福建省宁德市2017届高三5月质量检查数学理试题(含答案)word版
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2017年福建省宁德市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把答案填写在答题卷相应位置上)1.已知z=,则复数在复平面对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设集合A={x|x<2},B={y|y=2x﹣1},则A∩B=()A.(﹣∞,3)B.[2,3)C.(﹣∞,2)D.(﹣1,2)3.若实数x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最大值是()A.2 B.1 C.0 D.﹣44.若(3x﹣1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则a1+a2+a3+a4+a5=()A.﹣1 B.31 C.32 D.335.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=1,c=2,,则△ABC的面积为()A.B.C.D.6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的n=()A.2 B.3 C.4 D.57.已知命题p:t=π,命题,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则()A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a9.如图是某个几何体的三视图,则该几何体的体积是()A.B.2 C.3 D.410.若存在正常数a,b,使得∀x∈R有f(x+a)≤f(x)+b恒成立,则称f(x)为“限增函数”.给出下列三个函数:①f(x)=x2+x+1;②;③f(x)=sin(x2),其中是“限增函数”的是()A.①②③B.②③ C.①③ D.③11.已知函数,若将f(x)的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于原点对称,则φ=()A.B.C.D.12.已知椭圆内有一点M(2,1),过M的两条直线l1,l2分别与椭圆E交于A,C和B,D两点,且满足(其中λ>0,且λ≠1),若λ变化时,AB的斜率总为,则椭圆E的离心率为()A.B.C.D.二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷的相应位置) 13.若直线2x+y+m=0过圆x 2+y 2﹣2x+4y=0的圆心,则m 的值为 .14.在区间[﹣1,1]内随机取两个实数x ,y ,则满足y ≥x 2﹣1的概率是 . 15.棱长均相等的四面体ABCD 的外接球半径为1,则该四面体ABCD 的棱长为 . 16.如图,在等腰三角形ABC 中,已知|AB|=|AC|=1,∠A=120°,E ,F 分别是AB ,AC 上的点,且,(其中λ,μ∈(0,1)),且λ+4μ=1,若线段EF ,BC 的中点分别为M ,N,则的最小值为 .三、解答题:(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程) 17.设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n+1=λS n +1(n ∈N*,λ≠﹣1),且a 1、2a 2、a 3+3成等差数列.(Ⅰ)求证:数列{a n }为等比数列;(Ⅱ)设b n =2a n ﹣1,求数列{b n }的前n 项和T n .18.2016世界特色魅力城市200强新鲜出炉,包括黄山市在内的28个中国城市入选.美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客.现在很多人喜欢自助游,某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关,在黄山旅游节期间,随机抽取了100人,得如下所示的列联表:(1)若在100这人中,按性别分层抽取一个容量为20的样本,女性应抽11人,请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程),并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下,认为赞成“自助游”是与性别有关系?(2)若以抽取样本的频率为概率,从旅游节游客中随机抽取3人赠送精美纪念品,记这3人中赞成“自助游”人数为X ,求X 的分布列和数学期望.19.如图,四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形,E是BC的中点.(1)求证:AE∥平面PCD;(2)记平面PAB与平面PCD的交线为l,求二面角C﹣l﹣B的余弦值.20.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,直线x=4与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q,且.(1)求抛物线的方程;(2)如图所示,过F的直线l与抛物线相交于A,D两点,与圆x2+(y﹣1)2=1相交于B,C两点(A,B两点相邻),过A,D两点分别作我校的切线,两条切线相交于点M,求△ABM 与△CDM的面积之积的最小值.21.已知函数f(x)=axln(x+1)+x+1(x>﹣1,a∈R).(1)若,求函数f(x)的单调区间;(2)当x≥0时,不等式f(x)≤e x恒成立,求实数a的取值范围.[选修4-4:参数方程与极坐标系]22.以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程为,(t为参数,0<θ<π),曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当θ变化时,求|AB|的最小值.[选修4-5:不等式选讲]23.设函数f(x)=|x+|+|x﹣2m|(m>0).(Ⅰ)求证:f(x)≥8恒成立;(Ⅱ)求使得不等式f(1)>10成立的实数m的取值范围.2017年福建省宁德市霞浦一中高考数学模拟试卷(理科)(5月份)参考答案与试题解析一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把答案填写在答题卷相应位置上)1.已知z=,则复数在复平面对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.【解答】解: ==+i,∴复数=﹣i在复平面对应的点位于第三象限.故选:C.2.设集合A={x|x<2},B={y|y=2x﹣1},则A∩B=()A.(﹣∞,3)B.[2,3)C.(﹣∞,2)D.(﹣1,2)【考点】1E:交集及其运算.【分析】运用指数函数的值域,化简集合B,再由交集的定义,即可得到所求.【解答】解:集合A={x|x<2},由x∈R,2x>0,可得B={y|y=2x﹣1}={y|y>﹣1},则A∩B={m|﹣1<m<2}=(﹣1,2).故选:D.3.若实数x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最大值是()A.2 B.1 C.0 D.﹣4【考点】7C:简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合可得最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.【解答】解:由约束条件,作出可行域如图,化目标函数z=x﹣2y为直线方程的斜截式y=x﹣.由图可知,当直线y=x﹣过点A时,直线在y轴上的截距最小,z最大,为z=1﹣2×0=1.故选:B.4.若(3x﹣1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则a1+a2+a3+a4+a5=()A.﹣1 B.31 C.32 D.33【考点】DB:二项式系数的性质.【分析】令x=1,得25=a0+a1+a2+…+a5,令x=0,得(﹣1)5=a0,由此能求出a1+a2+a3+a4+a5的值.【解答】解:∵(3x﹣1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,∴令x=1,得25=a0+a1+a2+…+a5=32,令x=0,得(﹣1)5=a0=﹣1,∴a1+a2+a3+a4+a5=32﹣(﹣1)=33.故选:D.5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=1,c=2,,则△ABC的面积为()A.B.C.D.【考点】HR:余弦定理.【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC,由余弦定理可得2b2﹣b﹣6=0,解得b的值,利用三角形面积公式即可计算得解.【解答】解:∵a=1,c=2,,sinC==,∴由余弦定理可得: =,整理可得:2b2﹣b﹣6=0,∴解得:b=2或﹣(舍去),∴S△ABC=absinC==.故选:C.6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的n=()A.2 B.3 C.4 D.5【考点】EF:程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:当n=1时,a=,b=4,满足进行循环的条件,当n=2时,a=,b=8满足进行循环的条件,当n=3时,a=,b=16满足进行循环的条件,当n=4时,a=,b=32不满足进行循环的条件,故输出的n值为4,故选C.7.已知命题p:t=π,命题,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】命题,利用微积分基本定理可得: =1,化为:cost=0.解出即可判断出结论.【解答】解:命题,∴ =1,化为:cost=0.∴t=(k ∈Z).∴p是q的既不充分也不必要条件.故选:D.8.定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则()A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a【考点】3L:函数奇偶性的性质.【分析】由f(x)为偶函数便可得出f(x)=2|x|﹣1,从而可求出a,b,c的值,进而得出a,b,c的大小关系.【解答】解:f(x)为偶函数;∴m=0;∴f(x)=2|x|﹣1;∴a=f(log0.53)=,,c=f(0)=20﹣1=0;∴c<a<b.故选C.9.如图是某个几何体的三视图,则该几何体的体积是()A.B.2 C.3 D.4【考点】L!:由三视图求面积、体积.【分析】作出棱锥的直观图,根据三视图数据代入计算即可.【解答】解:几何体为四棱锥,作出直观图如图所示:其中侧面 PAB⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,PA=PB,由三视图可知,AB∥CD,AB=BC=2,CD=1,侧面PAB中P到AB的距离为h=,∴几何体的体积V===.故选A.10.若存在正常数a,b,使得∀x∈R有f(x+a)≤f(x)+b恒成立,则称f(x)为“限增函数”.给出下列三个函数:①f(x)=x2+x+1;②;③f(x)=sin(x2),其中是“限增函数”的是()A.①②③B.②③ C.①③ D.③【考点】2H:全称命题.【分析】假设各函数为“限增函数”,根据定义推导f(x+a)≤f(x)+b恒成立的条件,判断a,b的存在性即可得出答案.【解答】解:对于①,f(x+a)≤f(x)+b可化为:(x+a)2+(x+a)+1≤x2+x+1+b,即2ax≤﹣a2﹣a+b,即x≤对一切x∈R均成立,由函数的定义域为R,故不存在满足条件的正常数a、b,故f(x)=x2+x+1不是“限增函数”;对于②,若f(x)=是“限增函数”,则f(x+a)≤f(x)+b可化为:≤+b,∴|x+a|≤|x|+b2+2b恒成立,又|x+a|≤|x|+a,∴|x|+a≤|x|+b2+2b,∴≥,显然当a<b2时式子恒成立,∴f(x)=是“限增函数”;对于③,∵﹣1≤f(x)=sin(x2)≤1,∴f(x+a)﹣f(x)≤2,∴当b≥2时,a为任意正数,使f(x+a)≤f(x)+b恒成立,故f(x)=sin(x2)是“限增函数”.故选B.11.已知函数,若将f(x)的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于原点对称,则φ=()A.B.C.D.【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】由题意求得ω=4k+2,k∈Z,根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得+φ=lπ,l∈Z,结合φ的范围,可得φ的值.【解答】解:∵函数,∴sinφ=﹣sin(ω•+φ),∴ω=4k+2,k∈Z.将f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位后所得函数的解析式为y=sin(ωx++φ)的图象关于原点对称,∴+φ=lπ,l∈Z,∵φ∈(0,)∴k=2,ω=10,此时,φ=,故选:B.12.已知椭圆内有一点M(2,1),过M的两条直线l1,l2分别与椭圆E交于A,C和B,D两点,且满足(其中λ>0,且λ≠1),若λ变化时,AB的斜率总为,则椭圆E的离心率为()A.B.C.D.【考点】K4:椭圆的简单性质.【分析】由向量数量积的坐标运算及点差法作差求得=﹣×,代入即可求得a和b的关系,即可求得椭圆的离心率.【解答】解:设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),由=λ,即(2﹣x1,1﹣y1)=λ(x3﹣2,y3﹣1),则,同理可得:,∴,则2[(y1+y2)+λ(y3+y4)]=1[(x1+x2)+λ(x3+x4)],将点A,B的坐标代入椭圆方程作差可得: =﹣×,即﹣=﹣×,则a2(y1+y2)=2b2(x1+x2),同理可得:a2(y3+y4)=2b2(x3+x4),两式相加得:a2[(y1+y2)+(y3+y4)]=2b2[(x1+x2)+(x3+x4)],∴2[(y1+y2)+λ(y3+y4)]=1[(x1+x2)+λ(x3+x4)],∴=则=,则椭圆的离心率e===,故选D.二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷的相应位置)13.若直线2x+y+m=0过圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心,则m的值为0 .【考点】J9:直线与圆的位置关系.【分析】求出圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心为C(1,﹣2),再把圆心C(1,﹣2)代入直线2x+y+m=0,能求出结果.【解答】解:圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心为C(1,﹣2),∵直线2x+y+m=0过圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心,∴圆心C(1,﹣2)在直线2x+y+m=0上,∴2×1﹣2+m=0,解得m=0.故答案为:0.14.在区间[﹣1,1]内随机取两个实数x,y,则满足y≥x2﹣1的概率是.【考点】CF:几何概型.