河南省新县高中高三培优强化训练
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2024-2025学年河南省信阳市新县高级中学高三(上)适应性数学试卷(一)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知a ∈R ,则“a >b ”是“a 3>b 3”( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知(x +a )5=p 5x 5+p 4x 4+p 3x 3+p 2x 2+p 1x +p 0,若p 4=15,则a =( )A. 1B. 2C. 3D. 43.已知a =log 21.41,b =1.70.3,c =cos 7π3,则( )A. b >a >cB. b >c >aC. c >b >aD. c >a >b4.(xtanθ−1x )6的展开式中第四项的系数为540,则cos2θ的值为( )A. −3537B. 3537C. −45D. 455.为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛,一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众,若每人至少分得一份,且甲、乙两人分得的份数不相同,则不同的分法总数为( )A. 26B. 25C. 24D. 236.在△ABC 中,∠ACB =120°,|AC |=3,|BC |=4,DC ⋅DB =0,则|AB +AD |的最小值为( )A. 63−2B. 219−4C. 33−1D.19−27.斜率为−12的直线l 分别与x 轴,y 轴交于M ,N 两点,且与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),在第一象限交于A ,B 两点,且|MA|=|NB|,则该椭圆的离心率为( )A.32B.63C.22D. 128.在满足2≤x i <y i ,x yi i =y xi i 的实数对(x i ,y i )(i =1,2,3,…,n)中,使得y 1+y 2+⋯+y n−1≤15y n 成立的正整数n 的最大值为( )A. 15B. 16C. 22D. 23二、多选题:本题共3小题,共18分。
河南省信阳市新县高级中学2025届高三上学期适应性考试(一)数学试题一、单选题1.已知,a b ∈R ,则“a b >”是“33a b >”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件2.已知()55432543210x a p x p x p x p x p x p +=+++++,若415p =,则a =( ) A .1B .2C .3D .43.已知0.327πlog 1.41, 1.7,cos 3a b c ===,则( ) A .b a c >> B .b c a >> C .c b a >>D .c a b >>4.61tan x x θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为540,则cos2θ的值为( )A .3537-B .3537 C .45-D .455.为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛,一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众,若每人至少分得一份,且甲、乙两人分得的份数不相同,则不同的分法总数为( ) A .26B .25C .24D .236.在ABC V 中,120ACB ∠=o,3AC u u u r =,4BC =u u u r ,0DC DB ⋅=u u u r u u u r,则AB AD +u u u r u u u r 的最小值为( )A .2B .4C .1D 27.斜率为12-的直线l 分别与x 轴,y 轴交于,M N 两点,且与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,在第一象限交于,A B 两点,且MA NB =,则该椭圆的离心率为( )A B C D .128.在满足2i i x y ≤<,i i y x i i x y =的实数对()11(123)x y i n =L ,,,,,中,使得12115n n y y y y -+++≤L 成立的正整数n 的最大值为( )A .15B .16C .22D .23二、多选题9.同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币,记“甲正面向上”为事件A ,“乙正面向上”为事件B ,“甲、乙至少一枚正面向上”为事件C ,则下列判断正确的是( ) A .A 与B 相互独立 B .A 与B 互斥C .()23P B C =D .()12P C =10.已知抛物线2:2C x y =的焦点为F ,过点F 且倾斜角为锐角的直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点(点A 在第一象限),过点A 作抛物线C 的准线的垂线,垂足为M ,直线l 与抛物线C的准线相交于点N ,则( )A .AF BF +的最小值为2B .当直线l8AB =C .设直线BM ,MF 的斜率分别为1k ,2k ,则1212k k = D .过点B 作直线AM 的垂线,垂足为Q ,BQ 交直线MF 于点P ,则BP PQ = 11.在平面四边形ABCD中,AB AD ==AB AD ⊥,BCD △为等边三角形,将ABD △沿BD 折起,得到三棱锥1A BCD -,设二面角1A BD C --的大小为α.则下列说法正确的是( )A .当150α=o 时,M ,N 分别为线段BD ,1AC 上的动点,则MNB .当120α=o 时,三棱锥1A BCD -C .当90α=o 时,以1AC 为直径的球面与底面BCDD .当60α=o 时,AD 绕D 点旋转至1A D三、填空题12.设,i m ∈R 为虚数单位.若集合(){}1,21i A m m =+-,{}0,1,2B =,且A B ⊆,则m =.13.已知x 轴为函数()314f x x ax =++的图像的一条切线,则实数a 的值为. 14.已知函数()f x 的定义域为R ,()()11f x f x +-=,()27x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,且对于1201x x ≤≤≤,恒有()()12f x f x ≤,则12024f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.四、解答题15.如图,直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为平行四边形,,M N 分别为1,AB DD 的中点.(1)证明:DM ∥平面1A BN ;(2)若底面ABCD 为矩形,24AB AD ==,异面直线DM 与1A N 求1B 到平面1A BN 的距离.16.某公司为考核员工,采用某方案对员工进行业务技能测试,并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级.(1)已知该公司甲部门有3名负责人,乙部门有4名负责人,该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析,记负责人来自甲部门的人数为X ,求X 的最有可能的取值: (2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩x (满分100分)与绩效等级优秀率y ,如下表所示:根据数据绘制散点图,初步判断,选用e cx y λ=作为回归方程.令ln z y =,经计算得0.642z =-,71722170.027i i i i i x z xzxx ==-≈-∑∑(ⅰ)已知某部门测试的平均成绩为60分,估计其绩效等级优秀率; (ⅱ)根据统计分析,大致认为各部门测试平均成绩()2,x N μσ~,其中μ近似为样本平均数x ,2σ近似为样本方差2s .经计算20s ≈,求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率.参考公式与数据:① 1.2ln0.15 1.9,e 3.32,ln5.2 1.66≈-≈≈.②线性回归方程ˆˆˆybx a =+中,1221ˆni ii nii x y nx xyb nx ==-=-∑∑,ˆˆay bx =-. ③若随机变量()2,X N μσ~,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,()220.9544P X μσμσ-<<+=,()330.9974P X μσμσ-<<+=. 17.已知函数()3133ln f x x b x =---.(1)当1b =时,求()f x 在1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭的单调区间及极值.(2)若()0f x ≥恒成立,求b 的取值范围.18.已知数列 a n 为等比数列, b n 为等差数列,且112a b ==,858a a =,48a b =. (1)求 a n , b n 的通项公式;(2)数列()1122241n n b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,集合*422N n n n S b A n t n n a ++⎧⎫⋅⎪⎪=≥∈⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭,共有5个元素,求实数t 的取值范围; (3)若数列{}n c 中,11c =,()22log 2114nn n a c n b =≥-,求证:1121231232n c c c c c c c c c c +⋅+⋅⋅++⋅⋅<L L L .19.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()F ,过点F 且与x(1)求椭圆C 的标准方程;(2)已知直线l 与椭圆C 相切,与圆222:3O x y a +=相交于,A B 两点,设P 为圆O 上任意一点,求PAB V 的面积最大时直线l 的斜率.。
