？讼).，2 2，22. 解( 1)因为平面 ABCD 丄平面 ABEP ，平面 ABCD 门平面 ABEP 二AB , BP 丄AB , 所以BP 丄平面ABCD ，又AB 丄BC ,所以直线 BA , BP , BC 两两垂直，以B 为原点，分别以 BA , BP , BC 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 P ( 0, 2, 0), B ( 0,生 0), D (・2, 0, 因为BC 丄平面ABPE ，所以BC =(0,0,1)为平面 ABpE 的一个法向量， ..................... 2分 PD =(2, -2,1),CD =(2,0,0),设平面 PCD 的一个 法向量为n =(x,y,z),2x =0,令y 日，则2x -2y z =0,解 由曲线C 的极坐标方程是「= 2°°：，得p 2sin 2 (=2 pcos 0.sin 0y 2=2x. .......................................(t 为参数)，得x -y —4 = 0 ,10分10分n CD =0,则n PD =0,z =2 ,故 n二(0,1,2) ,...............................................4分设平面PCD 岂平面ABPE 所成的二面角为 二，则a n BC 2 2^5 cos^| n | | BC | 1 755n显然0 '—,所以平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值2(2)设线段PD上存在一点N ,使得直线BN与平面PCD所成角设詣= ?JD=(2 打—2 扎知(0 =(2 九,2—2九,九).•••—分由(1)知，平面PC巳的一个法向量为n二(0,1,2),BN n 2 2所以cos ：：BN, n i：| BN | |n| 亦J9九2—8厂+4 51即9 ' -8 '-1=0，解得，-1或(舍去).92 当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为 -.••…54- f (n) 23•解(1)因为f(n)[f(n 1) 1]=2[2-f(n 1)]，整理得f(n 1)=f (n) + 24 一2由f(1)=2，代入得f⑵二—2+2以下用数学归纳法证明1- 1成立.5 2 5①当n =1时，显然成立.②当n = k时，假设存在a 4 1 1,b ，使得f (k) 1成立, 5 5 _4(_3)」5(2)54-_-那么，当时，吐"恭」14 3 k 1 (一5)(一3)飞11 25 2 512(3)k 8养匕)律―J12/ 3、k 2 6/ 3、k 1 4/ 3k 1 () () () 5 2 5 5 2 5 5 2a的正弦值等于-510分丄f(3)=——=—2，1 5，22 5 27 1所以f (3) -f (2)= -----------5 2 (2)由f ⑴=2 , f (2)910 .1，可得a二-里,b二12 5 5存在实数，a —£b」，使f(n)二5 5即当4 1 1n =k J时，存在a二—,b=-，使得f (k -1) 1成立•5 5 4( _3)k + —~~5^~2"5由①，②可知，存在实数, 数n恒成立. ......... a=，b=［，使f (n)= _________ 1_______ +1对任意正整5 5吨―•10分。

第6题图盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面半径,l 为母线长.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知(,]A m =-∞，(1,2]B =，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为 ▲ ．2．设复数1a iz i+=+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．设数据12345,,,,a a a a a 的方差为1，则数据123452,2,2,2,2a a a a a 的方差为 ▲ ．4．一个袋子中装有2个红球和2个白球（除颜色外其余均相同）， 现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球 的概率为 ▲ ．5．“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”成立的 ▲条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）．6．运行如图所示的算法流程图，则输出S 的值为 ▲ ． 7．若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛 物线24y x =交于,,O P Q 三点，且直线PQ 经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为 ▲ ．8．函数()ln(1f x =-的定义域为 ▲ ．9．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ▲ ． 10．已知函数())cos()(0,0)f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><<为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为2π，则(8f π-的值为 ▲ ．11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*2()n n S a n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ ．12．如图，在18AB B ∆中，已知183B AB π∠=，16AB =，84AB =，点234567,,,,,B B B B B B 分别为边18B B 的7等分点，则当9(18)i j i +=≤≤时，i j AB AB ⋅的最大值 为 ▲ ．13．定义：点00(,)M x y 到直线:0l ax by c ++=的有向距离为．已知点(1,0)A -,(1,0)B ，直线m 过点(3,0)P ，若圆22(18)81x y +-=上存在一点C ，使得,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线l 的斜率的取值范围为 ▲ ．14．设ABC ∆的面积为2，若,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则22223a b c ++的最小值 为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知底面A B C D 是菱形，,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点．（1）求证：AC ∥平面DMN ；（2）求证：平面DMN ⊥平面11BB D D ．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，AD 为边BC 上的中线． （1）若4a =，2b =，1AD =，求边c 的长； （2）若2AB AD c ⋅=，求角B 的大小．A B CDD 1 A 1 B 1 C 1MN第15题图第12题图AB 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 817．(本小题满分14分)如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为400米，2AOB π∠=，且半径OC 平分AOB ∠．现拟在OC 上选取一点P ，修建三条路PO ,PA ,PB 供游人行走观赏，设PAO α∠=．（1）将三条路PO ,PA ,PB 的总长表示为α的函数()l α，并写出此函数的定义域； （2）试确定α的值，使得()l α最小．18．(本小题满分16分)如图，已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴． （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆222:()(0)M x m y r r -+=>．①设圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，若2MA MB MP MF +=+，且2AB =，求r 的值；②设2m =-，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于,G H 两点（异于点P ）．试问：是否存在这样的正数r ，使得,G H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出r19．