【分析】该题涉及两个变量,故是与面积有关的几何概型,分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积,最后利用概率公式解之即可【解答】解:由题意可得,在区间[﹣1,1]内随机取两个实数x,y,对应的区域是边长为2的正方形,如图,面积为4,满足y≥x2﹣1的区域为图中阴影部分,面积为2+=2+(x﹣)|=∴满足y≥x2﹣1的概率是.故答案为:;15.棱长均相等的四面体ABCD的外接球半径为1,则该四面体ABCD的棱长为.【考点】LR:球内接多面体.【分析】将正四面体补成一个正方体,正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长,即可得出结论.【解答】解:将正四面体补成一个正方体,则正方体的棱长为a,正方体的对角线长为a,∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长,∴正四面体的外接球的半径为a.,∴a=,则正四面体的棱长为=,故答案为:16.如图,在等腰三角形ABC中,已知|AB|=|AC|=1,∠A=120°,E,F分别是AB,AC上的点,且,(其中λ,μ∈(0,1)),且λ+4μ=1,若线段EF,BC的中点分别为M,N,则的最小值为.【考点】9H:平面向量的基本定理及其意义.【分析】由向量的数量积公式求出•=﹣,连接AM、AN,利用三角形中线的性质得出,,再根据向量的数量积公式和向量的加减的几何意义得=μ2﹣μ+,结合二次函数的性质可得最小值.【解答】解:连接AM、AN,∵等腰三角形ABC中,AB=AC=1,A=120°,∴•=||•||cos120°=﹣∵AM是△AEF的中线,∴=(+)=(λ+μ)同理,可得=(+),由此可得=﹣=(1﹣λ)+(1﹣μ)∴=[(1﹣λ)+(1﹣μ)]2=(1﹣λ)2+(1﹣λ)(1﹣μ)•+(1﹣μ)2=(1﹣λ)2﹣(1﹣λ)(1﹣μ)+(1﹣μ)2,∵λ+4μ=1,可得1﹣λ=4μ,∴代入上式得=×(4μ)2﹣×4μ(1﹣μ)+(1﹣μ)2=μ2﹣μ+∵λ,μ∈(0,1),∴当μ=时,的最小值为,此时||的最小值为.故答案为:三、解答题:(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程)17.设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n+1=λS n+1(n∈N*,λ≠﹣1),且a1、2a2、a3+3成等差数列.(Ⅰ)求证:数列{a n}为等比数列;(Ⅱ)设b n=2a n﹣1,求数列{b n}的前n项和T n.【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.【分析】(Ⅰ)a n+1=λS n+1(n∈N*),可得a n=λS n﹣1+1(n≥2),相减可得:a n+1=(λ+1)a n (n≥2),λ+1≠0,利用等比数列的通项公式即可得出.(Ⅱ)由,且a1、2a2、a3+3成等差数列.可得4(λ+1)=1+(λ+1)2+3,解得λ=1,可得a n ,进而得到b n .再利用等比数列的求和公式即可得出. 【解答】(Ⅰ)证明:∵a n+1=λS n +1(n ∈N*),∴a n =λS n ﹣1+1(n ≥2), ∴a n+1﹣a n =λa n ,即a n+1=(λ+1)a n (n ≥2),λ+1≠0, 又a 1=1,a 2=λS 1+1=λ+1,∴数列{a n }是以1为首项,公比为λ+1的等比数列,(Ⅱ)解:∵,且a 1、2a 2、a 3+3成等差数列.∴4(λ+1)=1+(λ+1)2+3,整理得λ2﹣2λ+1=0,得λ=1,∴.∴,∴,==2n+1﹣2﹣n .18.2016世界特色魅力城市200强新鲜出炉,包括黄山市在内的28个中国城市入选.美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客.现在很多人喜欢自助游,某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关,在黄山旅游节期间,随机抽取了100人,得如下所示的列联表:(1)若在100这人中,按性别分层抽取一个容量为20的样本,女性应抽11人,请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程),并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下,认为赞成“自助游”是与性别有关系?(2)若以抽取样本的频率为概率,从旅游节游客中随机抽取3人赠送精美纪念品,记这3人中赞成“自助游”人数为X ,求X 的分布列和数学期望.【考点】BO :独立性检验的应用.【分析】(1)根所给数据得到列联表,利用公式求得K 2,与临界值比较,即可得到结论. (2)X 的所有可能取值为:0,1,2,3,求出相应的概率,即可得到X 的分布列、数学期望.【解答】解:(1)将2×2列联表中的数据代入计算,得K2的观测值:,∵3.030<3.841,∴在犯错误的概率不超过0.05前提下,不能认为赞成“自助游”与性别有关系. (2)X的所有可能取值为:0,1,2,3,依题意,X 的分布列为:.19.如图,四棱锥P ﹣ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD ,△PAB 与△PAD 都是边长为2的等边三角形,E 是BC 的中点. (1)求证:AE ∥平面PCD ;(2)记平面PAB 与平面PCD 的交线为l ,求二面角C ﹣l ﹣B 的余弦值.【考点】MT :二面角的平面角及求法;LS :直线与平面平行的判定.【分析】(1)推导出四边形ADCE是平行四边形,从而AE∥CD,由此能证明AE∥平面PCD.(2)连结DE、BD,设AE∩BD于O,连结PO,推导出AE⊥BD,PO⊥BD,PO⊥AO,从而PO⊥平面ABCD,以O为原点,OE为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角C﹣l﹣B的余弦值.【解答】证明:(1)∵∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,E是BC的中点,∴AD∥CE,且AD=CE,∴四边形ADCE是平行四边形,∴AE∥CD,∵AE⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AE∥平面PCD.解:(2)连结DE、BD,设AE∩BD于O,连结PO,则四边形ABED是正方形,∴AE⊥BD,∵PD=PB=2,O是BD中点,∴PO⊥BD,则PO===,又OA=,PA=2,∴PO2+OA2=PA2,∴△POA是直角三角形,∴PO⊥AO,∵BD∩AE=O,∴PO⊥平面ABCD,以O为原点,OE为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,则P(0,0,),A(﹣),B(0,,0),E(),D(0,﹣,0),∴=(﹣),=(0,),=(0,),=(2,0,0),设=(x,y,z)是平面PAB的法向量,则,取x=1,得,设=(a,b,c)是平面PCD的法向量,则,取b=1,得=(0,1,﹣1),cos<>==0,∴二面角C﹣l﹣B的余弦值为0.20.已知抛物线x 2=2py (p >0)的焦点为F ,直线x=4与x 轴的交点为P ,与抛物线的交点为Q ,且.(1)求抛物线的方程;(2)如图所示,过F 的直线l 与抛物线相交于A ,D 两点,与圆x 2+(y ﹣1)2=1相交于B ,C 两点(A ,B 两点相邻),过A ,D 两点分别作我校的切线,两条切线相交于点M ,求△ABM 与△CDM 的面积之积的最小值.【考点】KN :直线与抛物线的位置关系.【分析】(1)求得P 和Q 点坐标,求得丨QF 丨,由题意可知, +=×即可求得p 的值,求得椭圆方程;(2)设直线方程,代入抛物线方程,由韦达定理x 1x 2=﹣4,求导,根据导数的几何意义,求得切线方程,联立求得M 点坐标,根据点到直线距离公式,求得M 到l 的距离,利用三角形的面积公式,即可求得△ABM 与△CDM 的面积之积的最小值.【解答】解:(1)由题意可知P (4,0),Q (4,),丨QF 丨=+,由,则+=×,解得:p=2,∴抛物线x 2=4y ;(2)设l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立,整理得:x2﹣4kx﹣4=0,则x1x2=﹣4,由y=x2,求导y′=,直线MA:y﹣=(x﹣x1),即y=x﹣,同理求得MD:y=x﹣,,解得:,则M(2k,﹣1),∴M到l的距离d==2,∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM•S△CDM=丨AB丨丨CD丨•d2,=(丨AF丨﹣1)(丨DF丨﹣1)•d2,=y1y2d2=•×d2,=1+k2≥1,当且仅当k=0时取等号,当k=0时,△ABM与△CDM的面积之积的最小值1.21.已知函数f(x)=axln(x+1)+x+1(x>﹣1,a∈R).(1)若,求函数f(x)的单调区间;(2)当x≥0时,不等式f(x)≤e x恒成立,求实数a的取值范围.【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6B:利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)记g(x)=f(x)﹣e x(x≥0),g(0)=0,求出函数的导数,记h(x)=a[ln(x+1)+1﹣]+1﹣e x,通过讨论a的范围,求出函数的单调性,从而确定a的具体范围即可.【解答】解:(1)a=时,f(x)=xln(x+1)+x+1,f′(x)= [ln(x+1)+1﹣]+1,∵f′(x)在(﹣1,+∞)递增,且f′(﹣1+)=0,故x∈(﹣1,﹣1+)时,f′(x)<0,f(x)递减,x∈(﹣1+,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递减,故f(x)在(﹣1,﹣1+)递减,在(﹣1+,+∞);(2)记g(x)=f(x)﹣e x(x≥0),g(0)=0,则g′(x)=a[ln(x+1)+1﹣]+1﹣e x,记h(x)=a[ln(x+1)+1﹣]+1﹣e x,h′(x)=a[+]﹣e x,h′(0)=2a﹣1,①a≤时,∵ +∈(0,2],e x≥1,∴h′(x)≤0,h(x)在(0,+∞)递减,则h(x)≤h(0)=0,即g′(x)≤0,∴g(x)在(0,+∞)递减,∴g(x)≤g(0)=0恒成立,即f(x)≤e x恒成立,满足题意;②a≥时,h′(x)在(0,+∞)递减,又h′(0)=2a﹣1>0,x→+∞时,h′(x)→﹣∞,则必存在x0∈(0,+∞),使得h′(x0)=0,则x∈(0,x0)时,h′(x)>0,h(x)在(0,x0)递增,此时h(x)>h(0)=0,x∈(0,x0)时,g′(x)>0,∴g(x)在(0,x0)递增,∴g(x)>g(0)=0,即f(x)>e x,不合题意,综上,a≤.[选修4-4:参数方程与极坐标系]22.以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程为,(t为参数,0<θ<π),曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当θ变化时,求|AB|的最小值.【考点】QH:参数方程化成普通方程;Q4:简单曲线的极坐标方程.【分析】(1)利用极坐标与直角坐标的转化方法,求曲线C的直角坐标方程;(2)将直线l的参数方程代入y2=2x,得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0,利用参数的几何意义,求|AB|的最小值.【解答】解:(1)由ρsin2θ﹣2cosθ=0,得ρ2sin2θ=2ρcosθ.∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x;(2)将直线l的参数方程代入y2=2x,得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则,,==.当时,|AB|的最小值为2.[选修4-5:不等式选讲]23.设函数f(x)=|x+|+|x﹣2m|(m>0).(Ⅰ)求证:f(x)≥8恒成立;(Ⅱ)求使得不等式f(1)>10成立的实数m的取值范围.【考点】R5:绝对值不等式的解法;3R:函数恒成立问题.【分析】(Ⅰ)利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f(x)≥8恒成立.(Ⅱ)当m>时,不等式即+2m>10,即m2﹣5m+4>0,求得m的范围.当0<m≤时,f(1)=1++(1﹣2m)=2+﹣2m关于变量m单调递减,求得f(1)的最小值为17,可得不等式f(1)>10恒成立.综合可得m的范围.【解答】(Ⅰ)证明:函数f(x)=|x+|+|x﹣2m|(m>0),∴f(x)=|x+|+|x﹣2m|≥|x+﹣(x﹣2m)|=|+2m|=+2m≥2=8,当且仅当m=2时,取等号,故f(x)≥8恒成立.(Ⅱ)f(1)=|1+|+|1﹣2m|,当m>时,f(1)=1+﹣(1﹣2m),不等式即+2m>10,化简为m2﹣5m+4>0,求得m<1,或m>4,故此时m的范围为(,1)∪(4,+∞).当0<m≤时,f(1)=1++(1﹣2m)=2+﹣2m关于变量m单调递减,故当m=时,f(1)取得最小值为17,故不等式f(1)>10恒成立.综上可得,m的范围为(0,1)∪(4,+∞).。
2017届福建省宁德市高三毕业班第三次质量检查数学(理)试题一、选择题1.已知集合{}()()2,1,0,1,2,{|130}A B x x x =--=-+<,则A B ⋂= ( ) A. {}2,1,0-- B. {}0,1 C. {}1,0,1- D. {}0,1,2 【答案】A【解析】集合{}()(){}()2,1,0,1,2,|1303,1A B x x x =--=-+<=-, 所以{}2,1,0A B ⋂=--,故选A.2.若复数z 满足()11(i z i i +=-为复数单位),则 z 的共轭复数为( )A. 1i +B. 1i --+ 【答案】D【解析】()11i z i +=-=,所以)11222i z i -===-+, z+,故选D. 3.已知4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为A.35 B. 45 C. 45- D. 35- 【答案】B 【解析】4cos cos sin 36265ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选B. 4.已知M 是圆周上的一个定点,若在圆周上任取一点N ,连接MN ,则弦MN 的长不小于圆半径的概率是( ) A.14 B. 13 C. 12 D. 23【答案】D【解析】由题意知,所求概率为222323πππ-=⨯,故选D.5.执行如图所示的程序框图,如果输出的m 值为3,则输入a 的值可以是 ( )A. 23B. 22C. 21D. 20 【答案】D【解析】由程序框图知,第1次循环后, S 3,1m ==, 第2次循环后, S 9,2m ==, 第3次循环后, S 21,3m ==,由题意知,此时不满足S a ≤,退出循环,输出3m =,所以21a <,故选D.6.已知实数,x y 满足的约束条件220{323010x y x y x y -+≥--≤+-≥,表示的平面区域为D ,若存在点(),P x y D ∈,使22x y m +≥成立,则实数m 的最大值为 ( )A.18116B. 1C. 913D. 12【答案】A【解析】如图,作出可行域D ,要使存在点(),P x y D ∈,使22x y m +≥成立, 只需()22minm x y≤+,而22x y +表示阴影部分中的点与原点距离的平方,所以()2218116minx y+=,即18116m ≤, m 的最大值为18116,故选A. 