河南省信阳市新县高级中学2024届高三考前第三次适应性考试数学试题一、单选题1.若a b a b +=-r r r r ,()()1,2,,3a b m ==r r,则实数m =( ) A .6B .6-C .3D .3-2.“函数()tan y x ϕ=-的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称”是“ππ4k ϕ=-+,Z k ∈”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸,若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)( ) A .6寸B .4寸C .3寸D .2寸4.某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念,要求两名男生不相邻,两名女生也不相邻,老师不站在两端,则不同的排法共有( ) A .48种B .32种C .24种D .16种5.已知三棱柱111ABC A B C -满足22111BB BA BC BA -+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r,1BA =13AC =,则异面直线1BA 与1AC 所成角的余弦值为( )A B C D 6.若系列椭圆22:1n n C a x y +=(01n a <<,N*n ∈)的离心率12nn e ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则n a =( )A .114n⎛⎫- ⎪⎝⎭B .112n⎛⎫- ⎪⎝⎭C D 7.已知2sin2,0,,2tan 2sin sin πβαβαββ⎛⎫∈= ⎪+⎝⎭,则tan 23παβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭( )A .B .CD 8.双曲线22:4C x y -=的左,右焦点分别为12,F F ,过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于,A B两点,12121,,AF F BF F F AB V V V 的内切圆圆心分别为123,,O O O ,则123O O O V 的面积是( )A.8B .4C .8-D .6-二、多选题9.关于函数()sin |sin |f x x x =+有下述四个结论,其中结论错误的是( ) A .()f x 是偶函数B .()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增C .()f x 在[,]-ππ有4个零点D .()f x 的最大值为210.双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>,左、右顶点分别为A ,B ,O 为坐标原点,如图,已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ,Q 两点,与其两条渐近线分别交于R ,S 两点,则下列命题正确的是( )A .存在直线l ,使得AP OR PB .l 在运动的过程中,始终有PR SQ =C .若直线l 的方程为2y kx =+,存在k ,使得ORB S V 取到最大值D .若直线l 的方程为)y x a =-,RS u u u r 2SB =u u r ,则双曲线C 11.如图所示,有一个棱长为4的正四面体-P ABC 容器,D 是PB 的中点,E 是CD 上的动点,则下列说法正确的是( )A .直线AE 与PB 所成的角为π2B .ABE V 的周长最小值为4C .如果在这个容器中放入1个小球(全部进入)D .如果在这个容器中放入4个完全相同的小球(全部进入),则小球半径的最大值为三、填空题12.小于300的所有末尾是1的三位数的和等于. 13.已知函数()()ln 11axf x x x =+-+,若()0f x ≥恒成立,则=a . 14.已知X 为包含v 个元素的集合(*N v ∈,3v ≥).设A 为由X 的一些三元子集(含有三个元素的子集)组成的集合,使得X 中的任意两个不同的元素,都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中,则称(),X A 组成一个v 阶的Steiner 三元系.若(),X A 为一个7阶的Steiner 三元系,则集合A 中元素的个数为.四、解答题15.如图,在△ABC 中,2AB BC ==,D 为△ABC 外一点,24AD CD ==,记BAD ∠=α,BCD β∠=.(1)求2cos cos αβ-的值;(2)若ABD V 的面积为1S ,BCD V 的面积为2S ,求2212S S +的最大值.16.A ,B ,C ,D 四人进行羽毛球单打循环练习赛,其中每局有两人比赛,每局比赛结束时,负的一方下场,第1局由A ,B 对赛,接下来按照C ,D 的顺序上场第2局、第3局(来替换负的那个人),每次负的人其上场顺序排到另外2个等待上场的人之后(即排到最后一个),需要再等2局(即下场后的第3局)才能参加下一场练习赛.设各局中双方获胜的概率均为12,各局比赛的结果相互独立. (1)求前4局A 都不下场的概率;(2)用X 表示前4局中B 获胜的次数,求X 的分布列和数学期望.17.如图,圆台12O O 的轴截面为等腰梯形11A ACC ,111224AC AA AC ===,B 为底面圆周上异于A ,C 的点.(1)在平面1BCC 内,过1C 作一条直线与平面1A AB 平行,并说明理由;(2)设平面1A AB ∩平面1C CB l Q l =∈,,1BC 与平面QAC 所成角为α,当四棱锥11B A ACC -的体积最大时,求sin α的取值范围. 18.已知函数()()ln 1f x x ax x =--. (1)当0a <时,探究()f x '零点的个数; (2)当0a >时,证明:()32f x ≤.19.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是已知动点M 与两定点Q ,P 的距离之比)(0,1MQ MPλλλ=>≠,λ是一个常数,那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆,圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为224x y +=,定点分别为椭圆)(2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点F 与右顶点A ,且椭圆C 的离心率为12e =.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)如图,过右焦点F 斜率为)(0k k >的直线l 与椭圆C 相交于B ,D (点B 在x 轴上方),点S ,T 是椭圆C 上异于B ,D 的两点,SF 平分BSD ∠,TF 平分BTD ∠. ①求BS DS的取值范围;②将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点,若SFT △外接圆的面积为818π,求直线l 的方程.。
2024届高三考前第一次适应性考试数学命题人:审核人:注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求.1. 下面四个数中,最大的是( )A. B. C.D. 【答案】D 【解析】【分析】先根据对数函数单调性求得,然后可判断最大项.【详解】因为,即,所以,,故B ,C 错误;又,所以.故选:D2. 从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数,则该三位数能被3整除的概率为( )A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用排列组合知识求出对应的方法种数,利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数,有种;要使该三位数能被3整除,只需数字和能被3整除,所以数字1,2,3时,有种;数字为1,3,5时,有种;为ln3()ln ln31ln3()2ln31<ln32<2lne<ln3ln e <1<ln32<()ln ln3ln 21<<11ln3<()()2ln3ln3ln31ln30-=->()2ln3ln3>110153102535A 54360=⨯⨯=33A 3216=⨯⨯=33A 3216=⨯⨯=数字为2,3,4时,有种;数字为3,4,5时,有种;共24种.所以该三位数能被3整除的概率为.故选:D3. 若等差数列 的前n 项和为S ,且满足 ,对任意正整数 ,都有 则 的值为( )A. 21 B. 22C. 23D. 24【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件,利用等差数列的性质及前n 项和公式计算推理得解.【详解】依题意,,则,又,则,,等差数列的公差,因此数列单调递减,,且,即任意正整数,恒成立,所以对任意正整数,都有成立的.故选:C4. 已知 的内角 的对边分别为 若面积 则( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先利用余弦定理的变形:,结合三角形的面积公式,可把条件转化为:,再根据同角三角函数的基本关系和三角形中,可求得.【详解】因为,所以,又由,33A 3216=⨯⨯=33A 3216=⨯⨯=242605={}n a 45460, 0S S ><n ,n m a a ≥m 145452345(450)2a a S a +==>230a >14646232446(23(02))a a S a a +==+<23240a a +<24230a a <-<{}n a 24230d a a =-<{}n a 12222324250a a a a a a >>⋅⋅⋅>>>>>>⋅⋅⋅2324a a <n 23n a a ≥n n m a a ≥23m =ABC , , A B C , , ,a b c ()22,3a b c S +-=sin C =242545357252222cos a b c ab C +-=in 12s S ab C =4cos 43sin C C +=sin 0C >sin C in 12s S ab C =()221sin 23a b c ab C +-=22223a b c ab +-+=2222cos c a b ab C =+-⇒2222cos a b c ab C +-=所以.所以所以,又因为在中,,所以.故选:A5. 已知在等腰直角三角形中,,点在以为圆心、2为半径的圆上,则的最小值为( )A. B.C. D. 【答案】B 【解析】【分析】建立坐标系,先把转化为,其中,再利用两点之间线段最短求解.详解】如图:建立平面直角坐标系.则,,取.设则.所以,又故选:B6. 