(本小题满分16分)若对任意实数,k b 都有函数()y f x kx b =++的图象与直线y kx b =+相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．设函数()xg x ae x pa =--，,a p R ∈． AO BCPα第17题图（1）讨论函数()g x 的单调性； （2）已知函数()g x 为“恒切函数”．①求实数p 的取值范围；②当p 取最大值时，若函数()()xh x g x e m =-也为“恒切函数”，求证：3016m ≤<． （参考数据：320e ≈）20．(本小题满分16分)在数列{}n a 中，已知121,a a λ==，满足111221222,,,,n n n n a a a a ---++⋅⋅⋅是等差数列（其中2,n n N ≥∈），且当n 为奇数时，公差为d ；当n 为偶数时，公差为d -． （1）当1λ=，1d =时，求8a 的值；（2）当0d ≠时，求证：数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是等比数列；（3）当1λ≠时，记满足2m a a =的所有m 构成的一个单调递增数列为{}n b ，试求数列{}n b 的通项公式．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知半圆O 的半径为5，AB 为半圆O 的直径，P 是BA 延长线上一点，过点P 作半圆O 的切线PC ，切点为C ，CD AB ⊥于D ．若2PC PA =，求CD 的长．B .（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵 2 0 a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值1的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的另一个特征值和对应的一个特征向量．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同），设曲线C 的极坐标方程为2ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．(选修4-5：不等式选讲）已知正数,,x y z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值．[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分） 某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目,,A B C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过,,A B C 每个项目测试的概率都是12． A BCD O ·第21（A ）图（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望． 23．（本小题满分10分）（1）已知*0,0()i i a b i N >>∈，比较221212b b a a +与21212()b b a a ++的大小，试将其推广至一般性结论并证明；（2）求证：3*01213521(1)()2n nn n nn n n n N C C C C ++++++≥∈．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．2m ≥ 2．1- 3．4 4．565．充分不必要 6．21 78．(2,3] 9．3 10． 11．12n - 12．1327 13．3(,]4-∞- 14．二、解答题：本大题共90小题.15．（1）证明：连接11A C ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为11//AA BB ，11//BB CC ， 所以11//AA CC ，所以11A ACC 为平行四边形，所以11//A C AC ． ……2分又,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点，所以11//MN AC ，所以//AC MN ． ……4分又AC ⊄平面DMN ，MN ⊂平面DMN ，所以AC ∥平面DMN ． ……6分 （2）证明：因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1DD ⊥平面1111A B C D ，而MN ⊂平面1111A B C D ， 所以1MN DD ⊥． ……8分 又因为棱柱的底面ABCD 是菱形，所以底面1111A B C D 也是菱形， 所以1111A C B D ⊥，而11//MN AC ，所以11MN B D ⊥．……10分 又1MN DD ⊥，111,DD B D ⊂平面1111A B C D ，且1111DD B D D =，所以MN ⊥平面1A B C D ． ……12分而MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BB D D ． ……14分16．解：（1）在ADC ∆中，因为11,2,22AD AC DC BC ====，所以由余弦定理， 得2222222217cos 22228AC DC AD C AC DC +-+-===⋅⨯⨯． ……3分 故在ABC ∆中，由余弦定理，得2222272cos 4224268c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c = ……6分（2）因为AD 为边BC 上的中线，所以1()2AD AB AC =+，所以21()2c AB AD AB AB AC =⋅=⋅+221111cos 2222AB AB AC c cb A =+⋅=+，得c o s c b A =． ……10分 ABCDDABCM N则2222b c a c b bc+-=⋅，得222b c a =+，所以90B =︒． (14)分17．解：（1）在APO ∆中，由正弦定理，得sin sin sin AP OP AOAOP PAO APO==∠∠∠， 即400sin sin sin()44AP OP ππαα==+，从而sin()4AP πα=+，400sin sin()4OP απα=+． ……4分所以()l α＝400sin 22sin()sin()44OP PA PB OP PA αππαα++=+=+⨯++，故所求函数为sin )()sin()4l ααπα=+，3(0,)8πα∈． ……6分（2）记3()(0,)8sin()4f πααα==∈+，因为2(sin cos )(2)(cos sin )()(sin cos )f ααααααααα+-+-'=+2)4(sin cos )πααα-+=+， ……10分 由()0f α'=，得1sin()42πα-=-，又3(0,)8πα∈，所以12πα=． (12)分列表如下：所以，当12α=时，()l α取得最小值．答：当12πα=时，()l α最小． ……14分18．解：（1）因点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴，所以椭圆的半焦距2c =，由22221c y a b +=，得2b y a =±，所以2243b a a a-==， ……2分化简得2340a a --=，解得4a =，所以212b =，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=． ……4分 （2）①因2MA MB MP MF +=+，所以2MA MP MF MB -=-，即2PA BF =，所以线段2PF 与线段AB 的中点重合（记为点Q ），由（1）知3(0,)2Q ，……6分因圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，所以21MQ AB MQ PF k k k k ⋅=⋅=-，所以30302122m --⋅=---，解得98m =-， ……8分所以158MQ ==，故178r ==. ……10分② 由,G H 两点恰好关于原点对称，设00(,)G x y ，则00(,)H x y --，不妨设00x <，因(2,3)P -，2m =-，所以两条切线的斜率均存在，设过点P 与圆M 相切的直线斜率为k ，则切线方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，由该直线与圆M 相切，得r =，即k =……12分所以两条切线的斜率互为相反数，即PG PH k k =-，所以00003322y y x x ---=-+-+，化简得006x y =-，即006y x -=，代入220011612x y +=， 化简得420016480x x -+=，解得02x =-（舍），0x =-所以0y ……14分所以(G -，H，所以2PG k ==所以r ==. 故存在满足条件的r ，且7r =． ……16分19．