概率论与数理统计第一章第四节

21 2005
例6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂 生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生 产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别 为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件 是次品的概率是多少? 解
设事件 A 为“任取一件为次品”,
事件 Bi 为“ 任取一件为i 厂的产品 , i 1, 2, 3. ”
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
例5 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时 打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落 下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未 打破的概率.
" 解 以Ai (i 1,2,3)表示事件"透镜第 i 次落下打破 ,
P( A B j )P(B j ) j 1
n
称此为贝叶斯公式.
证明
P ( Bi A) P ( Bi A) P ( A)
P ( A Bi ) P ( Bi )
P( A B j )P( B j ) j 1
n
, i 1,2,, n.
在应用全概率公式与贝叶斯公式时，有两个问题需 要弄清楚：
1. 样本空间的划分
定义 设 S 为试验E的样本空间 B1 , B2 ,, Bn 为 , E 的一组事件, 若 (i ) Bi B j , i j , i , j 1, 2,, n ; (ii ) B1 B2 Bn S . 则称 B1 , B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分.
则 A3 、 A4 为事件第三、四次取到白球 .
因此所求概率为
P ( A1 A2 A3 A4 )
P ( A4 A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 )
ta t ra r . r t 3a r t 2a r t a r t
B1 B2 B3 S ,
Bi B j , i , j 1,2,3.
30% 2%
1%
1% 20%
50%
S
由全概率公式得
P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A B3 ) P ( B3 ).
P ( B1 ) 0.3, P ( B2 ) 0.5, P ( B3 ) 0.2,
④乘法公式的几何解释：若将事件A的概率看作“A 在S中所占的面积比”[几何概率]，则显然成立：
m( AB) m( AB) m( A) P( AB) m( S ) m( A) m( S )
P( B | A) P( A)
其中 m(A) 表示A的面积.
⑤应用乘法公式求多事件积事件概率的两种情形: ⅰ、积事件是其中各事件相继影响而形成; ⅱ、积事件中各事件或都发生、或都不发生、或其 中部分发生部分不发生，但事先并不知确已发生与否。
以 ( i , j ) 表示第一次、第二次分 别取到第 i 号、第 j 号产品, 则试验的样本空间为
S {(1,2), (1,3), (1,4), ( 2,1), ( 2,3), ( 2,4) ,, (4,1), (4,2), (4,3)},
A {(1,2), (1,3), (1,4), ( 2,1), ( 2,3), ( 2,4), ( 3,1), ( 3,2), ( 3,4)},
以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.
因为 B A1 A2 A3 , 所以 P ( B) P ( A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 ) 9 7 1 3 (1 )(1 )(1 ) . 10 10 2 200
三、全概率公式与贝叶斯公式
1、如何确定样本空间的划分 一般，可从下列两个方面来寻找划分：
当事件的发生与相继两个试验有关时，从第一试验
入手寻找划分； 当事件的发生是由诸多两两互斥的原因而引起的，
可以这些“原因”为划分。 2、如何区分是用全概率公式还是用贝叶斯公式 “由因求果”用全概率公式,“执果求因”用贝叶斯 公式.
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6 2005
推广 设 A1 , A2 ,, An 为 n 个事件, n 2,
且 P ( A1 A2 An1 ) 0, 则有
P ( A1 A2 An ) P ( An A1 A2 An1 ) P ( An1 A1 A2 An 2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 ).
( 2) 在仓库中随机地取一只 元件 , 若已知取到的是 次品, 为分析此次品出自何厂 需求出此次品由三 , 家工厂生产的概率分别 是多少. 试求这些概率.
解 设 A 表示 “取到的是一只次品” Bi ( i 1,2,3) ,
表示 “所取到的产品是由第i 家工厂提供的” .