已知表示两条直线,表示平面,下列命题中正确的有( )①若,且,则;②若相交且都在平面外,,则;③若,则;④若,且,则.【12cos 2sin 23ab C abab C +=⇒4cos 43sin C C +=4cos 3sin 4C C =-⇒()()224cos 3sin 4C C =-⇒2216cos 9sin 24sin 16C C C =-+⇒()22161sin 9sin 24sin 16C C C -=-+225sin 24sin 0C C -=ABC sin 0C ≠24sin 25C =ABC 4CA CB ==M C 12MB MA +1+1-12MA MD ()1,0D ()4,0A ()0,4B ()1,0D (),M x y 224x y +=12MA ==MD =MB MD BD +≤==,m n ,,αβγ,m n αγβγ== //m n //αβ,m n ,αβ//,//,//,//m m n n αβαβ//αβ//,//m m αβ//αβ//,//m n αβ//m n //αβA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A 【解析】【分析】根据线面平行和面面平行逐项判断即可.【详解】对于①,若,且,则或相交,故①错误;对于③和④,与也可能相交,均错误;对于②,设相交确定平面,根据线面平行的判定定理知,根据平行平面的传递性得知.故选:A .7. 已知椭圆:与双曲线:(,)有共同的焦点,,且在第一象限的交点为,满足(其中为原点).设,的离心率分别为,,当取得最小值时,的值为( )A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】作,利用椭圆和双曲线定义可表示出,由,可得点的横坐标为,利用勾股定理可得,即,再利用基本不等式可求出最值,并求出此时的值.【详解】如图,作,垂足为M ,,m n αγβγ== //m n //αβαβ,m n γ//,//αγβγ//αβ1C ()222210x y a b a b +=>>2C 22221x ym n-=0m >0n >1F 2F P 2222OF OP OF ⋅= O 1C 2C 1e 2e 123e e +1e 12PM F F ^12,PF PF 2222OF OP OF ⋅= P 2P cx =22c am =122e e =1e 12PM F F ^根据椭圆与双曲线的定义可得,解得,由,可得点的横坐标为,即,由勾股定理可得,整理得,即,,当且仅当时等号成立,.故选:D.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的基本性质,属于中档题.8. 古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus )利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知与交于点,若,则( )121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩12,PF a m PF a m =+=-2222OFOP OF ⋅= P 2P cx =123,22c c F M F M ==()()2222322c c a ma m æöæöç÷ç÷+-=--ç÷ç÷èøèø22c am =122e e =123e e ∴+≥=123e e =1e \1,,,AB BC CD AB BC AC CD AC ===⊥⊥BD O DO AB AC =λ+μλμ+=A.B. C.D. 【答案】A 【解析】【分析】建立平面直角坐标系,求得相关点坐标,求得相关向量坐标,根据,结合向量坐标运算,即可求得答案.【详解】以为坐标原点,所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系,由题意得则,.因为,故,因为,所以(负值舍去),所以,故.又,则,因为,所以,1-1-1+1-DO AB AC =λ+μC ,CD CA ,x yAC =((),,0,0,AB C AB =(0,AC =1,9045135CB CD DCB ==∠=+= 22.5BDC ∠= 22tan 22.5tan 4511tan 22.5==-tan 22.51=-tan 22.51OC DC =⋅=()1O -()1,0D -()1DO =-DO AB AC =λ+μ 11⎧=⎪⎪⎨=解得,故选:A.【点睛】方法点睛:注意到题目中的垂直关系,由此可以建立直角坐标系,利用向量的坐标运算来解决平面向量基本定理中的参数求解问题.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.9. 已知定义在上的函数满足,且是奇函数.则( )A. B. C. 是与的等差中项 D.【答案】ACD 【解析】【分析】由,可推出的周期为4,由是奇函数可推出,通过赋值及函数的周期性可逐个判断各个选项.【详解】因为,所以,两式相减得,所以的周期为4.因为是奇函数,所以,所以,即,令,得.因为,令,得,所以,即.1λμ⎧=⎪⎨=-⎪⎩1λμ+=R ()f x (2)()(2026)f x f x f ++=(1)1f x +-(1)(3)2f f +=(2023)(2025)(2024)f f f +=(2023)f (2022)f (2024)f 20241()2024i f i ==∑(2)()(2026)f x f x f ++=()f x (1)1f x +-(1)1f =(2)()(2026)f x f x f ++=(4)(2)(2026)f x f x f +++=(4)()f x f x +=()f x (1)1f x +-(1)1(1)1f x f x -+-=-++(1)(1)2f x f x -+++=()(2)2f x f x -++==1x -(1)1f =(2)()(2026)(2)f x f x f f ++==2x =(4)(2)(2)f f f +=(4)0f =(0)0f =因为,令,得,所以,所以,所以,故A 正确.因为,所以,即,所以.因为,,所以B 错误.因为,,所以,所以是与的等差中项,故C 正确.因为,所以,故D 正确.故选:ACD【点睛】关键点睛:本题的关键是通过其奇偶性得到其周期性,再结合等差中项的含义以及赋值法一一分析选项即可.10. 下列命题恒成立的有( )A. 已知平面向量,,则B. 已知,,则C. 已知复数,,则D. 已知复数,,则【答案】ABD 【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算律判断A ,根据实数的运算法则判断B ,利用特殊值判断C ,根据复数()(2)2f x f x -++=0x =(0)(2)2f f +=(2)2f =(2)()2f x f x ++=(3)(1)2f f +=()(2)2f x f x -++=(1)(3)2f f -+=(3)(3)2f f +=(3)1f =(2023)(2025)(3)(1)2f f f f +=+=(2024)(0)0f f ==(2022)(2024)(2)(0)2f f f f +=+=(2023)(3)1f f ==(2022)(2024)2(2023)f f f +=(2023)f (2022)f (2024)f (1)(2)(3)(4)f f f f +++()(1)(3)(2)(4)f f f f =+++2204=++=20241()506[(1)(2)(3)(4)]50642024i f i f f f f ==+++=⨯=∑a b()2214a b a b a b ⋅=+-- a R b ∈()2214ab a b a b =+--1z 2z ()2212121214z z z z z z ⋅=+--1z 2z ()()2212121214z z z z z z ⎡⎤⋅=+--⎣⎦的运算性质判断D.【详解】对于A :,故A 正确;对于B :,故B 正确;对于C :令,,则,而,,所以,,所以,显然不成立,故C 错误;对于D :,故D 正确.故选:ABD11. 在平面直角坐标系中,动点与两个定点、连线斜率之积等于,记点的轨迹为曲线,直线:与交于,两点,则下列说法正确的是()A. 的方程为:B.C. 的渐近线与圆相交D.满足的直线有条【答案】AB 【解析】【分析】设P 的坐标,注意由题意可得P 的纵坐标不为0,求出斜率之积,整理可得P 的轨迹方程,可得判断A ;进而求出双曲线的离心率及渐近线的方程,可得判断B ;求出圆心到渐近线的距离,可判断C ;直线l 与曲线联立求出两根之和及两根之积,进而求出弦长|AB |,由弦长的值求出k 有两个值,可判断D .【详解】解:设P (x ,y ),由题意可得,的()2214a b a b +-- ()22221224a a b b a a b b a b ==+⋅⎤+--⋅⎦+⋅⎡⎢⎥⎣()2214a b a b +--()22221224a ab b a ab b ab ⎡⎤=++--+=⎣⎦112z i =+11i z =+()()1212i 1i 13i z z =++=-+1223i z z +=+12i z z -=12z z +=121z z -=()()22121211131344z z z z +--=-=()2212121214z z z z z z ⋅=+--()()22121214z z z z ⎡⎤+--⎣⎦()222211212222112214z z z z z z z z z z ⎡⎤=⎣+=⎦+-+-xoy P ()2,0M -()2,0N 14P E l (y k x =-E A B E ()22124y x x -=≠±E E (221x y +=AB 4=l 3,22==+-PM PN y yk k x x所以,整理得,故A 正确;又,所以,所以,故B 正确;渐近线的方程为:,即,圆心到渐近线的距离,所以直线与圆相切,故C 不正确;联立方程组 ,整理可得,所以,所以弦长,, 整理可得:,解得:k =0(与双曲线无交点) 或,所以有两条直线满足条件,所以D 不正确.故选:AB .三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 圆与的位置关系为______;与圆,都内切的动圆圆心的轨迹方程为______.【答案】 ①. 内含 ②. 