解：（1）()1xg x ae '=-， ……2分当0a ≤时，()0g x '<恒成立，函数()g x 在R 上单调递减；当0a >时，由()0g x '=得ln x a =-，由()0g x '>得ln x a >-，由()0g x '<得ln x a <-，得函数()g x 在(,ln )a -∞-上单调递，在(ln ,)a -+∞上单调递增． ……4分（2）①若函数()f x 为“恒切函数”，则函数()y f x kx b =++的图像与直线y kx b =+相切，设切点为00(,)x y ，则0()f x k k '+=且000()f x kx b kx b ++=+，即0()0f x '=，0()0f x =.因为函数()g x 为“恒切函数”，所以存在0x ，使得0()0g x '=，0()0g x =，即0000 10xx ae x pa ae ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩， 得00x a e -=>，00(1)x p e x =-，设()(1)x m x e x =-， ……6分则()xm x xe '=-，()0m x '<，得0x >，()0m x '>，得0x <，故()m x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，从而[]max ()(0)1m x m ==， 故实数p的取值范围为(,1]-∞． ……8分②当p 取最大值时，1p =，00x =，01x a e -==，()(1)x xh x e x e m =---，()(22)x x h x e x e '=--，因为函数()h x 也为“恒切函数”， 故存在0x ，使得0()0h x '=，0()0h x =，由0()0h x '=得000(22)0xx e x e --=，00220x e x --=，设()22x n x e x =--， ……10分则()21xn x e '=-，()0n x '>得ln 2x >-，()0n x '<得ln 2x <-，故()n x 在(,ln 2)-∞-上单调递减，在(ln 2,)-+∞上单调递增，1°在单调递增区间(ln 2,)-+∞上，(0)0n =，故00x =，由0()0h x =，得0m =；…12分2°在单调递减区间(,ln 2)-∞-上，2(2)20n e--=>，31223111()22(20)02222n e ---=-≈⨯-=-<，又()n x 的图像在(,ln 2)-∞-上不间断，故在区间3(2,)2--上存在唯一的0x ，使得00220xe x --=，故0022xx e +=， 此时由0()0h x =，得00000022(1)(1)22xx x x m e x ex ++=--=-- 001(2)4x x =-+2011(1)44x =-++，函数211()(1)44r x x =-++在3(2,)2--上递增，(2)0r -=，33()216r -=，故3016m <<．综上1°2°所述，3016m ≤<． ……16分20．解：（1）由1λ=，1d =，所以21a =，234,,a a a 为等差数列且公差为1-，所以4221a a =-=-，又458,,a a a 为等差数列且公差为1，所以8443a a =+=． ……2分（2）当21n k =+时，22221221222,,,,k k k k a a a a +++⋅⋅⋅是等差数列且公差为d ，所以2122222k k k a a d +=+，同理可得22121222k k k a a d --=-， ……4分两式相加，得212121222k k k a a d +---=；当2n k =时，同理可得2222222k k k a a d +-=-， ……6分所以222||2n n na a d +-=．又因为0d ≠，所以21122122||22(2)||2n n n n nn a a n a a ++---==≥-， 所以数列{}2*22||()n n aa n N +-∈是以2为公比的等比数列． ……8分（3）因为2a λ=，所以4222a a d d λ=-=-，由（2）知212121222k k k a a d +--=+，所以212123212321222222k k k k k k a a d a d d +-----=+=++，依次下推，得211132*********k k k a a d d d d +--=+++++，所以21222(21)3k ka d λ+=+-， ……10分当212222k k n ++≤≤时，212321222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=--=+--， 由2m a a =，得232233k m +=-，所以23212233k k b ++=-， 所以22233n n b +=-（n 为奇数）； ……12分由（2）知222222222222222k k k kk k a a d a d d +--=-=--，依次下推，得22224222222222k k k a a d d d d +-=-----，所以22224(21)23k k a d d λ+-=--， ……14分当222322k k n ++≤≤时，222422222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=+-=+--， 由2m a a =，得242233k m +=+，所以24222233k k b ++=+． 所以22233n n b +=+（n 为偶数）． 综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分方法二：由题意知，23121231222222n n n n n b b b b b +++=<<<<<⋅⋅⋅<<<<<<⋅⋅⋅， ……10分当n 为奇数时，1221222,,,,n n n n a a a a +++⋅⋅⋅的公差为d -，1112221222,,,,n n n n a a a a ++++++⋅⋅⋅的公差为d ，所以112(2)()n n n b n a a b d ++=---，11112(2)n n n b n a a b d ++++=+-，则由12n n b b a a a +==，得111(2)()(2)n n n n b d b d +++---=-，即212n n n b b +++=． 同理，当n 为偶数时，也有212n n n b b +++=．故恒有2*12()n n n b b n N +++=∈． ……12分①当n 为奇数时，由3212n n n b b ++++=，212n n n b b +++=，相减，得222n n n b b ++-=， 所以532311()()(222)2n n n n b b b b b b -=-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅+++13222(14)2221433n n -+-=+=--．……14分②当n 为偶数时，同理可得22233n n b +=+． 综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分附加题答案21．（A ）解：连,AC BC ，因PC 为半圆O 的切线，所以PCA B ∠=∠．又P P ∠=∠， 所以PCA ∆∽PBC ∆，所以12PA AC PC BC ==， 即2AC BC =． ……5分 因AB 为半圆O 的直径，所以22225AB AC BC AC =+=，因半圆O 的半径为5，所以21005AC =，所以AC BC ==由射影定理，得2AC AD AB =⋅，解得2AD =，所以4CD ==． ……10分（B ）解：由题意得 2 110 11a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以 2 10 1-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ．……2分矩阵M 的特征多项式为 2 1()(2)(1)0 1f λλλλλ-==---，由()0f λ=，得2,1λλ==，所以矩阵M 的另一个特征值为2． ……6分A BCDO·此时0 1()0 1f λ=，对应方程组为010010x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩，所以0y =，所以另一个特征值2对应的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……10分（C ）解：直线的普通方程为10x y +-=；由2ρ=， 得曲线C的普通方程为224x y +=， ………………………5分所以2d ==，所以直线l 被曲线C 截得的弦长为=． ……10分 （D ）解：根据柯西不等式，有2222222(23)(123)()x y z x y z ++≤++++，因232x y z ++=，所以222222421237x y z ++≥=++， ……5分 当且仅当123x y z ==时等号成立，解得123,,777x y z ===，即当123,,777x y z ===时，222x y z ++取最小值27． ……10分22．