高考数学大二轮总复习与增分策略配套三轮增分练 高考小题分项练 4 Word版含答案

姓名：________班级：________学号：________ 高考中档大题规范练(二)概率与统计1．(2015·广东)某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2；(3)36名工人中年龄在x－s与x＋s之间的有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?2．(2015·陕西)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T的分布列与数学期望E(T)；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．3．(2015·韶关高三联考)某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是34，12，14，且各阶段通过与否相互独立．(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；(2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的分布列与均值．4．袋中装有若干个质地均匀、大小一致的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍．每次从袋中摸出一个球然后放回，若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第5次摸球后结束．(1)求摸球3次就停止的事件发生的概率；(2)记摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．5．(2015·惠州调研)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品称出它们的重量作为样本(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；(3)从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．答案精析高考中档大题规范练(二)概率与统计1．解 (1)44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)x ＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋379＝40.s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝1009.(3)40－103＝1103，40＋103＝1303在⎝⎛⎭⎫1103，1303的有23个，占63.89%. 2．解 (1)由统计结果可得T 的频率分布为以频率估计概率得T 的分布列为从而E (T )＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．(2)设T 1，T 2分别表示往，返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同， 设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．方法一 P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91. 方法二 P (A )＝P (T 1＋T 2＞70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋ P (T 1＝40，T 2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09， 故P (A )＝1－P (A )＝0.91.3．解 (1)记“该选手通过初赛”为事件A ，“该选手通过复赛”为事件B ，“该选手通过决赛”为事件C ，则P (A )＝34，P (B )＝12，P (C )＝14.那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率 P ＝P (A B )＝P (A )P (B )＝34×(1－12)＝38.(2)ξ可能取值为1,2,3.P (ξ＝1)＝1－34＝14，P (ξ＝2)＝34×(1－12)＝38，P (ξ＝3)＝34×12＝38.故ξ的分布列为ξ的均值为E (ξ)＝1×14＋2×38＋3×38＝178.4．解 (1)由题意，知从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率为13，摸到白球的概率为23.摸球3次就停止，说明前三次都摸到了红球，则摸球3次就停止的事件发生的概率为P ＝(13)3＝127. (2)依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，则 P (ξ＝0)＝C 05·(1－13)5＝32243， P (ξ＝1)＝C 15·13·(1－13)4＝80243， P (ξ＝2)＝C 25·(13)2·(1－13)3＝80243， P (ξ＝3)＝C 33·(13)3＋C 23·(13)2·(1－13)·13＋C 24·(13)2·(1－13)2·13＝1781.随机变量ξ的分布列为随机变量ξ的均值为E (ξ)＝32243×0＋80243×1＋80243×2＋1781×3＝13181. 5．解 (1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.01＋0.05)×5]×40＝12(件)．(2)Y 的可能取值为0,1,2. P (Y ＝0)＝C 228C 240＝63130，P (Y ＝1)＝C 128C 112C 240＝56130，P (Y ＝2)＝C 212C 240＝11130.Y 的分布列为(3)利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3. 令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量， 则ξ～B (5,0.3)，故所求概率为P (ξ＝2)＝C 25(0.3)2·(0.7)3＝0.3 087.。

高考小题分项练统计与统计案例．某校现有高一学生人，高二学生人，高三学生人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为，那么从高三学生中抽取的人数应为()．．．．答案解析因为高一学生人，从高一学生中抽取的人数为，所以每＝(人)抽取人，所以从高三学生中抽取的人数应为＝.故选.．某学校有男学生名，女学生名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生名，女学生名进行调查，则这种抽样方法是()．抽签法．随机数法．系统抽样法．分层抽样法答案解析总体由男生和女生组成，比例为∶＝∶，所抽取的比例也是∶，故拟从全体学生中抽取名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法，故选.．设＝，＝，＝，＝，＝，将这五个数据依次输入下面的程序框图进行计算，则输出的值及其统计意义分别是()．＝，即个数据的方差为．＝，即个数据的标准差为．＝，即个数据的方差为．＝，即个数据的标准差为答案解析∵＝[(－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)]＝，∴选.．将参加夏令营的名学生编号为：，…，，采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本，且随机抽得的号码为，这名学生分住在三个营区，从到在第一营区，从到在第二营区，从到在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为()．．．．答案解析根据系统抽样特点，抽样间隔为＝，被抽到号码＝＋，∈.由题意可知，第一营区可分为个小组，每组抽取人，共抽取人，由第二营区的编号为到，可知≤＋≤，∈，可得≤≤，因此第二营区应有人，第三营区有人，所以三个营区被抽中的人数分别为.．有以下四个命题①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于；③在回归直线方程＝＋中，当变量每增加个单位时，变量一定增加个单位；④对于两分类变量与，求出其统计量，越小，我们认为“与有关系”的把握程度越小．其中正确的是()．①④．②③．①③．②④答案解析①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①不正确；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数。

姓名：________ 班级：________ 学号：________高考压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2015·陕西)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．2．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆方程；(2)求m 的取值范围．3．已知抛物线C：y2＝4x，点M(m,0)在x轴的正半轴上，过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．(1)若m＝1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；(2)是否存在定点M，使得不论直线l绕点M如何转动，1|AM|2＋1|BM|2恒为定值？4．(2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．答案精析高考压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线(1)1．解 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32. (2)方法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2， x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2， 由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4， 解得k ＝12， 从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2)， 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3，故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 方法二 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2，②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0，易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12， 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1， 代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0，所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2，于是|AB |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 2．