【解析】【分析】先利用圆心距与两半径之差的比较得到两圆位置关系;再利用两圆内切推得,从而利用椭圆的定义即可得解.1224PM PNy y k k x x ⨯=⨯=+-221(2)4x y x -=≠±224,1a b ==2,a c ===c e a ==12y x =±20x y ±=1d r ===22(44y k x x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩2222(14)2040k x x k -+--=21212220414k x x x x k--+==-||AB ==4=224(1)4|14|k k +=-k =()221:21C x y ++=()222:249C x y -+=1C 2C 22195x y +=126PC PC +=【详解】依题意,圆心,半径,圆心,半径,所以,则两圆内含;设动圆的圆心,半径为,则,,依椭圆的定义知,的轨迹为椭圆,其中,又,所以的轨迹方程为.故答案为:内含;.13. 在中,已知边上的高等于,当角时,_____;当角时,的最大值为_____________.【答案】 ①.②. ##【解析】【分析】第一空:由锐角三角函数结合两角和的正切公式即可得解;第二空:注意到,结合基本不等式得,由此即可进一步得到,注意取等条件是否成立.【详解】设为边上的高,所以,如图所示:1(2,0)C -11r =2(2,0)C 27r =12214C C r r =<-(,)P x y r 121,7PC r PC r =-=-126PC PC ∴+=P 26,3a a ==2222,5c b a c =∴=-=P 22195x y +=22195x y +=ABC BC 13BC π4B =tan A =ππ,64B ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦tan A 3-125-2.4-113tan tan B C +=19tan tan 4B C ≤312tan 151tan tan A B C=≤--AD BC 13AD BC =又因为,所以,又, 所以,,,所以;因为,,又,所以垂足落在线段上,故都是锐角,所以均大于0,因为即,等号成立当且仅当,所以;所以,因为,所以,所以当且仅当时,有.故答案为:;.【点睛】关键点睛:第二空的关键是发现,由此结合基本不等式以及两角和的正切公式即可得解.π4B =πtan tan 14AD B BD ===13AD BC =13BD BC =23CD BC =1tan 2C =()112tan tan 31112A B C +=-+==-⨯-ππ,64B ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦tan AD B BD ⎤=∈⎥⎦13AD BC =D BC ,B C tan ,tan B C 11tan tan tan tan tan tan AD ADB C BD CDAD AD B C B C BD CD+++==⋅()23AD CD BD BC AD AD +===≥19tan tan 4B C ≤2tan tan 3B C ==151tan tan 4B C -≥-()tan tan 312tan tan 1tan tan 151tan tan B CA B C B C B C+=-+==≤---ππ,64B ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦tan B ⎤∈⎥⎦2tan tan 3B C ==()max 12tan 5A =-3-125-113tan tan B C+=14. 已知,且,则的最小值为___________.【答案】4【解析】【分析】先根据等式将消去,构造函数,然后讨论,研究函数的单调性求出最小值即可.【详解】因为,所以,因为所以关于对称.当时,因为,所以,令,所以所以在单调递增,所以在单调递增,即,故在成立,所以在单调递增,同理,在单调递减,所以当时,取的最小值,故当,时,的最小值为4.故答案为:4.,R m n ∈22m n +=2122m n m n +⋅+⋅n 2122(2()22)2n m m m f m m n m m +-=⋅+⋅=⋅+-⋅m 22m n +=2122(2()22)2n m m m f m m n m m +-=⋅+⋅=⋅+-⋅22(2)2(2)(2)2[2(2)]2(2)2()2m m m m f m m m m m f m -----=-⋅+--⋅=-⋅+⋅=()f m 1m =m 1≥242(84)2ln 2()22ln 2(2)m m mmm m f m m -⋅--'=+⋅+4(84)ln 222ln 22m m mm m ---=+⋅+2222ln 24(84)ln 22m m m m m +⋅---=(44)ln 2(448)2m m mm m -+⋅+-=m 1≥440m -≥)4()(1m g m m m =⋅≥4()ln 404m m g m m '=+⋅⋅>()4m g m m =⋅[1,)+∞448m m m ⋅+-[1,)+∞(44)ln 2(448)0m m m m -+⋅+-≥()0f m '≥[1,)+∞()f m [1,)+∞()f m (,1]-∞1m =()f m 1m =12n =2122m n m n +⋅+⋅四、解答题:本题共5题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图,在四棱锥中,底面是矩形,,,与交于点O ,底面,,点E ,F 分别是棱,的中点,连接,,.(1)求证:平面平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见详解 (2)【解析】【分析】(1)先证明平面,平面,再根据面面平行的判定定理得证;(2)法一,建系用向量法求解;法二,取中点,连接交于点,连接,则是二面角的平面角,根据余弦定理求解.【小问1详解】因为底面是矩形,与交于点,所以为中点,点是棱的中点,是棱的中点,所以为的中位线,为的中位线,所以,,因为平面平面,所以平面,因为平面平面,所以平面,而平面平面,所以平面平面.P ABCD -ABCD 2AB =BC =AC BD OP ⊥ABCD OP =PA PB OE OF EF //OEF PCD A EF O --35//OE DCP //OF DCP AB G PG EF H ,OH OG OHG ∠A EF O --ABCD AC BD O O AC E PA F PB OE ACP △OF BDP △//OE CP //OF DP OE ⊄,DCP PC ⊂DCP //OE DCP OF ⊄,DCP DP ⊂DCP //OF DCP ,OE OF O OE ⋂=⊂,OEF OF ⊂OEF OEF PCD【小问2详解】解法一:分别取中点,因为为矩形,平面,所以两两互相垂直,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,则,,,,,所以,设平面的法向量为,则:,取,得,所以,,设平面的法向量为,则:,取,得,所以,所以,所以二面角的余弦值为.解法二:如图,取中点,连接交于点,连接,,AB BC G H 、ABCD OP ⊥ABCD ,,OG OH OP ,,OG OH OP x y z 、、)B)1,0A-(0,0,P 12E -12F 11,22OE OF =-= OEF ()111,,m x y z =111111102102x y x y -+=+=11z =-112,0x y ==()2,0,1m =- 1,,PA PB =--=- PAB ()222,,n x y z =2222220y y --=+-=21z =222,0x y ==()2,0,1n = 3cos ,||||5m n m n m n ⋅〈〉==A EF O --35AB G PG EF H ,OH OG因为,所以,又点是棱中点,是棱的中点,所以,所以,又均为直角三角形,所以,所以,所以,所以是二面角的平面角,因为,在中,由余弦定理可得,所以二面角的余弦值为.16. “村BA ”后,贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”,其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江(三宝侗寨)和美乡村足球超级联赛,被大家简称为“村超”.“村超”的民族风、乡土味、欢乐感,让每个人尽情享受着足球带来的快乐.某校为了丰富学生课余生活,组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关,随机抽取了男、女同学各50名进行调查,部分数据如表所示:喜欢足球不喜欢足球合计男生20女生15的PA PB =PG AB ⊥E PA F PB //EF AB PH EF ⊥,POA POB V V 11,22OE PA OF PB ==OE OF =OH EF ⊥OHG ∠A EF O --OP OG =P G OH =OHG 2233cos 5OHG +-∠==A EF O --35合计100附:.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)根据所给数据完成上表,依据的独立性检验,能否有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关?(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计,这两名男生进球的概率均为,这名女生进球的概率为,每人射门一次,假设各人进球相互独立,求3人进球总次数的分布列和数学期望.【答案】(1)有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关 (2)分布列见解析,【解析】【分析】(1)根据男女生各名及表中数据即可填写列联表,然后根据计算从而求解.(2)根据题意可知的所有可能取值为,列出分布列,计算出期望从而求解.【小问1详解】依题意,列联表如下:喜欢足球不喜欢足球合计男生302050女生153550()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++αx α0.005α=99.5%2312X 99.5%()116E X =5022⨯()221003035152050504555χ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯X 0,1,2,322⨯合计4555100零假设:该中学学生喜欢足球与性别无关,的观测值为,,根据小概率值的独立性检验,推断不成立,所以有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.【小问2详解】依题意,的所有可能取值为,,所以的分布列为:0123数学期17. 已知椭圆的左、右焦点分别为、,为坐标原点,在椭圆上仅存在个点,使得为直角三角形,且面积的最大值为.(1)求椭圆的标准方程;(2)已知点是椭圆上一动点,且点在轴的左侧,过点作的两条切线,切点分别为、.