解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为223113()(1)228C -=． ……4分（2）因为每人可被录用的概率为22331111()(1)()2222C -+=，所以311(0)(1)28P X ==-=，1123113(1)()(1)228P X C ==-=，2213113(2)()(1)228P X C ==-=，311(3)()28P X ===．故X…………8分所以，X的数学期望13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……10分23．解：（1）22222212211212121212()()()b b a b a b a a b b a a a a ++=+++，因为i a >，i b >，所以222112120,0a b a b a a >>，则22221211212122a b a b b b a a +≥=， 所以22222121212121212()()2()b b a a b b b b b b a a ++≥++=+，即22121212()()b b a a a a ++212()b b ≥+． 所以221212b b a a +≥21212()b b a a ++，当且仅当22211212a b a b a a =，即2112a b a b =时等号成立． ……2分推广：已知i a >,i b >(,1i N i n*∈≤≤)，则2221212n n b b b a a a +++21212()n nb b b a a a +++≥+++．……………………………4分证明：①当1n =时命题显然成立；当2n =时，由上述过程可知命题成立； ②假设(2)n k k =≥时命题成立，即已知0i a >,0i b >(,1i N i k *∈≤≤)时，有2221212k k b b b a a a +++21212()k kb b b a a a +++≥+++成立， 则1n k =+时，222222112112121121()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a +++++++++++≥++++， 由221212b b a a +≥21212()b b a a ++，可知222121*********()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a ++++++++++++≥+++++++， 故2222112121k k k k b b b b a a a a ++++++2121121()k k k k b b b b a a a a ++++++≥++++， 故1n k =+时命题也成立．综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切n N ∈*恒成立． (6)分（注：推广命题中未包含1n =的不扣分） （2）证明：由（1）中所得的推广命题知01213521nn n nnn C C C C +++++2222012135(21)35(21)nn n nn n C C C n C +=+++++[]2012135(21)35(21)n n n n nn C C C n C +++++≥+++++ ①， …8分记01235(21)nn n n n n S C C C n C =+++++，则1(21)(21)n n n n n n S n C n C C -=++-++，两式相加，得0122(22)(22)(22)(22)nn n n n n S n C n C n C n C =++++++++，012(22)()(22)2nn n n n n n C C C C n =+++++=+⨯，故(1)2n n S n =+⨯ ②，又[]2241(21)135(21)(1)(1)2n n n n ++⎡⎤+++++=⨯+=+⎢⎥⎣⎦③，将②③代入①，得222243012135(21)(1)(1)35(21)(1)22nn nn n n n n n n C C C n C n +++++++≥=++， 所以，301213521(1)2n nn n nn n n C C C C ++++++≥，证毕． ……10分。

导数中的朗博同构、双元同构、指对同构与二次同构问题目录方法技巧总结一、常见的同构函数图像1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围． （3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解3、常见的指数放缩：4、常见的对数放缩：5、常见三角函数的放缩：6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式： （1） 且时，有（2） 当 且时，有再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中） （3）（4） ()0f a =()0f b =,a b ()0f x =()x f x x e =×()xf x e x =±x ()()1122,,,A x y B x y ,A B AB (),n a n ()1,1n a n --)1();0(1=³=+³x ex e x x e x x )(ln );1(1ln 11e x exx x x x x =£=-££-x x x x tan sin ,2,0<<÷øöçèæÎp 0a >噍1,0a x ¹>log a x a x =0a >1a ¹log xa a x =0 x >()ln ee ;ln ln e xx x x x x x x +=+=ln :ln lnx x x xe e e x x x x-=-=（5）（6） 再结合常用的切线不等式lnx x -1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：（7）；（8）；7、同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有： ①； ②； ③8、乘法同构、加法同构（1）乘法同构，即乘同构，如； （2）加法同构，即加同构，如， （3）两种构法的区别：①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；()22ln 2e e ;2ln ln e xx x x xx x x +=+=2ln 2ln 22,x xx x x x e e e e x x--==£ln ,e 1,e e exx x x x x £³+³ln ee ln 1xx x x x x +=³++()ln ln e e 1x x x x x x +=£-ln e e e(ln )x x xx x x +=³+()1ln ln x xx xe x x xe xe e-+=£=x xe ln x x 1ln ln ln ln log ln ln ln ln ln ln xx ax a x e a xa x e x a e x x x e x a x a e a>Þ>Þ×>=×Þ>Þ>ln ln 1ln ln ln ln x x x x x xee x x e x x x e x e x x el l l l l l l l l l >Þ>Þ×>Þ×>×Þ>Þ>()()()()ln 1ln 11ln 1ln 1x ax e ax x x e x ax x ++>+++=++Þ>+x ln ln ln ln ln ln ln x a x a x a e x x a e x e ×>Û×>×x log log log log a x x x a a a a x a x x x a x >Û+>+=+x xe ln x x x xe ln x x题型一：同构法的理解【典例1-1】对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．(1)； (2)；(3)； (4)；(5)；(6)； (7)； (8)．【典例1-2】关于的不等式有解，则实数的取值范围是 .【变式1-1】（2024·内蒙古·三模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求的取值范围.2log 20kx x k -׳21e0xl l-³2ln e 0mx x x m -³()æö+³+ç÷èø1e 12ln ax a x x x ()()ln 1212e xa x x ax -+-³+ln e (1)x a x a x x x -++³>e 2ln 0x x x ---=2e ln 0x x x +=x e 2ln 2ln 2ax a x -£a ()22ln f x x ax x =-+()f x ()0,e axa f x >£a题型二：利用同构比较大小【典例2-1】已知，且，，，则（ ） A ． B ． C ．D ．【典例2-2】已知．且，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【变式2-1】已知a ，b ，，且，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．B ．