解 (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)， 由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ， 则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2，x 1x 2＝m 2－42＋k 2.又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )．∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22.∴m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22， 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不成立，∴k 2＝8－2m 29m 2－4>0， 得49<m 2<4，此时Δ>0. ∴m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. 3．解 (1)当m ＝1时，M (1,0)，此时点M 为抛物线C 的焦点．直线l 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y ，得x 2－6x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝x 1＋x 2－2＝4，所以圆心坐标为(3,2)．又|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8，所以圆的半径为4，所以圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16.(2)由题意可设直线l 的方程为x ＝ky ＋m ，则直线l 的方程与抛物线C ：y 2＝4x 联立，消去x 得，y 2－4ky －4m ＝0，则y 1y 2＝－4m ，y 1＋y 2＝4k ，1|AM |2＋1|BM |2＝1(x 1－m )2＋y 21＋1(x 2－m )2＋y 22＝1(k 2＋1)y 21＋1(k 2＋1)y 22＝y 21＋y 22(k 2＋1)y 21y 22 ＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2(k 2＋1)y 21y 22＝16k 2＋8m (k 2＋1)·16m 2＝2k 2＋m 2m 2(k 2＋1)， 若1|AM |2＋1|BM |2对任意k ∈R 恒为定值，则m ＝2，此时1|AM |2＋1|BM |2＝14. 所以存在定点M (2,0)，满足题意．4．解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为 y －a ＝－a (x ＋2a )， 即ax ＋y ＋a ＝0. 故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0.故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx1x2＋(a－b)(x1＋x2)x1x2＝k(a＋b)a.当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．。

高考小题分项练圆锥曲线
．△的两个顶点分别为(－)，()，△的周长为，则点的轨迹为()
＋＝ (≠) ＋＝ (≠)
＋＝ (≠) ＋＝ (≠)
答案
解析由题意可知＝，＋＝>，点到两个定点，的距离之和等于定值，故点的轨迹是以点，为焦点的椭圆(除去长轴两个顶点)．
∵＝＝，∴＝，
∴椭圆的方程为＋＝(≠)．
．已知圆＋＋－＝与抛物线＝的准线相切，则实数等于()
．±．±
答案
解析因为圆＋＋－＝，即(＋)＋＝与抛物线＝的准线相切，所以＝，
＝±，故选.
．已知双曲线：－＝ (>，>)的焦距为，点(，)在的渐近线上，则的方程为()
－＝－＝
－＝－＝
答案
解析由题意，得双曲线的渐近线方程为＝±，且＝.因为点()在的渐近线上，所以＝，
所以＝，＝，故选.
．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，过抛物线上一点(，)向准线作垂线，垂足为
，若△为等边三角形，则抛物线的标准方程是()
．＝．＝
．＝．＝
答案
解析设抛物线方程为＝，则(，)，将(，)代入抛物线方程得＝，＝，由于△为等边三角形，故＝，即＝，解得＝.
．过双曲线－＝右支上一点，分别向圆：(＋)＋＝和圆：(－)＋＝作切线，切点分别为，，则－的最小值为()
．．
．．
答案
解析－＝(－)－(－)＝－－
＝(－)(＋)－
＝(＋)－≥－＝，
故选.
．双曲线：－＝(>，>)与抛物线＝(>)相交于，两点，直线恰好过它们的公共焦点，则双曲线的离心率为()
．＋
．．＋
答案
解析由题意，得＝＝＝，
＝＝＝，。

姓名：________ 班级：________ 学号：________高考小题综合练(一)1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＋1<0}，B ＝{x |x －3<0}，那么集合(∁U A )∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x <3} B ．{x |－1<x <3} C ．{x |x <－1}D ．{x |x >3}2．(2015·四川)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．下列四个函数中，属于奇函数且在区间(－1,0)上为减函数的是( ) A ．y ＝(12)|x |B ．y ＝x －42－xC ．y ＝log 2|x |D ．y ＝－x 134．(2014·福建)复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( ) A ．－2－3i B ．－2＋3i C ．2－3i D ．2＋3i5．已知各项不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若m ∈N *，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m－1＝38，则m 等于( )A ．10B ．20C ．30D ．406．(2014·课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18 B.38 C.58 D.787．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3 B.52C ．2D ．2 28．已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(3，22) C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)9．将函数f (x )＝cos(π＋x )(cos x －2sin x )＋sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( )A ．最大值为2，图象关于直线x ＝π2对称B ．周期为π，图象关于(π4，0)对称C ．在(－π2，0)上单调递增，为偶函数D ．在(0，π4)上单调递增，为奇函数10．(2015·课标全国Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．811．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班级，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班级，则不同的分法种数为( ) A ．20 B ．30 C ．40 D ．1012．设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则B 的大小为( ) A ．45° B ．60° C ．30°D ．15°13．(2015·湖北省稳派检测)某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ^＝45x ＋a ^，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为________．14．(2014·江苏)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．15．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是__________．16.如图，VA ⊥平面ABC ，△ABC 的外接圆是以边AB 的中点为圆心的圆，点M 、N 、P 分别为棱VA 、VC 、VB 的中点，则下列结论正确的有________(把正确结论的序号都填上)． ①MN ∥平面ABC ； ②OC ⊥平面VAC ；③MN 与BC 所成的角为60°； ④MN ⊥OP ；⑤平面VAC ⊥平面VBC .答案精析高考小题综合练(一)1．A [A ＝{x |x ＋1<0}＝{x |x <－1}，B ＝{x |x －3<0}＝{x |x <3}，画出数轴可以求得答案为A.] 2．B [∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a <3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．]3．D [选项A ，y ＝(12)|x |为偶函数，因此排除；选项B ，y ＝x －42－x ＝－x －4x －2＝－(1－2x －2)＝－1＋2x －2对称中心为(2，－1)，在(2，＋∞)和(－∞，2)递减，不符合题意，排除；选项C ，y ＝log 2|x |是偶函数，因此不符合题意，排除C.答案为D.] 4．C [因为z ＝(3－2i )i ＝3i －2i 2＝2＋3i ， 所以z ＝2－3i ，故选C.]5．A [a m －1＋a m ＋1＝2a m ，得2a m －a 2m ＝0， 又a m ≠0，所以a m ＝2，则S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝(2m －1)a m＝2(2m －1)＝38，所以m ＝10.]6．D [4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种， ∴所求概率为1－1＋116＝78.]7．C [因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直， 所以如图所示的可行域为直角三角形， 易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故|AB |＝2，|AC |＝22， 其面积为12×|AB |×|AC |＝2.]8．D [A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a )，F 2A →＝(－2c ，b 2a )，F 2B →＝(－2c ，－b 2a ).F 2A →·F 2B →＝4c 2－(b 2a )2>0，e 4－6e 2＋1<0,1<e <1＋ 2.]9．