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3.3.2《基本不等式与最大(小)值》课件(北师大版必修5)

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3.1.1《不等关系》习题课 课件(北师大版 必修5)

3.1.1《不等关系》习题课 课件(北师大版 必修5)

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是( ) A．a·lgx>lgx·b(x>0) B．ax2>bx2 C．a2>b2 D．a·2x>b·2x
• 解析：对于A：当x>0时，lgx∈R，当lgx≤0时，
a·lgx>b·lgx(x>0)不成立，故应排除A；
• 对于B：∵x∈R，当x＝0时，ax2＝bx2， • ∴ax2>bx2不成立，故应排除B； • 对于C：∵a2－b2＝(a＋b)(a－b)，又由a>b可知a－ • • • 答案：D
m＋n＝4， 于是得 m－n＝2， m＝3， 解得 n＝1.
• ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． • ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， • ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
[变式训练 7]
如果 30<x<42,16<y<24，求 x＋y，
• 分析：本题是关于x的一元二次函数，可以
利用换元法来求解．在求解时一定要注意已 知条件中a、b的关系，准确把握a、b的取值 范围，否则容易出错．下面我们再用一种新 的方法——待定系数法来求解．
解析：由已知得 2≤f(1)＝a＋b≤4,1≤f(－1)＝a －b≤2，又 f(－2)＝4a－2b. 设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系数)， 则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－ n)· b.
•
•
(2)在证明不等式时还可以利用已经证明的结论， 或者利用不等式的性质对不等式进行变形，使不 等式变成简单易于比较大小的形式，再比较大小 得出结论，需要注意的是，有些结论的递推是双 向的，而有些是单向的，例如，不等式性质中的 对称性就是双向的，而传递性就是单向的，在不 等式两边同乘一个数或式子的时候，必须先判断 要乘的数或式子的符号，决定相乘后是否改变符 号． (3)有些不容易从正面证明的不等式还可以采用反 证法进行证明，具体可以根据课本对性质4的推论 3的证明方法和步骤，它可以把难以从正面说明的 问题转化为其反面进行说明.

3.1.1《不等关系》习题课 课件(北师大版 必修5)

3.1.1《不等关系》习题课 课件(北师大版 必修5)
m＋n＝4， 于是得 m－n＝2， m＝3， 解得 n＝1.
• ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． • ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， • ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
[变式训练 7]
如果 30<x<42,16<y<24，求 x＋y，
1 1 (4)由性质定理 a<b<0⇒a>b，命题是真命题； 2 3 (5)例如－3<－2<0，3<2，命题是假命题． －a>－b>0 －a>－b>0 ⇒ 1 a<b<0⇒1 1 1 a>b －b>－a a b ⇒b>a.
• [变式训练1] 如果a>b，则下列各式正确的
1 综上知：当 a>1 时，a>a； 1 当 a＝1 时，a＝ ； a 1 当 0<a<1 时，a<a.
• [变式训练4] 已知a，b均为正数，n∈N*，比较(a
• • • • • • • •
＋b)(an＋bn)与2(an＋1＋bn＋1)的大小． 解析：(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1) ＝an＋1＋abn＋anb＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1 ＝abn＋anb－an＋1－bn＋1 ＝a(bn－an)＋b(an－bn) ＝(a－b)(bn－an)， ∵a、b∈R＋，n∈N*，且n≥1， ∴①当a>b>0时，a－b>0，bn<an. ∴(a－b)(bn－an)<0.
项呢？ 证明一个不等式和比较实数的大小一样，根据题目的 特点可以有不同的证明方法． (1)作差法和作商法是比较实数大小和证明不等式的重 要方法，但是它们又有自己的适用范围，对于不同的 问题应当选择不同的方法进行解决： ①一般的实数大小的比较都可以采用作差法，但是我 们要考虑作差后与0的比较，通常要进行因式分解， 配方或者其他变形操作，所以，作差后必须容易变形 到能看出与0的大小关系．

3.2.1《一元二次不等式的解法》课件(北师大版必修5)

3.2.1《一元二次不等式的解法》课件(北师大版必修5)

(2)原不等式可化为 2x2－x＋6>0， ∵方程 2x2－x＋6＝0 的判别式 Δ＝(－1)2－4×2×6<0， ∴函数 y＝2x2－x＋6 的图像开口向上，与 x 轴无交点． ∴观察图像可得，不等式的解集为 R. (3)因为 4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2>0，
1 xx≠－ 所以原不等式的解集为 2 .