点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一、准确无误地作出可行域;二、画标准函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三、一般情况下,目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.7.已知,R αβ∈,则“αβ>”是“sin sin αβαβ->-”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 即不充分也不必要条件 【答案】C【解析】考查函数()f x x sinx =-,所以()10f x cosx -'=>, 所以()f x 在(),∞∞-+上递增, 若αβ>,则sin sin αβαβ->-, 若sin sin αβαβ->-,则αβ>,故选C.8.已知是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A.1312π+ B. 112π+ C. 134π+ D. 14π+ 【答案】B【解析】由几何体的三视图可知,该几何体是一个14圆锥和一个三棱柱组合而成, 其体积为211111211134212ππ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+,故选B. 点睛:1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图.2.三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”,因此,可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据.9.函数531x x y =-的图象大致是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得0x ≠,排除A.当0x <时, 5031xx y =<-,排除C ;()()42353531xxx xln y ⎡⎤--⎣⎦'=- ,分析知00x ∃>,使()35350xxln --< ,所以当()0,x x ∈+∞时, 0y '<,所以531x x y =-在()0,x +∞上单调递减,排除D.故选B.10.已知M 为双曲线2222:1x y C a b-=右支上一点, ,A F 分别为双曲线C 左顶点和的右焦点, MF AF =,若60MFA ∠= ,则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C【解析】设0,0a b >>,双曲线的左焦点为F ',由题意可知, MAF 为等边三角形,所以AF MF a c ==+,所以由双曲线的定义,得'MF 23MF a a c =+=+.在'MFF 中,由余弦定理得()()()()()222231cos 222a c c a c MFF a c c ∠++-+==+'. 化简得22c 340ac a --=.得2e 340e --=,解得4e =或1e =-(舍),即双曲线的离心率为4,故选C.11.已知在三角形ABC 中, ,90AB AC BAC <∠=,边,A B A C的长分别为方程(2210x x -+=的两个实数根,若斜边BC 上有异于端点的,E F 两点,且1,EF EAF θ=∠=,则tan θ的取值范围为 ( )A. ⎝⎦B. ⎝⎭C. ⎝⎦D. ⎝⎦【答案】C【解析】有题可知2AC 4AB BC ====,.建立如图所示的坐标系,有点()()(0,0,2,0,0,A B C .设31(0,,44BF BC BE BC λλλ⎛⎫⎛⎫=∈=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()322?,,2,2F E λλ⎛--+ ⎝⎭.所以()22322?2,34?341232AE AF λλλλλλλ⎛=--+=--+++= ⎝⎭2211111164316,9844λλλ⎛⎫⎡⎫-+=-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭.因为点A 到BC边的距离d AB ACBC== 所以AEF的面积1S 22AEF EF ==为定值. 所以112122AEF AE AF sin S tan AE AF AE AF cos θθθ==,故2,911AEF S tan AE AF AE AF θ⎛==∈ ⎝⎦ ,故选C. 12.若对[)[)0,,0,x y ∀∈+∞∈+∞,不等式22240x y x y e e ax +---++-≥恒成立,则实数a 取值范围是( )A. 1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】因为对[)[)0,,0,x y ∀∈+∞∈+∞,不等式22240x y x y e e ax +---++-≥恒成立,所以242y yx ax e e e---≤+,对[)[)0,,0,x y ∀∈+∞∈+∞恒成立, 又因为2y ye e -+≥,所以当0x =时, a R ∈;当0x >时, 212x e a x-+≤对()0,x ∀∈+∞恒成立.令()21x e g x x-+=则()()2211x e x g x x-'--=可得, ()20g '=,且在()2,+∞上()0g x '>.在[)0,,2上()0g x '<, 故()g x 的最小值()21g =,所以21a ≤,即12a ≤.故选D. 点睛:恒成立问题往往是采用变量分离,得到参变量与另一代数式的大小关系,进而转成求最值即可,对于数列的最值问题常用的方法有三个:一是借助函数的单调性找最值,比如二次型的,反比例型的,对勾形式的等等;二是作差和0比利用数列的单调性求最值;三是,直接设最大值项,列不等式组大于等于前一项,大于等于后一项求解.二、填空题13.81xy x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式中不含x 的项的系数为__________.【答案】70【解析】81xy x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中不含x 的项为()4444441C C 7088xy y y x ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,系数为70.点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r +1项,再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第r +1项,由特定项得出r 值,最后求出其参数.14.已知平面向量()()1122,,,a x y b x y == ,若3,4,12a b a b ==⋅=- ,则1122x y x y +=+__________.【答案】34-【解析】由,12,12a b a b cos a b cos a b ⋅=⋅==-,可得a 与b 方向相反,故a b λ= , 34a bλ=-=- ,即有112234x y x y +=-+.15.已知直线:0l kx y k -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点,过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D两点,若AB =CD =__________.【答案】【解析】如图,圆2212x y +=的圆心为(0,0),半径r =,因为弦2r AB ==,所以直线经过圆心,所以k =直线AB的方程为y =.所以直线AB 的倾斜角θ60=︒.在Rt AOC 中,602OA CO cos ===︒2CD CO ==16.已知等边三角形ABC 三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点E 是线段AB 的中点,过点E 作球O 的截面,则截面面积的最小值是__________.【答案】94π 【解析】设正三角形ABC 的中心为1O ,连接1O A ,分析知经过点E 的球O 的截面,当截面与OE 垂直时截面圆的半径最小,相应地截面圆的面积有最小值,由此算出截面圆半径的最小值,从而可得截面面积的最小值.连结11,O O O C ,因为1O 是正三角形ABC 的中心, ,,A B C 三点都在球面上,所以1O O ⊥平面ABC ,结合1O C ⊂平面ABC ,可得11O O O C ⊥,因为球的半径2R =.球心O 到平面ABC 的距离为1,得11OO =,所以在Rt ABC 中, 1O C =又因为E 为AB 的中点, ABC 是等边三角形,所以13302AE AO cos =︒=,因为过E 作球O 的截面,当截面与O E 垂直时,截面圆的半径最小,此时截面圆的半径32r =,可得截面面积为294S r ππ==.17.如图,在四棱台1111ABCD A BC D -中,底面ABCD 为平行四边形, 120,BAD M ∠=为CD 上的点.且1111190,2,1A AB A AD AD A A A B DM ∠=∠=====.(1)求证: 1AM A B ⊥;(2)若M 为CD 的中点, N 为棱1DD 上的点,且MN 与平面1A BD DN 的长.【答案】(1)见解析;(2【解析】试题分析:(1)要证1AM A B ⊥,只需证出AM ⊥平面11AA B B 即可,分析条件可得1AM AA⊥, AM CD ⊥;(2)M 为CD 的中点, 1,2DM CD =∴=,所以四边形ABCD 为菱形.又1AA ⊥ 平面ABCD ,所以分别以1,,AB AM AA 为x 轴, y 轴, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,利用向量求解即可.试题解析:(1)在平行四边形ABCD 中, 120,60BAD ADM ∠=∴∠= ,在A D M ∆中,2,1,AD DM AM ==∴=== 222,90,AD AM DM AMD AM CD=+∴∠=∴⊥ .又1111//,,90,,CD AB AM AB A AB A AD A A AB A A AD∴⊥∠=∠=∴⊥⊥ .又,,AB AD A AB AD ⋂=⊂ 平面ABCD , 1AA ∴⊥ ABCD ,又AM ⊂平面1,ABCD AM AA ∴⊥.又11,,AB AA A AB AA ⋂=⊂ 平面11,AA B B AM ∴⊥平面11AA B B .又1A B ⊂ 平面111,A A B B A M A B∴⊥.(2) M 为CD 的中点, 1,2DM CD =∴=,所以四边形ABCD 为菱形.又1AA ⊥ 平面ABCD ,所以分别以1,,AB AM AA 为x 轴, y 轴, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则点()()()1110,0,2,2,0,0,,22A B D D ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.()()111,2,,2,0,22DD BD A B ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面1A B D 的一个法向量为(),,n x y z = ,则有1030{,{2200n B D x x z n A B ⋅=-=∴-=⋅=,令1x =,则(),1n =,设[]()1,,222DN DD λλλλλ⎛⎫==-∈ ⎪ ⎪⎝⎭,1,,22MN MD DN λλ⎛⎫∴=+=- ⎪ ⎪⎝⎭,cos ,n MN =〈〉,221360λλ=∴-+=, 12λ∴=或6λ=(舍去). 112DN DD ∴==. 点睛:利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.三、解答题18.已知数列{}n a 的前n 项和为{},21,n n n n S S a b =-是等差数列,且1143,b a b a ==. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)若121n n n n c a b b +=-,求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】(1)12n n a -=; n b n =;(2)14121n n nT n ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭. 【解析】试题分析:(1)利用递推关系、等差数列与等比数列的通项公式即可得出. (2)利用“裂项求和”方法、等比数列的求和公式即可得出. 试题解析:(1)因为21n n S a =-,所以1121n n S a ++=-,两式相减,得1112,2n n n n n n S S a a a a +++-=-∴=.又当1n =时,111121,1S a a a ==-∴=.所以数列{}n a 是以1为首项, 2为公比的等比数列,所以111432,1,4n n a b a b a -=∴====.因为当数列{}n b 为等差数列n b n ∴=.(2)据(1)求解知()111121111112,,222121n n n n n n n n n a b n c a b b n n n n ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∴=-=⋅-=⋅-- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 12111111121 (41122312112)n n n n T n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴=--+-++-=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-. 19.随着生活水平的提高,人们对空气质量的要求越来越高,某机构为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查50人,并将调查情况进行整理后制成下表:(1)世界联合国卫生组织规定: [)15,45岁为青年, ()45,60为中年,根据以上统计数据填写以下22⨯列联表:(2)判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为赞成“车柄限行”与年龄有关? 附: ()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++独立检验临界值表:(3)若从年龄[)[)15,25,25,35的被调查中各随机选取1人进行调查,设选中的两人中持不赞成“车辆限行”态度的人员为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析. 【解析】试题分析:(1)根据数据填写列联表; (2)计算2K ,对照数表即可得出结论; (3)ξ的可能取值为0,1,2,分别计算概率即可. 试题解析: (1)(2)由(1)表中数据得()22501616414505.556 3.841203030209K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯. ()2 3.8410.05P K ≥≈,因此,在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为赞成“车辆限行”与年龄有关. (3)ξ的可能取值为0,1,2, ()()353357510,1101020101010102P P ξξ==⨯===⨯+⨯=, ()7572P ξ==⨯=,所以随机变量ξ的分布列:所以数学期望31724012 1.22022020E ξ=⨯+⨯+⨯==.20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>上的点()00,M x y 到点()2,0N (1)求抛物线C 的方程;(2)若02x >,圆()2211E x y -+=,过M 作圆E 的两条切线分别交y 轴()()0,,0,A a B b 两点,求MAB ∆面积的最小值.