第2部分专题一第4讲 不等式

专题2.1等式与不等式（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 不等式的性质及应用1.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．*(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 2．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． 3．求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时．一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径． 4.不等式性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)． (8)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)．【典例1】（2018·上海高考真题）已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”， ∴“a ＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ．【典例2】（2018·上海曹杨二中高一期末）如果,a b c d >>，则下列不等式成立的是（ ）A.a c b d ->-B.a c b d +>+C.a b d c> D.ac bd >【答案】B 【解析】A 项，当54,31a b c d =>==>=时，2,3a c b d -=-=，则a c b d -<-，故A 项不一定成立； 因为,a b c d >>，两式相加得a c b d +>+，故B 项一定成立；当21,11a b c d =>==>=-时，2,1a bd c =-=，则a b d c<，故C 项不一定成立； D 项，当12,34a b c d =->=-=->=-时，3,8ac bd ==，则ac bd <，故D 项不一定成立；故选：B 【典例3】若,则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 ∵，∴又，∴∴ 故选：D 【特别提醒】考查的命题角度，主要有三个，比较数（式）值的大小、不等式的性质、不等式的性质与其它知识点的交汇．热门考点02 一元二次不等式的解法1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． *2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(1)()()0f x g x ＞()()()0)00(·f x g x ⇔＜＞＜；(2)()()0f x g x ≥ ()0≤⇔()()()0(0)0f x g x g x ≥≤⎧≠⋅⎪⎨⎪⎩3．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【典例4】（（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．详解：由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【典例5】（2018·上海曹杨二中高一期末）若集合{}31,2,3,4,0,1x A B xx R x ⎧⎫-==<∈⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋂=__________；【答案】{}1,2 【解析】 由301x x -<+⇒ (3)(1)0x x -+< ⇒ 13x ，所以}{13,B x x x R =-<<∈， 又因为{}1,2,3,4A =，所以}{1,2A B ⋂=. 故答案为：{}1,2【典例6】（2015·广东高考真题（文））不等式的解集为 ．（用区间表示）【答案】【解析】 由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．【特别提醒】随着学习的深入，对一元二次不等式的解法解法的独立考查，越来越少，往往作为一种工具、技能，与其它知识点交汇考查．热门考点03 一元二次不等式恒成立问题1.一元二次不等式恒成立问题的求解策略 (1)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，b 2－4ac ＜0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.2．一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )＞0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．*(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .*3．一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x 范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．【典例7】若关于x 的不等式222321x x a a -+>--对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】{}13a a -<< 【解析】分析：根据题意可知，只需223x x -+的最小值大于221a a --即可，解不等式即可求出． 详解：因为()2223122y x x x =-+=-+，所以2212a a --<，解得13a -<<.故答案为：{}13a a -<<．【典例8】（2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤， 整理可得：21122a x x ≥-+， 由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥； ②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+， 由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知： 当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【典例9】【2018河南南阳第一中学模拟】已知当11a -≤≤时， ()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是_____________. 【答案】()(),13,-∞⋃+∞【解析】设()()()2244g a x a x x =-+-+，由于()24420x a x a +-+->恒成立，所以()0g a >，因此()()10{ 10g g ->->，整理得22560{ 320x x x x -+>-+>，解得13x x 或，即实数 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.【总结提升】三道例题，分别代表如下类型：（1）一元二次不等式在R 上的恒成立问题 （2）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题． （3）一元二次不等式给定参数范围的恒成立问题.在这三种类型中，转化与化归思想的应用意识要强，要体会具体转化方法的应用热门考点04 绝对值不等式1．绝对值不等式的解法（1）形如|ax ＋b|≥|cx ＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． （2）形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式 ①绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集②|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax ＋b≤c (c>0)， |ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)． 2. 绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．【典例10】（2019·天津高考真题（理））设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B.【典例11】（2019·上海曹杨二中高一月考）若关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为______. 【答案】2a ≤ 【解析】由绝对值不等式的性质可得： 1111112-++=-++≥-++=x x x x x x ， 又关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ， 即11x x a -++≥恒成立； 所以只需2a ≤. 故答案为： 2a ≤【典例12】解下列不等式：（1）343x ->；（2）523x -≤；（3）115x x ++-≤．【答案】(1)17,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）[]1,4（3）55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】分析：根据公式()0x a a x a >>⇔>或x a <-，()0x a a a x a ≤>⇔-≤≤可以解出（1）（2）；利用零点分段法可以解出（3）.详解：（1）343343x x ->⇔->或343x -<-，解得73x >或13x <，所以不等式的解集为17,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）5233253x x -≤⇔-≤-≤，解得14x ≤≤，所以不等式的解集为[]1,4； （3）原不等式等价为1115x x x ≥⎧⎨++-≤⎩ 或11115x x x -<<⎧⎨++-≤⎩ 或()1115x x x ≤-⎧⎨-++-≤⎩解得512x ≤≤或11x -<<或512x -≤≤-，即5522x -≤≤，所以不等式的解集为55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【总结提升】1.绝对值不等式的常用解法有：定义法，公式法，零点分段法，数形结合法，以及平方法.2. 形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点12x a x b ＝和＝的距离之和大于c 的全体，|||||()||.|x a x b x a x b a b ≥－＋－－－－＝－(3)图象法：作出函数12||||y x a x b y c ＝－＋－和＝的图象，结合图象求解．热门考点05 基本（均值）不等式及其应用1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2．条件最值的求解通常有三种方法一是“配凑法”.常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数等，以便于应用基本不等式. 二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 三是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解. *3. 利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． 【典例13】（2019·浙江高考真题）若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b +≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【典例14】（2019·上海交大附中高一期末）已知x ,R y *∈，且满足–20xy x y -=，则x y +的最小值为___________．【答案】3+【解析】分析：由题知2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，再借助基本不等式得最小值． 详解：由题知x ，y ，满足20xy x y --=，则2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，212()()3322x yx y x yx y y x +=++=+++，当且仅当2x =1y =时取到等号．故答案为：3+．【典例15】（2019·江苏高一月考）周长为12的矩形，其面积的最大值为（ ） A.6 B.7C.8D.9【答案】D 【解析】设矩形的长宽分别为 x ，y ， 则2(x +y )=12，化为x +y =6.292x y S xy +⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，当且仅当 x =y =3 时取等号.因此面积的最大值是 9.故选：D.【典例16】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】见解析【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝，∴11+=1+=2+a b b a a a+.同理，11+=2+a b b .∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即1a=b=2时取“＝”．∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立． 【总结提升】1.基本不等式的综合应用求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围． 2. 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．热门考点06．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减 对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称【典例17】（2019·北京临川学校高二期末（文））若函数f(x)＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(－∞，8] B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8，40]【答案】C 【解析】由题意得，函数()2827f x x kx ＝－－图象的对称轴为8kx =，且抛物线的开口向上， ∵函数()2827f x x kx ＝－－在[1,5] 上为单调函数， ∴18k ≤或58k≥， 解得8k ≤或40k ≥，∴实数k 的取值范围是][(),840,∞∞⋃－＋． 故选C ．【典例18】（浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届联考）】设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为______．【答案】 【解析】 去绝对值，利用二次函数的性质可得，在的最大值为，，，中之一，所以可得，， ，，上面四个式子相加可得即有，可得的最小值为．故答案为．【总结提升】1.研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间A 上单调递减(单调递增)，则A ⊆⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a ⎝⎛⎭⎫A ⊆⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞，即区间A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)． 2.二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．热门考点07. 三个“二次”之间的关系（1）关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集；若二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则一元二次不等式f (x )>0或f (x )<0的解集，就是分别使二次函数f (x )的函数值为正值或负值时自变量x 的取值的集合． （2）三个“二次”之间的关系：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式f (x )>0求方程f (x )＝0的解有两个不等的实数解x 1，x 2有两个相等的实数解x 1＝x 2没有实数解或f (x )< 0的步骤画函数y ＝f (x )的示意图得不等式 的解集f (x )>0__{x |x <x 1 或x >x 2}__ {x |x ≠－b2a} Rf (x )<0__{x |x 1<x <x 2}____∅____∅__【典例19】（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考（理））已知函数2()1(0)f x x ax a =++>.（1）若()f x 的值域为[0,)+∞，求关于x 的方程()4f x =的解；（2）当2a =时，函数22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-在[2,1]-上有三个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）3x =-或1x =.（2）(1,2] 【解析】（1）因为()f x 的值域为[)0,+∞，所以()22min 1110242a f x f a a ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭. 因为0a >，所以2a =，则()221f x x x =++.因为()4f x =，所以2214x x ++=，即2230x x +-=， 解得3x =-或1x =.（2）()()()2221g x f x mf x m ⎡⎤=-+-⎣⎦在[]2,1-上有三个零点等价于方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根. 因为()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦，所以()1f x m =+或()1f x m =-. 因为2a =，所以()221f x x x =++.结合()f x 在[]2,1-上的图象可知，要使方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根，则()1f x m =+在[]2,1-上有一个实数根，()1f x m =-在[]2,1-上有两个不等实数根， 即114011m m <+≤⎧⎨<-≤⎩，解得12m <≤.故m 的取值范围为(]1,2.【典例20】（2015·浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】 （1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-.当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--. 【规律总结】一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标．巩固提升1.（2017·浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2．（2019·上海市吴淞中学高一月考）设集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}2|230B x Z x x =∈--<，则()A B =U（ ）A.{}0,1,2,3B.{}5C.{}1,2,4D.{}0,3,4,5【答案】D 【解析】{}{}{}2|230|130,1,2B x Z x x x Z x =∈--<=∈-<<=，所以{}1,2A B =，所以(){}0,3,4,5UA B =，故选：D.3.（2017天津，文2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤⊂≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项.4．（2019·上海曹杨二中高一月考）如果a ，b ，c ，满足c b a <<，且0ac <，那么下列不等式不成立的是（ ） A.ab ac > B.()0c b a ->C.2ab ab <D.()0ac a c -<【答案】C 【解析】因为c b a <<，且0ac <，所以0a >，0c <，因此ab ac >；A 正确； 又0b a -<，所以()0c b a ->；B 正确； 当13b =时，219=b ，此时2ab ab >，C 错误； 因为0a c ->，所以()0ac a c -<；D 正确. 故选：C5．（2018·上海市川沙中学高一期末）若2x =是方程222160x ax b ++-=的解，则ab 的最大值是（ ） A.16 B.12C.8D.4【答案】D 【解析】因为2x =是方程222160x ax b ++-=的解， 所以822160++-=a b ，即4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，当且仅当2a b ==时，取等号. 故选：D6．（2019·上海市吴淞中学高一月考）已知{}|0A x x =≥，{}2|10B x x bx =++=，若AB =∅，则实数b 的取值范围是（ ） A.{}|2b b ≥ B.{}|2b b ≥ C.{}|22b b -<< D.{}|2b b >-【答案】D 【解析】 ∵AB =∅，∴方程210x bx ++= 有两负根或无根，则240b b ⎧-⎨-<⎩ 或240b -<， 解得：2b ≥ 或22b -<<， ∴实数b 的取值范围是{}|2b b >- 故选：D7．已知关于x 的不等式210x x a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】记()21f x x x a =-+-，则原问题等价于二次函数()21f x x x a =-+-的最小值大于或等于0．而()21524f x x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当12x =时，()min 54f x a =-，所以504a -≥，即54a ≥． 故选：D ．8．（2014·全国高考真题（文））不等式组(2)0{1x x x +><的解集为( )A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >【答案】C 【解析】(2)020{{01111x x x x x x x +>-∴∴<<<-<<或，所以不等式的解集为{|01}x x <<9．若关于x 的不等式2162a b x x b a+<+对任意的0a >，0b >恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A.{}20x x -<< B.{|2x x <-或}0x > C.{}42x x -<< D.{|4x x <-或}2x >【答案】C 【解析】因为0a >，0b >，所以161628a b a bb a b a+⋅=（当且仅当4a b =时等号成立），所以由题意，得228x x +<，解得42x -<<，故选：C10.（2019·上海市莘庄中学高一期中）已知,x y R +∈且2xy =,则当x =________时，224x y +取得最小值.【答案】2 【解析】因为2xy =，所以2y x=222222216448x y x x x x ⎛⎫+= =++≥⎝⎭=⎪当且仅当2216x x=，即2x =时，224x y +取得最小值. 故答案为：211.（2018·上海高一期末）设{}2=320A x x x -+≤，(]=,B n -∞，如果AB =∅，则实数n 的取值范围是_________. 【答案】1n < 【解析】 由题知,{}12A x x =≤≤{}B x x n =≤,A B =∅,∴ 作图如下：由图得,n<1. 故答案为：n<112．（2019·上海闵行中学高一期中）若关于x 的不等式0x bx a-<-的解集是(2,3)，则a b +=________ 【答案】5 【解析】 因为不等式0x bx a-<-的解集是(2,3) 即2,3x x ==是方程()()0x b x a --=的解 所以2,3b a ==或2,3a b == 则5a b += 故答案为:513.（2019·海南高一期中）设0x >，0y >，且18x y +=，则xy 的最大值为_______. 【答案】81 【解析】0x ，0y >，2x yxy +∴≥ 即2812x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当9x y ==时等号成立，()max 81xy ∴=. 故答案为：8114．（2020·山东省微山县第一中学高一月考）已知函数2()2(1)4f x x k x =+-+.（1）若函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性，求实数k 的取值范围; （2）若()0f x >对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）(,3][1,)-∞-⋃-+∞（2）()1,3-【解析】（1）由函数2()2(1)4f x x k x =+-+知，函数()f x 图象的对称轴为1x k =-.因为函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性，所以12k -≤或14k -≥，解得3k ≤-或1k ≥-，所以实数k 的取值范围为(,3][1,)-∞-⋃-+∞.（2）解法一：若()0f x >对—切实数x 都成立，则∆<0，所以24(1)160k --<，化简得2230k k --<，解得13k -<<，所以实数k 的取值范围为()1,3-.解法二：若()0f x >对一切实数x 都成立，则min ()0f x >， 所以2min 164(1)()04k f x --=>， 化简得2230k k --<， 解得13k -<<，所以实数k 的取值范围为()1,3-.15.（2019·上海市吴淞中学高一月考）已知全集U =R ，集合{}2|340A x x x =+-≤，{}|11B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =，求()U A B ；（2）若B A ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）(){}|40U B A x x =-≤<；（2）[]3,0- 【解析】（1）若1m =，则{}|02B x x =≤≤，所以{|0U B x x =<或}2x >，又因为{}|41A x x =-≤≤，所以(){}|40U B A x x =-≤< .（2）由（1）得，{}|41A x x =-≤≤，又因为B A ⊆，所以1411m m -≥-⎧⎨+≤⎩ ，解得[]3,0m ∈-. 16．（2019·上海曹杨二中高一月考）若关于x 的不等式()()21120k x k x -+-+>的解集为R ，求k 的取值范围.【答案】[)1,9【解析】当10k -=，即1k =时，原不等式可化为20>，显然恒成立，满足题意；当10k -≠，即1k ≠时，由不等式()()21120k x k x -+-+>的解集为R ， 可得：()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，即1(1)(9)0k k k >⎧⎨--<⎩，解得：19k <<. 综上，k 的取值范围是[)1,9.。