求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】.0H 2χ()22100303515201009.0915*******11χ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯0.0059.0917.879x >=0.005α=0H 99.5%X 0,1,2,3()()2212211221215011,1C 11132183323218P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-===⨯-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()221222121842122C 11,333232189329P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯+⨯-====⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭X XP1185184929()15421101231818996E X =⨯+⨯+⨯+⨯=()2222:10x y E a b a b+=>>1F 2F O E 6()1,2,3,4,5,6i M i =12i M F F △12i M F F △2E P E P y P 24y x =A B 22OF A OF B S S +△△22142x y +=(]2,4【分析】(1)分析可知,当时,存在两个点,使得为直角三角形,设点,利用平面向量数量积的坐标运算可得出,再利用面积的最大值可得出、的值,可得出的值,由此可得出椭圆的方程;(2)证明出抛物线在点处的切线方程为,可得出抛物线在点处的切线方程,联立两切线方程,求出点的坐标为,设,其中,利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【小问1详解】解:当轴时,存在两个点,使得为直角三角形,当轴时,存在两个点,使得为直角三角形,当时,由题意可知,存在两个点,使得为直角三角形,设点,其中,则,可得,且,,则,可得,由题意可知,,则,当点为椭圆短轴的顶点时,到轴的距离最大,此时,的面积取最大值,即,则,故,因此,椭圆的方程为.【小问2详解】解:设点、,先证明出抛物线在点处的切线方程为,12i i M F M F ⊥()1,2,3,4,5,6i M i =12i M F F △(),i M x y b c =12i M F F △2b 2c 2a 24y x =()11,A x y 1122y y x x =+B P 1212,42y y y y P +⎛⎫⎪⎝⎭12122cos 42y y y y θθ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩π3π22θ<<22OF A OF B S S +△△1i M F x ⊥()1,2,3,4,5,6i M i =12i M F F △2i M F x ⊥()1,2,3,4,5,6i M i =12i M F F △12i i M F M F ⊥()1,2,3,4,5,6i M i =12i M F F △(),i M x y a x a -<<22221x y a b +=22222b y b x a=-()1,i F M x c y =+ ()2,i F M x c y =-22222222222212220i i b c F M F M x c y x c b x x b c a a ⋅=-+=-+-=+-= ()22222a cb xc -=()22220a c b c -=b c =i M i M x 12i M F F △212112222F F b c b bc b ⋅=⨯⨯===22c =2224a b c =+=22142x y +=()11,A x y ()22,B x y 24y x =A 1122y y x x =+联立可得,即,解得,所以,抛物线在点处的切线方程为,同理可知,抛物线在点处的切线方程为,联立可得,所以,,则,即点,因为点在轴左侧,则,即,因为点在椭圆上,则,设,其中,则,,所以,因为,则,则,所以,,211422y x y y x x ⎧=⎨=+⎩2221112222y y y y y x =+=+221120y yy y -+=1y y =24y x =A 1122y y x x =+24y x =B 2222=+y y x x 11222222y y x x y y x x =+⎧⎨=+⎩2212121212122222y y x x y y y y y y y --+===--()21121122222y y y y y y x +=-=124y y x =1212,42y y y y P +⎛⎫ ⎪⎝⎭P y 1204y y <120y y <P E 22121242142y y y y +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=12122cos 42y y y y θθ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩π3π22θ<<12y y θ+=128cos y y θ=()22212212OF A OF B S S OF y y y +=⋅+=-= ====π3π22θ<<1cos 0θ-≤<1cos 22θ≤+<(]222,4OF A OF B S S +=因此,的取值范围是.【点睛】方法点睛:圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略:(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的范围,求新的参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;(4)利用已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.18. 设p 为实数.若无穷数列满足如下三个性质,则称为数列:①,且;②;③,.(1)如果数列的前4项为2,-2,-2,-1,那么是否可能为数列?说明理由;(2)若数列是数列,求;(3)设数列的前项和为.是否存在数列,使得恒成立?如果存在,求出所有的p ;如果不存在,说明理由.【答案】(1)不可以是数列;理由见解析;(2);(3)存在;.【解析】【分析】(1)由题意考查的值即可说明数列不是数列;(2)由题意首先确定数列的前4项,然后讨论计算即可确定的值;(3)构造数列,易知数列是的,结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数的值.【详解】(1)因 为 所以,因 为所 以所以数列,不可能是数列.(2)性质①,22OF A OF B S S +△△(]2,4{}n a {}n a p ℜ10a p +≥20a p +=414,1,2,n n a a n -<=⋅⋅⋅(){},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++(),1,2,m n =⋅⋅⋅{}n a {}n a 2ℜ{}n a 0ℜ5a {}n a n n S p ℜ{}n a 10n S S ≥2R 51a =2p =3a 2ℜ5a n n b a p =+{}n b 0ℜp 122,2,2,p a a ===-12122,13a a p a a p ++=+++=32,a =-{}312122,21a a a a a ∈+++++{}n a 2ℜ120,0a a ≥=由性质③,因此或,或,若,由性质②可知,即或,矛盾;若,由有,矛盾.因此只能是.又因为或,所以或.若,则,不满足,舍去.当,则前四项为:0,0,0,1,下面用数学归纳法证明:当时,经验证命题成立,假设当时命题成立,当时:若,则,利用性质③:,此时可得:;否则,若,取可得:,而由性质②可得:,与矛盾.同理可得:,有;,有;,又因为,有即当时命题成立,证毕.综上可得:,.(3)令,由性质③可知:,由于,{}2,1m m m a a a +∈+31a a =311a a =+40a =41a =40a =34a a <10a <110a +<4311,1a a a ==+34a a <111a +<4311,a a a ==413a a a =+4131a a a =++112a =10a =112a ={}{}{}2111111110,012,211,2a a a a a a a a +=∈+++++=+=20a =10a ={}n a ()444(1,2,3),1n i n a n i a n n N ++===+∈0n =(0)n k k ≤≥1n k =+1i =()()4541145k k j k j a a a +++++-=={}*45,144{,1}j k j a a j N j k k k +-+∈≤≤+=+∣451k a k +=+45k a k +=0k =50a ={}5141,2a a a =+∈50a ={}*46,145{,1}j k j aa j N j k k k +-+∈≤≤+=+∣461k a k +=+{}*48,246{1,2}j k j aa j N j k k k +-+∈≤≤+=++∣482k a k +=+{}*47,146{1}j k j a a j N j k k +-+∈≤≤+=+∣4748k k a a ++<47 1.k a k +=+1n k =+10a =54111a a ⨯+==n n b a p =+*,,m n m n m n N b a p ++∀∈=+∈{},1m n m n a p a p a p a p +++++++{},1m n m n b b b b =+++11224141440,0,n n n n b a p b a p b a p a p b --=+≥=+==+<+=因此数列为数列.由(2)可知:若;,,因此,此时,,满足题意.【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”,“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.19. 已知函数.(1)讨论的单调性;(2)证明:不是函数的极值点;(3)设u ,v 为正数,证明:.【答案】(1)在单调递增(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】(1)求导,根据导函数分析单调性即可;(2)假设是的极值点得到,然后求导得到时在上单调递增,即可说明不是函数的极值点;(3)根据函数和的单调性得到,,整理得,,然后两不等式相加即可证明原不等式成立.