C ．D ．【变式2-2】已知，，，则，，的大小顺序是（ ） A ． B ． C ．D ．题型三：方程同构【典例3-1】（江苏省常州市前黄高级中学2023-2024学年高三期初数学试题）已知实数满足，，则 ．【典例3-2】（江苏省泰州市泰兴中学2023-2024学年高三期中数学试题）已知实数a ，b 满足，则ab ＝ ．【变式3-1】设x ，y 为实数，且满足，则（ ）A ．2B ．5C ．10D ．2018【变式3-2】同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式．已知实数满足，，则 ．【变式3-3】（2024·高三·辽宁大连·期中）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b 的方程可化为同构方程，则的值为（ ）A ．B ．eC ．D ．11,,,e a b c æöÎ+¥ç÷èøln55ln a a =-ln33ln b b =-ln 22ln c c =-b<c<a c b a <<a c b <<a b c <<,,(1,)a b c Î+¥2ln 22ln 12a a --=212ln 1eb b --=2ln π2ln 1πc c --=b a c >>b c a >>a b c >>c a b >>(0,1)c Î5ln ln 5a a -=-4ln ln 4b b -=-3ln ln 3c c -=-b<c<a a c b <<a b c <<c b a <<0.5ln 2a =()0.4ln5ln 2b =-()8ln 3ln 29c =-a b c a b c <<b a c <<c b a <<a c b <<,a b 2024a a e -=3ln 2021ln b b e -+=ab =20210a e a --=2ln ln 20190,b e b ---=()()3(1)2018153(1)201815x x y y -+-=-ìï-+-=íïîx y +=()e x f x x =+()ln ln ln e ln xf x x x x =+=+e x x +ln x x +12,x x 11e 6xx +=23522x =123x x +=a 24e e a a -=()31(ln 2),b b a b l -+-=Îe R ab 8e ln 6题型四：零点同构【典例4-1】（2024·高三·天津西青·期末）已知函数和．(1)若曲线数与在处切线的斜率相等，求的值； (2)若函数与有相同的最小值． ①求的值；②证明：存在直线，其与两条曲线与共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标成等差数列．【典例4-2】（2024·江西南昌·模拟预测）已知函数和有相同的最小值．(1)求；(2)是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列？说明理由．【变式4-1】（2024·上海嘉定·一模）已知． (1)求函数的单调区间和极值； (2)请严格证明曲线有唯一交点；(3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列．()e x f x ax =-()ln g x ax x =-()y f x =()y g x =1x =a ()f x ()g x a y b =()y f x =()y g x =()e x f x ax =-()ln g x ax x =-a y b =()y f x =()y g x =ln (),()e x x xf xg x x==()()y f x y g x ==キ()()y f x y g x ==キ10,e a æöÎç÷èøy a =()()y f x y g x ==キ()()()123,,,x a x a x a キキ123x x x <<123x x x キキ【变式4-2】已知函数和有相同的最大值. (1)求；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.题型五：双元同构【典例5-1】已知函数． 当时，求函数的单调增区间；若函数在上是增函数，求实数a 的取值范围；若，且对任意，，，都有，求实数a 的最小值．【典例5-2】（河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学试题）已知对任意的，都有恒成立，则实数的值为（ ）A ．B ．1C ．0D ．【变式5-1】（四川省成都市第七中学2023-2024学年高三阶段性考试数学试题）若实数，满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．【变式5-2】（山西省太原市2024届高三期中数学试题）已知，对任意都有，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()e x ax f x =()ln xg x ax=b ,a b y m =()y f x =()y g x =()()21ln 112f x a x x a x =++++()11a =-()f x ()2()f x ()0,+¥()30a >1x ()20,x Î+¥12x x ¹()()12122f x f x x x ->-a b ÎR()b ab b a e be a l ---³-l e e -x y 24ln 2ln 44x y x y +³+-xy =x y +=21x y +=31x y =21()e (1)2x f x ax a x =-++12,(0,)x x Î+¥()()1212f x f x a x x -<-a (,0]-¥(0,1)(,1]-¥[1,)+¥【变式5-3】对于任意，，当时，恒有成立；则实数的取值范围是 A ． B ． C ．D ．【变式5-4】（多选题）（重庆市2024届高三冲刺押题联考（二）数学试题）若实数，满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．题型六：朗博同构【典例6-1】已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 .【典例6-2】（2024·陕西·模拟预测）当时，恒成立，则实数最大值为（ ）A ．B ．4C ．D ．8【变式6-1】不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）A ．B ．C ．1D ．2【变式6-2】对任意，若不等式恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．题型七：利用同构解决不等式恒成立问题【典例7-1】（2024·江西·三模）已知函数，若在其定义域上没有零点，则的取值范围是 .【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．【变式7-1】已知函数，若对任意的恒成立，则正实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．1x 2[1,)x Î+¥21x x >2211ln2()x a x x x <-a (,0]-¥(,1]-¥(,2]-¥(,3]-¥x y ()24ln 2ln 284x y x y +³+-xy =x y +=122x y +=21x y =()ln 2(0)f x a x x a =->()2e 31a xx f x -³+0x >a 0x >24e 2ln 1x x x ax ×-³+a 4e24e 2e 2ln210x x ax x ---³a 14120x >2e ln (0)x ax ax x a £+>(0,2e](1,)+¥(0,1](]0,e ()log ,(0,1)(1,)xa f x a x a =-ÎÈ+¥()f x a ()211ln e x x a x -<+()1,x Î+¥a [)1,+¥3,2éö+¥÷êëø[)2,+¥[)4,+¥()1e ln 1axf x a x +=-+()()e,,0x f x Î+¥³a 210,eæöç÷èø1,e ¥éö+÷êëø[)e,+¥21,e éö+¥÷êëø【变式7-2】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式7-3】（2024·江西赣州·二模）已知函数，.若，则k 的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．【变式7-4】已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．题型八：利用同构求最值【典例8-1】“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【典例8-2】已知函数，若，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【变式8-1】（2024·江西·临川一中校联考模拟预测）已知函数，，若，的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【变式8-2】已知函数，若，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【变式8-3】已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．