2023年初高中衔接素养提升专题课时检测第五讲常见不等式的解法（精练）（解析版）（测试时间60分钟）一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2022·四川巴中高一专题检测）不等式2320x x -+-≥的解集是（）A ．2x >或1x <B ．2x ≥或1x ≤C ．12x ≤≤D ．12x <<【解析】由2320x x -+-≥，可得；2320(1)(2)0x x x x -+≤⇒--≤，所以原不等式的解集为12x ≤≤。

【答案】C2．（2023·江西萍乡高一专题检测）关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为－1<x <2，则关于x 的不等式bx 2－ax －2>0的解集为()A ．－2<x <1B ．x >2或x <－1C ．x >1或x <－2D ．x <－1或x >1【答案】C【解析】∵ax 2＋bx ＋2>0的解集为－1<x <2，－b a＝1，＝－1，＝1，∴bx 2－ax －2>0，即x 2＋x －2>0，解得x >1或x <－2.3．t(x)|1t <x <t|x >1t 或x <t |x <1t 或x >t |t <x <1t 【答案】D【解析】[t ∈(0,1)时，t <1t，∴解集为|t <x <1t 4．（2022·河北保定高一专题检测）一元二次不等式kx2+2（2k +1）x+9＞0对一切实数x 恒成立，则k 的取值范围是（）A ．（0，1）BC ．D ．（0，+∞）【解答】解：设f （x ）＝kx 2+2（2k +1）x +9，当k ＝0时，f （x ）＝2x +9＞0，解得，不合题意；当k ≠0时，则，解得；综上，实数k ．故选：B．5．(2019·大纲全国卷)不等式|x 2－2|＜2的解集是()A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－2,0)∪(0,2)【解析】由|x 2－2|＜2，得－2＜x 2－2＜2，即0＜x 2＜4，所以－2＜x ＜0或0＜x ＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．【答案】D6.（2022·江苏无锡高一专题检测）不等式的解集是（）Ａ.{}1|<x x Ｂ.{}1|-<x x Ｃ.{}12|<<-x x Ｄ.{}21|-<>x x x 或【解答】C【解析】先将原不等式化为，即，化简得，即，解得，故选C.7.（2022·四川巴中高一专题检测）不等式2601x x x ---的解集为（）A. B.C. D.【解答】C【解析】原不等式可化为，即，解得或，故选C.二、填空题8．（2021·江苏·淮阴中学新城校区一模）抛物线2y ax bx c =++的部分图像如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集为______．【答案】x ＜-3或x ＞1解：∵二次函数y =ax 2+bx +c 的对称轴为直线x =-1，该抛物线与x 轴的一个交点为（1，0），∴该抛物线与x 轴的另一个交点为（-3，0）又∵抛物线开口向上∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是x ＜-3或x ＞1．故答案为：x ＜-3或x ＞1．9．（2022·银川二中高一专题检测）关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为{}|12x x <<，则不等式5bx a +>的解集为__________．【答案】()(),41,-∞-⋃+∞【解析】∵不等式20x ax b -+<的解集为{}|12x x <<∴1x =或2是方程20x ax b -+=的解，即3a =，2b =，∴23bx a x +=+∵5bx a +>∴235x +<-或235x +>∴4x <-或1x >∴不等式5bx a +>的解集为()(),41,-∞-⋃+∞，故答案为()(),41,-∞-⋃+∞三、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11.（2022·银川二中高一专题检测）求下列不等式的解集.（1）23520x x +-≤；（2）28141804x x -+-≥；（3）22320x x -+-<；（4）213502x x -+->.【解析】（1）因为()()2352231x x x x +-=+-，所以原不等式等价于()()2310x x +-≤，解得123x -≤≤，所以原不等式的解集为123x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）原不等式可化为28141804x x -+≤,配方得29202x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭,又29(202x -≥,所以29(2)02x -=,解得94x =，所以原不等式的解集为94x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.（3）原不等式可化为22320x x -+>，因为22372322048x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立，所以原不等式的解集为R .（4）原不等式可化为26100x x -+<，因为()22610310x x x -+=-+>恒成立，所以原不等式无解，即原不等式的解集为∅.12.（2022·甘肃天水高一专题检测）.解下列不等式（1）32x x -<（2）22(712)(6)0x x x x -+--<（3）310(2)(3)x x x -≥+-【解析】：：（1）2230x x x--<(1)(3)0x x x ⇒+-<103x x ⇒<-<<或，所以原不等式的解集为{|103}x x x <-<<或．（2）(3)(2)(3)(4)0x x x x +--->，所以原不等式的解集为{|3234}x x x x <-<<>或或．（3）2(1)(1)0(2)(3)x x x x x -++≥+-(2)(1)(3)023x x x x x +--≥⎧⇒⎨≠-≠⎩且所以原不等式的解集为{|213}x x x -<≤>或．。

第4讲 利用导数证明不等式直接将不等式转化为函数的最值[典例引领](2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x . (1)讨论f (x )的单调性； (2)当a <0时，证明f (x )≤－34a－2. 【解】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝（x ＋1）（2ax ＋1）x .当a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0，则当x ∈(0，－12a )时，f ′(x )>0；当x ∈(－12a ，＋∞)时，f ′(x )<0.故f (x )在(0，－12a )上单调递增，在(－12a，＋∞)上单调递减．(2)证明：由(1)知，当a <0时，f (x )在x ＝－12a 取得最大值，最大值为f (－12a )＝ln(－12a )－1－14a. 所以f (x )≤－34a －2等价于ln(－12a )－1－14a ≤－34a －2，即ln(－12a )＋12a ＋1≤0.设g (x )＝ln x－x ＋1，则g ′(x )＝1x －1.当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0.所以当x >0时，g (x )≤0.从而当a <0时，ln(－12a )＋12a ＋1≤0，即f (x )≤－34a－2.将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间的单调性，直接求得函数的最值，然后由f (x )≤f (x )ma x 或f (x )≥f (x )min 直接证得不等式．将不等式转化为两个函数的最值进行比较[典例引领]已知f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x 成立．【解】 (1)由f (x )＝x ln x ，x >0，得f ′(x )＝ln x ＋1， 令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ①当0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e； ②当1e ≤t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t .所以f (x )min＝⎩⎨⎧－1e ，0<t <1et ln t ，t ≥1e.(2)证明：问题等价于证明x ln x >x e x －2e (x ∈(0，＋∞))．由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e 时取到．设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－xex ，由m ′(x )<0得x >1时，m (x )为减函数， 由m ′(x )>0得0<x <1时，m (x )为增函数，易知m (x )ma x ＝m (1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到．从而对一切x ∈(0，＋∞)，x ln x ≥－1e ≥x e x －2e ，两个等号不同时取到，即证对一切x ∈(0，＋∞)都有ln x >1e x －2e x成立．在证明的不等式中，若对不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可以借助两个函数的最值进行证明．构造函数证明不等式[典例引领](2016·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1＜x －1ln x ＜x ；(3)设c ＞1，证明当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x ＞c x .【解】 (1)由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0解得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ＞1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． (2)证明：由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x ＜x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x ＜x －1，ln 1x ＜1x －1，即1＜x －1ln x＜x .(3)证明：由题设c ＞1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x ， 则g ′(x )＝c －1－c x ln c ，令g ′(x )＝0， 解得x 0＝ln c －1ln cln c.当x ＜x 0时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；当x ＞x 0时， g ′(x )＜0，g (x )单调递减．由(2)知1＜c －1ln c ＜c ，故0＜x 0＜1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0＜x ＜1时，g (x )＞0.所以当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x ＞c x .若证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，如果能证明h (x )在(a ，b )上的最大值小于0，即可证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b )．赋值法证明正整数不等式[典例引领]若函数f (x )＝e x －ax －1(a >0)在x ＝0处取极值． (1)求a 的值，并判断该极值是函数的最大值还是最小值； (2)证明1＋12＋13＋…＋1n>ln(n ＋1)(n ∈N *)．【解】 (1)因为x ＝0是函数极值点，所以f ′(0)＝0， 所以a ＝1.f (x )＝e x －x －1，易知f ′(x )＝e x －1.当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0， 故极值f (0)是函数最小值． (2)证明：由(1)知e x ≥x ＋1.