【小问1详解】{}n b 0ℜ444,(1,2,3),1n i n n N a n p i a n p ++∀∈=-==+-11111402320a S S a p ⨯+-==-≥=91010422(2)0S S a a p ⨯+-=-=-=--≥2p =1210,,,0a a a ⋯≤()011j a j ≥≥()1e ln x f x x =()f x 1x =()2y x f x a =+()()11e e e 0v u uv f u f v f uv ---⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭()f x ()0,∞+1x =()2y x f x a =+e 2a =e 2a =()2y xf x a =+()0,∞+1x =()2y x f x a =+e x y =()f x ()()()()1e e 1ln e 0u u u f u f u f u -----=-≥⎡⎤⎣⎦()()()11111e e ln e e ln 0v v uv uv f f v f f v v uv uv uv ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=--+≥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()ln u f u u -≤e ()111e e ln ln v uv f v f v uv uv --⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭根据题意有.设,则,当时,,单调递减;当时,,单调递增,所以,所以,在单调递增.【小问2详解】设,则,若是的极值点,则,,.设,则,由(1)可知,,所以当时,,单调递减;当时,,单调递增,所以,所以,单调递增,所以不是函数的极值点.【小问3详解】当时,,当时,.因为是增函数,且由(1)可知,单调递增,.所以,即①,另有,()()11122111e ln e e ln x x x f x x x x x x x'=-+=-()ln g x x x =-()111x g x x x -'=-=01x <<()0g x '<()g x 1x >()0g x '>()g x ()()110g x g ≥=>()()121e 0x f x g x x'=>()f x ()0,∞+()()122e ln x a a h x f x x x x =+=+()1123112e ln e x x a h x x x x x'=-+-1x =()2y xf x a =+()10h '=e 2a =()131ln e e 1x x h x x x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭()112e ln e xx x x x x ϕ=-+()()()11e 2ln x x x x x x ϕ--'=()2ln 10x x x g x x -=+≥+>01x <<()0x ϕ'<()x ϕ1x >()0x ϕ'>()x ϕ()()1x ϕϕ≥=e ()()30x h x xϕ-'=≥e ()h x 1x =()2y x f x a =+01u <≤1u u -≤-1u ≥1u u-≥-e x y =()f x ()10f =()()()()1ee 1ln e 0u u uf u f u f u -----=-≥⎡⎤⎣⎦()ln u f u u -≤e ()()()11111e e ln e e ln 0v v uv uv f f v f f v v uv uv uv ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=--+≥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即②,所以①+②有.【点睛】方法点睛:导数证明不等式方法:(1)构造函数:转化为求函数的最值问题;(2)放缩法:可以通过函数不等式,切线不等式进行放缩;(3)隐零点法:当导数零点不可求时可先证明零点存在,再用此零点代入求函数最小值.()111e e ln ln v uv f v f v uv uv --⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭()()1111e e ln ln ln ln 0v u uv f u f v f u v u v uv uv uv ---⎛⎫⎛⎫++≤++=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e。
河南省信阳市新县高级中学2024届高三数学考前仿真冲刺卷一、单选题1.已知非空集合{}2A x a x a =<<,则实数a 的取值范围为( )A .()0,1B .(),0∞-C .()(),01,-∞⋃+∞D .()(),10,-∞-⋃+∞2.若复数z 满足()1i 1i z +=-+,则z =( ) A .2i -B .2i +C .iD .i -3.3名同学从人工智能、密码学与算法、计算机科学、信息安全四门课程中任选一门学习,则仅有计算机科学未被选中的概率为( ) A .49B .332C .311D .11244.函数()2ln f x x x =-与直线0x y +=相切于点A ,则点A 的横坐标为( )A .1eB .1C .2D .e5.设0.49332log 2,log log 2a b c d ====,则( ) A .a b c d <=< B .d c b a <=< C .a d b c <<=D .c a d b <<<6.已知ππ1Z,sin cos 223αα⎛⎫⎛⎫∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n ,则( )A .1cos sin 3αα+=B .1cos sin 3αα+=-C .8sin29α=-D .8sin29α=7.已知实数,x y 满足2224(0)mx y m +=>,若2x y +的最大值为4,则m =( )A B .13C D .128.已知椭圆C :2214x y +=的下顶点为A ,斜率不为0的直线l 与C 交于B ,D 两点,记线段BD 的中点为E ,若AE BD ⊥,则( ) A .点E 在定直线13y =上 B .点E 在定直线12y =上 C .点E 在定直线23y =上 D .点E 在定直线14y =上二、多选题9.已知函数()f x 的定义域为R ,对任意,x y ∈R 都有()()222x y x y f f f x f y +-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,且()11f =-,则下列说法正确的是( ) A .()11f -=B .12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数C .()()20f x f x --=D .()()()()12320251f f f f +++⋅⋅⋅+=-10.将圆柱12O O 的下底面圆1O 置于球O 的一个水平截面内,恰好使得1O 与水平截面圆的圆心重合,圆柱12O O 的上底面圆2O 的圆周始终与球O 的内壁相接(球心O 在圆柱12O O 内部).已知球O 的半径为3,132OO =.若R 为上底面圆2O 的圆周上任意一点,设RO 与圆柱12O O 的下底面所成的角为α,圆柱12O O 的体积为V ,则( )A .α可以取到π0,2⎛⎫⎪⎝⎭中的任意一个值B .()227πcos 12sin 2V αα=+ C .V 的值可以是任意小的正数 D .max 81π4V =11.定义无穷有界级数()*C 2,n k n n k k a a n n ==≥∈∑N ,且零项级数01a =,则( )A .113a =-B .301a a +=C .8130a =-D .210n a +=,*n ∈N三、填空题12.若()()5,12,3,4a b =-=r r,则cos ,a b r r 的值为.13.在三棱锥A BCD -中,0AB BC BC CD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r,AD =A BCD -体积的最大值为.14.若点A 在抛物线2:4E y x =上运动,点B 在圆221(1)4x y -+=上运动,()2,0C ,则2||||AC AB 的最小值为.四、解答题15.在ABC V 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin tan 22a CA c =. (1)求C ;(2)若8,5,a b CH ==是边AB 上的高,且CH mCA nCB =+u u u r u u r u u u r ,求mn.16.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥平面,ABCD PD 与底面所成的角为45︒,E 为PD 的中点.(1)求证:⊥AE 平面PCD ;(2)若2,AB G =为BCD △的内心,求直线PG 与平面PCD 所成角的正弦值.17.某公司拟从水平相当的普通程序员中篮选出若干高级程序员,方法如下:首轮每位普通程序员被要求设计难度相同的甲、乙、丙、丁四种程序,假设每位普通程序员每种设计合格的概率都为12,其中四种设计全部合格直接晋升为高级程序员;至少有两种(包括两种)“不合格”的直接被淘汰,否则被要求进行二轮设计:在,,A B C 三种难度不同的程序中随机抽取两种进行设计,且抽取的两种设计都合格方可晋升为高级程序员.已知每位普通程序员设计,,A B C 合格的概率分别为111,,24,同一普通程序员不同的设计相互不影响.(1)已知,,A B C 设计合格的得分分别为80,90,100,不合格得0分,若二轮设计中随机抽取到,B C 的得分为X ,求X 的分布列和数学期望;(2)求每位普通程序员晋升为高级程序员的概率. 18.设函数()()ln f x x a x x a =--+,R a ∈. (1)若0a =,求函数()f x 的单调区间;(2)若220ea -<<,试判断函数()f x 在区间()22e ,e -内的极值点的个数,并说明理由; (3)求证:对任意的正数a ,都存在实数t ,满足:对任意的()x t t a ∈+,,()1f x a <-.19.在空间解析几何中,可以定义曲面(含平面)S 的方程,若曲面S 和三元方程(),,0F x y z =之间满足:①曲面S 上任意一点的坐标均为三元方程(),,0F x y z =的解;②以三元方程(),,0F x y z =的任意解()000,,x y z 为坐标的点均在曲面S 上,则称曲面S 的方程为(),,0F x y z =,方程(),,0F x y z =的曲面为S .已知空间中某单叶双曲面C 的方程为2221114x y z +-=,双曲面C 可视为平面xOz 中某双曲线的一支绕z 轴旋转一周所得的旋转面,已知直线l 过C 上一点()1,1,2Q ,且以()2,0,4d =--为方向向量. (1)指出xOy 平面截曲面C 所得交线是什么曲线,并说明理由; (2)证明:直线l 在曲面C 上;(3)若过曲面C 上任意一点,有且仅有两条直线,使得它们均在曲面C 上.设直线l '在曲面C 上,且过点)T ,求异面直线l 与l '所成角的余弦值.。
