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第三节匀变速直线运动的位移与时间的关系一、位移时间公式1、推导：①图像法：（由v-t图像求位移）---微元的思想结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图象中的图线与对应的时间轴所包围的面积．即：位移与时间关系式：x＝v0t＋12at2.②解析法：（由平均速度求得）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+==atvvvvvt vxtt2得：x＝v0t＋12at2.2、物理意义：在匀变速直线运动中位移随时间变化的规律。
3、注意：①适用范围：匀变速直线运动。
②决定关系：位移的决定式，即匀变速直线运动中位移是由初速度、加速度、时间共同决定。
③比例关系：二次关系，也叫非线性关系。
④同一性：x、a、v0、vt具有同一性。
⑤合理性：已知位移反求时间，可能有两个值，要合理取舍。
二、速度--时间公式应用1、使用方法：①判断：运动性质（a为定值）。
②确定：研究对象和研究过程。
③设定：正方向（一般初速度的方向为正方向，无初速度则选择加速度为正方向）。
④公式应用：x＝v0t＋12at2；（此式子为矢量式，应将方向带入求解）⑤结果：结果如何为矢量，大小方向都需要求解。
2、例子：已知一个物体以向西的初速度4m/s做匀变速直线运动，其加速度大小为2m/s2，求1s末、2s末、4s末、8s末的速度和位移和路程，如果该物体是汽车，则结果又将如何？．三、推论1、逐差相等原理：在匀变速直线运动中，相邻相等的时间间隔位移之差是一个定值。
表达式：△x=aT 2．推导：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=212022019213421221T a T v x T a T v x aT T v x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=-20232012521321T a T v x x T a T v x x 2aT x =∆ 2、比例关系：初速度为零的匀加速直线运动中①在前T ，前2T ，前3T 的位移之比1:4:9……n2②在第T ，第2T ，第3T 的位移之比1:3:4……（2n-1） 3、逆向思维法：末速度为零的匀减速直线运动可以看做反向的初速度为零的匀加速直线运动。
匀变速直线运动位移与时间的关系知识集结知识元匀变速直线运动的位移与时间的关系知识讲解匀变速直线运动的位移与时间的关系式：x=v0t+at2．公式的推导①利用微积分思想进行推导：在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示．②利用公式推导：匀变速直线运动中，速度是均匀改变的，它在时间t内的平均速度就等于时间t内的初速度v0和末速度v的平均值，即．结合公式x=vt和v=v0+at可导出位移公式：x=v0t+ at2例题精讲匀变速直线运动的位移与时间的关系例1.一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1s内的位移是1m，物体在第3s内的位移是（）A．2m B．3m C．5m D．8m例2.为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度（轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动），某人拍摄一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2s曝光一次，轿车车身总长为4.5m，那么这辆轿车的加速度为（）A．1m/s2B．2.25m/s2C．3m/s2D．4.25m/s2例3.2015年9月2日，“抗战专列”在武汉地铁4号线亮相，引得乘车市民纷纷点赞．若该地铁列车先从甲站开始做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，通过位移L后，立即做加速度大小也为a的匀减速直线运动，恰好到乙站停下．则列车从甲站到乙站所用时间为（）A．B．2C．2D．4当堂练习单选题练习1.一个物体在水平直线上做匀加速直线运动，初速度为3m/s，经过4s它的位移为24m，则这个物体运动的加速度等于（）A．1.5m/s2B．2m/s2C．4m/s2D．0.75m/s2练习2.小球以某一较大初速度冲上一足够长光滑斜面，加速度大小为5m/s2则小球在沿斜面上滑过程中最后一秒的位移是（）A．2.0m B．2.5m C．3.0m D．3.5m练习3.“蛟龙号”是我国首台自主研制的作业型深海载人潜水器，它是目前世界上下潜能力最强的潜水器．假设某次海试活动中，“蛟龙号”完成海底任务后竖直上浮，从上浮速度为v时开始计时，此后“蛟龙号”匀减速上浮，经过时间t上浮到海面，速度恰好减为零，则“蛟龙号”在t0（t0<t）时刻距离海平面的深度为（）A．