即ln(x ＋1)≤x ，当且仅当x ＝0时，等号成立， 令x ＝1k(k ∈N *)，则1k>ln ⎝⎛⎭⎫1＋1k ，即1k >ln 1＋kk ， 所以1k >ln(1＋k )－ln k (k ＝1，2，…，n )，累加得1＋12＋13＋…＋1n>ln(n ＋1)(n ∈N *)．(1)函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n 的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少2个问号，已知的不等式常由第一个问号根据待证式的待征而得到．(2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如e x >x ＋1可化为ln(x ＋1)<x 等．利用导数证明不等式成立问题的常用方法(1)直接将不等式转化成某个函数最值问题：若证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )<0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，同时若F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )<0，即证明了f (x )<g (x )．(2)将待证不等式转化为两个函数的最值进行比较证明：在证明不等式中，若待证不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可借助两个函数的最值证明，如证f (x )≥g (x )在D 上成立，只需证明f (x )min ≥g (x )ma x 即可．(3)若所证函数不等式通过移项后构成新函数的最值易求，可直接通过移项构造函数证明． 构造函数法证明不等式步骤如下：①作辅助函数h (x )，一般取不等号两端的函数之差或之商为辅助函数；②对h (x )求导，并确定h ′(x )在区间上的符号；③判断h (x )的单调性；④求出h (x )在所给区间上的极值；⑤根据函数单调性或极值的符号证明所需证明的不等式．若所证不等式两边关于某一变量的关系式的构成比较复杂，直接构造函数后不易求导数或所求导数式不易研究函数性质，可先换元后再求解．1．(2018·安徽模拟)已知f (x )＝ln x x ，则( )A ．f (2)>f (e)>f (3)B ．f (3)>f (e)>f (2)C ．f (3)>f (2)>f (e)D ．f (e)>f (3)>f (2)解析：选D.f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝1－ln xx 2，令f ′(x )＝0，得x ＝e. 所以当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故x ＝e 时，f (x )ma x ＝f (e)＝1e ，而f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 96，所以f (e)>f (3)>f (2)．故选D.2．若0<x 1<x 2<1，则( ) A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1>x 1e x 2D ．x 2e x 1<x 1e x 2解析：选C.令f (x )＝e xx ，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x （x －1）x 2.当0<x <1时，f ′(x )<0，即f (x )在(0，1)上单调递减，因为0<x 1<x 2<1， 所以f (x 2)<f (x 1)，即e x 2x 2<e x 1x 1，所以x 2e x 1>x 1e x 2，故选C. 3．设函数f (x )＝e 2x －a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －ax (x ＞0)．当a ≤0时，f ′(x )＞0，f ′(x )没有零点； 当a ＞0时，设u (x )＝e 2x ，v (x )＝－ax，因为u (x )＝e 2x 在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－ax 在(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )＞0，当b 满足0＜b ＜a 4且b ＜14时，f ′(b )＜0，故当a ＞0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)． 由于2e2x 0－ax 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a .故当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.4．(2018·贵州适应性考试)已知函数f (x )＝x ln x ＋ax ，a ∈R ，函数f (x )的图象在x ＝1处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直． (1)求a 的值和函数f (x )的单调区间； (2)求证：e x >f ′(x )．解：(1)由题易知，f ′(x )＝ln x ＋1＋a ，x >0，且f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率k ＝2，所以f ′(1)＝ln 1＋1＋a ＝2，所以a ＝1. 所以f ′(x )＝ln x ＋2， 当x >e －2时，f ′(x )>0， 当0<x <e －2时，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为(e －2，＋∞)，单调递减区间为(0，e －2)． (2)证明：设g (x )＝e x －f ′(x )＝e x －ln x －2，x >0， 因为g ′(x )＝e x －1x 在(0，＋∞)上单调递增，且g ′(1)＝e －1>0，g ′(12)＝e 12－2<0， 所以g ′(x )在(12，1)上存在唯一的零点t ，使得g ′(t )＝e t －1t ＝0，即e t ＝1t (12<t <1)．当0<x <t 时，g ′(x )<g ′(t )＝0，当x >t 时，g ′(x )>g ′(t )＝0， 所以g (x )在(0，t )上单调递减，在(t ，＋∞)上单调递增，所以x >0时，g (x )≥g (t )＝e t －ln t －2＝1t －ln 1e t －2＝t ＋1t －2≥2－2＝0，又12<t <1，所以上式等号取不到，所以g (x )>0，即e x >f ′(x )．1．已知函数f (x )＝a ln x ＋b （x ＋1）x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2.(1)求a ，b 的值；(2)当x >0且x ≠1时，求证：f (x )>（x ＋1）ln xx －1.解：(1)函数f (x )＝a ln x ＋b （x ＋1）x 的导数为f ′(x )＝a x －bx 2，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2， 可得f (1)＝2b ＝2，f ′(1)＝a －b ＝0，解得a ＝b ＝1.(2)证明：当x >1时，f (x )>（x ＋1）ln xx －1，即为ln x ＋1＋1x >ln x ＋2ln xx －1，即x －1x－2ln x >0，当0<x <1时，f (x )>（x ＋1）ln xx －1，即为x －1x－2ln x <0，设g (x )＝x －1x －2ln x ，g ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝（x －1）2x 2≥0，可得g (x )在(0，＋∞)上递增， 当x >1时，g (x )>g (1)＝0， 即有f (x )>（x ＋1）ln xx －1，当0<x <1时，g (x )<g (1)＝0， 即有f (x )>（x ＋1）ln xx －1.综上可得，当x >0且x ≠1时，f (x )>（x ＋1）ln xx －1都成立．2．已知函数f (x )＝ln(x ＋a )－x 2－x 在x ＝0处取得极值． (1)求实数a 的值；(2)证明：对于任意的正整数n ，不等式2＋34＋49＋…＋n ＋1n 2>ln(n ＋1)都成立．解：(1)因为f ′(x )＝1x ＋a－2x －1， 又因为x ＝0为f (x )的极值点． 所以f ′(0)＝1a －1＝0，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)－x 2－x .因为f ′(x )＝1x ＋1－2x －1＝－x （2x ＋3）x ＋1. 令f ′(x )>0得x <0.当x 变化时，f (x )，f ′(x )变化情况如下表．令x ＝1n ，则ln ⎝⎛⎭⎫1n ＋1<⎝⎛⎭⎫1n 2＋1n ， 即ln n ＋1n <n ＋1n2，所以ln 21＋ln 32＋…＋ln n ＋1n <2＋34＋…＋n ＋1n 2.即2＋34＋49＋…＋n ＋1n 2>ln(n ＋1)．。

第2章 不等式考点解读1.不等式的性质（1）实数的大小比较与实数运算性质之间的关系0a b a b >⇔->；0a b a b <⇔-<；0a b a b =⇔-=（2）不等式的基本性质性质1.（传递性）如果,a b b c >>，那么a c > 性质2.（加法性质）如果a b >，那么a c b c +>+性质3.（乘法性质）如果a b >，0c >，那么ac bc >；如果a b >，0,c <那么ac bc < （3）从不等式的基本性质出发，还可以得到哪些有用的推论？推论1. ,a b c d a c b d >>+>+如果那么； 推论2. ,a b c d a c b d ><->-如果那么 推论3. 0,0a b c d ac bd >>>>>如果那么； 推论4. 110,a b a b>><如果那么 推论5. 0,0a ba b d c c d>>>>>如果那么； 推论6. *0,()n n a b a b n N >>>∈如果那么 推论7. 110,nna b a b >>>如果那么*(,1)n N n ∈>（4）如何比较不等式的大小？①作差法 ②作商法2. 解不等式 （1）一元一次不等式的解集的讨论： 2.不等式的性质（1）不等式ax b >的解集：当0a >时，解集为{|}bx x a >；当0a <时，解集为{|}b x x a<； 当0a =且0b <时，解集为R ；当0a =且0b ≥时，解集为∅. （2）一元二次不等式的解集的讨论：一元二次不等式解集如表所示：（当方程方程2+0ax bx c +=的两个不相等的实根时，不妨设为12,x x ，且12x x <）判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<2y ax bx c =++()0a >的图像20ax bx c ++=()0a >的根有两相异实根12,x x ()12x x <有两相等实根122bx x a==-没有实根20ax bx c ++>()0a >的解集{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20ax bx c ++<()0a >的解集{}12x xx x <<∅ ∅【总结】 不等式证明的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法； （4）平方法；（5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法 ； （8）图象法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.（3）分式不等式的解法同解变形法（分式不等式⇔整式不等式⇔一次、二次不等式）①() ()()()()()()()()0000f x f xf xg x f x g xg x g x><><（或）与·或·同解；②()()()()00f x f xg x g x⎛⎫⎪⎪⎝⎭≥或≤与不等式组()()()()()()0000f xg x f x g xg x g x⎛⎫⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪≠≠⎪⎪⎩⎩⎝⎭·≥·≤或同解.（4）一元高次不等式的解法——标根法其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x的符号变化规律，写出不等式的解集.若naaaa<<<<Λ321，则不等式0)())((21>---naxaxaxΛ或0)())((21<---naxaxaxΛ的解法如下图（即“数轴标根法”）：（5）绝对值不等式的解法方法一：应用分类讨论思想去绝对值（最后结果应取各段的并集）；方法二：应用数形结合思想；方法三：应用化归思想等价转化.①最简单的绝对值不等式的同解变形,x a a x a<⇔-<<；,ax b c c ax b c+<⇔-<+<；x a x a>⇔<-或,x a>；cbaxcbax-<+⇔>+或,ax b c+>.②关于绝对值不等式的常见类型有下列的同解变形()()()()()f xg x g x f x g x≤⇔-≤≤；()()()()f xg x f x g x≥⇔≤-或()()f xg x≥；22()()()()f xg x f x g x≤⇔≤.【提醒】标根法主要用于简单的一元高次不等式题型，因为上海高考不作要求，可以简单的了解.（5）含参不等式的解法求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”3.