D [f (x )＝－cos x (cos x －2sin x )＋sin 2x ＝2sin x cos x －(cos 2x －sin 2x ) ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π4)，所以g (x )＝2sin[2(x ＋π8)－π4]＝2sin 2x .结合正弦函数的性质，可知D 正确．]10．C [运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01； 运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S >0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5， m ＝0.031 25，n ＝4，S >0.01；运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S >0.01； 运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S >0.01； 运行第七次：S ＝0.007 812 5， m ＝0.003 906 25，n ＝7，S <0.01. 输出n ＝7.故选C.]11．B [排除法．先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C ＝6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A ＝6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A ＝6种，所以共有CA －A ＝30种分法．]12．B [∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0. 又GB →，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0， 则sin B ＝sin A ＝sin C . 根据正弦定理知b ＝a ＝c ，∴三角形ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.故选B.] 13．9.5解析 由表中数据得x ＝7，y ＝5.5，由(x ，y )在直线y ^＝45x ＋a ^，得a ^＝－110，即线性回归方程为y ^＝45x －110.所以当x ＝12时，y ^＝45×12－110＝9.5，即他的识图能力为9.5.14.π6解析 由题意，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝cos π3， 因为0≤φ<π，所以φ＝π6.15．[－2，－1]解析 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上，故－m ＋n ＝2.① 又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3， 故3m －2n ＝－3.②联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0，则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]， 故t ≥－2且t ＋1≤0，所以t ∈[－2，－1]． 16．①④⑤解析 对于①，因为点M 、N 分别为棱VA 、VC 的中点， 所以MN ∥AC ，又MN ⊄平面ABC ，所以MN∥平面ABC，所以①正确；对于②，假设OC⊥平面VAC，则OC⊥AC，因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，矛盾，所以②是不正确的；对于③，因为MN∥AC，且BC⊥AC，所以MN与BC所成的角为90°，所以③是不正确的；对于④，易得OP∥VA，又VA⊥MN，所以MN⊥OP，所以④是正确的；对于⑤，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC，又BC⊥AC，且AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC，又BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，所以⑤是正确的．综上，应填①④⑤.。

姓名：________ 班级：________ 学号：________高考中档大题规范练(一)三角函数与平面向量1．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．2．(2015·福建)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β.①求实数m 的取值范围；②证明：cos(α－β)＝2m 25－1.3．(2015·湖南)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2； (2)求sin A ＋sin C 的取值范围．4.如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17. (1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．5．已知函数f (x )＝cos x (sin x －3cos x )(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最大值以及取最大值时x 的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (A 2)＝－32，a ＝3，b ＋c ＝23，求△ABC 的面积．答案精析高考中档大题规范练(一)三角函数与平面向量1．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12， 即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4， 所以x －π4＝π6，即x ＝5π12. 2．方法一 (1)解 将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x ．从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z )． (2)①解 f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝⎛⎭⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25. 依题意，sin(x ＋φ)＝m 5在[0,2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5)．②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝m 5，sin(β＋φ)＝m 5.当1≤m ＜5时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫π2－φ，即α－β＝π－2(β＋φ)； 当－5＜m ＜1时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫3π2－φ，即α－β＝3π－2(β＋φ)．所以cos(α－β)＝－cos 2(β＋φ)＝2sin 2(β＋φ)－1＝2⎝⎛⎭⎫m 52－1 ＝2m 25－1. 方法二 (1)同方法一．(2)①同方法一．②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0,2π)内的两个不同的解， 所以sin(α＋φ)＝m 5，sin(β＋φ)＝m 5. 当1≤m ＜5时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫π2－φ，即α＋φ＝π－(β＋φ)；当－5＜m ＜1时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫3π2－φ，即α＋φ＝3π－(β＋φ)；所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ)．于是cos(α－β)＝cos [(α＋φ)－(β＋φ)]＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－cos 2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫m 52＋⎝⎛⎭⎫m 52＝2m 25－1. 3．(1)证明 由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B ，所以sin B ＝cos A ，又B 为钝角，故sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A . 因此π2＋A ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故B ＝π2＋A ， 即B －A ＝π2. (2)解 由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝⎛⎭⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0， 所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. 于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98. 因为0＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜22， 因此22＜－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98≤98. 由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤22，98. 4．解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17， 所以sin ∠ADC ＝437. 所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.5．解 (1)f (x )＝cos x (sin x －3cos x ) ＝sin x cos x －3cos 2x＝sin 2x 2－3cos 2x 2－32＝sin(2x －π3)－32. 当2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )， 即x ＝k π＋5π12，k ∈Z ， 即x ∈{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }时，f (x )取最大值1－32. (2)由f (A 2)＝－32，可得sin(A －π3)＝0， 因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3， 则a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ， 由a ＝3，b ＋c ＝23，解得bc ＝1，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34.。

高考中档大题规范练
(一)三角函数与平面向量
．(·广东)在平面直角坐标系中，已知向量＝，＝( ， )，∈.