B．C．D．练习4.一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1s内的位移是1m，物体在第3s内的位移是（）A．2m B．3m C．5m D．8m练习5.为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度（轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动），某人拍摄一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2s曝光一次，轿车车身总长为4.5m，那么这辆轿车的加速度为（）A．1m/s2B．2.25m/s2C．3m/s2D．4.25m/s2练习6.2015年9月2日，“抗战专列”在武汉地铁4号线亮相，引得乘车市民纷纷点赞．若该地铁列车先从甲站开始做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，通过位移L后，立即做加速度大小也为a的匀减速直线运动，恰好到乙站停下．则列车从甲站到乙站所用时间为A．B．2C．2D．4。
2 匀变速直线运动的研究2.3 匀变速直线运动位移与时间的关系一:位移与时间关系1、匀变速直线运动位移时间关系的推导在v-t图像中，图线与t轴围城的面积代表位移。
我们就据此来推导匀变速直线运动的位移与时间的关系。
如图所示，为初速度为vo的匀加速直线运动的v-t 图象:由图可知，梯形OAPQ的面积为s=0.5(OA + PQ)xOQ，即:s==0.5(vo+vt)t ①vt=vo+ at ②将②代入①可得:s==0.5(vo+vt)t所以，对于匀变速直线运动，位移与时间的关系为也可以这样理解:梯形OAPQ的面积可看成S1和S2之和。
其中，则二、对公式的理解(1)位移公式说明匀变速直线运动的位移与时间是二次函数关系，式中的vo是初速度，时间应是物体实际运动的时间。
(2)此公式反映的是位移和时间的关系，公式中的vo、a、s都是矢量, 使用公式应该先规定正方向，在取初速度vo方向为正方向的前提下，匀加.速直线运动a取正值，匀减速直线运动a取负值;计算的结果s>0，说明位移的方向与初速度的方向相同;s<0说明位移的方向与初速度的方向相反。
(3)对于初速度为零(v=0)的匀变速直线运动，位移公式简化为位移s与时间t的二次方成正比。
二匀变速直线运动连续相等时间位移特点1、必须是匀变速直线运动。
2、时间是相等的。
3、必须是连续等时间内的位移。
(1)物体做匀加速直线运动，设第一一个t时间内位移为x，第二个t 时间内位移为x2，求其加速度。
分析:，V中时=vo+at，两式消去vo得:，两式相减得: x2-x1=at2。
结论为:匀变速直线运动连续相等时间内的位移差为定值，即:△x=x2-x1=x3-x2=x4-x3=...=xN-xn-1= at2进一步分析:该结论是判定物体运动是否做匀变速的重要方法，即: 若匀加速直线运动，a>0,△x>0, xn↑;若匀减速直线运动，a<0,△x<0, xn↓。
1．当物体做匀速直线运动时，其位移的表达式为x＝____，在v－t图象中，图线和时间坐标轴包围的面积在数值上等于________的大小．2．当物体做匀变速直线运动时，其位移的表达式为x＝____________________，公式中若规定初速度的方向为正方向，当物体做加速运动时，a取正值，当物体做减运动时，a取负值．3．若物体的初速度为零，匀加速运动的位移公式可以简化为x ＝__________________.在v －t 图象中，图象与时间轴所围成的________表示物体的位移． 4．一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是( ) A ．物体的末速度一定与时间成正比 B ．物体的位移一定与时间的平方成正比C ．物体的速度在一定时间内发生的变化与这段时间成正比D ．若为匀加速运动，速度和位移都随时间增加；若为匀减速运动，速度和位移都随时间减小5．从静止开始做匀加速直线运动的物体，第2 s 内通过的位移为0.9 m ，则( ) A ．第1 s 末的速度为0.8 m/s B ．第1 s 内通过的位移是0.45 m C ．加速度为0.6 m/s 2D ．前3 s 内的位移是1.2 m【概念规律练】知识点一 位移公式x ＝v 0t ＋12at 2的应用1．在公式v ＝v 0＋at 和x ＝v 0t ＋12at 2中涉及的五个物理量，除t 是标量外，其他四个量v 、v 0、a 、x 都是矢量，在直线运动中四个矢量的方向都在一条直线中，当取其中一个量的方向为正方向时，其他三个量的方向与此相同的取正值，与此相反的取负值，若取速度v 0方向为正方向，以下说法正确的是( ) A ．匀加速直线运动中a 取负值 B ．匀加速直线运动中a 取正值 C ．匀减速直线运动中a 取正值D ．