2

4．一元一次不等式：ax＞b，当a＞0时，解集 是 ；
b xx＜ a
b xx＞ a



当a＜0时，解集是 解集是 ； R 当a＝0，b≤0时，解集是
；当a＝0，b＞0时，
∅
.




1．一元二次不等式 一个 二次 一般地，含有 未知数，且未知数的最高 次数为 的不等式，叫做一元二次不等式． 使某个一元二次不等式 叫这 成立的x的值 个一元二次不等式的解． 一元二次不等式的 组成的集合，叫做 所有解 这个一元二次不等式的解集．
1．已知二次函数f(x)的两个零点分别为x1、x2 则f(x)＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ． 2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 当Δ<0时，没有 实数根；当Δ＝0时，有 两个相等 b 实数根x＝ ；当Δ>0时，有 －b± b －4ac 实 －2a 两个不等 2a 数根x＝ . {－1,3} 3．若y＝x2－2x－3，则当x∈ 时，y (－∞，－1)∪(3，＋∞) (－1,3) ＝0；当x∈ 时，y>0；当x∈ 时，y<0.
解析：

3.已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为 a＝－3， (1,2)，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的 即 ， b＝2 解集．

2.2 基本不等式(课件)

2.2 基本不等式(课件)

数学 必修 第一册 A
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
方法二：由2x＋3y＝2 得，3x＋2y＝2xy， ∵x＞0，y＞0，∴3x＋2y≥2 6xy，等号在 3x＝2y 时成立，
∴2xy≥2 6xy，∴xy≥6.
3x＝2y 由2x＋3y＝2
，得yx＝＝32 .
∴xy 的最小值为 6.
数学 必修 第一册 A
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
探究二 利用基本不等式求最值
已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值． 解 方法一：(1 的代换)∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9yx. ∵x＞0，y＞0，∴yx＋9yx≥2 yx·9yx＝6. 当且仅当yx＝9yx，即 y＝3x 时，取等号． 又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
数学 必修 第一册 A
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
知识点2 应用基本不等式求最值
已知x，y都是正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当____x_＝__y_____时，和x＋y有最小值__2___P_____. (2) 如 果 和 x ＋ y 等 于 定 值 S ， 那 么 当 ___x_＝__y______ 时 ， 积 xy 有 最 大 值 ___14_S_2_______. [微思考] 利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确 定哪个量为定值？ 提示：三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值； 求积的最大值，要确定和为定值．
数学 必修 第一册 A

3.4.2基本不等式课件(人教A版必修5)

3.4.2基本不等式课件(人教A版必修5)

4 3 求函数y sin 其中 0， ] （ sin 2 的最小值。 4 4 解：y sin 2 sin sin sin 4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
4800 z 150 120( 2 3 x 2 3 y ) =240000+720(x+y) 3
由容积为4800m3 ,可得3xy=4800,
因此xy=1600,
由基本不等式与不等式性质，可得 240000+720(x+y)≥ 240000+720×2 xy 即:z≥240000+720×2 xy =297600
2 ( x 1) x 1 1 3
(1)x=2 (2)x=1/2
思考：取到最值时x的值呢？
构造法
变式：（1）已知x>-2,求
1 x 的最小值； x2
（2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值.
1 变式：（1）已知x>-2,求 x 的最小值；0 x2 （2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值. 1 8
解：设矩形菜园的长为x m,宽为y m 则 2(x+y)=36，x+y=18 由
xy x y 18 9 2 2
矩形菜园的面积为xy m2 xy≤81
可得
等号当且仅当x=y时成立，这时x=y=9.
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的 面积最大，最大面积为81m2
例6 某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容 积为4800m3，深为3 m。如果池底每平方米的造价为 所以,将水池的地面设计成边长为40 m的正方形 150元,池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能 时总造价最低,最低造价为297600元 使总造价最低？最低造价为多少元？ 解：设底面的长为x m,宽为y m, 水池总造价为z元,根据题意，有