【答案】(1)22y x =;(2)当且仅当04x =时,取最小值8. 【解析】试题分析:(1)利用两点间距离公式求最值即可;(2)由题意可知, 00MA y a k x -=,所以直线MA 的方程为00y ay x a x -=+,由直线与圆相切,得圆心到直线距离等于半径,1=,整理得()2000220ax a y x -+-=,同理得()22000220b x x by x x -+-=,得,a b 为方程()2000220x x y x x -+-=的两根,利用根与系数关系求解即可.试题解析:(1) ()222200000002,442224MN y px MN x x px x p x ==∴=-++=--+()()220242x p p ⎡⎤=--+--⎣⎦.00x ≥ ,所以当20p -≤即2p ≥时, min 2MN =,不符合题意,舍去;所以20p ->即02p<<时,minMN ==, ()221,1p p ∴-=∴=或3p =(舍去),22y x ∴=.(2) 由题意可知, 00MA y a k x -=,所以直线MA 的方程为00y ay x a x -=+,即()0000,1y a x x y ax --+=∴=, ()2220000y a x y a ax ∴-+=-+,整理得:()2000220a x ay x -+-=,同理: ()22000220b x x by x x -+-=, ,a b ∴为方程()2000220x x y x x -+-=的两根,00000022,,222x y xa b ab a b x x x ∴+=-∴=-∴-=---,220000000044142,22222x x x S a b x x x x x -+>∴=-⋅===++--- 0042482x x =-++≥-,当且仅当04x =时,取最小值.21.已知函数()212xm f x e x mx =---. (1)当1m =时,求证:对[)0,x ∀∈+∞时, ()0f x ≥; (2)当1m ≤时,讨论函数()f x 零点的个数. 【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析:(1)函数求导()'1xf x e x =--,再求导得()'0f x ≥恒成立,又因为()()00?0f f x =≥恒成立;(2)由(1)可知,当x≤0时,f″(x)≤0,可得 对∀x ∈R ,f′(x)≥0,即e x≥x+1,分类讨论当x≥-1时,当x <-1时,函数y=f(x)的零点个数即可得解;当x <-1时,再分0≤m≤1和m <0两种情况进行讨论,由函数零点定理进行判断即可得到答案. 试题解析:,所以(1)当1m =时, ()212xx f x e x =---,则()'1x f x e x =--,令()1x g x e x =--,则()'1x g x e =-,当0x ≥时, 10x e -≥,即()'0g x ≥,所以函数()'1x f x e x =--在[)0,+∞上为增函数,即当0x ≥时,()()''0f x f ≥,所以当0x ≥时, ()'0f x ≥恒成立,所以函数()212xx f x e x =---在[)0,+∞上为增函数,又因为()00f =,所以当1m =时,对[)()0,,0x f x ∀∈+∞≥恒成立.(2)由(1)知,当0x ≤时, 10xe -≤,所以()'0g x ≤,所以函数()'1xf x e x =--的减区间为(],0-∞,增函数为[)0,+∞.所以()()min ''00f x f ==,所以对x ∀∈ R , ()'0f x ≥,即1xe x ≥+.①当1x ≥-时, 10x +≥,又()1,11m m x x ≤∴+≤+, ()()110xxe m x e x ∴-+≥-+≥,即()'0f x ≥,所以当1x ≥-时,函数()f x 为增函数,又()00f =,所以当0x > 时, ()0f x >,当10x -≤<时,()0f x <,所以函数()f x 在区间[)1,-+∞上有且仅有一个零点,且为0.②当1x <-时,(ⅰ)当01m ≤≤时, ()10,0xm x e -+≥>,所以()()'10xf x e m x =-+>,所以函数()f x 在(),1-∞-上递增,所以()()1f x f <-,且()11111,10222m m m f e e ----=+-+-<<,故01m ≤≤时,函数()y f x =在区间(),1-∞-上无零点.(ⅱ)当0m <时, ()'xf x e mx m =--,令()xh x e mx m =--,则()'0xh x e m =->,所以函数()'xf x e mx m =--在(),1-∞-上单调递增, ()1'10f e --=>,当11e x m-=-时, ()1111'1110e e e f x m m e m m m ----⎛⎫⎛⎫=----=⋅-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又曲线()'f x 在区间11,1e m -⎛⎫--⎪⎝⎭上不间断,所以1*1,1e x m -⎛⎫∃∈-- ⎪⎝⎭,使()*'0f x =,故当()*,1x x ∈-时, ()()()*10'''1f x f x f e -=<<-=,当()*,x x ∈-∞时, ()()*''0f x f x <=,所以函数()212x m f x e x mx =---的减区间为()*,x -∞,增区间为()*,1x -,又()11102m f e --=+-<,所以对)()*1,0x x f x ⎡∀∈-<⎣,又当1x <时, ()210,02m x mx f x --->∴>,又()*0f x <,曲线()212x m f x e x mx =---在区间*x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上不间断.所以()*0,x x ∃∈-∞,且唯一实数0x ,使得()00f x =,综上,当01m ≤≤时,函数()y f x =有且仅有一个零点;当0m <时,函数()y f x =有个两零点.点睛:已知函数有零点求参数常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成函数的值域问题解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一个平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解. 22.选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为12{(x m tt y =+=为参数),以坐标原点为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,椭圆C 的极坐标方程为222455cos 9sin θθρ+=,且直线l 经过椭圆C 的右焦点F .(1)求椭圆C 的内接矩形PMNQ 面积的最大值; (2)若直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,求FA FB ⋅的值. 【答案】(1)(2)258FA FB ⋅=. 【解析】试题分析:(1)设椭圆C 的内接矩形PMNQ 中, P 的坐标为()3cos αα,43cos cos PMNQ S ααααα=⨯==即可求最值;(2)用直线的参数方程和椭圆联立,得2810250,t t +-=根据参数的几何意义可得12FA FB t t ⋅=求解即可.试题解析:(1)椭圆C 化为222222225cos 9sin 45,5945,195x y x y ρθρθ+=∴+=∴+=. 设椭圆C 的内接矩形PMNQ 中, P的坐标为()3cos αα,43cos 12cos PMNQ S ααααα∴=⨯==≤所以椭圆C 的内接矩形PMNQ面积最大值为(2)由椭圆C 的方程22195x y +=,得椭圆C 的右焦点()2,0F ,由直线l 经过右焦点()2,0F ,得2m =,易得直线l的参数方程可化为122{(x tt y =+=为参数),代入到225945x y +=, 整理得, 21225810250,8t t t t +-=∴=-,即258FA FB ⋅=. 23.选修4-5:不等式选讲 已知()11f x x x =-++. (1)求()2f x x ≤+的解集;(2)若()33(22g x x x x R =++-∈),求证:()121a a g x a +--≤对a R ∀∈,且0a ≠成立. 【答案】(1){|02}x x ≤≤;(2)见解析. 【解析】试题分析:(1)讨论去绝对值求解即可; (2)利用绝对值三角不等式可得1213a a a+--≤,又()min 3g x =,即可证明.试题解析:(1)由()2f x x ≤+,得20{1112x x x x x +≥≤----≤+或20{11112x x x x x +≥-<<-++≤+或20{1112x x x x x +≥≥-++≤+, 解之得02x ≤≤, ()2f x x ∴≤+的解集为{|02}x x ≤≤.(2)1211112||a a aa a+--=+--,11111212a a a a+--≤++-,11111212a a a a +--≤++-,当且仅当11120a a ⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时,取等号. 11123a a ∴+--≤,即1213a a a+--≤,又因为当x ∈ R 时, ()()min 1213,a a g x g x a+--=∴≤对a ∀∈ R ,且0a ≠成立.。
【关键字】分析2017年福建省宁德市高考数学一模试卷(理科)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.已知全集U=R,集合A={x∈N|x2﹣6x+5≤0},B={x∈N|x>2},图中阴影部分所表示的集合为()A.{0,1,2} B.{1,2} C.{1} D.{0,1}2.在复平面内,单数z=(i为虚数单位)对应点的坐标是()A.(1,4)B.(4,﹣1)C.(4,1)D.(﹣1,4)3.(﹣+)10的展开式中x2的系数等于()A.45 B.﹣20 C.﹣45 D.﹣904.已知变量x,y满足约束条件,则的取值范围是()A.B.C.(﹣∞,3]∪[6,+∞)D.[3,6]5.若将函数y=sin(6x+)图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),再将所得图象沿x轴向右平移个单位长度,则所得图象的一个对称中心是()A.(,0)B.(,0)C.(,0)D.(,0)6.若数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,且a2=3a4﹣6,则S9等于()A.54 B.50 C.27 D.257.已知圆C:x2+y2﹣2x+4y=0关于直线3x﹣ay﹣11=0对称,则圆C中以(,﹣)为中点的弦长为()A.1 B.2 C.3 D.48.执行如图所示的程序框图,若输入t的值为5,则输出的s的值为()A.B.C.D.9.若从区间(0,e)(e为自然对数的底数,e=2.71828…)内随机选取两个数,则这两个数之积小于e的概率为()A.B.C.1﹣D.1﹣10.函数f(x)=的图象大致为()A.B.C.D.11.已知三棱椎S﹣ABC的各顶点都在一个球面上,球心O在AB上,SO⊥底面ABC,球的体积与三棱锥体积之比是4π,AC=,则该球的表面积等于()A.πB.2πC.3πD.4π12.已知函数f(x)=,若方程f(f(x))﹣2=0恰有三个实数根,则实数k的取值范围是()A.[0,+∞) B.[1,3] C.(﹣1,﹣] D.[﹣1,﹣]二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.设向量=(﹣1,2),=(m,1),如果向量+2与2﹣平行,则+=.14.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.15.已知双曲线x2﹣=1的左右焦点分别为F1、F2,过点F2的直线交双曲线右支于A、B两点,若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形,则实数m的值为.16.数列{an}满足a1+a2+a3+…an=2n﹣an(n∈N+).数列{bn}满足bn=,则{bn}中的最大项的值是.三、解答题(共5小题,满分60分)17.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且=.(Ⅰ)求角A的值;(Ⅱ)若B=,且△ABC的面积为4,求BC边上的中线AM的大小.18.某教师为了分析所任教班级某将考试的成绩,将全班同学的成绩做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组频数频率[50,60)30.06[60,70)m0.10[70,80)13n[80,90)p q[90,100]90.18总计t1(1)求表中t,q及图中a的值;(2)该教师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进行面批,设X表示所抽取学生中成绩低于60分的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.19.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=60°,∠A1AC=∠A1AB,AA1=AB=AC=2,点O 是BC的中点.(1)求证:BC⊥平面A1AO;(2)若A1O=1,求直线BB1与平面A1C1B所成角的正弦值.20.已知椭圆E:+=1(a>b>0)过点P(1,),且一个焦点为F1(﹣1,0).(1)求椭圆E的方程;(2)若PA、PB、PC为椭圆E的三条弦,PA、PB所在的直线分别与x轴交于点M,N,且|PM|=|PN|,PC∥AB,求直线PC的方程.21.已知函数f(x)=alnx+x2﹣4x(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调区间;(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)(x2>x1>0)是曲线y=f(x)上的两点,x0=,问:是否存在a,使得直线AB的斜率等于f′(x0)?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.四、选做题:(选修4-4:坐标系与参数方程)(请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。