无论匀加速直线运动还是匀减速直线运动a 都取正值2．某质点的位移随时间变化的关系式为x ＝4t ＋2t 2，x 与t 的单位分别是m 和s ，则质点的初速度和加速度分别是( )A ．4 m/s 和2 m/s 2B ．0和4 m/s 2C ．4 m/s 和4 m/s 2D ．4 m/s 和03．由静止开始做匀加速直线运动的汽车，第1 s 内通过的位移为0.4 m ，问： (1)汽车在第1 s 末的速度为多大？(2)汽车在第2 s 内通过的位移为多大？知识点二 利用v －t 图象分析物体的运动4．如图1所示为某物体做直线运动的v －t 图象，求8 s 内物体的位移的大小．图15．某人骑自行车在平直道路上行进，右图中的实线记录了自行车开始一段时间内的v －t 图象．某同学为了简化计算，用虚线作近似处理，下列说法正确的是( )A ．在t 1时刻，虚线反映的加速度比实际的大B ．在O ～t 1时间内，由虚线计算出的平均速度比实际的大C ．在t 1～t 2时间内，由虚线计算出的位移比实际的大D ．在t 3～t 4时间内，虚线反映的是匀速直线运动 【方法技巧练】一、利用平均速度公式分析物体的运动6．我国自行研制的“枭龙”战机已在四川某地试飞成功．假设该战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v 所需时间为t ，则起飞前的运动距离为( )A ．v t B.v t2C ．2v tD ．不能确定 二、多过程问题的分析方法7．一质点从A 点由静止开始，先以加速度a 1＝2 m/s 2做匀加速直线运动，紧接着以大小为a 2＝3 m/s 2的加速度做匀减速直线运动，到达B 点时恰好静止．若质点运动的总时间为t ＝10 s ．求A 、B 间的距离．8．某一做直线运动的物体其v －t 图象如图3所示，根据图象求：(1)物体距出发点最远的距离；(2)前4 s 物体的位移大小；(3)前4 s 内通过的路程．1．一物体由静止开始做匀加速直线运动，在时间t 内通过位移x ，则它从出发开始通过x /4所用的时间为( ) A.t 4 B.t 2 C.t 16 D.22t2．某物体运动的速度图象如图4所示．根据图象可知 ( )A．0～2 s内的加速度为1 m/s2B．0～5 s内的位移为10 mC．第1 s末与第3 s末的速度方向相同D．第1 s末与第5 s末加速度方向相同3．一个做匀加速直线运动的物体，初速度v0＝2.0m/s，它在第3 s内通过的位移是4.5 m，则它的加速度为()A．0.5 m/s2B．1.0 m/s2C．1.5 m/s2D．2.0 m/s24．若一质点从t＝0开始由原点出发沿直线运动，其速度—时间图象如图5所示，则该质点()A．t＝1 s时离原点最远B．t＝2 s时离原点最远C．t＝3 s时回到原点D．t＝4 s时回到原点5．图6是某物体做直线运动的v－t图象，由图象可得到的正确结果是()A．t＝1 s时物体的加速度大小为1.0 m/s2B．t＝5 s时物体的加速度大小为0.75 m/s2C．第3 s内物体的位移为1.5 mD．物体在加速过程的位移比减速过程的位移大6．一辆汽车以20 m/s的速度沿平直路面行驶，当汽车以5 m/s2的加速度刹车时，则刹车2 s内与刹车6 s内的位移之比为()A．1∶1 B．3∶4C．3∶1 D．4∶37．如图7所示是两个物体A和B由同一地点出发沿同一直线向同一方向运动的速度—时间图象．由图象可知，A、B出发的情况为()A．A、B同时开始运动B．A、B的初速度均为零C．开始时A的速度变化比B快D．开始一段时间内，A在B前面题号1234567答案8.某物体以v0＝1.2 m/s的初速度做匀加速直线运动，在第5 s内物体的位移为2.1 m．求物体的加速度和8 s内的位移．9．汽车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后经2 s速度变为6 m/s，求：(1)刹车后2 s内前进的距离及刹车过程中的加速度；(2)刹车后前进9 m所用的时间；(3)刹车后8 s内前进的距离．10．汽车以15 m/s的速度匀速行驶，司机发现前方有危险，在0.8 s后才能作出反应，实施制动，这个时间称为反应时间．若汽车刹车时能产生的最大加速度为5 m/s 2，从汽车司机发现前方有危险到刹车后汽车完全停下来，汽车所通过的距离叫刹车距离．求： (1)在反应时间内汽车行驶的距离；(2)刹车后汽车行驶的距离．第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系课前预习练1．vt 位移2．v 0t ＋12at 23.12at 2 面积4．C 5.C课堂探究练 1．B 2．C3．(1)0.8 m /s (2)1.2 m(2)汽车在前2 s 内通过的位移为x ′＝12at ′2＝12×0.8×22 m ＝1.6 m ，所以第2 s 内汽车的位移为：x 2＝x ′－x ＝1.6 m －0.4 m ＝1.2 m .(2)对于运动学问题，往往可以用多种方法解决，例如本题，同学们可以思考一下其他的方法．