()若⊥，求的值；
()若与的夹角为，求的值．
解()因为＝，＝( ，)，⊥.
所以·＝，即－＝，
所以＝，所以＝.
()因为＝＝，所以·＝＝，
即－＝，所以＝，
因为<<，所以－<－<，
所以－＝，即＝.
．(·山东)在△中，角，，的对边分别为，，，已知( ＋ )＝＋.
()证明：＋＝；
()求的最小值．
()证明由题意知
＝＋，
化简得( ＋)＝＋，即(＋)＝＋，因为＋＋＝π，所以(＋)＝(π－)＝，从而＋＝，由正弦定理得＋＝.
()解由()知＝，所以＝＝＝－≥，当且仅当＝时，等号成立，故的最小值为.
．(·北京)在△中，＋＝＋.
()求的大小；
()求＋的最大值．
解()由＋＝＋得，＋－＝.
由余弦定理得，＝＝＝.
又＜＜π，所以＝.
()＋＝π－＝π－＝，
所以＝－＜＜.
所以＋＝＋
＝＋＋
＝－＋
＝＋
＝.
因为＜＜，所以＜＋＜π，
故当＋＝，
即＝时，＋取得最大值. ．(·天津)已知函数()＝ ·－.
()求()的定义域与最小正周期；()讨论()在区间上的单调性．
解()()的定义域为{≠＋π，∈}．()＝－
＝－
＝－
＝＋－
＝＋(－)－。

高考小题分项练7数列1．在等比数列{a n }中，若a 1＝19，a 4＝3，则该数列前五项的积为() A ．±3B ．3C ．±1D ．1答案D解析因为a 4＝a 1q 3,3＝19×q 3，q ＝3， 所以a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝(a 1q 2)5＝(19×9)5＝1，故选D. 2．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2为()A ．－2B ．－3C ．2D ．3答案D解析a 1＝a 2－2，a 5＝a 2＋6，∴a 22＝a 1a 5＝(a 2－2)(a 2＋6)，解得a 2＝3，故选D.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n a n ＝n ＋12，则a 2a 3等于() A ．2B.32C.23D.13答案C解析当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3a 3＝3a 2a 3＝3＋12， ∴a 2a 3＝23.故选C. 4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos 2n π2)a n ＋sin 2n π2，则该数列的前12项和为() A ．211B ．212C ．126D ．147答案D解析∵a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos 2n π2)a n ＋sin 2n π2， ∴a 3＝a 1＋1＝2，a 4＝2a 2＝4，…，a 2k －1＝a 2k －3＋1，a 2k ＝2a 2k －2 (k ∈N *，k ≥2)． ∴数列{a 2k －1}成等差数列，数列{a 2k }成等比数列．∴该数列的前12项和为(a 1＋a 3＋…＋a 11)＋(a 2＋a 4＋…＋a 12)＝(1＋2＋…＋6)＋(2＋22＋…＋26)＝6×(1＋6)2＋2(26－1)2－1＝21＋27－2＝147.故选D. 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13等于()A ．52B ．78C ．104D ．208答案C解析由a 2＋a 7＋a 12＝24，得a 7＝8，所以，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝104，故选C. 6．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －3的极值点，则log 6a 2016等于()A ．1B ．2 C.2D ．－1答案A解析∵f ′(x )＝x 2－8x ＋6，∴a 1·a 4031＝6，∴a 22016＝6，∵a 2016>0，∴a 2016＝6，log2016＝1.7．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n 等于() A ．3(3n －2n ) B ．3n ＋2C ．3nD ．3·2n －1 答案C解析由已知得，⎩⎨⎧ a 1＝S 1＝32(a 1－1)，a 1＋a 2＝32(a 2－1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，a 2＝9， 代入选项检验，只有C 符合．8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A ．1升B.6766升 C.4744升D.3733升 答案B解析设竹子自上而下各节的容积分别为：a 1，a 2，…，a 9，且为等差数列，根据题意得：a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即4a 1＋6d ＝3，①3a 1＋21d ＝4，②②×4－①×3得：66d ＝7，解得d ＝766， 代入①得：a 1＝1322，则a 5＝1322＋(5－1)×766＝6766. 9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2015等于()A ．22015－1B ．21009－3C ．3×21007－3D ．