常用的基本不等式（1）如果,a b R ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a =b 时等号成立）； （2）如果,a b R +∈，那么ba +≥ab （当且仅当a =b 时等号成立）.（1）比较法 ①作差比较法 A.理论依据0a b a b ->⇔> 0a b a b -=⇔= 0a b a b -<⇔<B.证明步骤：I:作差：对要比较大小的两个数（或式）作差；II ：变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和； III ：判断：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.②作商比较法 A.理论依据当a b R +∈，时, 1,1,1a a aa b a b a b b b b>⇔><⇔<=⇔=. B.证明步骤：I:判断（判断能否作商）；II ：作商；III ：变形；IV: 下结论. （2）综合法证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法（由因导果）. （3）分析法从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆（执果索因）.2.1不等式的基本性质例题精讲【例1】（1）设x 、y 是不全为零的实数，试比较222y x +与xy x +2的大小；（2）设c b a ,,为正数，且1222=++c b a ，求证：3)(2111333222≥++-++abc c b a cb a . 【参考答案】（1）解法1：222222243)2()(2y y x xy y x xy x y x +-=-+=+-+ 因为x 、y 是不全为零的实数，所以043)2(22>+-y y x ，即xy x y x +>+2222 解法2：当0<xy 时， 22222y x x xy x +<<+；当0>xy 时，作差：02)(222222>=-≥-+=+-+xy xy xy xy y x xy x y x ； 因为x 、y 是不全为零的实数，所以当0xy >时，xy x y x +>+2222． 综上，xy x y x +>+2222（2）证明：当c b a ==时，取得等号3． 作差比较：3)(2111333222-++-++abc c b a c b a =3)(2333222222222222-++-++++++++abc c b a c c b a b c b a a c b a=222222222222111111()()()2()a b c a b c b c a c a b bc ac ab+++++-++ =0)11()11()11(222222>-+-+-ba c ac b cb a所以，3)(2111333222≥++-++abc c b a cb a 【例2】已知41,145ac a c -≤-≤--≤-≤,试求9a c -的取值范围． 【参考答案】把9a c -用a c -，4a c -来表示，再利用a c -，4a c -的范围得出9a c -的取值范围．1[(4)()]3a a c a c =---1[(4)4()]3c a c a c =---∴9a c -=3[(4)()]a c a c ----1[(4)4()]3a c a c ---85(4)()33a c a c =---由已知得8840-(4)333a c ≤-≤，5520()333a c ≤--≤∴85-1(4)()2033a c a c ≤---≤，即1920a c -≤-≤注意:这类题的常见错误是,由41441a c a c -≤-≤-⎧⎨-≤-≤⎩,从而得: 03a ≤≤,17c ≤≤,所以: 7926a c -≤-≤，即: 7(3)26f -≤≤,错误根源在于,a b c d ≥≥是a b b c -≥-充分但不是必要条件,因此必须从考虑9a c -与a c -,4a c -的关系去解此题.过关演练1. 若c b a >>，则一定成立的不等式是（ ）.A c b c a > .B ac ab > .C c b c a ->- .D cb a 111<< 2. 已知：,,0a b e f c >>>，求证：bc e ac f --＜． 3. 已知11a -<<，比较1a -和11a+的大小． 4. 对于实数c b a ,,，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若； ⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦bc ba c ab ac ->->>>则若,0； 其中正确的命题是 .5. 已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是 .6. 若11αβ-<<<，则下面各式中成立的是（ ）.A 20αβ-<-< .B 21αβ-<-<- .C 10αβ-<-< .D 11αβ-<-<7. 设a 和b 都是非零实数，求不等式b a >和ba 11>同时成立的充要条件．8. 下列几个不等式中（1）22a b a a b b +>+ （2）222211b b a a +>+ （3）11a b a b+>+ （4）a b a a > 其中恒成立的不等式个数是（ ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 39. 若a < b <0，则下列结论中正确的是 （ ）.A 不等式||1||111b a b a >>和均不成立 .B 不等式||1||111b a a b a >>-和均不成立 .C 不等式22)1()1(11a b b a a b a +>+>-和均不成立 .D 不等式22)1()1(||1||1ab b a b a +>+>和均不成立 10. 若二次函数)(x f 的图像关于y 轴对称，且2)1(1≤≤f ，4)2(3≤≤f ，求)3(f 的范围． 11. 已知c b a >>，且,0=++c b a 求ac的取值范围．2.2一元二次不等式的解法 例题精讲【例1】解关于x 的不等式2(2)20mx m x +-->,并写出解集【参考答案】m =0时，不等式为-2x-2>0,不等式的解集为--1∞（，）； m ≠0时，可得2)(1)0,m x x m +>(-若m>0,则201m >>-, 此时不等式的解集为2--1+m∞⋃∞（，）（，） 若m<0,则不等式同解于不等式2)(1)0x x m+<(- 当-2<m<0时，不等式的解集为2-1m （，）；当m<-2时不等式的解集为2-m （1，）； 当m=-2时，不等式的解集为∅．注意：对字母m 分类讨论时，先要讨论二次项的系数，以区分是一次不等式还是二次不等式，还要注意化简后不等式的同解形式．【例2】有一批影碟机(DVD)原售价为800元,在甲,乙两家商场均有销售,甲商场用如下方法促销,买一台单价为国为780元,买两台单价为760元,依此类推,每多买一台,则所买各台单价均减少20元,但每台最低不能低于440元,乙商场一律都按原价75%销售,某单位需购买一批此类影碟机,应去哪家商场购买?【参考答案】设此单位需购买x 台影碟机,在甲商场购买共需花费1y 元,在乙商场购买共需花费2y ,由题意, 80020440,18x x -≥∴≤*1*(80020),118,440,18,x x x x N y x x x N⎧-≤≤∈⎪=⎨>∈⎪⎩ *280075%600,1,y x x x x N =⨯=≥∈,设此单位在甲,乙两家商场购货的差价为y,则2*21*(80020)60020020,118,440600,18,x x x x x x x N y y y x x x x N⎧--=-≤≤∈⎪=-=⎨->∈⎪⎩ 当118x ≤≤时,由220020y x x =->0得:0<x<10, 所以*110,x x N ≤<∈;由220020y x x =-=0得x=10,由220020y x x =->0得x>10, 所以*1018,x x N <≤∈;当x >18时,y <0答:若购买少于10台影碟机,则应去乙商场购买,若买10台,去甲乙均可,若购买超过计划10台,则应去甲商场购买.过关演练1. 若不等式022<+-a bx x 的解集为}51|{<<x x ，则a 为 .2. 求下列不等式的解集：⑴解不等式22350x x -++>；⑵解不等式24410x x -+>；⑶解不等式2230x x -+->.3.已知关于x 的不等式(1)(1)0ax x -+<的解集是()1,1,a ⎛⎫-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围. 4. 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．5. 关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,2)-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 .6. 已知关于x 的不等式组2122kx x k ≤++≤有唯一实数解，则实数k 的取值集合是 .7. 对于任意实数x ，不等式22(2)0ax ax a +-+<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） .A 10a -≤≤.B 10a -≤< .C 10a -<≤ .D 10a -<<8. a 为实数，关于x 的二次方程27(13)220x a x a -+++=有两个实数根分别介于0与1之间以及1与2之间，求a 的取值范围．9. 解不等式: ()()220x ax --> ．10. 如果集合2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围是 .11. 111222,,,,,a b c a b c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为集合M 和N ，那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（ ） .A 充分非必要条件.B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分又非必要条件12. 函数()2(2)2(2)4f x a x a x =-+--，若()1,3x ∈时，()7f x mx <-恰成立，求,a m 的值．13. 关于x 的方程2(1)10x m x +-+=在区间()0,2上有实根，求实数m 的取值范围． 14. 若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，求x 的取值范围．15. 某公园举办雕塑展览吸引着四方宾客，旅游人数x 与人均消费t （元）的关系如下： 121600(1050,)61300(50200,)t t t x t t t -+≤≤∈⎧=⎨-+<≤∈⎩N N , （1）若游客客源充足，那么当天接待游客多少人时，公园的旅游收入最多？（2）若公园每天运营成本为5万元（不含工作人员的工资），还要上缴占旅游收入20%的税收，其余自负盈亏．目前公园的工作人员维持在40人．要使工作人员平均每人每天的工资不低于100元，并维持每天正常运营（不负债），每天的游客人数应控制在怎样的合理范围内？（注：旅游收入=旅游人数×人均消费）2.3其他不等式的解法 例题精讲【例1】k 为何值时，下式恒成立：13642222<++++x x k kx x 【参考答案】原不等式可化为：0364)3()26(222>++-+-+x x k x k x ，而03642>++x x ∴原不等式等价于0)3()26(22>-+-+k x k x由0)3(24)26(2<-⨯⨯--=∆k k 得1< k <3【例2】解不等式210.122x x --< 【参考答案】这个绝对值不等式的绝对值符号内是一个分式，若先去绝对值符号，就变成一个形式上是分式的不等式：210.10.122x x --<-<，这样就为解题制造了障碍，但是如果我们不急于去绝对值符号，而是先将绝对值符号内的表达式进行化简，就可以得到212212222x x x x x x x -----===-． 所比不等式的解集为{}1010x x x ><-或【例3】若不等式()11m x x ≤++-的解集为全集，求实数m 的求值范围．【参考答案】利用绝对值和的几何意义求解简捷、快速．2m ≤本题是一道恒成立问题，分离常数后，转化为求最小值问题．过关演练1. 若x R ∈，则()()110x x -+>的解集是（ ）.A {}01x x ≤< .B {0x x <且1}x ≠- .C {}11x x -<< .D {1x x <且1}x ≠- 2. 不等式2601x x x ---＞的解集为 （ ） .A {}23x x x <->或 .B {}23x x x <-<<或1.C {}213x x x -<<>或 .D {}213x x x -<<<<或1 3. 求下列不等式的解集：⑴解不等式4321x x ->+；⑵解不等式22xxx x >++；⑶解不等式4|23|7x <-≤； ⑷解不等式123x x ->-； ⑸解不等式125x x -++<．4. 若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围．5. 解关于x 的不等式：242mx m x +<+．6. 不等式242+<-x x 的解集为 .7. 已知关于x 的不等式23x x m -+-<的解集为非空集合，则实数m 的取值范围是（）.A 1m < .B 1m ≤ .C 1m > .D 1m ≥8. 若不等式102x m x m -+<-成立的一个充分非必要条件是1132x <<，则实数m 的取值范围是（ ） .A 14,,43⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .B 14,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .C 13,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .D 以上结论都不对 9. 