3.1.1《不等关系》习题课 课件(北师大版 必修5)

3.1.1《不等关系》习题课 课件(北师大版 必修5)

• • • • • •
[例1] 对于实数a、b、c，判断下列命题的真假： (1)若a>b，则ac>bc； (2)若a>b，则ac2>bc2； (3)若a<b<0，则a2>ab>b2； (4)若a<b<0，则 (5)若a<b<0，则
• 解析：(1)因未知c的正负或是否为零，无法
确定ac与bc的大小，所以是假命题； • (2)因为c2≥0，所以只有c≠0时才能正确．c＝ 0时，ac2＝bc2，所以是假命题； • 变式：若ac2>bc2，则a>b，此命题是真命题； • (3)a<b，a<0⇒a2>ab；a<b，b<0⇒ab>b2，命 题是真命题；
• [例4] 已知a>0，试比较a与
∵a>0，
的大小．
2 1 a －1 a－1a＋1 解析：∵a－a＝ a ＝ ， a
a－1a＋1 1 ∴当 a>1 时， >0，有 a> ； a a a－1a＋1 1 当 a＝1 时， ＝0，有 a＝a； a a－1a＋1 1 当 0<a<1 时， <0，有 a<a. a
1 1 ③b<0<a；④0<b<a，其中能使 a < b 成立的充分条件有 ________．
1 1 b－a 解析：a<b⇔ ab <0⇔b－a 与 ab 异号，而①②④能使 b－a 与 ab 异号．
答案：①②④
• [例7] 设f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求
f(－2)的取值范围．
• 分析：本题是关于x的一元二次函数，可以
利用换元法来求解．在求解时一定要注意已 知条件中a、b的关系，准确把握a、b的取值 范围，否则容易出错．下面我们再用一种新 的方法——待定系数法来求解．

2020_2021学年高中数学第三章不等式3.3.3基本不等式的实际应用作业课件北师大版必修5


二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 9．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的 内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为 20 (m)．
解析：如图，过A作AH⊥BC于H，交DE于F，易知 DBCE ＝ 4x0 ＝
AD AB
＝
AF AH
，则AF＝x，故FH＝40－x.则矩形面积S＝x(40－
站的距离x(km)成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与仓库到
车站的距离x(km)成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，费用
y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓
库应建在离车站( A )
A．5 km处
B．m处
解析：由题意知y1＝
k1 x
解析：C＝
t22＋0t4＝
20 t＋4t
.因为t>0，所以t＋4t
≥2
4 t·t
＝4(当且仅当t
＝
4t ，即t＝2时等号成立)，所以C＝
20 t＋4t
≤240
＝5，即当t＝2时，C取得
最大值．
11．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为 72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是 56 dm2.
小．设这种汽车使用n年报废最合算，n年汽车的维修总费用为0.2
＋0.4＋0.6＋…＋0.2n＝0.2n＋nn2－1×0.2＝0.1(n2＋n)(万元)，年
平均费用y＝
10＋0.9n＋0.1n2＋n＝10＋
n
n
1n0＋1≥2
1n0·1n0＋1＝
3，当且仅当1n0＝1n0，即n＝10时取等号．
6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车

3.1《不等关系》课件(北师大版必修5)