21008－3答案B解析∵a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ，∴a 2＝2，∴当n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1，∴a n ＋1a n －1＝2n2n －1＝2， ∴数列{a n }中奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S 2015＝1－210081－2＋2(1－21007)1－2＝21009－3，故选B. 10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ()A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值31答案A解析∵a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)， ∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝log 223＋log 234＋…＋log 2n ＋1n ＋2＝log 2(23×34×…×n ＋1n ＋2)＝log 22n ＋2， 又因为S n <－5＝log 2132⇒2n ＋2<132⇒n >62， 故使S n <－5成立的正整数n 有最小值63.故选A.11．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于()A ．0B ．－100C ．100D ．10200答案B解析∵f (n )＝n 2cos(n π)＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2(n 为奇数)n 2(n 为偶数)＝(－1)n ·n 2， ∴由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2]＝(－1)n ＋1·(2n ＋1)， 得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.故选B.12．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项之积为T n ，并且满足条件：a 1>1，a 2015a 2016>1，a 2015－1a 2016－1<0.给出下列结论：①0<q <1；②a 2015a 2017－1>0；③T 2016的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为()A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④答案C解析由a 2015－1a 2016－1<0可知：a 2015<1或a 2016<1. 如果a 2015<1，那么a 2016>1，若a 2015<0，则q <0；又因为a 2016＝a 1q 2015，所以a 2016应与a 1异号，即a 2016<0，这与假设矛盾，所以q >0.若q ≥1，则a 2015>1且a 2016>1，与推出的结论矛盾，所以0<q <1，故①正确．a 2015a 2017＝(a 2016)2<1，故②错误．由结论①可知a 2015>1，a 2016<1，所以数列从第2016项开始小于1，所以T 2015最大．故③错误．由结论①可知数列从第2016项开始小于1，而T n ＝a 1a 2a 3…a n ，T 4031＝a 1·a 2·…·a 4031＝(a 1·a 4031)·(a 2·a 4030)·…·(a 2015·a 2017)·a 2016<1，所以T n >1对应的最大自然数为4030，故④正确．13．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.答案63解析解方程x 2－5x ＋4＝0，得x 1＝1，x 2＝4.因为数列{a n }是递增数列，且a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，所以a 1＝1，a 3＝4.设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2＝a 3a 1＝41＝4， 所以q ＝2.则S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝1×(1－26)1－2＝63. 14．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药(片剂)，要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是________毫克．若该患者坚持长期服用此药，则________明显副作用(此空填“有”或“无”)．答案350无解析设该病人第n 次服药后，药在体内的残留量为a n 毫克，所以a 1＝200，a 2＝200＋a 1(1－50%)＝300，a 3＝200＋a 2(1－50%)＝350.由a n ＝200＋0.5a n －1 (n ≥2)，得a n －400＝0.5(a n －1－400) (n ≥2)，所以{a n －400}是一个等比数列，所以a n －400＝－200×0.5n －1<0，∴a n <400.所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用．15．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n ，则a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝________. 答案2n 2＋6n解析记T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， ∴a n ＝T n －T n －1＝n 2＋3n －[(n －1)2＋3(n －1)]＝2(n ＋1)，∴a n ＝4(n ＋1)2 (n ≥2)．令n ＝1，∴a 1＝4⇒a 1＝16，∴a n ＝4(n ＋1)2，∴a nn ＋1＝4(n ＋1)． ∴a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝4(2＋3＋…＋n ＋1) ＝4·2＋n ＋12·n ＝2n 2＋6n . 16．已知各项均为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2＋14，a 1＝72，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的n ∈N *，不等式12k 12＋n －2S n≥2n －3恒成立，则实数k 的取值范围为________． 答案k ≥38解析a n ＋1＝Aa n ＋B ⇒a n ＋1－B1－A ＝A (a n －B 1－A )， 因此a n ＋1－12＝12(a n －12)， 故{a n －12}是首项为3，公比为12的等比数列． 因此2S n －n ＝12(1－12n )， 故不等式可化简为k ≥2n －32n . 因此令函数f (n )＝2n －32n ，令f ′(n )＝2·2n －(2n －3)2n ln2(2n )2＝0， 解得2n ＝2ln2＋3，正整数n 可取2或3， f (2)＝14，f (3)＝38. 所以k ≥38.。