5D ．11()1n22xf x ae ax =+-+()0f x >a 0e a <<2e a >e a >2e a >()e 1kxf x =+()11lng x x x æö=+ç÷èø()()kf x g x ³(]0,e [)e,+¥1,e ¥éö+÷êëø10,e æùçúèû22e ln ln x x l l +³()0,x Î+¥l 1,e ¥éö+÷êëø21,e éö+¥÷êëø1,2e éö+¥÷êëø2,eéö+¥÷êëøx ln e x x =()ln e0xx x =>()e xf x x =×()ln xg x x=-()()120f x g x t ==>12e t x x 21e 1e1e ()ln(1),()ln f x x x g x x x =+-=()()21212ln ,f x t g x t =+=()2122ln -x x x t 1e-12e-21e 2e()()ln 1f x x x =+-()ln g x x x =()112ln f x t =+()22g x t =ln t 21e 1e-12e -2e()ln(1),()ln f x x x g x x x =+-=()()21212ln ,f x t g x t =+=122ln tx x x -12e1e12e e a b 22ln ()e na b b a<n题型九：利用同构证明不等式【典例9-1】已知函数． （1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：在上恒成立；（3）求证：当时，．【典例9-2】已知函数． （1）讨论函数的零点的个数；（2）证明：．【变式9-1】已知函数． （1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：．【变式9-2】已知函数，函数，，． （1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．（3）证明：当时，．2()2()1a f x lnx a R x =+-Î+()f x 2a =()0f x >(1,)+¥0x >2(1)1x x ln x e +>-21()x f x e x=-()fx 220x xe lnx x -->()1()f x ax lnx a R =--Î2a =()f x ()f x 1x =(0,)x "Î+¥()2f x bx -b 1x y e >>-(1)(1)x y ln x e ln y -+>+()2(1)sin 1f x ln x x =+++()1(g x ax blnx a =--b R Î0)ab ¹()g x 0x ()31f x x +1x >-2sin ()(22)x f x x x e <++1．若对任意的，且，则m 的最小值是（ ） A． B ． C ． D ． 2．对于任意，当 时，恒有成立,则实数的取值范围是 3．若，则实数a 的取值范围为4．已知，对任意都有，则实数的取值范围是 . 5．已知当，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是 . 6．当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 7．已知当时，不等式恒成立，则正实数的取值范围是 ． 8．已知函数，． (1)求函数在区间上的最大值；(2)若，恒成立，求实数a 的取值范围．9．（2024·云南·模拟预测）已知函数 (1)若函数在处的切线也与函数的图象相切，求的值；(2)若恒成立，求的取值范围.12,(,)x x m ¥Î+12211221ln ln ,2x x x x x x x x -<<-2e 1e 21e e 412,(2,)x x Î+¥12x x <2211ln 2()0x a x x x --<a e ln()x ax x ax -³-+1a >()1,x Î+¥11e 1e ln e ln 0x a a x x xæö--£ç÷èøa (]0,e x Î2eln 2x x a a +³-0x >2e ln e xx x a a ³a e x ³11e ln a x x a x x+-³a ()ln 1f x x ax =-+R a Î()f x []1,20x ">()2e 2x f x x ax £-()e ,()ln .x f x a g x x =+=()g x 1x =l ()f x a ()()f x a g x +³a10．已知函数 (1)若求曲线在点处的切线方程．(2)若证明：在上单调递增．(3)当时，恒成立，求的取值范围．11．已知函数. (1)求的最小值；(2)求证：；(3)当时，不等式恒成立，求正数的取值范围.12．（2024·广东佛山·一模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，，求的取值范围.13．（2024·广东深圳·二模）已知函数的图象在处的切线经过点. (1)求的值及函数的单调区间；(2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.()()e 1ln ,.x a f x x ax x a =+-ÎR 0,a =()y f x =(1,(1))f 1,a =()f x (0,)+¥1x >()ln f x a x ³a ()()e 0xf x x x>=()f x ()ln 3f x x x >-+1x ³()e ln 2x a ax ax +Ｌa ()e x f x a =()()F x f x x =+2x >()2ln2x f x a->-a ()2e 1x a f x x-=()()1,1f ()22,2e a ()f x ()21ln ax g x x-=x ()2e 1x xg x l l £-()1,+¥l14．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数，其中，.(1)当时，求函数的零点；(2)若函数恒成立，求的取值范围.15．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．16．（2024·广东汕头·三模）设，，(1)证明：；(2)若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列.()()e ln 11x f x a ax =-+-0a >0x ³1a =()f x ()0f x ³a ()ln ln (1)2(0)f x x a a x a =++-+>()f x 2e ()x f x -³a ()e x f x =()ln g x x =()()1xf x x g x ³++y t =()xy f x =()g x y x =()1,A x t ()2,B x t ()3,C x t ()123x x x <<1x 2x 3x17．（2024·江西宜春·一模）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)对任意的，恒成立，求的取值范围.18．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数，，直线为曲线与的一条公切线.(1)求；(2)若直线与曲线，直线，曲线分别交于三点，其中，且成等差数列，证明：满足条件的有且只有一个.()()ln 1f x x a x =+-a ÎR ()f x 0x >()2e ln 41x f x x x x £---a ()x f x e =ln()()n x g x =+:l y x m =+()y f x =()y g x =,m n ():01l y s s ¢=<<()y f x =l ()y g x =112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 123x x x <<123,,x x x s。