河南省信阳市新县高级中学2024届高三考前第一次适应性考试数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________(2)求二面角A EF O--的余弦值.16.“村BA”后,贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”,其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江(三宝侗寨)和美乡村足球超级联赛,被大家简称为“村超”.“村超”、、.的民族风乡土味欢乐感,让每个人尽情享受着足球带来的快乐某校为了丰富学生课余生活,组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有、50名进行调查,部分数据如表所示:关,随机抽取了男女同学各令2x =,得(4)(2)(2)f f f +=,所以(4)0f =,即(0)0f =.因为()(2)2f x f x -++=,令0x =,得(0)(2)2f f +=,所以(2)2f =,所以(2)()2f x f x ++=,所以(3)(1)2f f +=,故A 正确.因为()(2)2f x f x -++=,所以(1)(3)2f f -+=,即(3)(3)2f f +=,所以(3)1f =.因为(2023)(2025)(3)(1)2f f f f +=+=,(2024)(0)0f f ==,所以B 错误.因为(2022)(2024)(2)(0)2f f f f +=+=,(2023)(3)1f f ==,所以(2022)(2024)2(2023)f f f +=,所以(2023)f 是(2022)f 与(2024)f 的等差中项,故C 正确.因为(1)(2)(3)(4)f f f f +++()(1)(3)(2)(4)f f f f =+++2204=++=,所以20241()506[(1)(2)(3)(4)]50642024i f i f f f f ==+++=´=å,故D 正确.故选:ACD【点睛】关键点睛:本题的关键是通过其奇偶性得到其周期性,再结合等差中项的含义以及赋值法一一分析选项即可.10.ABD【分析】(1)先证明//OE 平面DCP ,//OF 平面DCP ,再根据面面平行的判定定理得证;(2)法一,建系用向量法求解;法二,取AB 中点G ,连接PG 交EF 于点H ,连接,OH OG ,则OHG Ð是二面角A EF O --的平面角,根据余弦定理求解.【详解】(1)因为底面ABCD 是矩形,AC 与BD 交于点O ,所以O 为AC 中点,点E 是棱PA 的中点,F 是棱PB 的中点,所以OE 为ACP △的中位线,OF 为BDP △的中位线,所以//OE CP ,//OF DP ,因为OE Ë平面,DCP PC Ì平面DCP ,所以//OE 平面DCP ,因为OF Ë平面,DCP DP Ì平面DCP ,所以//OF 平面DCP ,而,OE OF O OE Ç=Ì平面,OEF OF Ì平面OEF ,所以平面OEF P 平面PCD .{}*46,145{,1}jk j a a j N j k k k +-+Σ£+=+∣,有461k a k +=+;{}*48,246{1,2}jk j aa j N j k k k +-+Σ£+=++∣,有482k a k +=+;{}*47,146{1}jk j aa j N j k k +-+Σ£+=+∣,又因为4748k k a a ++<,有47 1.k a k +=+即当1n k =+时命题成立,证毕.综上可得:10a =,54111a a ´+==.(3)令n nb a p =+,由性质③可知:*,,m n m n m n N b a p ++"Î=+Î{},1m n m n a p a p a p a p +++++++{},1m n m n b b b b =+++,由于11224141440,0,n n n n b a p b a p b a p a p b --=+³=+==+<+=,因此数列{}n b 为0Â数列.由(2)可知:若444,(1,2,3),1n i n n N a n p i a n p ++"Î=-==+-;11111402320a S S a p ´+-==-³=,91010422(2)0S S a a p ´+-=-=-=--³,因此2p =,此时1210,,,0a a a ¼£,()011ja j ³³,满足题意.【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”,“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.19.(1)()f x 在()0,¥+单调递增(2)证明见解析。
河南省信阳市新县高级中学2024届高三下学期3月适应性考试数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.某市物价部门对某商品在5家商场的售价x (元)及其一天的销售量y (件)进行调查,得到五对数据(),i i x y (1,2,3,4,5i =),经过分析、计算,得10x =,8y =,x ,y 之间的经验回归方程是: 3.2ˆˆyx a =-+,则相应于点()9.5,10的残差为( ) A .0.4 B .1.5 C .8 D .9.62.在平面四边形ABCD 中,E ,F 分别为AD ,BC 的中点.若2AB =,3CD =,且4E F A B ⋅=u u u r u u u r ,则EF =u u u r( )ABCD3.已知()2sin 23αβ+=,()1cos cos 2ααβ+=,则()tan tan ααβ++等于( )A .32B .23C .34D .434.已知,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前项和,且*21()42n n S n n T n +=∈-N ,则1011318615a ab b b b +=++( )A .2138B .2342C .4382D .41785.设a 、b 、()0,1c ∈满足sin a b =,cos b c =,tan c a =,则( ) A .2a c b +<,2ac b < B .2a c b +<,2ac b > C .2a c b +>,2ac b <D .2a c b +>,2ac b >二、多选题6.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,M 为正方体表面上的动点,N 为线段1AC 上的动点,若直线AM 与AB 的夹角为π4,则下列说法正确的是( )A .点M 的轨迹确定的图形是平面图形B .点M 的轨迹长度为2π+C .1C M 1D .当点M 在侧面11BB C C MN +的最小值为1三、单选题7.已知点A 是椭圆2212x y +=的上顶点,12,F F 分别是椭圆左右焦点,直线(0)y ax b a =+>将三角形12AF F 分割为面积相等两部分,则b 的取值范围是( )A .()0,1B .112⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C .113⎛⎤ ⎥ ⎝⎦, D .11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、多选题8.在平面直角坐标系xoy 中,动点P 与两个定点()2,0M -、()2,0N 连线的斜率之积等于14,记点P 的轨迹为曲线E ,直线l :(y k x =与E 交于A ,B 两点,则下列说法正确的是( )A .E 的方程为:()22124y x x -=≠±B .EC .E 的渐近线与圆(221x y +=相交 D .满足AB 4=的直线l 有3条9.已知圆221:1C x y +=,圆2222:(3)(4)(0),C x y r r PQ-++=>、分别是圆1C 与圆2C 上的点,则( )A .若圆1C 与圆2C 无公共点,则04r <<B .当=5r 时,两圆公共弦所在直线方程为6810x y --=C .当2r =时,则PQ 斜率的最大值为724-D .当3r =时,过P 点作圆2C 两条切线,切点分别为,A B ,则APB ∠不可能等于π210.已知函数()f x 和其导函数()g x 的定义域都是R ,若()f x x -与()21g x +均为偶函数,则( )A .()00f =B .()f x x关于点()0,1对称 C .(2023)1g =D .((1)1)((2)1)((2)1)((3)1)((2023)1)((2024)1)0g g g g g g -⨯++-⨯+++-⨯+=L五、填空题11.()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为 .(用数字作答)12.函数()()2ln e 1x f x x+=在区间][e,11,e ⎡⎤--⎣⎦U 上的最大值与最小值之和为()0,0a b a b +>>,则13a b+的最小值为 . 13.已知动点P ,Q 分别在圆221:(ln )()4M x m y m -+-=和曲线ln y x =上,则PQ 的最小值为 .六、解答题14.面试是求职者进入职场的一个重要关口,也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工,首先要进行笔试,笔试达标者进入面试,面试环节要求应聘者回答3个问题,第一题考查对公司的了解,答对得2分,答错不得分,第二题和第三题均考查专业知识,每道题答对得4分,答错不得分.(1)若一共有100人应聘,他们的笔试得分X 服从正态分布()60,144N ,规定72X ≥为达标,求进入面试环节的人数大约为多少(结果四舍五入保留整数);(2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为23,后两题答对的概率均为45,每道题是否答对互不影响,求该应聘者的面试成绩Y 的数学期望.