2017年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷理 科 数 学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分.第I 卷1至3页,第II 卷4至6页,满分150.第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设全集{|13}U x x =∈-≤≤Z ,0.5{1,2},{|log ,}A B y y x x A ===∈,则集合()U C AB =(A ){3}(B ){1,0,3}-(C ){1,0,1,2}-(D ){1,0,1,2,3}-(2)若复数z 满足i1i z z =-,其中i 是虚数单位,则复数z 的共轭复数为 (A )11i 22-+ (B )11i 22-- (C )11i 22- (D )11i 22+(3)等差数列{}n a 的公差为2,若2a ,4a ,8a 成等比数列,则{}n a 的前8项和8S = (A )72(B )56(C )36(D ) 16(4)已知函数()2cos (0)f x x ωω=>图象的两相邻对称轴间的距离为2π.若将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后,再将得到图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到()y g x =的图象,则()y g x =在下列区间上为减函数的是(A )2233ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, (B )[]π0, (C )[]2ππ,3 (D )23π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦, (5)阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,则 输出的结果是(A )12 (B )23(C )89(D )1(6)已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=-,当(]0,2x ∈时,()=2x f x ,则在区间(]4,6上满足 ()=(3)12f x f +的实数x 的值为(A ) 6 (B )5(C )92(D )2log 21(7)若关于x 的不等式224k k kx -+≥的解集是M ,则对任意的正实数k ,总有开始1k =1?ba≤输出b 结束是否 2,03a b ==2()3ka k =⋅b a= 1k k =+(A ){}01x x M ≤<⊆ (B ){}13x x M ≤≤⊆ (C ){}13x x M ≤<⊆ (D ){}24x x M <≤⊆(8)等腰梯形ABCD 中,//AD BC ,2AB AD DC ===,60B ∠=.若抛物线Γ恰过,,,A B C D 四点,则该抛物线的焦点到其准线的距离为(A )36 (B )33 (C )32(D )3 (9)设1e ,2e 为单位向量,满足1212⋅=e e ,非零向量112212,,λλλλ=+∈R a e e ,则1||||λa 的最大值为(A )12(B )32(C )1 (D )233(10)榫卯(sŭn măo )是我国古代工匠极为精巧的发明,它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式. 我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等 建筑都用到了榫卯结构.如图所示是一种榫卯构件中 卯的三视图,其体积为 (A )21 (B ) 22.5 (C )23.5 (D ) 25(11)已知F 是双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点,P 是y 轴正半轴上一点,以OP为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M .若点P ,M ,F 三点共线,且MFO ∆的面积是PMO ∆面积的5倍,则双曲线C 的离心率为(A )3 (B )5 (C )6 (D )7(12)已知直线1:l y x a =+分别与直线2:2(1)l y x =+ 及曲线:ln C y x x =+交于A ,B 两点,则A ,B 两点间距离的最小值为(A )355 (B )3 (C )655(D )322017年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷理 科 数 学第II 卷注意事项:用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答. 在试题卷上作答,答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)、(23)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.(13)若3(1)(1)x ax -+的展开式中2x 的系数为2,则实数a 的值为__________.(14)“微信抢红包”自2015年以来异常火爆.在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发红包的总金额为9元,被随机分配为1.49元,1.31元,2.19元,3.40元,0.61元,共5份,供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是__________. (15)已知菱形ABCD 的边长为6,60A ∠=.沿对角线BD 将该菱形折成锐二面角A BD C --,连结AC .若三棱锥A BCD -的体积为2732,则该三棱锥的外接球的表面积为__________. (16)若数列{}n a 满足211()()lg(1)n n n n a a a n n n+-=+++,且11a =,则100a =__________.三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. (17)(本小题满分12分)如图,在ABC ∆中,3B π∠=.D 为边BC 上的点,E 为AD 上的点,且8AE =,410AC =,4CED π∠=.(Ⅰ)求CE 的长;(Ⅱ)若5CD =,求cos DAB ∠的值.(18)(本小题满分12分)某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队.经对本地养鱼场年利润率的调研,得到如图所示年利润率的频率分布直方图.对远洋捕捞队的调研结果是:年利润率为60%的可能性为0.6,不赔不赚的可能性为0.2,亏损30%的可能性为0.2.假设该公司投资本地养鱼场的资金为(0)x x ≥千万元,投资远洋捕捞队的资金为(0)y y ≥千万元. (Ⅰ)利用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润ξ的分布列和数学期望E ξ.EDCBA(Ⅱ)为确保本地的鲜鱼供应,市政府要求该公司对本地养鱼场的投资不得低于远洋捕捞队的一半.试用调研数据,给出公司分配投资金额的建议,使得明年两个项目的利润之和最大.(19)(本小题满分12分)在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是正方形,//EF AB ,1DE EF ==,2DC BF ==,30EAD ︒∠=.(Ⅰ)求证:AE ⊥平面CDEF ;(Ⅱ)在线段BD 上确定一点G ,使得平面EAD 与平面FAG 所成的角为30.(20)(本小题满分12分)已知过点(1,3)-,(1,1)且圆心在直线1y x =-上的圆C 与x 轴相交于,A B 两点,曲线Γ上的任意一点P 与,A B 两点连线的斜率之积为34-.(Ⅰ)求曲线Γ的方程;(Ⅱ)过原点O 作射线OM ,ON ,分别平行于PA ,PB ,交曲线Γ于M ,N 两点,求OM ON ⋅的取值范围.(21)(本小题满分12分)已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足1()()f x f x=,且当[1,)x ∈+∞时,GFEDCBA11()e ln ()x f x x a x t x-=++--,t ∈R .(Ⅰ)若0a ≥,试讨论函数()f x 的零点个数; (Ⅱ)若1t =,求证:当1a ≥-时,()0f x ≥.请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号. (22)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy ,直线l 的参数方程是+cos ,sin .x m t y t αα=⎧⎨=⎩(t 是参数).在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C :4cos ρθ=.(Ⅰ)当1m =-,=30α时,判断直线l 与曲线C 的位置关系;(Ⅱ)当1m =时,若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点,设(1,0)P ,且1PA PB -=,求直线l 的倾斜角.(23)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数()()212f x x x t t =+--∈R . (Ⅰ)当3t =时,解关于x 的不等式()1f x <; (Ⅱ)x ∃∈R ,使()5f x ≤-,求t 的取值范围.2017年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷数学(理科)参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则.二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分60分. (1)A (2)B (3)A (4)D (5)C (6)B (7)A (8)C (9)D (10)B (11)C (12)D二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分20分.(13)13(14)25 (15)52π (16)300三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.(17)本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想等.满分12分. 解:(Ⅰ) ∵344AEC ππ∠=π-=,……………………………………………1分 在AEC ∆中,由余弦定理得2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅∠,………2分 ∴21606482CE CE =++,∴282960CE CE +-=, ………………………………………………………4分 ∴42CE =. ………………………………………………………………………5分 (Ⅱ)在CDE ∆中,由正弦定理得sin sin CE CDCDE CED=∠∠, ………………6分 ∴25sin 422CDE ∠=⨯, ∴4sin 5CDE ∠=, ………………………………………………………………7分 ∵点D 在边BC 上,∴3CDE B π∠>∠=, ∴CDE ∠只能为钝角,………………………………………………………8分∴3cos 5CDE ∠=-,…………………………………………………………9分∴cos cos()3DAB CDE π∠=∠- ,………………………………………10分cos cos sin sin 33CDE CDE ππ=∠+∠31435252=-⨯+⨯43310-=.……………………………………………………………………12分 (18)本小题主要考查频率分布直方图、平均数、随机变量的分布列及数学期望、线性规划等基础知识,考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识,考查分类与整合思想、统计思想、化归与转化思想.满分12分.解:(Ⅰ)随机变量ξ的可能取值为0.6y ,0,﹣0.3y ,……………………1分随机变量ξ的分布列为 ξy 6.00 ﹣0.3yP0.6 0.2 0.2…………………3分 ∴0.360.060.3E y y y ξ=-=;………………………………………………………4分 (Ⅱ)根据题意得,,x y 满足的条件为:6,1,20,0.x y x y x y +≤⎧⎪⎪≥⎪⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ ①………………………6分 由频率分布直方图得本地养鱼场的年平均利润率为0.30.20.5(0.1)0.20.50.10.2 1.00.30.2 2.00.50.2 1.00.20-⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以本地养鱼场的年利润为0.20x 千万元. ………………8分 所以明年两个项目的利润之和为0.20.3z x y =+ ………9分 作出不等式组①所表示的平面区域如右图所示,即可行域. 当直线0.20.3z x y =+经过可行域上的点M 时,截距3.0z最大, 即z 最大.………………………………………………………………10分 解方程组6,1.2x y x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得2,4.x y =⎧⎨=⎩ ………………………………11分 所以z 的最大值为0.2020.304 1.6⨯+⨯=千万元.即公司投资本地养鱼场和远洋捕捞队的资金应分别为2千万元、4千万元时,明年两个项目的利润之和的最大值为1.6千万元 ……………………………12分19.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分12分. 解:(Ⅰ) 四边形ABCD 是正方形,∴2AD DC ==.在ADE ∆中,EADDEAED AD ∠=∠sin sin ,即030sin 1sin 2=∠AED 1sin =∠AED090AED ∴∠=,即AE DE ⊥. ………………… 2分 在梯形ABFE 中,过点E 作EP//BF ,交AB 于点P . ∵EF//AB ,∴EP=BF =2.,PB=EF =1, ∴AP=AB-PB =1在ADE t ∆R 中,可求3AE =,4,4222==+EP AP AE ∴222EP AP AE =+∴AE AB ⊥..………………………………………… 4分 ∴AE EF ⊥.GFE DCBAP642yxOM又EF DE E =,∴AE ⊥平面CDEF .……………………………… 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得,AE DC ⊥,又AD DC ⊥, ∴DC ⊥平面AED ,又DC ⊂平面ABCD , ∴平面ABCD ⊥平面AED .…………………6分 如图,过D 作平面ABCD 的垂线DH ,以点D 为坐标原点,,,DA DC DH 所在直线分别 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则13(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(,1,),(2,0,0)22D B C F A ,(2,2,0)DB =,33(,1,)22AF =-.……………7分 设(2,2,0)DG DB λλλ==,[0,1]λ∈,则(22,2,0)AG λλ=-. 设平面FAG 的一个法向量1(,,),x y z =n 则11,AF AG ⊥⊥uuu v uuu v n n ,∴110,0,AF AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u v uuu v n n 即33022(22)20x y+z x+y λλ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩,,令3x λ=- ,得 1(3,3(1)25).λλλ=---,n ……………………………………………………………9分易知平面EAD 的一个法向量2(01,0)=,n .