I ←1 S ←0While I ＜m S ←S +I I ←I +1 End while Print SEnd江苏省通州高级中学2018届高三年级12月考数学试卷必答题部分（满分160分，答题时间120分钟）说明：本卷内容，所有考生均必须完成．一、填空题（每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的指定位置内） 1． 称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆”，则黄金椭圆的离心率为 ▲ ． 2． 某校高二（1）、（2）班共100名同学，在分科选择中，一半同学（其中男生38人）选择了物理，另一半（其中男生15人）选择了历史．据此信息，可列出一张表．该表常被称为 ▲ ．3． 从2018名学生中选取100名组成合唱团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2018人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人被剔除的概率为 ▲ ．4． 对于非零实数a ，b ，以下四个命题都成立：①01≠+aa ；②2222)(b ab a b a ++=+；③若||||b a =，则b a ±=； ④若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a ，b ，仍然成立的命题的所有序号是 ▲ ． 5． 下面求1+4+7+10+…+2018的值的伪代码中，正整数m 的最大值为 ▲ ．6． 幂函数y =x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点A （1，0），B （0，1），连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y =x α，y =x β的图像三等分，即有BM =MN =NA ．那么，αβ= ▲ ． 7． 设i ，j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且AB = 4i -2j ，AC =7i +4j ，AD =3i +6j ，则四边形ABCD 的面积是 ▲ ．8． 设p ：x |x +1|=2x 2，q ：(x +1)2=4x 2，则p 是q 的 ▲ 条件．9． 已知P 是棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1表面上的动点，且AP =点P 的轨迹的长度是 ▲ ．10．旅游、溜冰、踢球三项活动中，我们班的同学每人至少喜欢一项．随机调查了19名男生，17名女生．其中只喜爱踢球的男生8名，只喜爱踢球的女生7名，喜爱溜冰的男生8名，喜爱旅游的男生5名，只喜爱旅游的男女生7名，只喜爱溜冰的男女生9名，喜爱旅游和溜冰的男生2名．则既喜爱旅游又喜爱溜冰的人有 ▲ 名．11．对于实数x ，若n ∈Z ，n ≤x ＜n +1，规定[x ]=n ，则不等式4[x ]2-40[x ]+75＜０的解集是 ▲ ．12．若对任意,(,)x A y B A B ∈∈⊆⊆R R 有唯一确定的f (x ，y )与之对应，则称f (x ，y )为关于x ，y 的二元函数．现定义满足下列性质的f (x ，y )为关于实数x ，y 的广义“距离”：（1）非负性：f (x ，y )≥0，当且仅当x y =时取等号； （2）对称性：f (x ，y )= f (y ，x )；（3）三角形不等式：(,)(,)(,)f x y f x z f z y +≤对任意的实数z 均成立． 今给出三个二元函数，所有能够成为关于x ，y 的广义“距离”的序号是 ▲ ． ①(,)f x yx y =-；②2(,)()f x y x y =-；③(,)f x y13．数列a 1，a 2，…，a n 为n 项正项数列，记∏n 为其前n 为它的“叠加积”．如果有2018项的正项数列a 1，a 2，…，a 2018的“叠加积”为22018，则2018项的数列2， a 1，a 2，…，a 2018的“叠加积”为 ▲ ． 14．已知函数cos cos sin 2()cos 2x x x x f x x +++=+（x ∈[-8π，8π]）的最大值为M ，最小值为m ，则M +m = ▲ ．江苏省通州高级中学2018届高三年级12月考数学试卷必答题部分答案卷一、填空题（每小题5分，共70分，请将答案直接填写在本处的相应位置内）1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．二、解答题（共6大题，满分90分．解答须写出必须的解题过程．）15．（本题满分10分）（1）推导sin3α关于sinα的表达式；（2）求sin18°的值．16．（本题满分10分）如图，已知矩形ABCD的一边AB在x轴上，另两个顶点C，D 落在抛物线弧y= -x2+2x (0＜x＜2) 上．设点C的横坐标为x．（1）将矩形ABCD的面积S(x)表示为x（2）求S(x)的最大值．17．（本题满分15分）如图是表示以AB =4，BC =3的矩形ABCD 为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH 为截面．已知AE =5，BF =8，CG =12． （1）作出截面EFGH 与底面ABCD 的交线l ；（2）截面四边形EFGH 是否为菱形？并证明你的结论； （3）求DH 的长．18．（本题满分15分）已知函数f (x )的定义域为(0,) ，且对任意的正实数x 、y 都有f (xy )=f (x )+f (y )，且当x ＞1时，f (x )＞0，f (4)=1． （1）求证：f (1)=0； （2）求：1()16f ； （3）解不等式：f (x )+f (x -3)≤1．ABC D EFGH19．（本题满分20分）已知平面区域60,360,260x yx yx y-+⎧⎪--⎨⎪++⎩≥≤≥恰好被面积最小的圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖．设圆A：x2+y2+20x+16y+160=0，动点P，过P 作圆A的切线PM，PN，其中M，N为切点，又过P作圆C的切线PS，PT，其中S，T为切点．（1）试求圆C的方程；（2）试问是否存在点P，使得它们同时满足条件：“①P在直线l：2x+y=11上；②P的横、纵坐标均为整数；③MN⊥ST”．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．（本题满分20分）已知数列{a n}，a1=1，a n=113nna--（n≥2，n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设33log()27nn naS=，数列{b n}的前n项和为S n，求数列{b n}的通项公式；（3）求数列{|b n|}的前n项和T n．江苏省通州高级中学2018届高三年级12月考数学试卷附加题部分（满分40分，答题时间30分钟）说明：本卷为选考物理考生必须完成的部分．共三道题，每小问均为5分．1．如图，过点A(6，4)作曲线()f x l．（1）求切线l的方程；（2）求切线l，x轴及曲线所围成的封闭图形的面积S．2．旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求3个旅游团选择3条不同线路的概率P1；（2）求恰有2条线路没有被选择的概率P2；（3）求选择甲线路的旅游团数ξ的分布列与数学期望．解：（限于答题时间，本题只需要直接给出结论即可）（1）P1= ；（2）P2= ．（3）ξ的分布列为：数学期望Eξ= ．3．设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦P A，PB，并设它们的斜率分别为k P A，k PB．（1）求抛物线的方程；（2）若k P A+k PB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；（3）若k P A·k PB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．江苏省通州高级中学2018届高三年级12月考数学试卷必答题部分（试题与答案）（满分160分，答题时间120分钟）说明：本卷内容，所有考生均必须完成．一、填空题（每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的指定位置内） 1． 称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆”，则黄金椭圆的离心率为 ▲ ．2． 某校高二（1）、（2）班共100名同学，在分科选择中，一半同学（其中男生38人）选择了物理，另一半（其中男生15人）选择了历史．据此信息，可列出一张表．该表常被称为 ▲ ． 答案：2×2列联表．3． 从2018名学生中选取100名组成合唱团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2018人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人被剔除的概率为 ▲ ． 答案：1251． 4． 对于非零实数a ，b ，以下四个命题都成立：①01≠+aa ； ②2222)(b ab a b a ++=+； ③若||||b a =，则b a ±=； ④若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a ，b ，仍然成立的命题的所有序号是 ▲ ． 答案：②④．5． 下面求1+4+7+10+…+2018的值的伪代码中，正整数m 的最大值为 ▲ ． 答案：2018．6． 幂函数y =x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点A （1，0），B （0，1），连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y =x α，y =x β的图像三等分，即有BM =MN =NA ．