4．一个重要结论 a＋m ＞ a. 设 a，b 为正实数，且 a＜b，m＞0，则 b b＋m

1．若b<0，a＋b>0，则a－b的值( A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 解析： ∵b<0，a＋b>0， ∴a>－b>0，∴a－b>0. 答案： A的速度 v 的最大限速为 120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m，用不 等式表示为( ) B．v≤120(km/h)或 d≥10(m) D．d≥10(m)
a 已知 12＜a＜60,15＜b＜36，求 a－b 及b的取值范围．
a 1 欲求 a－b，应先求－b 范围，欲求 ，应先求 范围，再 b b 利用不等式性质可求解．
[解题过程] ∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15. ∴12－36＜a－b＜60－15，∴－24＜a－b＜45. 1 1 1 12 a 60 1 a 又 ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜4. 36 b 15 36 b 15 3 b 1 a ∴－24＜a－b＜45，3＜b＜4.
3.利用不等式的性质判断下列各结论是否成立，并简述 理由． a b (1)若 2> 2，则 a>b； c c 1 1 (2)若 a>b，ab≠0，则a<b； (3)a>b，c>d⇒a－c>b－d； 1 1 (4)若 a>b， > ，则 a>0，b<0. a b
解析：
(1)正确．∵c2≠0，∴c2>0.

某厂使用两种零件A、B，装配两种产品： 甲、乙，该厂的生产能力是月产甲最多2 500 件，月产乙最多1 200件，而组装一件甲需要4 个A,2个B；组装一件乙需要6个A,8个B.某个月， 该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000 个．用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关 系表示出来．

基本不等式(第2课时)(教学课件)-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第一册)

当且仅当6x＝ x ，即x＝50时，“＝”成立，此时x＝50.y＝60，
(2)S＝3 030－6x－
Smax＝2 430.即设计x＝50 m，y＝60 m时，运动场地面积最大，最大值为2
430 m2．
【巩固练习5】
某商品进货价为每件 50 元，据市场调查，当销售价格为每件
105
x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为
3 000
则y＝ x (6<x<500)，
y－6
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)· 2 ＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x
15 000
－ x (6<x<500)．
15 000
15 000
≤3
030－2
6x·
x
x ＝3 030－2×300＝2 430．
15 000
故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时，
菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2．
3
2 做一个体积为32 m ，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么
值时，用纸最少？
解：设底面的长为a，宽为b，
则由题意得2ab＝32，即ab＝16．
所以用纸面积为S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥32＋8 ab ＝64 ，
下面这些结论是否正确？错误的说明理由.
(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.
(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2 2.
正确
错误，因为a，b不是正数
1
1
(3)当x>1时，函数y＝x＋−1≥2
1
(4)若x∈R，则 2 ＋2＋ 2+2≥2.

高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)