已知关于x 的不等式21<++ax x 的解集为P ，若P ∉1，则实数a 的取值范围为（ ） .A ),0[]1,(+∞--∞Y .B ]0,1[- .C ),0()1,(+∞--∞Y .D ]0,1(-10. 设全集U R =，解关于x 的不等式： 110x a -+->()x R ∈.11. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥．12. 设关于x 的不等式4|4|2+≤+-x m x x 的解集为A ，且A A ∉∈2,0，则实数m 的取值范围是 . 13. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->|22|330xx x x x 的解集是（ ） .A {|02}x x <<.B {|0 2.5}x x << .C {|0x x <<.D {|03}x x << 14. 对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）.A 3k < .B 3k <- .C 3k ≤ .D 3k ≤-15.2x <+.16. 解关于x 的不等式(1)1(1)2a x a x ->≠-. 17. 已知关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为M ． (1) 当1=a 时，求集合M ；(2) 当M M ∉∈53且时,求实数a 的范围．2.4基本不等式及其应用例题精讲【例1】已知54x <，求541-+x x 的最大值. 【参考答案】45)45(41)45(541+-+-=-+x x x x ，由于54x <，045<-x ， 所以1)45(41)45(-≤-+-x x ，4145)45(41)45(≤+-+-x x ， 当且仅当)45(4145-=-x x 即43=x 时取等号. 【例2】求2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值. 【参考答案】方法一：当1->x 时，9514114)1(5)1(110722≥++++=+++++=+++x x x x x x x x ， 当且仅当111+=+x x 即1=x 时取等号. 方法二：设)0(1>+=t x t ，则1-=t x ，原式9544510)1(7)1(22≥++=++=+-+-=tt t t t t t t 当且仅当tt 4=即1,2==x t 时取等号.【例3】某村计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，当矩形室的变长各为多少时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积时多少？【参考答案】温室左侧变长2max 40,20,648a m b m S m ===过关演练1. 已知3>x ，则6211-++x x 的最小值是 . 2. 已知,,9a b R ab +∈=，则a b +的最小值是 .3. 下列不等式一定成立的是 （ ）.A xy y x 2≥+ .B 21≥+x x .C xy y x 222≥+ .D xyxy y x 12≥+ 4. 已知,,,a b c R ∈求证222a b c ab bc ca ++≥++.5. 为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x 万件与投入技术改革费用m 万元(m ≥0)满足31k x m =-+ (k 为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2010年该产品的利润y 万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m 万元的函数；(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？6. 已知0,0x y >>，且191x y+=，则x y +的最小值为 . 7. 已知0,0a b >>，以下三个结论：①22ab a b a b +≤+，②2222a b a b ++≤ ③22b a a b a b+≥+，其中正确的个数是( ) .A 0 .B 1.C 2 .D 38. 已知b a ,为正实数，302=++a ab b ，求函数ab y 1=的最小值.9. 已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(),x a ∈+∞上恒成立，求实数a 的最小值.10. 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m 2，问x 、y 分别为多少时用料最省？（精确到0.001m ）x y11. 已知1,0>>y x ，且2)1(=-y x ， 则y x +2的最小值为 . 12. xzy z y x R z y x 2,032*,,,=+-∈的最小值为 . 13. 1,0,=+>y x y x ，且a y x ≤+恒成立, 则a 的最小值为（ ）A .22 B .22 C .2 D .2 14. 已知a 、b 、()0,c ∈+∞且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 15. 三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ++-ax ≥在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求出a 的取值范围.2.5不等式的证明例题精讲【例1】设,,a b R ∈求证：221a b ab a b +++>+．【参考答案】()22222211()221212a b ab a b a ab b a a b b +++-+=+++-++-+Q ()()()22211102a b a b ⎡⎤=++-+->⎣⎦ 221a b ab a b ∴+++>+【例2】已知0,0a b >>，求证：1111222222a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ． 【参考答案】（分析法）要证明1111222222a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于0,0a b >>所以11220a b > 只需要证明111122221122a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即证 331111222222a b a b a b ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭即证 1111111122222222a b a a b b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+≥+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即证1122a a b b -+1122a b ≥，即证211220a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ 211220a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭显然成立，所以原不等式成立．过关演练1. 求证：（1）()()221x x x +<+；（2）设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >.2. 已知0=++c b a ，求证： 0ab bc ca ++≤.3. 3725<.4. 已知,,a b m 都是正数，并且a b <，求证：a m ab m b +>+. 5. 设,,,,a b x y R ∈且22221,1,a b x y +=+=试证：||1ax by +≤.6. 实数,,x y z 满足1xy yz zx ++=-,求证：222584x y z ++≥.7. 已知正数a 、b 、c 满足2a b c +<，求证：22c c ab a c c ab -<<-8. 设a ＞0，b ＞0，求证： 111122222a b a b b a 2⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.9. 已知a 、b 、c 为正实数，1a b c ++=.求证：(1) 22213a b c ++≥； (2)232323+++++c b a ≤6.10. 若,0x y >,且2x y +>，求证：1y x +和1x y +中至少有一个小于2.11. 证明不等式n n2131211<++++Λ ()n N *∈.直击高考一、填空题1.（2009年高考理文3）若行列式4513789x x 中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是 .2. （2010年春季高考4）已知集合1{|||2},{|0}1A x x B x x =<=>+，则A B ⋂= . 3.（2010年高考理2文1）不等式204x x ->+的解集是 . 4.（2012年春季高考12）若不等式210x kx k -+->对()1,2x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是 .5.（2012年春季高考13）已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令n b n a =2012n a -+(,2012)n N n *∈<，当k b 是数列{}n b 的最大项时，k = .6.（2013年高考理12）设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为 . 7.（2013年高考文13）设常数0a >，若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 ． 二、选择题8.（2010年春季高考16）已知)1,0(,21∈a a ，记1,2121-+==a a N a a M ，则M 与N的大小关系是（ ）.A N M < .B N M >； .C N M = .D 不确定9.（2011年高考理15文16）若,a b R ∈，且0ab >，下列不等式中，恒成立的是（ ）.A 222a b ab +> .B 2a b ab +≥ .C 11a b ab+> .D 2b a a b +≥ 10.（2013年春季高考17）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ）.A 11a b < .B 2ab b < .C 2ab a -<- .D 11a b-<- 11.（2013年高考理15文16）设常数a R ∈，集合{|A x =(1)(x x -)a -0}≥，{|1}B x x a =≥-．若A B R =U ，则a 的取值范围为（ ）.A (,2)-∞ .B (,2]-∞ .C (2,)+∞ .D [2,)+∞三、解答题12.（2009年高考文19）已知复数z a bi =+（,a b R +∈）(i 是虚数单位)是方程2450x x -+=的根 ，复数3w u i =+（u R ∈）满足25w z -<，求u 的取值范围．13.（2010年高考理文22）若实数x 、y 、m 满足m y m x ->-，则称x 比y 远离m .（1）若21x -比1远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2ab 14.（2011年春季高考22）定义域为R ，且对任意实数1x 、2x 都满足不等式()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭的所有函数()f x 组成的集合记为M ．例如，函数()f x kx b M =+∈．(1)已知函数()0102x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩．证明：()f x M ∈；(2)写出一个函数()f x ，使得()f x M ∉，并说明理由．15.（2011年春季高考23）对于给定首项)300x a a >>，由递推式()112n n n a x x n N x +⎛=+∈ ⎝得到数列{}n x ，且对于任意的n N ∈，都有3n x a >{}n x 3a 的近似值．(1)取05,100x a ==，计算123,,x x x 的值(精确到0.01)；归纳出1,n n x x +的大小关系；(2)当n≥l 时，证明：()1112n n n n x x x x +--<-．16.（2012年春季高考20）某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）．（1）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度；（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时．现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？17.（2012年高考理文21）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），A 处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =； ②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？18.（2013年高考理20）甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每一小时可获得的利润是310051x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元． （1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．。