4．数列、不等式S 1n ＝1．已知前 n 和 S n ＝ a 1＋ a 2＋ a 3＋ ⋯＋ a n ， a n ＝.S n － S n －1n由 S n 求 a n ，易忽视 n ＝ 1 的状况．[1] 已知数列 { a n } 的前 n 和 S n ＝n 2 ＋1， a n ＝ ________.2．等差数列的相关观点及性(1)等差数列的判断方法：定 法a n ＋ 1－ a n ＝d( d 常数 )或 a n ＋1－ a n ＝ a n － a n － 1(n ≥ 2)．(2)等差数列的通 ： a n ＝a 1＋ (n － 1)d 或 a n ＝ a m ＋ (n － m)d.(3)等差数列的前 n 和： S n ＝n a 1 ＋a n ， S n ＝ na 1＋n n －d.2 2(4)等差数列的性①当公差 d ≠0 ，等差数列的通 公式 a n ＝a 1＋(n － 1) ·d ＝dn ＋ a 1－ d 是对于 n 的一次函数，且斜率 公差 d ；前 n 和 S n ＝ na 1＋nn －d ＝dn 2＋ (a 1－d)n 是对于 n 的二次函数且常数22 20.②若公差 d>0， 增等差数列；若公差 d<0， 减等差数列；若公差d ＝0， 常数列．③当 m ＋ n ＝ p ＋ q ， 有a m ＋ a n ＝ a p ＋ a q ，特 地，当 m ＋n ＝ 2p ， 有 a m ＋ a n ＝ 2a p .④ S n ， S 2n － S n ， S 3n － S 2n 成等差数列．[ 2] 已知等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，且 S 10＝ 12， S 20＝ 17， S 30 ( )A ．15B ．20C ．25D ．303．等比数列的相关观点及性(1)等比数列的判断方法：定 法a n ＋ 1a n ＋1a n＝ q(q 常数 )，此中 q ≠0，a n ≠0或a n ＝(n ≥ 2)．如一a na n －1个等比数列 { a n } 共有 2n ＋ 1 ，奇数 之 100，偶数 之5 120， a n ＋1＝ 6.n －1n －m(2)等比数列的通 ： a n ＝a 1q或 a n ＝ a m q .a 1－ q n a 1－ a n q. (3)等比数列的前 n 和：当 q ＝1 ， S n ＝na 1；当 q ≠1 ， S n ＝1－ q＝1－ q 易 警告：因为等比数列前 n 和公式有两种形式， 此在求等比数列前n 和 ，第一要判断公比 q 能否 1，再由 q 的状况 乞降公式的形式，当不可以判断公比q 能否 1 ，要q 分q＝ 1 和q≠1两种情况求解．(4)等比中：若a，A，b 成等比数列，那么 A 叫做 a 与b 的等比中．得注意的是，不是任何两数都有等比中，只有同号两数才存在等比中，且有两个，即± ab.如已知两个正数a， b(a≠b)的等差中A，等比中B， A 与B 的大小关系A>B.(5)等比数列的性当 m＋ n＝p＋ q ，有a m·a n＝a p·a q，特地，当m＋ n＝2p ，有a m·a n＝ a2p.[3] (1)在等比数列 { a n} 中，a3＋ a8＝ 124，a4a7＝－ 512，公比 q 是整数， a10＝ ________.(2)各均正数的等比数列{ a n} 中，若 a5·a6＝9， log 3a1＋ log 3a2＋⋯＋ log3a10＝ ________. 4．数列乞降的方法(1)公式法：等差数列、等比数列乞降公式；(2)分乞降法；(3)倒序相加法；(4)位相减法；(5)裂法；如：111；1＝1 1－1＝－k n n＋ k. n n＋n n＋ 1 n n＋k(6)并法．数列乞降要明确：数、通，并注意依据通的特色取适合的方法．1[4]数列 { a n} 足 a n＋ a n＋1＝2(n∈N， n≥ 1)，若 a2＝ 1， S n是 { a n} 的前 n 和， S21的________．5．在求不等式的解集，其果必定要用会合或区表示，不可以直接用不等式表示．[5]不等式－3x2＋5x－2>0的解集________．6．不等式两头同乘以一个数或同除以一个数，必个数的正．两个不等式相乘，必注意同向同正才能行．[6]已知 a， b，c， d 正数，且c>d，“a>b”是“ac>bd”的 ________条件．a＋ b7．基本不等式：2≥ ab ( a， b>0)(1)推行：a2＋ b2a＋ b≥ ab≥2(a， b>0) ．2≥211a＋b(2)用法：已知x， y 都是正数，①若 xy 是定 p，当 x＝ y ，和 x＋ y 有最小 2 p；1 2②若和 x＋ y 是定值 s，则当 x＝ y 时，积 xy 有最大值4s .易错警告：利用基本不等式求最值时，要注意考证“一正、二定、三相等”的条件．[问题 7]已知a>0，b>0，a＋b＝1，则y＝1＋4的最小值是________．a b8．解线性规划问题，要注意界限的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．x≥0，[问题 8]设定点A(0,1)，动点P( x，y)的坐标知足条件则|PA|的最小值是________．