则
且
B1 , B2 , B3 是样本空间 S 的一个划分,
第五节
一、条件概率 二、乘法定理
条件概率
三、全概率公式与贝叶斯公式
四、小结
§3、条件概率
一、条件概率的概念
【引例】将一枚硬币连抛两次,观察正反面出现的情
况。设事件A:“至少有一次正面”，事件B：“两次同面”
求“在事件A发生的条件下事件B发生”的概率P(B|A)。
〖解〗易知：S {HH , HT , TH , TT }, A {HH , HT , TH }, 在“至少有一次正面”发生的条件下计算B发生的概率 时，可取A为样本空间（缩减样本空间），此时，B只含 一个样本点HH，故
P ( A B1 ) 0.02, P ( A B2 ) 0.01, P ( A B3 ) 0.01, 故 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A B3 ) P ( B3 )
0.02 0.3 0.01 0.5 0.01 0.2 0.013.
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8 2005
例1 一盒子装有4 只产品, 其中有3 只一等品、1只 二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽 样. 设事件A为“第一次取到的是一等品” 、事件B 为“第二次取到的是一等品”．试求条件概率 P(B|A). 解 将产品编号, 1, 2, 3 为一等品; 4 号为二等品.
图示
B2
A
B1
Bn1
化整为零 各个击破
B3
Bn
说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个 复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件 的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终 结果.
B2
A
B1
Bn1
B3
Bn
3. 贝叶斯公式
贝叶斯资料
定理 设试验 E 的样本空间为 S . A 为 E 的事件, B1 B2 ,, Bn 为 S 的一个划分, 且 P ( A) 0, P ( Bi ) 0, ( i 1,2,, n), 则 P ( Bi A) P ( A Bi ) P ( Bi ) , i 1,2,, n.
P ( B1 ) 0.15, P ( B2 ) 0.80, P ( B3 ) 0.05,
P ( A B1 ) 0.02, P ( A B2 ) 0.01, P ( A B3 ) 0.03.
(1) 由全概率公式得
P( A) P( A B1 ) P( B1 ) P( A B2 ) P( B2 ) P( A B3 ) P( B3 )
(5) 可列可加性 : 设 B1 , B2 , 是两两不相容的事 件 , 则有
P Bi A P ( Bi A). i 1 i 1
2、乘法公式 由条件概率定义即可得: 乘法公式 设A,B为两个事件,且P(A)>0,则
P( AB) P( A) P( B | A)
P( AB) P( B | A) P( A)
为“在事件A发生的条件下事件B发生”的条件概率。
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3 2005
不难看出，计算条件概率P(B|A)有两种方法： 在原样本空间S中分别求出P(A),P(AB),再
按定义公式计算；
在缩减样本空间A中按一般概率P(B)计算。
注意：①当P(A)>0时,乘法公式与条件概率定义式 是等价的;
②当P(A)>0,P(B)>0时,有
P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B); ③乘法公式可以推广到多事件情形.例如,三事件的 乘法公式为P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)[P(AB)>0]。
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摸球试验
t 例4 设袋中装有 r 只红球、 只白球. 每次自袋中 任取一只球, 观察其颜色然后放回 并再放入a 只 , 与所取出的那只球同色 的球, 若在袋中连续取球 四次, 试求第一、二次取到红 球且第三、四次取 到白球的概率.
“第 i 次取到红球” 解 设 Ai (i 1,2,3,4) 为事件
的元件是由三家元 例7 某电子设备制造厂所用 件制造厂提供的根据以往的记录有以下 . 的数据 : 元件制造厂 1 2 3 无区别的标志. (1) 在仓库中随机地取一只 元件 , 求它是次品的 概率; 次品率 0.02 0.01 0.03 提供元件的份额 0.15 0.80 0.05
设这三家工厂的产品在 仓库中是均匀混合的且 ,
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3. 性质
(1) 非负性 : P ( B A) 0; (2) 规范性 : P ( S B) 1, P ( B) 0; (3) P ( A1 A2 B) P ( A1 B) P ( A2 B) P ( A1 A2 B);