………………………………………8分由已知得12222123(1)3cos30233(1)(25)λλλλ-⋅===⋅+-+-n n n n o,化简得29610λλ-+=,∴13λ=. ……………………………………………………………………………11分∴当点G 满足13DG DB =时,平面EAD 与平面FAG 所成角的大小为30.………12分20.本题主要考查直线、圆、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,考查考生分析问题和解决问题的能力,满分12分. 解法一:(Ⅰ)∵圆C 过点(1,3)-,(1,1),∴圆心在直线1y =-上,………………………………………………………………1分 又圆心在直线1y x =-上,∴当1y =-时,0x =,即圆心为(0,1)-.……………………………………2分 又(0,1)-与(1,1)的距离为5,∴圆C 的方程为22(1)5x y ++=.………………………………………………3分 令0y =,得2x =±. ……………………………………………………………4分A z yxGFEDC B不妨设(2,0)A -,(2,0)B , 由题意可得2AP y k x =+,2BP y k x =-, ∴3224AP BPy y k k x x ⋅=⋅=-+-, ∴曲线Γ的方程为:22143x y +=(2x ≠±).………………………………6分 (Ⅱ)设11(,)M x y ,射线OM 的斜率为(0)k k ≠,则射线ON 的斜率为34k-. 22,1,43y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得212221212,3412.34x kk y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩………………………7分 ∴22211212(1)34k OM x y k +=+=+.………………………8分同理,22222292712(1)121691649943343164k k k ON k k k +++===++⨯+…9分 ∴222212(1)169=3443k k OM ON k k ++⋅⋅++.设234(3)k t t +=>,则234t k -=, ∴23(1)431149=9()64t t OM ON t t t +-⋅⋅=--+,………………………………10分 又∵11(0,)3t ∈,∴7(23,]2OM ON ⋅∈.………………………………………………………………12分解法二:(Ⅰ)同解法一;(Ⅱ)设11(,)M x y ,射线OM 的斜率为(0)k k ≠,则射线ON 的斜率为34k-. 22,1,43y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得212221212,3412.34x kk y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩………………………………………………7分 ∴22211212(1)34k OM x y k +=+=+.………………………………………………8分同理22222292712(1)121691649943343164k k k ON k k k+++===++⨯+,……………………………9分∴2242224212(1)16912(16259)==344316249k k k k OM ON k k k k ++++⋅⋅++++24222112(1)=1219162491624k k k k k ⎛⎫ ⎪=++⎪++ ⎪++ ⎪⎝⎭……………………………10分 481924161022≤++<k k ………………………………………………………11分 2732≤⋅<∴ON OM 即7(23,]2OM ON ⋅∈.………………………………………………………12分(21)本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.满分12分.解: (Ⅰ)[1,)x ∈+∞时,121()e 0x af x a x x-'=+++>,……………………………1分 ∴()f x 在[1,)+∞上为增函数;……………………………………………………… 2分 当(0,1]x ∈时,1[1,+x ∈∞),又1()()f x f x=,∴211()()0f x f x x''=-<, ∴()f x 在(0,1]上为减函数. ………………………………………………………………3分∴min ()(1)1f x f t ==-.∴当1t <时,函数()f x 在定义域内无零点; 当1t =时,函数()f x 在定义域内有一个零点; 当1t >时,(1)10f t =-<,e 1e 111(e )e lne (e )e (e )0e ett t t t t t t f a t a --=++--=+->, ∴函数()f x 在[1,)+∞上必有一个零点.又由1()()f x f x=,故函数()f x 在(0,1]上也必有一个零点.∴当1t >时,函数()f x 在定义域内有两个零点.………………………………………6分 (Ⅱ)[1,)x ∈+∞时,∵1a ≥-,10x x -≥,故11()a x x x x-≥-+, ∴111111()e ln ()1e ln 1(e )(ln 1)x x x f x x a x x x x x x x x---=++--≥+-+-=-++-,……7分设1()e x g x x -=-,则1()e 10x g x -'=-≥,()g x 在[1,)+∞上单调递增,∴()(1)0g x g ≥=,∴1e x x -≥,……………………………………………………………9分∴1ln x x -≥,又111ln x x-≥, 故1ln 1x x ≥-,即1ln 10x x+-≥,…………………………………10分 ∴11(e )(ln 1)0x x x x --++-≥. ∴当1a ≥-时,当[1,)x ∈+∞时,11()e ln ()10x f x x a x x-=++--≥, 又(0,1]x ∈时,1()()f x f x=,………………………………………11分 所以当(0,1)x ∈时,11()e ln ()10x f x x a x x-=++--≥也成立. 综上,当1a ≥-时,()0f x ≥.………………………………………12分(22)选修44-;坐标系与参数方程本小题考查直线的参数方程和圆的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等. 满分10分.解:(Ⅰ)由4cos ρθ=,得24cos ρρθ=,又cos x ρθ=,sin y ρθ=,得曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=,…………………………… 2分所以曲线C 是以(2,0)M 为圆心,2为半径的圆.由直线l 的参数方程为31,21,2x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数), 得直线l 的直角坐标方程为310x y -+=. …………………………4分由圆心M 到直线l 的距离|201|32213d -+==<+, 故直线l 与曲线C 相交. ……………………………………………………5分(Ⅱ)直线l 为经过点(1,0)P 倾斜角为α的直线,由1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22(2)4x y -+=,整理得 22cos 30t t α--=,………………………………………………………6分2(2cos )120α∆=+>,设,A B 对应的参数分别为12,t t ,则122cos t t α+=,1230t t ⋅=-<,所以12,t t 异号, …………………………………………………………7分则12|||||||||2cos |1PA PB t t α-=+==,…………………………………8分 所以1cos 2α=± 又[)0,απ∈……………………………………………9分 所以直线l 的倾斜角3απ=或23π. …………………………………10分 (23)选修45-:不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想等. 满分10分. 解(Ⅰ)原不等式可化为3,221231x x x ⎧>⎪⎨⎪+-+<⎩或132221231x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-<⎩,或122123 1.x x x ⎧<-⎪⎨⎪--+-<⎩,.....3分 解得x ∈∅或1324x -≤<或12x <-.. ....................................................4分 综上,原不等式的解集是34x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.........................................................5分 (Ⅱ)解:,x ∃∈R 使()5f x ≤-,等价于min ()5f x ≤-...................................6分()()()212212=1+f x x x t x x t t =+--≤+-- ........................................7分1+()1+t f x t ∴-≤≤,所以()f x 取得最小值1+t -.................................................................................8分1+5t ∴-≤-,得4t ≥或6,t ≤-∴t 的取值范围是(][)64,-∞-+∞,..............................................................10分。
2017届福建省三明市高三下学期普通高中毕业班5月质量检查数学(理)试题一、选择题1.已知集合{|1216}x A x =<≤, {|}B x x a =<,若A B A ⋂=,则实数a 的取值范围是( ) A. 4a > B. 4a ≥ C. 0a ≥ D. 0a > 【答案】A【解析】由题意可知: {|04}A x x =<≤,结合集合B 和题意可得实数a 的取值范围是 4a > . 本题选择A 选项.2.已知i 是虚数单位,则复数134ii-++的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D【解析】由题意可得: ()()()()1341173434342525i i i z i i i i -+--+===+++-,则172525z i =-, 复数134ii-++的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为第四象限. 本题选择D 选项.3.6名同学合影留念,站成两排三列,则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的概率为( ) A.15 B. 25 C. 49 D. 45【答案】B【解析】考查这6名同学的站队方法,根据题意,分3步进行讨论:1、先安排甲,在6个位置中任选一个即可,有166C =种选法;2、在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的2个位置中,任选一个,安排乙,有122C =种选法;3、将剩余的4个人,安排在其余的4个位置,有4424A =种安排方法;则这6名同学的站队方法有6×2×24=288种; 由古典概型公式: 28826!5p ==. 4.设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点, P 为Γ上一点, 2PF 与x 轴垂直,直线1PF 的斜率为34,则双曲线Γ的渐近线方程为( )A. y x =±B. y =C. y =D. 2y x =±【答案】C【解析】不妨设点P 位于第一象限,点P 的 坐标为(),P c m ,则: 22221c m a b -=,解得: 2b m a =,即: 2,b Pc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,又()1,0F c -,据此有: ()1234PF b a k c c -==--, 整理可得: 22320e e --=,结合离心率的范围可得: 2ce a==, 则:2222243,a b b bc a a+=⇒==,双曲线Γ的渐近线方程为y =. 本题选择C 选项.5.执行如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入x 的值为2,则输出S 的值为A. 64B. 84C. 340D. 1364 【答案】B【解析】执行该程序框图,第一次循环, 2,4x S ==;第二次循环, 4,41620x S ==+=;第三次循环, 8,206484x S ==+=, 8464> 结束循环,输出84S = ,故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的条件结构流程图,属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点:(1) 不要混淆处理框和输入框;(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构;(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构;(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数;(5) 要注意各个框的顺序,(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可.6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a =, ()*1·2n n n a a n N +=∈,则2016S =( ) A. 10083?23- B. 201621- C. 200923- D. 200823-【答案】A【解析】∵数列{a n }满足a 1=1,a n +1⋅a n =2n(n ∈N ∗), ∴a 2⋅a 1=2,解得a 2=2.当n ⩾2时, 12121222nn n n n n n na a a a a a +++++=⇒=,∴数列{a n }的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2. 则()()()100810081008201613201524201622121S 3232121a a a a a a --=+++++++=+=⋅--- .本题选择A 选项.7.已知函数()()()sin 2cos (0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<的图象关于直线x π=对称,则cos2ϕ=( ) A.35 B. 35- C. 45 D. 45- 【答案】A【解析】由题意可得: ()()f x x ϕγ=+-,其中sin γγ==, 当x π=时: 2222x k k πϕγπϕγπϕππγ++=++=+⇒=-+,据此: ()223cos2cos 22cos2sin cos 5k ϕππγγγγ=-+=-=-=. 本题选择A 选项.8.在区域()0{,|11x x y x y x y ≥⎧⎫⎪⎪Ω=+≤⎨⎬⎪⎪-≤⎩⎭中,若满足0ax y +>的区域面积占Ω面积的13,则实数a 的值是( )A.23 B. 12 C. 12- D. 23- 【答案】C【解析】如图所示,绘制不等式所表示的可行域, 12112ABC S =⨯⨯= , 则满足0ax y +>的区域面积13OAD S =,据此可得: 21,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 代入直线方程可得: 12a =-.本题选择C 选项.点睛:线性规划有很强的实用性,线性规划问题常有以下几种类型:(1)平面区域的确定问题;(2)区域面积问题;(3)最值问题;(4)逆向求参数问题.而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值.9.在四面体ABCD中,若AB CD == 2AC BD ==,AD BC =AB 与CD 所成角的余弦值为( ) A. 13-B. 14-C. 14D. 13【答案】D【解析】如图所示,该四面体为长方体的 四个顶点,设 长方体的 长宽高分别为,,a b c ,则:2222223{45a b a c b c +=+=+=,解得:1{a b c === 问题等价于求解线段AB 与线段''C D 夹角的余弦值, 结合边长和余弦定理可得:直线AB 与CD 所成角的余弦值为 13。