那么，αβ= ▲ ．答案：1．7． 设i ，j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且AB = 4i -2j ，AC =7i +4j ，AD =3i +6j ，则四边形ABCD 的面积是 ▲ ．答案：30．8． 设p ：x |x +1|=2x 2，q ：(x +1)2=4x 2，则p 是q 的 ▲ 条件．答案：既不充分又不必要9． 已知P 是棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1表面上的动点，且AP =点P 的轨迹的长度是 ▲ ． 答案：3π2． 10．旅游、溜冰、踢球三项活动中，我们班的同学每人至少喜欢一项．随机调查了19名男生，17名女生．其中只喜爱踢球的男生8名，只喜爱踢球的女生7名，喜爱溜冰的男生8名，喜爱旅游的男生5名，只喜爱旅游的男女生7名，只喜爱溜冰的男女生9名，喜爱旅游和溜冰的男生2名．则既喜爱旅游又喜爱溜冰的人有 ▲ 名． 答案：3．11．对于实数x ，若n ∈Z ，n ≤x ＜n +1，规定[x ]=n ，则不等式4[x ]2-40[x ]+75＜０的解集是 ▲ ． 答案：[3,8)．12．若对任意,(,)x A y B A B ∈∈⊆⊆R R 有唯一确定的f (x ，y )与之对应，则称f (x ，y )为关于x ，y 的二元函数．现定义满足下列性质的f (x ，y )为关于实数x ，y 的广义“距离”：（1）非负性：f (x ，y )≥0，当且仅当x y =时取等号； （2）对称性：f (x ，y )= f (y ，x )；（3）三角形不等式：(,)(,)(,)f x y f x z f z y +≤对任意的实数z 均成立．I ←1 S ←0While I ＜m S ←S +I I ←I +1 End while Print S End今给出三个二元函数，所有能够成为关于x ，y 的广义“距离”的序号是 ▲ ． ①(,)f x y x y =-；②2(,)()f x y x y =-；③(,)f x y = 答案：①．13．数列a 1，a 2，…，a n 为n 项正项数列，记∏n 为其前n为它的“叠加积”．如果有2018项的正项数列a 1，a 2，…，a 2018的“叠加积”为22018，则2018项的数列2， a 1，a 2，…，a 2018的“叠加积”为 ▲ ． 答案：22018．14．已知函数cos cos sin 2()cos 2x x x x f x x +++=+（x ∈[-8π，8π]）的最大值为M ，最小值为m ，则M +m = ▲ ． 答案：2．二、解答题（共6大题，满分90分．解答须写出必须的解题过程．） 15．（1）推导sin3α关于sin α的表达式；（2）求sin18°的值．解：（1）sin3α=sin(2α+α)=sin2αcos α+cos2αsin α=2sin αcos 2α+(1-2sin 2α)sin α=2sin α(1-sin 2α)+(1-2sin 2α)sin α=3sin α-4sin 3α ．（2）∵sin54°=cos36°， ∴3sin18°-4sin 318°=1-2sin18°．令t = sin18°，则上式可变形为3t -4t 3=1-2t 2，即 (t -1)(4t 2+2t -1)=0．解得t =（t = 1与t =．∴sin18°16． 如图，已知矩形ABCD 的一边AB 在x两个顶点C ，D 落在抛物线弧y = -x 2+2x (0上．设点C 的横坐标为x ．（1）将矩形ABCD 的面积S (x )表示为x 的函数； （2）求S (x )的最大值．解：因点C 的横坐标为x ，故C 的纵坐标为y = -x 2+2x ，B 的坐标(x ，0)，A (2-x ，0)．矩形ABCD 的面积为()(22)S x x y =-2(22)(2)x x x =--+32264x x x =-+-（1＜x ＜2）．令 2()61240S x x x '=-+-= ， 得 1x =． 由于11x =-，故舍去，于是1x =． 当x ∈(1，2)时，()S x '的符号如下：所以，S (x )在1x =+处取得极大值，结合题意知这个极大值就是最大值．此时， S = 322(16(14(1-++- ． 17．如图是表示以AB =4，BC =3的矩形ABCD 为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH 为截面．已知AE =5，BF =8，CG =12． （1）作出截面EFGH 与底面ABCD 的交线l ；（2）截面四边形EFGH 是否为菱形？并证明你的结论； （3）求DH 的长．解：（1）作HE 与DA 的交点P ，作GF 与CB 的交点Q ，连PQ 得直线l ，它便是所求作．（2）截面EFGH 为菱形．因平面ABFE ∥平面DCGH ，且平面EFGH 分别截平面ABFE 与平面DCGH 得直线EF 与GH ，故EF ∥GH ．同理，FG ∥EH ，故四边形EFGH 为平行四边形．ABC D EFGH又EF 2=AB 2+(BF -AE )2=25，FG 2=BC 2+(CG -BF )2=25，于是 EF =FG =5，故 四边形EFGH 为菱形．（3）由AE +CG =BF +DH ，得 DH =9．18．已知函数f (x )的定义域为(0,)+∞，且对任意的正实数x 、y 都有f (xy )=f (x )+f (y )，且当x ＞1时，f (x )＞0，f (4)=1． （1）求证：f (1)=0；（2）求：1()16f ；（3）解不等式：f (x )+f (x -3)≤1． 解：（1）令x =4，y =1，则f (4)=f (4×1)=f (4)+f (1)，f (1)=0．（2）f (16)=f (4×4)=f (4)+f (4)=2，f (1)=1(16)16f ⨯=1()16f +f (16)=0，1()16f = -2． （3）设x 1、x 2＞0，且x 1＞x 2，于是12()xf x ＞0，1112222()()()()x xf x f x f f x x x ==+＞2()f x ，∴f (x )为(0,)+∞上的增函数．又f (x )+f (x -3)=f [x (x -3)]≤1=f (4)， ∴0,30,(3)4x x x x ⎧⎪-⇒⎨⎪-⎩＞＞≤3＜x ≤4． 19．（本题满分20分）已知平面区域60,360,260x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪++⎩≥≤≥恰好被面积最小的圆C ：(x -a )2+(y -b )2=r 2及其内部所覆盖．设圆A ：x 2+y 2+20x +16y +160=0，动点P ，过P 作圆A 的切线PM ，PN ，其中M ，N 为切点，又过P 作圆C 的切线PS ，PT ，其中S ，T 为切点． （1）试求圆C 的方程；（2）试问是否存在点P ，使得它们同时满足条件：“①P 在直线l ：2x +y =11上；②P 的横、纵坐标均为整数；③MN ⊥ST ．”若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）方程为：(x -6)2+(y -2)2=100．（2）存在P （3，5）．20．已知数列{a n }，a 1=1，a n =113n n a --（n ≥2，n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设33log ()27nn na S =，数列{b n }的前n 项和为S n ，求数列{b n }的通项公式；（3）求数列{|b n |}的前n 项和T n ．解：（1）由已知得，当n ≥2时，113n nn a a --=．∴13211221n n n n n a aa aa a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅=(1)1221(1)(2)123333133n n n n n n ----+-++⋅⋅⋅⋅⋅==．（2）33log ()27nn n a S ==(1)22333(1)19log 92722n n nn n n n n ---=-=． b 1=S 1= -9；当n ≥2时，b n =f (n )-f (n -1)=n -10， 上式中，当n =1时，n -10= -9=b 1， ∴b n =n -10．（3）数列{b n }为首项为-9，公差为1的等差数列，且当n ≤10时，b n ≤0，故n≤10时，T n =|S n |2192n n -=．当n ＞10时，T n =|b 1|+|b 2|+|b 3|+…+|b n |= -b 1-b 2- … -b 10+b 11+…+b n=|b 1+b 2+b 3+b 4+…+b n |+2|b 1+b 2+…+b 10|=2191802n n -+．∴T n =2219,(10,*),219180,(10,*).2n n n n n n n n ⎧-∈⎪⎪⎨-+⎪∈⎪⎩N N ≤＞江苏省通州高级中学2018届高三年级12月考数学试卷附加题部分（试卷与答案）（满分40分，答题时间30分钟）说明：本卷为选考物理考生必须完成的部分。