y≤x，易错点 1 a n与 S n关系不清例 1已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n＝ n2＋ n＋1，则数列 { a n} 的通项公式为 ________．错因剖析没有注意到 a n＝S n－S n－1建立的条件： n≥2，忽视对 n 的分类议论．分析当 n＝ 1 时， a1＝ S1＝ 3；当 n≥2时， a n＝n2＋n＋ 1－ (n－ 1)2－ (n－ 1)－1＝ 2n，3， n＝ 1，∴ a n＝2n， n≥ 2.3，n＝ 1，答案a n＝2n， n≥2易错点 2忽视等比数列中q 的范围例 2 设等比数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，若 S3＋S6＝ S9，则数列 { a n} 的公比 q＝ ________.错因剖析没有考虑等比数列乞降公式S n＝a1－ q nq＝ 1 恰巧符中 q≠1的条件，此题中1－ q合题目条件．分析①当 q＝1 时， S3＋ S6＝ 9a1，S9＝ 9a1，∴ S3＋ S6＝ S9建立．②当 q≠1时，由 S3＋ S6＝ S9，得 a1－q3＋ a1－q6－ q9 1－q＝ a1.1－q1－ q∴q9－ q6－ q3＋ 1＝ 0，即 (q3－ 1)(q6－ 1)＝ 0.∵ q≠1，∴ q3－ 1≠0，∴ q6＝ 1，∴ q＝－ 1.答案1或－1易 点3数列最 忽视n 的限制例3已知数列{ a n } 的通 公式a n ＝ (n ＋ 2)(9 n *10) ( n ∈ N )， 数列{ a n } 的最大 是()A ．第6 或第7B ．第 7 或第8C ．第8 或第9D ．第 7因剖析求解数列{ a n } 的前n 和S n 的最 ， 无 是利用S n 是利用 a n 来求，都要注意n的取 的限制， 因 数列中可能出 零 ， 所以在利用不等式() 求解 ，不可以遗漏不等式 ( )中的等号，防止造成无解或漏解的失 ．分析因 a n ＋ 1－ a n ＝ (n ＋ 3)( 9 )n ＋1－ (n ＋ 2)(9 n9 n 7－ n， a n ＋1－ a n ＞ 0，即10 10 ) ＝ (10 ) ·，当 n ＜ 710a n ＋ 1＞a n ；当 n ＝7 ， a n ＋1 － a n ＝ 0，即 a n ＋ 1＝ a n ；当 n ＞ 7 ， a n ＋ 1－ a n ＜ 0，即 a n ＋ 1＜a n .故a 1＜ a 2＜ ⋯ ＜ a 7＝ a 8＞ a 9＞ a 10⋯ ，所以此数列的最大 是第 7 或第 8 ，故B.答案B易 点 4 裂 法乞降搞 节余例 4在数列 { a n } 中， a n ＝ 1 ＋2 ＋ ⋯＋ n，又 b n ＝ 1 ， 数列 { b n } 的前 n 和n ＋ 1 n ＋ 1 n ＋ 1 a n a n ＋1()nnA. 2B.n ＋ 1 2n4n C.n ＋ 1D.n ＋1因剖析 裂 相消后搞 节余 ， 致乞降 ：一般状况下节余的 是 称的，即前方节余的 和后边节余的 是 的．分析由已知得 a ＝1 ＋ 2＋ ⋯＋n＝1n ，nn ＋ 1 n ＋ 1 n ＋ 1 n ＋ 1(1＋ 2＋ ⋯＋ n)＝ 2进而 b n ＝1＝1 ＝4( 1 － 11111n )，所以数列 { b n } 的前 n 和 S n ＝ 4[(1 － )＋ ( －)＋(－ n n ＋1n n ＋ 1n ＋ 1223 3a a2·21) ＋⋯＋( 1－ 1 )]＝ 4(1－ 1 )＝ 4n.故 D.4 n n ＋ 1 n ＋1 n ＋ 1 答案D易 点 5解不等式 形不一样解例 5 解不等式3x － 5x 2＋ 2x －3≥ 2.因剖析 本 易出 的 有两个方面：一是 用不等式的性 直接把不等式化3x －5≥ 2(x 2＋ 2x － 3)求解；二是同解 形 程中忽 分母不 零的限制条件， 致增解．3x－ 5解原不等式可化为x2＋2x－3－2≥0，－2x2－ x＋ 1即2＋ 2x－3≥ 0.x整理得x－x＋≤0，x－x＋不等式等价于x－x＋x－x＋，x－x＋，1解得－ 3＜ x≤－1 或2≤x＜ 1.1所以原不等式的解集为{ x|－ 3＜ x≤－ 1 或2≤x＜ 1} ．易错点 6忽视基本不等式中等号建立条件1例 6 函数 y＝ x＋x－1(x≠ 1)的值域是 ______________________________________ ．错因剖析此题易出现的错误有两个方面：一是不会“凑”，不可以依据函数分析式的特色适合变形凑出两式之积为定值；二是利用基本不等式求最值时，忽视式子的取值范围，直接套用基本不等式求最值．如此题易出现：由y＝ x＋1＝ x－ 1＋1＋ 1≥2x－1＋ 1 x－ 1x－ 1x－ 1＝ 3，得出y∈ [3，＋∞)这一错误结果．分析当 x＞ 1 时， y＝ x＋1＝x－1＋x－ 11x－ 1＋ 1≥2x－1＋1＝3，当且仅当x－ 1x－ 1＝1，即x－ 1x＝ 2 时等号建立；当 x＜1 时，－ y＝－ x＋1＝ 1－ x＋1－ 1 1－ x1－ x≥2－x1－1＝1，即1－ xy≤－ 1，当且仅当1－ x＝1，即1－ xx＝ 0 时等号建立．所以原函数的值域为(－∞，－ 1]∪ [3，＋∞)．答案(－∞，－ 1]∪ [3，＋∞)1． (2015 ·庆重 )在等差数列 { a n} 中，若 a2＝ 4， a4＝ 2，则 a6等于 ()A．－ 1 B．0 C．1 D．62．(2015 ·汉适应性训练武)已知正项等差数列{ a n } 的前 20 项和为 100，那么 a6·a15的最大值是()A．25B． 50C ．100D ．不存在3．已知数列 { a n } 是公差不 0 的等差数列， { b n } 是等比数列，此中 a 1＝ 3， b 1＝1， a 2＝ b 2,3a 5＝ b 3，若存在常数 u ， v 随意正整数 n 都有 a n ＝ 3log u b n ＋ v ， u ＋ v 等于 () A ． 3B ． 6C ．9D ． 124． (2015 江·南十校 考 (二 ))已知数列 { a n } 的通 公式a n ＝ log 3n(n ∈ N * )， 其前 n 和n ＋ 1S n ， 使 S n ＜－ 4 建立的最小自然数 n ()A ．