基本不等式：
ab

a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
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6000 ＝15n＋ n ＋400A
2x＋3y＝18， 由 2x＝3y， x＝4.5， 解得 y＝3.
方法一：由于 2x＋3y≥2 2x· 3y＝2 6xy，
即 S≤ 2 ，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．
故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大．
3 方法二：由 2x＋3y＝18，得 x＝9－2y. ∵x＞0，∴0＜y＜6，
1 1 1 12 ∴y＝2x(1－2x)＝4· (1－2x)≤4· 2x· 2 1 ＝ ， 16 1 1 即当 x＝ 时，ymax＝ 4 16
x2－1＋1 x2 1 (3)y＝ ＝ ＝x＋1＋ x－1 x－1 x－1 1 ＝x－1＋ ＋2≥2＋2＝4， x－1 1 当且仅当 ＝xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1， x－1 即(x－1)2＝1 时，等式成立，∵x＞1， ∴当 x＝2 时，ymin＝4.
9 当且仅当 x＋1＝ ，即 x＝2 时取等号， x＋1 ∴当 x＝2 时，f(x)取得最小值 2.
2 (2)设 f(x)＝2x＋ ，x∈(a，＋∞) x－a ∴x－a＞0 2 ∴f(x)＝2(x－a)＋ ＋2a≥2 x－a ＝4＋2a 2 当且仅当 2(x－a)＝ ，即 x＝a＋1 时等号成立， x－a ∴当 x∈(a，＋∞)时，f(x)min＝4＋2a 又∵f(x)≥7 在(a，＋∞)恒成立，
s2 时，积xy取 4
2 p
时，和x＋y取
• 2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小 • •
值，需满足的条件 (1)x，y必须是 ． 正数 (2) 求 积 xy 的 最 大 值 时 ， 应 看 和 x ＋ y 是 否 为 定值 ；求和x＋y的最小值时，应看积xy是 定值 否为 ． (3)等号成立的条件是否满足． 综上，解决问题时要注意“一正、二定、三相 等”．
解析： 设楼高 n 层，总费用为 y 元， 2.5 A 2 根据题意得征地面积为 m， n 2.5A 5970A 故征地费用为 · 2388＝ 元． n n 楼层建筑费用为：
{445 ＋ 445 ＋ (445 ＋ 30) ＋ (445 ＋ 30×2) ＋ „ ＋ [445 ＋ A 30 30· (n－2)]}· ＝(15n＋400＋ n )A(元)， n 30 5970A ∴y＝ ＋15n＋400＋ n A n
3 3 S＝xy＝9－2yy＝ (6－y)· y. 2
∵0＜y＜6，∴6－y＞0， 3 6－y＋y2 27 ∴S≤2· ＝2. 2 当且仅当 6－y＝y，即 y＝3 时，等号成立，此时 x＝4.5.
方法一：∵2x＋3y≥2 2x· 3y＝2 6xy＝24，
• (1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、
宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ • (2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的 长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的 钢筋网总长最小？
• [解题过程] (1)设每间虎笼长x m，宽为y m，
则由条件知： 27 ∴2 6xy≤18，得 xy≤ ， • 4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18. 2 • 设每间虎笼面积为S，则S＝xy. 27
9 ∴y－9＋ ＋10≥2 y－9
9 y－9· ＋10＝16， y－9
9 当且仅当 y－9＝ ，即 y＝12 时取等号． y－9 1 9 又x＋y＝1，则 x＝4， ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
•
如图所示，动物园要围成相同面积的长方 形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面 用钢筋网围成．
3 ∴4＋2a≥7，∴a≥ ， 2 3 ∴a 的最小值为 . 2
2 2x－a· ＋2a x－a
• [题后感悟] (1)使用基本不等式求最值，各项
必须为正数；积或和为定值；等号能够取到． • (2)如果对于两个负数相加，可以先求它们相 反数的和的最值，再用不等式的性质，求这两 个负数和的最值． • (3)利用基本不等式求最值的关键是获得定值 条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适 当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设 应用基本不等式的条件． • (4)等号取不到时，注意利用求函数最值的其 他方法，如利用单调性、数形结合、换元法、 判别式法等．
即 x＝3，y＝12 时，xy 有最小值 36.
• [题后感悟]
1 9 2.已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1，求 x＋y 的最小值．
1 9 解析： 方法一：∵x＋y＝1，
1 9 y 9x ∴x＋y＝(x＋y)· ＋y ＝10＋ ＋ . x y x