(3)运动学问题中利用位移公式解题时，往往容易忽视公式中物理量的方向，公式x ＝v 0t ＋12at 2中，v 0、a 、x 都是矢量．(4)求第n 秒内的位移要用公式Δx n ＝x n －x n －1，而同学们往往求成前n 秒的位移． 4．见解析解析 x 1＝12a 1t 21＝12×15×22m ＝30 m . v 2＝30 m /s x 2＝v 2t 2＝30×3 m ＝90 m . x 3＝v 2t 3＋12a 2t 23＝30×3 m ＋12×(－10)×32 m ＝45 mx ＝x 1＋x 2＋x 3＝30 m ＋90 m ＋45 m ＝165 m5．BD (2)利用v －t 图象分析直线运动问题要比利用其他方法更直观、更简便．6．B [因为战机在起飞前做匀加速直线运动，则x ＝v t ＝0＋v 2t ＝v2t.B 选项正确．]7．60 m方法总结 (1)分析物体的运动问题，要养成画物体运动草图的习惯，并在图中标注有关物理量，这样将加深对物体运动过程的理解，有助于发现已知量与未知量之间的相互关系，迅速找到解题的突破口．(2)如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，弄清物体在每段上的运动情况及遵循的规律，应该特别注意的是各段交接点处的速度往往是解题的关键，该点速度是前段的末速度，同时又是后段的初速度，是联系前、后两段的桥梁，并要注意前、后段的位移x 、加速度a 、时间t 之间的联系． 8．(1)6 m (2)5 m (3)7 m 课后巩固练 1．B2．AC [由图象可知0～2 s 内的加速度a ＝2－02m /s 2＝1 m /s 2，A 对；0～5 s 内的位移x ＝(2＋5)×22m ＝7 m ，B 错；第1 s 末与第3 s 末的速度都为正，C 对；第1 s 末加速度为正，第5 s 末加速度为负，D 错．] 3．B4．BD [做直线运动的速度—时间图线与时间轴所围成的图形面积表示了质点的位移，要想离原点最远，则所围成图形面积应最大．t ＝1 s 时，所围成图形为△OAB ，t ＝2 s 时，为△OAC.很显然S △OAC >S △OAB ，所以t ＝2 s 时位移大，离原点最远；当t ＝3 s 时，所围图形为△OAC 和△CDE ，由于△CDE 在t 轴以下位移为负，则S 合应为S △OAC －S △CDE ≠0，t ＝4 s 时，S 合＝S △OAC －S △CDF ＝0，即位移为零，质点回到原点，故选B 、D .] 5．B6．B [汽车刹车后最终静止，应先求汽车运动的最大时间，由v ＝v 0＋at 得，t ＝v －v 0a ＝0－20－5s ＝4 s ，即刹车后，汽车运动4 s,6 s 内的位移即4 s 内的位移，因为x 2＝v 0t 1＋12at 21，得x 2＝20×2 m ＋12×(－5)×22 m ＝30 m ，x 4＝20×4 m ＋12×(－5)×16 m ＝40 m ＝x 6，所以x 2∶x 6＝3∶4.]7．ABCD [t ＝0时，二者速度皆为零．开始运动后的一段时间内，a A >a B ，因此v A >v B .故A 、B 、C 、D 都正确．] 8．0.2 m /s 2 16 m解析 设物体的加速度为a ，在第4 s 末物体速度v 4为： 由v ＝v 0＋at 得：v 4＝1.2＋4a ，①由x ＝v 0t ＋12at 2得：2.1＝v 4×1＋12a ×12.②①②联立解得：a ＝0.2 m /s 2，设物体在8 s 内的位移为x 8，由x ＝v 0t ＋12at 2得：x 8＝1.2×8 m＋12×0.2×82 m ＝16 m . 9．(1)16 m －2 m /s 2 (2)1 s (3)25 m解析 (1)取初速度方向为正方向，汽车刹车后做匀减速直线运动，由v ＝v 0＋at 得a ＝v －v 0t＝6－102m /s 2＝－2 m /s 2，负号表示加速度方向与初速度方向相反．再由x ＝v 0t ＋12at 2可求得x ＝16 m ，也可以用平均速度求解，x ＝v 0＋v 2·t ＝16 m .(2)由位移公式x ＝v 0t ＋12at 2，可得9＝10t ＋12×(－2)t 2，解得t 1＝1 s (t 2＝9 s ．不符合实际，舍去)，即前进9 m 所用时间为1 s .(3)设汽车刹车所用最长时间为t ′，则汽车经过时间t ′速度变为零．由速度公式v ＝v 0＋at可得t ′＝5 s ，即刹车5 s 汽车就已停止运动，在8 s 内位移即为5 s 内位移x ＝v 0t ′＋12at ′2＝(10×5) m ＋[12×(－2)×52] m ＝25 m .10．(1)12 m (2)22.5 m解析 (1)在反应时间内汽车做匀速直线运动，其位移为x 1＝v 0t 1＝15×0.8 m ＝12 m . (2)由开始制动到速度为零的时间t 2＝v －v 0a ＝0－15－5s ＝3 s .汽车制动后做匀减速直线运动，位移x 2＝v 0t 2－12at 22＝(15×3－12×5×32) m ＝22.5 m .。