2017年福建省宁德市高考数学一模试卷(理科)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.已知全集U=R,集合A={x∈N|x2﹣6x+5≤0},B={x∈N|x>2},图中阴影部分所表示的集合为()A.{0,1,2}B.{1,2}C.{1}D.{0,1}2.在复平面内,复数z=(i为虚数单位)对应点的坐标是()A.(1,4) B.(4,﹣1)C.(4,1) D.(﹣1,4)3.(﹣+)10的展开式中x2的系数等于()A.45 B.﹣20 C.﹣45 D.﹣904.已知变量x,y满足约束条件,则的取值范围是()A. B.C.(﹣∞,3]∪[6,+∞)D.[3,6]5.若将函数y=sin(6x+)图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),再将所得图象沿x轴向右平移个单位长度,则所得图象的一个对称中心是()A.(,0)B.(,0)C.(,0)D.(,0)6.若数列{a n}为等差数列,S n为其前n项和,且a2=3a4﹣6,则S9等于()A.54 B.50 C.27 D.257.已知圆C:x2+y2﹣2x+4y=0关于直线3x﹣ay﹣11=0对称,则圆C中以(,﹣)为中点的弦长为()A.1 B.2 C.3 D.48.执行如图所示的程序框图,若输入t的值为5,则输出的s的值为()A.B.C.D.9.若从区间(0,e)(e为自然对数的底数,e=2.71828…)内随机选取两个数,则这两个数之积小于e的概率为()A.B.C.1﹣D.1﹣10.函数f(x)=的图象大致为()A.B.C.D.11.已知三棱椎S﹣ABC的各顶点都在一个球面上,球心O在AB上,SO⊥底面ABC,球的体积与三棱锥体积之比是4π,AC=,则该球的表面积等于()A.πB.2πC.3πD.4π12.已知函数f(x)=,若方程f(f(x))﹣2=0恰有三个实数根,则实数k的取值范围是()A.[0,+∞)B.[1,3]C.(﹣1,﹣] D.[﹣1,﹣]二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.设向量=(﹣1,2),=(m,1),如果向量+2与2﹣平行,则+=.14.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.15.已知双曲线x2﹣=1的左右焦点分别为F1、F2,过点F2的直线交双曲线右支于A、B两点,若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形,则实数m的值为.16.数列{a n}满足a1+a2+a3+…a n=2n﹣a n(n∈N+).数列{b n}满足b n=,则{b n}中的最大项的值是.三、解答题(共5小题,满分60分)17.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且=.(Ⅰ)求角A的值;(Ⅱ)若B=,且△ABC的面积为4,求BC边上的中线AM的大小.18.某教师为了分析所任教班级某将考试的成绩,将全班同学的成绩做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.a的值;(2)该教师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进行面批,设X表示所抽取学生中成绩低于60分的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.19.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=60°,∠A1AC=∠A1AB,AA1=AB=AC=2,点O是BC 的中点.(1)求证:BC⊥平面A1AO;(2)若A1O=1,求直线BB1与平面A1C1B所成角的正弦值.20.已知椭圆E: +=1(a>b>0)过点P(1,),且一个焦点为F1(﹣1,0).(1)求椭圆E的方程;(2)若PA、PB、PC为椭圆E的三条弦,PA、PB所在的直线分别与x轴交于点M,N,且|PM|=|PN|,PC∥AB,求直线PC的方程.21.已知函数f(x)=alnx+x2﹣4x(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调区间;(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)(x2>x1>0)是曲线y=f(x)上的两点,x0=,问:是否存在a,使得直线AB的斜率等于f′(x0)?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.四、选做题:(选修4-4:坐标系与参数方程)(请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。
2018年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学(理科)试题参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则.二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分60分. 1.D 2.C 3.A 4.D 5.C 6.B 7.D 8.C 9.B 10.B 11.A 12.D二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分20分.13.23- 14.8 15.9800 16三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.本小题主要考查数列及数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想等,满分12分. 解:(1)由题设132n n S a +=-, 当2n ≥时,132n n S a -=-,两式相减得13n n n a a a +=-,即14n n a a += . …………………2分又1a =2,1232a a =-,可得28a =, ∴214a a =. ………………………………3分∴数列{}n a 构成首项为2,公比为4的等比数列,∴121242n n n a --=⨯=. ………………………………5分 (没有验证214a a =扣一分)(2)∵212log 221n n b n -==-,………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅(*n ∈N ), ………………7分 ∴2n ≥时,22111(21)(22)(1)1n c n n n n n n n n=<==--⋅-⋅-⋅- , ………9分∴1231111112()()()12231n c c c c n n ++++≤+-+-++-- …………10分13n=- ………………………………11分3<. ………………………………12分解法二:(1)同解法一;(2)∵212log 221n n b n -==-,………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅(*n ∈N ), ………………7分∵2n ≥时,211n n -≥+, ∴22112()(21)(1)1n c n n n n n n =≤=--⋅+⋅+ , ………9分∴123111122()()23+1n c c c c n n ⎡⎤++++≤+-++-⎢⎥⎣⎦…………10分 112221n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭………………………………11分3<. ………………………………12分解法三:(1)同解法一;(2)∵212log 221n n b n -==-,………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅(*n ∈N ), ………………7分∴2n ≥时,22112()(21)(1)1n c n n n n n n=≤=--⋅-⋅- , ………8分∴1231234511112()()561n c c c c c c c c c n n ⎡⎤++++≤+++++-++-⎢⎥-⎣⎦…………10分 1212112231514455n ⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭…………………………11分619223630n<+-<. ………………………………12分18.本小题主要考查频率分布表、平均数、随机变量的分布列及数学期望等基础知识,考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识,考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想.满分12分.解法一:(1)当2040t <≤时,0.1215y t =+ ………………………………1分 当4060t <≤时,.y t t=⨯+-+. ………………………………2分 得:0.1215,2040,0.211.8,4060t t y t t +<≤⎧=⎨+<≤⎩………………………………3分(2)张先生租用一次新能源分时租赁汽车,为“路段畅通”的概率2182505P +==……4分错误!未找到引用源。
2017年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查数学(理科)试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题),第II 卷第(21)题为选考题,其它题为必考题.满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式:第I 卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =≥,下图中阴影部分所表示的集合为A .{0,1,2}B .{1,2}C .{1}D .{0,1}2.“1a =”是“直线10ax y ++=和直线0ax y -=互相垂直”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件3.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A .12y x = B .2y x =C.y x =D.y = 4.运行右图所示的程序框图.若输入4x =,则输出y 的值为A .49B .25C .13D .75.若平面区域02,20,2x y y kx ≤≤⎧⎪-≤≤⎨⎪≥+⎩是一个梯形,则实数k 的取值范围是A .(2,1)--B .(,1)-∞-C .(2,)-+∞D .(,-∞-6.函数()sin ()f x x x x =-∈R 的部分图像可能是A .B .C .D .7.已知,,A B C 是圆221x y +=上不同的三个点,O 为坐标原点,0OA OB ⋅=.若存在实数,λμ 使得OC =OA OB λμ+,则,λμ的关系为A .221λμ+=B .111λμ+= C .1λμ⋅= D . 1λμ+=8.从{1,2,3,4,5}中任取4个不同的元素构成四位数,则与数1234相应数位上的数字至少有2个相同的四位数的个数为 A .33B .23C .22D .199.从区间I 中随机选取一个数为a ,从[0,1]中随机选取一个数为b .若复数i z a b =+(i 为虚数单位)满足1z >的概率是4π4-,则区间I 不.可能..是 A .[0,1] B .[1,1]- C .11[,]22-D .[1,0]-10.已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=,当[0,1]x ∈时,12,0,2()122, 1.2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩定义1()()f x f x =,2()(2)f x f x =,…,1()(2)n n f x f x -=.若直线(1)y k x =+与曲线4()y f x =在[0,1]x ∈上恰有16个交点,则k 的取值范围是 A .7015k <<B .8015k <<C .15031k <<D .16031k << GkStK第II 卷 (非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡相应位置.11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3610a a +=,则8S 的值为________. 12.在某次测量中,测量结果ξ服从正态分布2N(1,)σ,若ξ在(0,1)内取值的概率0.35, 则ξ在(0,2)内取值的概率为________.13.如图是长方体截去一个角后的多面体的三视图,则这个多面体的体积为 .14.某观测站D 的正北6海里和正西2海里处分别有海岛A 、B ,现在A 、B 连线的中点E 处有一艘渔船因故障抛锚.若在D 的正东3海里C 处的轮船接到观测站D 的通知后,立即启航沿直线距离前去营救,则该艘轮船行驶的路程为 海里. 15.已知集合{1,2,3,,}()M n n *=∈N ,若集合123{,,,,}()m A a a a a M m *=⊆∈N ,且对任意的b M ∈,存在,(1)i j a a A i j m ∈≤≤≤,使得12i j b a a λλ=+(其中12,{1,0,1}λλ∈-),则称集合A 为集合M 的一个m -生成元.若集合A 为集合{1,2,3,,8}M =的一个m -生成元,则m 的最小可能值为 .正视图侧视图三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分13分)函数()2sin()ωϕ=+f x x (0,0)2ωϕπ><<的部分图象如下图所示,该图象与y 轴交于点(0,1)F ,与x 轴交于点,B C ,M 为最高点,且三角形MBC 的面积为π.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)若()(0,)62f ααππ-=∈,求cos(2)4απ+的值.GkStK17.