吉林省松原市扶余县第一中学2013届高三总复习 专题一 第4讲 不等式知能演练轻松闯关 新人教A版 1．已知a B．a2>b2 C．2－a>2－b D．2a>2b 解析：选C.a－b，2－a>2－b. 2．在R上定义运算a*b＝a(1－b)，则满足(x－2)*(x＋2)>0的实数x的取值范围为( ) A．(0,2)B．(－2,1) C．(－∞，－2)(1，＋∞) D．(－1,2) 解析：选D.根据定义：(x－2)*(x＋2)＝(x－2)[1－(x＋2)]＝－(x－2)(x＋1)>0，即(x－2)(x＋1)<0.解得－1<x0，b>0，且2a＋b＝4，则的最小值为( ) A.B．4 C. D．2 解析：选C.由2a＋b＝4，得2≤4，即ab≤2， 又a>0，b>0，所以≥， 当且仅当2a＝b，即b＝2，a＝1时，取得最小值.故选C. 5．(2012·高考山东卷)设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x－y的取值范围是( ) A．[－，6]B．[－，－1] C．[－1,6] D．[－6，] 解析：选A.作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x－y＝0，并向上、下平移， 由图可得，当直线过点A时，z＝3x－y取最大值；当直线过点B时，z＝3x－y取最小值． 由， 解得A(2,0)； 由，解得B(，3)． zmax＝3×2－0＝6，zmin＝3×－3＝－. z＝3x－y的取值范围是[－，6]． 6．(2012·上海交大附中月考)不等式(x＋2)≤0的解集为________． 解析：或x2－9＝0 即或x＝±3，即x≤－3或x＝3. 答案：{x|x≤－3或x＝3} 7．已知x>0，y>0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________． 解析：xy＝x＋2y≥2， ()2－2≥0， ≥2或≤0(舍去)， xy≥8，当且仅当x＝4，y＝2时取等号． 由题意知m－2≤8，即m≤10. 答案：10 8．(2012·高考江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，bR)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________． 解析：由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝2＋b－. f(x)的值域为[0，＋∞)，b－＝0，即b＝. f(x)＝2. 又f(x)＜c，2＜c， 即－－＜x＜－＋. ②－，得2＝6，c＝9. 答案：9 9．设集合A＝{x|x2<4}，B＝{x|1<}． (1)求集合A∩B； (2)若不等式2x2＋ax＋b<0的解集为B，求a，b的值． 解：A＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}， B＝{x|1<}＝{x|<0}＝{x|－3<x<1}， (1)A∩B＝{x|－2<x<1}． (2)因为2x2＋ax＋b<0的解集为B＝{x|－3<x<1}，所以－3和1为2x2＋ax＋b＝0的两根． 由根与系数的关系， 得所以 10．(2012·高考江苏卷)如图， 建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 解：(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0， 由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0， 故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0a≤6. 所以当a不超过6千米时，可击中目标． 11．已知函数f(x)＝x3＋x2－2ax－3，g(a)＝a3＋5a－7. (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)在区间[－2,0]上不单调，且x[－2,0]时，不等式f(x)0，得x2. 函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞)． (2)f′(x)＝x2＋(a－2)x－2a＝(x＋a)(x－2)． 令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－a. 函数f(x)在区间[－2,0]上不单调， －a(－2,0)，即00，在(－a,0)上，f′(x)<0， 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x－2(－2，－a)－a(－a,0)0f′(x)＋0－f(x)f(－2)极大值f(0)∴f(x)在[－2,0]上有唯一的极大值点x＝－a， f(x)在[－2,0]上的最大值为f(－a)． 当x[－2,0]时，不等式f(x)<g(a)恒成立，等价于f(－a)<g(a)， －a3＋·a2＋2a2－3。

专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法【考纲要求】1.不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式：(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式.3.会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式.4.掌握不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其应用.5．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.【知识清单】1．实数的大小(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等关系与不等式我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.3．不等式的性质(1)性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性质6：如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . (7)性质7：如果a >b >0，那么a n >b n ，(n ∈N ，n ≥2)． (8)性质8：如果a >b >0，那么n a >nb ，(n ∈N ，n ≥2)． 4．一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2)形式：①ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)； ②ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)； ③ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)； ④ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. 5．分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为__分式不等式__. f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )__>__0，f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )__<__0. f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x ) ≥ 0，g (x )≠0. ⇔f (x )·g (x )__>__0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＝0g (x )≠0.f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x ) ≤ 0，g (x )≠0⇔f (x )·g (x )__<__0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝0g (x )≠0. 6．简单的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式. 解法：穿根法①将f (x )最高次项系数化为正数；②将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 7.不等式恒成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎨⎧ a >0Δ<0；(2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ≤0；(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎨⎧a <0Δ<0；(4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0.2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k <f (x )或k >f (x )形式．则可以转化为函数值域求解． 设f (x )的最大值为M ，最小值为m .(1)k <f (x )恒成立⇔k <m ，k ≤f (x )恒成立⇔k ≤m . (2)k >f (x )恒成立⇔k >M ，k ≥f (x )恒成立⇔k ≥M . 8．绝对值不等式的解法1．形如|ax ＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． 2．形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式 (1)绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集(2)|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax ＋b≤c (c>0)，|ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)． 9．绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．【考点梳理】考点一 ：用不等式表示不等关系【典例1】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 【答案】见解析【解析】提价后杂志的定价为x 元，则销售的总收入为(8－x －2.50.1×0.2)x 万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20.【规律总结】用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．【变式探究】某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式． 【答案】见解析 【解析】分析：应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm ；②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．详解：设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根，依题意，可得不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4 0003x ≥yx ≥0y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≤403x ≥y x ≥0y ≥0考点二：比较数或式子的大小【典例2】(1)比较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小； (2)设a ∈R 且a ≠0，比较a 与1a 的大小．【答案】见解析【解析】 (1)x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0， ∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． (2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a当a ＝±1时，a ＝1a；当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a ；当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a.【领悟技法】 1.比较大小的常用方法 (1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 【变式探究】已知x ＜y ＜0，比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小． 