83B ．82C ．81D ．80x ＋y ≥－ 1，5． (2015 湖·南 )若 量 x ，y 足 束条件2x － y ≤1， z ＝3x － y 的最小 ()y ≤1，A ．－ 7B ．－ 1C ． 1D ．26．把一数列挨次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数， 第三个括号内三个数， 第四个括号内一个数，⋯ 循 分 (1)， (3,5)， (7,9,11)， (13)， (15,17)， (19,21,23) ， (25) ， ⋯ ，第 50 个括号内各数之和 ()A ．195B ． 197C ．392D ． 39621 127． (2015 福·建六校 考 ) x ， y ∈ R ，且 xy ≠0， (x ＋ y 2)(x 2 ＋ 4y)的最小 ______．－ ax ＋x，8．已知函数 f(x)＝2(a>0，a ≠ 1)．数列 { a n } 足 a n ＝ f(n)(n ∈ N *)，且x －5xa{ a n } 是 增数列， 数a 的取 范 是 ________．x ≥0，9． (2015 忻·州 考 )不等式x ＋ y ≤3，表示的平面地区Ω，直 y ＝kx －1 与地区 Ω 有y ≥x ＋1公共点， 数 k 的取 范 ________．x 2(a ， b 常数 )且方程 f(x)－ x ＋12＝ 0 有两 根 x 1＝ 3，x 2＝4.10．已知函数 f(x)＝ax ＋ b(1)求函数 f(x)的分析式；k ＋x － k(2) k ＞ 1，解对于 x 的不等式 f(x) ≤.2－ x11．等比数列 { a n} 的公比 q＞ 1，第 17 的平方等于第24 ，求使 a1＋a2＋⋯＋ a n＞1＋1＋⋯a1 a2＋1建立的正整数n 的取范．a n学生用答案精析4．数列、不等式重点回扣2，n＝ 1[1]2n－ 1，n≥2[2]A[3] (1)512(2)109[4]22[5]3，1[6]充足不用要[7]9[8]2 2缺漏1． B[由等差数列的性，得a6＝2a4－ a2＝ 2×2－ 4＝ 0， B.]2． A[由意知 S20＝a1＋ a20×20＝ 100?a1＋a202＝ 5，故 a6＋ a15＝ a1＋ a20＝10，又 { a n} 正2a6＋a152＝ 25.]数列，所以， a6＞ 0， a15＞ 0，所以 a6·a15≤()23．B[等差数列 { a n} 的公差 d，等比数列 { b n} 的公比 q，3＋d＝ q，解得 d ＋ 4d ＝ q2，＝ 6， q＝ 9，所以 a n＝ 6n－ 3， b n＝ 9n－1,6n－ 3＝ 3nlog u9＋v－ 3log u9随意正整数 n 恒建立，所以log u9＝ 2，解得 u＝ v＝ 3，故 u＋v＝6.] v－ 3log u9＝－ 3，n4． C [∵ a n＝ log 3＝log3n－log3(n＋1)，∴S n＝ log 31－ log32＋ log 32－ log33＋⋯＋ log3 n－ log 3(n＋1) ＝－ log3 (n＋ 1)＜－ 4，解得 n＞34－1＝ 80.故最小自然数n 的 81.]x＋ y≥－ 1，5． A [不等式2x－ y≤1，表示的平面地区如，平移直y＝ 3x－ z， M(－ 2,1)，y≤1z min＝ 3×(－ 2)－ 1＝－ 7.应选 A.]6．C [ 将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17 组的第二个括号，即第 50 个括号中应是两个数．又因为每组中含有 6 个数，所以第48 个括号的最末一个数为数列 {2 n－ 1} 的第 16×6＝ 96 项，第 50 个括号的第一个数应为数列{2 n－1} 的第 98项，即为2×98－ 1＝ 195，第二个数为2×99－ 1＝ 197，故第 50个括号内各数之和为195＋ 197＝392.应选 C.] 7． 921122212212＝9，当且仅当221分析 ( x＋ 2 )( 2＋4y )＝1＋4＋4x y ＋ 2 2≥1＋4＋ 2 4x y ·2y 4x y＝22即y x x y x x y 2|xy|＝2时等号建立．8． (4,8)分析∵ { a n} 是单一递加数列，a 4－2>0，a<8，∴a>1，a>1，∴ 4<a<8.－ a2＋4<a2，a<－ 7或 a>4，9． [3，＋∞)分析作出不等式组表示的平面地区如图中暗影部分．直线y＝kx －1 明显经过定点 M(0，－ 1)，由图形直接察看知，当直线 y＝kx－ 1 经过直线y＝ x＋1 和直线 x＋ y＝ 3 的交点C(1,2)时， k 最小，此时 k CM＝2－－＝ 3，1－ 0所以 k≥3.10．解 (1)将 x1＝ 3， x2＝ 4 分别代入方程x2－x＋ 12＝ 0，ax＋ b9＝－ 9，3a ＋ ba ＝－ 1，2得x16?b ＝ 2， 所以 f(x) ＝＝－ 82－ x (x ≠ 2)．4a ＋ bx 2≤ k ＋x －kx 2－ k ＋x ＋ k(2)不等式即为2－ x，可化为2－ x≤0，2－ x即x －x －x － k，x － 2≠ 0.①当 1＜ k ＜ 2 时，解集为 x ∈ [1， k] ∪ (2，＋ ∞)；②当 k ＝ 2 时，解集为 x ∈ [1,2) ∪ (2，＋ ∞)；③当 k>2 时，解集为 x ∈ [1,2) ∪ [k ，＋ ∞)．11．解 由题意，得 (a 1 q 16)2＝ a 1q 23，所以 a 1q 9＝ 1.111又因为数列{ a n }是以a 1 为首项，以 q 为公比的等比数列，要使不等式建立，n－1 [1－1n ]则需a 1 q＞ a 1q2－ 18代入上式并整理，得－ 18 n－ 1)＞q － 11 ，把 a 1＝ qq (q1－q1－ 18 nq n － 1 n19q(1－ n )，即 q (q －1)＞ q ·n ，所以 q ＞ q .因为 q ＞ 1，qq所以 n ＞ 19.故所求正整数 n 的取值范围是n ≥20，n ∈ N *.。