(本小题满分13分)某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位:万盒)(Ⅰ)该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+,根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b=,试求出ˆa 的值,并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数; (Ⅱ)若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒,小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊,后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.18.(本小题满分13分)如图,已知椭圆C : 22221(0)x y a b a b+=>>与抛物线E :24=y x 有一个公共的焦点F ,且两曲线在第一象限的交点P 的横坐标为23.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)直线:l y kx =与抛物线E 的交点为O ,Q ,与椭圆C 的交点为M ,N (N 在线段OQ 上),且=MO NQ . 问满足条件的直线l 有几条,说明理由.19.(本小题满分13分)如图,在三棱柱111-ABC A B C 中,1AA ⊥平面ABC ,AB AC ==14BC BB ==,,D E 分别为BC ,1BB 的中点,点M 在棱11B C 上,且11114B M BC =.(Ⅰ)求证:平面ACE ⊥平面1AC D ;(Ⅱ)若F 是侧面11ABB A 上的动点,且MF ∥平面1AC D . (i )求证:动点F 的轨迹是一条线段;(ii )求直线AF 与平面1AC D 所成角的正弦值的取值范围.20.(本小题满分14分) 已知函数e()e=-xf x x a 的极值点为2e 1+.(Ⅰ)求实数a 的值; (Ⅱ)若数列{}n a 满足=()n a f n ,问:数列{}n a 是否存在最小项?若存在,求出该最小项;不存在,请说明理由; (Ⅲ)求证:2e (2e 1)(2e 2)(2e )e (1)+⋅+⋅⋅+>⋅+ n f f f n n .21.本题有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.(1)(本小题满分7分)选修4—2:矩阵与变换已知平行四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为(3,1)A ,(1,1)B -,(3,1)C --,(1,1)D -.其在矩阵1(0)02k M k ⎛⎫=< ⎪⎝⎭所对应的变换作用下变成菱形A B C D ''''. (Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)求矩阵M 的逆矩阵1M -.GkStK(2)(本小题满分7分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,已知直线l的方程为00)(0)y x x x =->,⊙C 的参数方程为1cos ,sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数). (Ⅰ)写出⊙C 的普通方程;(Ⅱ)若l 与⊙C 相切于点P ,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,试求点P 的一个极坐标.(3)(本小题满分7分)选修4—5:不等式选讲 已知函数()221f x x x =-++,(0,)x ∈+∞. (Ⅰ)求函数()f x 的最小值m ;(Ⅱ)若,a b 是正实数,且满足a b m +=,求证:222b a a b+≥.B 12017年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查 数学(理科)试题参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细 则.二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分50分.1.C 2.A 3.B 4.B 5.D 6.A 7.A 8.B 9.C 10.D 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题4分,满分20分. 11.40 12.0.7 13.60 14.5 15.3三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.本小题主要考查两角和差公式,二倍角公式,同角三角函数关系,三角函数图像与性质的基本知识以及推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想,满分13分.GkStK(I )∵122MBC S BC BC ∆=⨯⨯==π,GkStK∴周期2,1T ωω2π=π==.······················ 3分 由(0)2sin 1f ϕ==,得1sin 2ϕ=, ∵02ϕπ<<,∴6ϕπ=, ∴()2sin()6f x x π=+. ························ 6分(Ⅱ)由()2sin 6f ααπ-==,得sin α=, ∵(0,)2απ∈,∴cos α=, ····················· 8分 ∴234cos22cos 1,sin 22sin cos 55ααααα=-===,∴cos(2)cos2cos sin 2sin 444αααπππ+=-3455==. ······················ 13分 17.本小题主要考查概率统计的基础知识,考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识,考查或然与必然的思想,满分13分.(Ⅰ)11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=, ··········· 2分因线性回归方程ˆ=+ybx a 过点(,)x y , ∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=, ·················· 4分∴6月份的生产甲胶囊的产量数:ˆ0.66 3.2 6.8y =⨯+=. ·········· 6分(Ⅱ)0,1,2,3,ξ=31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ======== ············ 11分0123 422114213E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= ················13分 18.本题主要考查直线、椭圆、抛物线等基础知识,考查曲线方程的求法以及研究曲线的定性定量的基本方法,考查运算求解能力、创新意识,考查函数与方程思想、化归与转化思想,考查考生分析问题和解决问题的能力,满分13分. (Ⅰ)由(1,0)F ,故椭圆的焦点坐标为(1,0)±.由点P 在抛物线24=y x 上,所以2(3P . ·············· 2分 又点P 又在椭圆C 上,所以24a ==, 所以2a =,又1c =,故b ··················· 4分从而椭圆C 的方程为22143x y +=. ··················· 5分(Ⅱ)联立直线与椭圆方程得22,1,43y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2223412x k x +=,解得M x =-Nx =················ 7分 联立直线与抛物线得2,4,y kx y x =⎧⎨=⎩得224k x x =,解得0O x =,24Q x k= ························ 9分由MO NQ =,故N 为线段OQ 的中点,GkStK 即2O QN x x x +=,得24k =,GkStK化简得423430k k --=,解得2k =(负值舍去),故满足题意的k 值有2个. 从而存在过原点O 的两条直线l 满足题意. ··············· 13分19.本小题主要考查直线与平面的位置关系,线面角的大小等知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想,满分13分. 解法一: (Ⅰ)解:如图,在三棱柱111-ABC A B C 中,1AA ⊥平面ABC,AB AC ==4BC =,得AB AC ⊥,如图建立空间直角坐标系A xyz -, ·················· 1分则1(0,0,0),0)C E A C D .1CE AC AD =-==, 所以10,0CE AC CE AD ⋅=⋅=,∴ 1,CE AC CE AD ⊥⊥, 且1AC AD A = , ∴CE ⊥平面1AC D . 因为直线CE 在平面ACE 内,∴ 平面ACE ⊥平面1AC D . ····················· 4分 (Ⅱ)(i )取11A B 的中点为N ,11B C 的中点为O ,连接1,,,,MN ME NE AO BO , 则MN ∥1A O ∥AD ,ME ∥BO ∥1C D ,且MN ME M = ,∴ 平面MNE ∥平面1AC D , ····················· 6分 ∵F 是侧面11ABB A 上的动点,且MF ∥平面1AC D , ∴动点F 的轨迹是平面MNE 与平面11ABB A 的交线NE ,即点F 在线段NE 上. ························ 8分(ii )设,[0,1]EF EN λλ=∈,得(,2)(F F F x y z λ--=∴,0,22)F λ+,,0,22)AF λ=+, ·········· 9分由(Ⅰ)知CE ⊥平面1AC D,所以CE =-为平面1AC D 的一个法向量. 设直线AF 与平面1AC D 所成角为θ,∴sin cos ||||CE AF AF,CE CE AF θ⋅=<>==⋅ , ···· 11分 ∵[0,1]λ∈,sin θ∈, 所以直线AF 与平面1AC D所成角的正弦值的取值范围为. ··· 13分 解法二:(Ⅰ)同解法一;(Ⅱ)(i )设(,0,)F x z,则M,(4)MF x z =- 由MF ∥平面1AC D ,且由(Ⅰ)知平面1AC D的法向量为CE =-,故由0MF CE ⋅=6z +=, ··················· 6分又004,x z ⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩x ≤≤. ··················· 7分所以动点F 的轨迹是侧面11ABB A 内的一条线段. ············· 8分(ii )由(i)得(,0,6)F x,x ∈,故(,0,6)AF x =. GkStK由(Ⅰ)知CE ⊥平面1AC D,所以CE =-为平面1AC D 的一个法向量.设直线AF 与平面1AC D 所成角为θ,∴sin cos ||||CE AF AF,CE CE AF θ⋅=<>==⋅=, ······················· 11分∵x ∈,sin θ∈, 所以直线AF 与平面1AC D所成角的正弦值的取值范围为. ··· 13分 20.本题考查函数、导数、数列的基本知识及其应用等知识,考查推理论证能力和运算求解能力,考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想,考查运用数学知识分析和解决问题的能力,满分14分.解:(Ⅰ)2e (e 1)()(e)x x a f x x a --'=-, ····················· 2分∵函数e ()e=-xf x x a 的极值点为2e 1+,∴(21)0f e '+=,得2a =,经检验2a =符合题意,∴2a =. ····························· 4分(Ⅱ)2e (2e 1)()(2e)x xf x x --'=-,且定义域为{2e}x x ≠,由()0f x '>得2e+1x >,由()0f x '<得2x e <或22e+1e x <<, 故该函数的单调递增区间为(2e +1,+)∞,单调递减区间为(,2e)-∞和(2e,2e +1) ················· 7分 又当2e x >时,e ()02e x f x x =>-,当2e x <时,e ()02ex f x x =<-,∴数列{}n a 是存在最小项为55e 52ea =-. ················ 9分(Ⅲ)要证2e (2e 1)(2e 2)(2e )e (1)n f f f n n +⋅+⋅⋅+>⋅+ 212222e e (1)12e e e n n e e e n n+++⇐⋅⋅⋅>⋅+⇐2e e e 12nn⋅⋅⋅ 1n >+ ⇐2e e e 23(1)n n ⋅⋅⋅>⋅⋅⋅+ ,···················· 10分 设函数()e 1x g x x =--,当0x >时,()10x g x e '=->,()g x 在(0,)+∞单调递增∴()(0)0g x g >=,即(0,),e 1x x x ∈+∞>+, ··············· 13分 从而2e e e 23(1)n n ⋅⋅⋅>⋅⋅⋅+ 成立,所以2e (2e 1)(2e 2)(2e )e (1)n f f f n n +⋅+⋅⋅+>⋅+ . ············ 14分21.(1)本题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,满分7分. 解:(Ⅰ)由题意可知点(,)x y 在矩阵1(0)02k M k ⎛⎫=<⎪⎝⎭所对应的变换作用下变成点(,2)kx y y +,故点(3,1)(31,2)A A k '→+,(1,1)(1,2)B B k '-→-+, (3,1)(31,2)C C k '--→---,(1,1)(1,2)D A k '-→--. ············ 2分 显然四边形A B C D ''''为平行四边形, 故若A B C D ''''为菱形,只需A B B C ''''=,即4k ,由0k <,解得1k =-. ·············· 4分(Ⅱ)由2M =-,故1112112==011202M -⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭. ············· 7分 (2)本题主要考查直线和圆的参数方程和极坐标等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想和化归与转化思想,满分7分.解:(Ⅰ)22(1)1x y -+=. ······················ 2分 (Ⅱ)直线l的方程可化为00x x -=,由直线l 与⊙C 相切,GkStK1=,又00x >,解得03x =. ·············· 4分所以直线l的方程为30x -=,得该直线与x 轴交于点(3,0)Q .在Rt CPQ ∆中,由1CP =,2CQ =,得60PCQ ∠= .又⊙C 过原点O ,且1CO CP ==,OP得点P的一个极坐标为)6π-. ··················· 7分 (3)本题主要考查函数、不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想,满分7分(Ⅰ)3,01,()()31231, 1.x x f x f x x x x -<≤⎧==->⎨->⎩当01x <≤时,()3[2,3)f x x =-∈;当1x >时,()312f x x =->,所以()312f x x =-≥,即当1x =时,2m =.GkStK ··········· 4分 (Ⅱ)由2a b +=且,a b 是正实数,根据柯西不等式,得2222()()()4a b b a a b b a ++≥=+=, 即222a b b a+≥. ·························· 7分。