【答案】见解析【解析】∵x ＜y ＜0，xy ＞0，x －y ＜0，∴(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝－2xy (x －y )＞0， ∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )． 考点三：不等式性质的应用【典例3】（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））对于任意实数a b c d ,,,，下列正确的结论为（ ） A ．若,0a b c >≠，则ac bc >； B ．若a b >，则22ac bc >； C ．若a b >，则11a b <； D ．若0a b <<，则b a a b<． 【答案】D 【解析】A ：根据不等式的基本性质可知：只有当0c >时，才能由a b >推出ac bc >，故本选项结论不正确；B ：若0c时，由a b >推出22ac bc =，故本选项结论不正确；C ：若3,0a b ==时，显然满足a b >，但是1b没有意义，故本选项结论不正确； D ：22()()b a b a b a b a a b ab ab-+--==，因为0a b <<，所以0,0,0b a ab a b ->>+<， 因此0b a b aa b a b-<⇒<，所以本选项结论正确. 故选：D【典例4】 若a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 【答案】B【解析】方法一 易知a ，b ，c 都是正数， b a ＝3ln44ln3＝log 8164＜1，所以a ＞b ； b c ＝5ln44ln5＝log 6251 024＞1，所以b ＞c .即c ＜b ＜a . 方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x2， 易知当x ＞e 时，函数f (x )单调递减． 因为e ＜3＜4＜5，所以f (3)＞f (4)＞f (5)， 即c ＜b ＜a .【典例5】设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4”，则f (－2)的取值范围是 ． 【答案】[5,10]【解析】方法一(待定系数法)设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10. 方法二(解方程组法)由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， ⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.【规律总结】1．判断不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例． 2．证明不等式(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 3．求取值范围(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定． 【变式探究】1.（2020·陕西省西安中学高二期中（文））已知0a b <<，则下列不等式成立的是 （ ） A ．22a b < B ．2a ab <C ．11a b< D ．1ba< 【答案】D 【解析】22a b -=22)()0,,a b a b a b +->∴>（所以A 选项是错误的. 2a ab -=2()0,.a a b a ab ->∴>所以B 选项是错误的.11a b -=110,.b a ab a b ->∴>所以C 选项是错误的. 1b a -=0, 1.b a b a a -<∴<所以D 选项是正确的. D 故选：.2. （2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））下列结论正确的是（ ） A ．若ac bc >，则a b >B ．若88a b >，则a b >C ．若a b >，0c <，则ac bc <D <a b >【答案】C 【解析】对于A 选项，若0c <，由ac bc >，可得a b <，A 选项错误；对于B 选项，取2a =-，1b =，则88a b >满足，但a b <，B 选项错误； 对于C 选项，若a b >，0c <，由不等式的性质可得ac bc <，C 选项正确；对于D a b >，D 选项错误.故选：C. 3.已知12<a <60,15<b <36，求a －b 及ab的取值范围．【错解】∵12<a <60,15<b <36，∴12－15<a －b <60－36，1215<a b <6036，∴－3<a －b <24，45<a b <53.【辨析】错解中直接将12<a <60,15<b <36相减得a －b 的取值范围，相除得ab 的取值范围而致错．【正解】∵15<b <36，∴－36<－b <－15.∴12－36<a －b <60－15， 即－24<a －b <45.又15<b <36，∴136<1b <115.又12<a <60，∴1236<a b <6015，即13<a b <4.综上，－24<a －b <45，13<ab <4.【易错警示】错用不等式的性质致错. 考点四：一元二次不等式的解法【典例6】（2020·全国高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D 【解析】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D. 【规律方法】1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 【易错警示】忽视二次项系数的符号致误 【变式探究】1．（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=（ ）A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．2. （2020·黑龙江省大庆实验中学高三一模（文））已知集合1|03x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，集合{|15}B x N x =∈-≤≤，则A B =（ ）A ．{0,1,4,5}B ．{0,1,3,4,5}C ．{1,0,1,4,5}-D ．{1,3,4,5}【答案】A 【解析】 因为集合{1|033x A x x x x -⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭或}1x ≤， 集合{|15}{0,1,2,3,4,5}B x N x =∈-≤≤=，所以A B ={0,1,4,5}.故选：A考点五：绝对值不等式的解法【典例7】（2020·江苏省高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3- 【解析】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x <<所以解集为：2(2,)3-【典例8】（2020·周口市中英文学校高二月考（文））(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集；(2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 的值.【答案】(1) {x |x ≤－3或x ≥2} (2) a ＝－3 【解析】(1)当x <－2时,不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5,解得x ≤－3； 当－2≤x <1时,不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5,即3≥5,无解； 当x ≥1时,不等式等价于x －1＋x ＋2≥5,解得x ≥2. 综上,不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. (2)∵|ax －2|<3,∴－1<ax <5. 当a >0时,15x a a -<< , 153a -=-,且513a =无解； 当a ＝0时,x ∈R ,与已知条件不符； 当a <0时,51x a a <<-,553a =-,且113a -=, 解得a ＝－3. 【规律方法】形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a|＋|x －b|≥|x－a －(x －b)|＝|a －b|.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解． 【变式探究】1.（2017天津，文2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤⊂≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项. 2.（2014·广东高考真题（理））不等式的解集为 .【答案】(][),32,-∞-⋃+∞. 【解析】令()12f x x x =-++，则()21,2{3,2121,1x x f x x x x --<-=-≤≤+>，（1）当2x <-时，由()5f x ≥得215x --≥，解得3x ≤-，此时有3x ≤-； （2）当21x -≤≤时，()3f x =，此时不等式无解；（3）当1x >时，由()5f x ≥得215x +≥，解得2x ≥，此时有2x ≥； 综上所述，不等式的解集为(][),32,-∞-⋃+∞.考点六：绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立．【典例9】（2020·陕西省西安中学高二期中（理））已知不等式53m x x ≤-+-对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．2m ≤B ．2m ≥C ．8m ≤-D ．8m ≥-【答案】A【解析】()()-+-≥---=，∴根据题意可得2x x x x53532m≤.故选：A【典例10】（2018年理新课标I卷）已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围．【答案】(1).(2)．【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．【总结提升】1.两类含绝对值不等式的证明问题一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2.含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.(2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值. (3)利用绝对值的几何意义. 【变式探究】1．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知函数()|21||2|f x x x =-+-． (1)若()4f x <，求实数x 的取值范围；(2)若对于任意实数x ，不等式()|21|f x a >-恒成立，求实数a 的值范围．【答案】(1) 17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2) 15,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】(1)由题，()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩；当12x ≤时，334x -+<，解得1132x -<≤；当122x <<时，14x +<恒成立，解得122x <<； 当2x ≥时，334x -<，解得723x ≤<.综上有3137x -<<.故实数x 的取值范围为17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)因为()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，当12x ≤时，()1322f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭；当122x <<时，()332f x <<；当2x ≥时，()()23f x f ≥=. 故()f x 的最小值为32.故3212a -<，即332122a -<-<，解得1544a -<<.故实数a 的值范围为15,44⎛⎫-⎪⎝⎭2.已知函数f(x)=|x−1|．（1）解不等式f(x)+f(x+4)≥8；（2）若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f(ba)．【答案】(1) {x|x≤−5或x≥3} (2)见解析【解析】（1）f(x)+f(x+4)=|x−1|+|x+3|={−2x−2,x<−3, 4,−3≤x≤1, 2x+2,x>1,当x<−3时，由−2x−2≥8，解得x≤−5；当−3≤x≤1时，f(x)≥8不成立；当x>1时，由2x+2≥8，解得x≥3.所以不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集为{x|x≤−5或x≥3}.（2）f(ab)>|a|f(ba)，即|ab−1|>|a−b|．因为|a|<1，|b|<1，所以|ab−1|2−|a−b|2=(a2b2−2ab+1)−(a2−2ab+b2)=(a2−1)(b2−1)>0，所以|ab−1|>|a−b|，故所证不等式成立．。