y 9x ∵x＞0，y＞0，∴x＋ y ≥2
12＋4x 方法二：由 xy＝4x＋y＋12，得 y＝ ＞0， x－1 ∴x＞1，代入 xy 得 12＋4xx xy＝ (x＞1)．令 t＝x－1＞0，得 x－1 43＋t＋1t＋1 16 xy＝ ＝ ＋4t＋20 t t 16 ≥2 4t＋20＝36. t· 16 当且仅当 ＝4t，即 t＝2 时取等号， t
• •
1．下列各函数中，最小值为 2 的是( 1 A． y＝x＋ x
)
π 1 B． y＝sin x＋sin x x∈0，2
x2＋3 4 C．y＝ 2 D．y＝x＋ －3(x＞1) x－1 x ＋2 解析： A 中当 x＜0 时，y＜0，故 2 不是最小值；
B
π 中，∵x∈0，2，∴sin
•
已知x＞0，y＞0，且xy＝4x＋y＋12，求xy 的最小值．
• 可将条件中的等式利用基本不等式转化为关于
xy的不等式，通过解不等式求出xy的范围，也 可以将条件变形代入xy，化为关于x(或y)的函 数求最值问题．
[解题过程] 方法一：∵x＞0，y＞0，
•
xy＝4x＋y＋12≥4 xy＋12， ∴( xy)2－4 xy－12≥0， ∴( xy－6)( xy＋2)≥0， ∴ xy≥6，当且仅当 4x＝y 时取等号． 由 4x＝y 且 xy＝4x＋y＋12，得 x＝3，y＝12. 此时 xy 有最小值 36.
• 400 (米)． 则 2a＋2b≥2 2a· 2b＝ • (当且仅当a＝b＝ 米时取等号)． 100 • 此时矩形为正方形 ，边长为 米，用料最省． 100
• 1．利用基本不等式求最值 • 设x，y为正实数． • (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当 x＝y
得最大值 . x＝y • (2)若xy＝p(积为定值)，则当 得最小值 .
x2－2x＋6 (1)求函数 f(x)＝ (x＞－1)的最小值． x＋1 2 (2)已知关于 x 的不等式 2x＋ ≥7 在 x∈(a，＋∞)上 x－a 恒成立，求实数 a 的最小值．
• [策略点睛]
[规范作答]
(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0
x2－2x＋6 x＋12－4x＋1＋9 9 f(x)＝ ＝ ＝(x＋1)＋ － x＋1 x＋1 x＋1 4≥2 9 x＋1· －4＝2 x＋1
1 5．已知 0<x<3，求函数 y＝x(1－3x)的最大值．
1 解析： ∵0<x<3，∴1－3x>0， 1 ∴y＝x(1－3x)＝3· 3x(1－3x) 13x＋1－3x2 1 ≤3 ＝12. 2 1 当且仅当 3x＝1－3x 即 x＝6时，等号成立． 1 1 ∴当 x＝ 时，函数取最大值 . 6 12
解析：
)
1 B.2 2 D.3
a＋1－a 2 1 ∵0＜a＜1，∴a(1－a)≤ ＝4， 2
1 当且仅当 a＝1－a，即 a＝2时取等号．
• 答案： B
• 3．设a、b∈R，且a＋b＝2，则3a＋3b的最小
值是________．
解析： 3a＋3b≥2 3a·b＝2· 3a＋b＝2 32＝6. 3
12 1.(1)若 x<0，求 f(x)＝ x ＋3x 的最大值． 1 1 (2)已知 0＜x＜2，求 y＝2x(1－2x)的最大值． x2 (3)已知 x＞1，求 y＝ 的最小值． x－1
解析： (1)∵x<0，∴－x>0. 12 则－f(x)＝－ x ＋(－3x)≥2 即 f(x)≤－12. 12 当且仅当－ x ＝－3x，即 x＝－2 时，f(x)取最大值－12. 1 (2)∵0＜x＜2，∴0＜2x＜1,0＜1－2x＜1， 12 · －3x＝12 －x
y 9x x· ＝6. y
y 9x 当且仅当 ＝ ，即 y＝3x 时，取等号． x y 1 9 又 ＋ ＝1，∴x＝4，y＝12. x y
∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
1 9 y 方法二：由 x＋y＝1，得 x＝ ， y－9 ∵x＞0，y＞0，∴y＞9. y－9＋9 y 9 x＋y＝ ＋y＝y＋ ＝y＋ ＋1 y－9 y－9 y－9 9 ＝(y－9)＋ ＋10. y－9 ∵y＞9，∴y－9＞0，
2
x≠1，∴y 取不到 2；
1 C 中函数可化为 y＝ x ＋2＋ 2 ， x ＋2 ∵ x2＋2≠1，∴y≠2；
4 D 中 y＝x－1＋ －2≥2 4－2＝2，当且仅当 x－1＝ x－1 4 ，即 x＝3 时取等号，故 2 为其最小值． x－1
• 答案： D
2． 已知 0＜a＜1， a(1－a)取最大值时 a 的值为( 则 1 A.3 1 C.4
• 3.某学校为了解决教职工的住房问题，计划征
用一块土地盖一幢总建筑面积为A m2的宿舍 楼．已知土地的征用费为2388元/m2，且每层 的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的 2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的 建筑费用相同，同为445元/m2，以后每增高一 层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿 舍楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总 费用．(总费用为建筑费用和征地费用之和)
16 96 ∴l＝4x＋6y＝ y ＋6y＝6 y ＋y≥6×2
16 y＝48. y·
16 当且仅当 ＝y，即 y＝4 时，等号成立，此时 x＝6. y 故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．