附:若()2~,X N μσ(0σ>),则()0.683P X μσμσ-<<+≈,()220.954P X μσμσ-<<+≈,()330.997P X μσμσ-<<+≈.15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为12、公差为13的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式; (2)令()21nnnn a b S -=,n T 为数列{}n b 的前n 项积,证明:1615n ni i T =-≤∑. 16.“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体,即其底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,四棱锥S ABCD -中,四边形ABCD 是边长为3的正方形,SA AB ⊥,SC BC ⊥,SA SC ==.(1)证明:四棱锥S ABCD -是一个“阳马”;(2)已知点E 在线段AC 上,且AE EC λ=u u u r u u u r ,若二面角A SE D --的余弦值为,求直线SE与底面ABCD 所成角的正切值.17.已知函数()e cos 2xf x x x =+--,()l 1n 2xg x x x=-+.(1)0x =是否为()f x 的极值点?说明理由;(2)设a ,b 为正数,且()()f a g b =,证明:()21e 2ab f g --⎛⎫< ⎪⎝⎭.18.给定整数3n ≥,由n 元实数集合S 定义其相伴数集{},T a b a b S a b =-∈≠∣、,如果()min 1T =,则称集合S 为一个n 元规范数集,并定义S 的范数f 为其中所有元素绝对值之和.(1)判断{}0.1, 1.1,2,2.5A =--、{}1.5,0.5,0.5,1.5B =--哪个是规范数集,并说明理由; (2)任取一个n 元规范数集S ,记m 、M 分别为其中最小数与最大数,求证:()()min max 1S S n +≥-;(3)当{}122023,,,S a a a =L 遍历所有2023元规范数集时,求范数f 的最小值. 注:()min X 、()max X 分别表示数集X 中的最小数与最大数.。
2025届河南省新县高考冲刺数学模拟试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>,将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度,得到函数()g x 的图象,若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=,则ω的最小值为A .16B .23 C .53D .562.已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位) ,则z 的虚部为( ) A .2B .2iC .4D .4i3.已知双曲线22221x y C a b-=:的一条渐近线与直线350x y -+=垂直,则双曲线C 的离心率等于( )A .2?B .103C .10?D .224.已知直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点,则()4t t -的最大值为( )A .4B .289 C .329D .3275.费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如:02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A .215B .15C .415D .136.如图示,三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形,90ACB ∠=︒,且2PA PB AB ===,3PC =,则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于( )A .13B .63C .33D .237.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =,其中星等为m k 的星的亮度为E k (k =1,2).已知太阳的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A .1010.1B .10.1C .lg10.1D .10–10.18.已知椭圆22y a +22x b =1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ,B 两点,焦点F (0,-c ),其中c 为半焦距,若△ABF 是直角三角形,则该椭圆的离心率为( ) A .5-12B .3-12C .314+ D .514+ 9.已知整数,x y 满足2210x y +≤,记点M 的坐标为(,)x y ,则点M 满足5x y +≥的概率为( )A .935B .635C .537D .73710.很多关于整数规律的猜想都通俗易懂,吸引了大量的数学家和数学爱好者,有些猜想已经被数学家证明,如“费马大定理”,但大多猜想还未被证明,如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是:对于每一个正整数,如果它是奇数,则将它乘以3再加1;如果它是偶数,则将它除以2;如此循环,最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10,则输出i 的值为( )A .5B .6C .7D .811.百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球,分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字,有放回地从中任意摸出一个小球,直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间(含1和4)取整数值的随机数,分别用1,2,3,4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字,以每三个随机数为一组,表示摸球三次的结果,经随机模拟产生了以下20组随机数: 141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计,恰好第三次就停止摸球的概率为( ) A .14B .15C .25D .3512.设实数满足条件则的最大值为( ) A .1B .2C .3D .4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
河南省信阳市新县高级中学2024届高三考前数学仿真冲刺卷三一、单选题1.已知集合{}{}|1,|(1)(3)0A x x B x x x =>=+-<,则()A B =R I ð( ) A .()3,+∞B .()1,-+∞C .()1,3-D .(]1,1-2.已知,a b ∈R ,且0,0a b >>,则1ab >是ln ln 0a b ⋅>的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件3.记ABC V 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若1b =,()211a c c -=-,则A =( )A .π3B .2π3 C .π6D .5π64.已知函数()(0)f x x x α=>,α为实数,()f x 的导函数为()f x ',在同一直角坐标系中,()f x 与()f x '的大致图象不可能是( )A .B .C .D .5.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,M 为C 上的动点,N 为圆22:28160A x y x y ++++=上的动点,设点M 到y 轴的距离为d ,则MN d +的最小值为( )A .1B C D .26.某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%,某人存入大额存款0a 元,按照复利计算10年后得到的本利和为10a ,下列各数中与10a a 最接近的是( ) A .1.31B .1.32C .1.33D .1.347.已知函数2()2cos sin 21(0)f x x x ωωω=+->的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称,且()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值,则ω的值为( ) A .12B .32C .52D .728.已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点,P 是C左支上一点,(A ,当APF V 周长最小时,该三角形的面积为( ) A.B.C.D.二、多选题9.已知复数,z w ,则下列说法正确的是( ) A .若z w =,则z w =B .若3i,2i z w =+=-,则z w +在复平面内对应的点在第二象限C .若21z =,则z z =D .若21z -=,复数z 在复平面内对应的点为Z ,则直线OZ (O 为原点)斜率的取值范围为⎡⎢⎣⎦10.如图,点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点,F 是线段11A B 的中点,则( )A .若点P 满足1APBC ⊥,则动点P的轨迹长度为B .三棱锥11A PB D -体积的最大值为163C .当直线AP 与AB 所成的角为45o 时,点P的轨迹长度为π+D .当P 在底面ABCD 上运动,且满足//PF 平面11B CD 时,线段PF 长度最大值为11.满足12a =,21a =,()*21n n n a a a n ++=+∈N 的数列{}n a 称为卢卡斯数列,则( )A .存在非零实数t ,使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等差数列B .存在非零实数t ,使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列C .()*243n n n a a a n ++=+∈ND .()20242023113ii i a a =-=-∑三、填空题12.对于非空集合P ,定义函数()1,,1,,P x P f x x P -∉⎧=⎨∈⎩已知集合{01},{2}A xx B x t x t =<<=<<∣∣,若存在x ∈R ,使得()()0A B f x f x +>,则实数t 的取值范围为.13.已知圆锥的顶点为P ,底面圆心为M ,底面直径2AB =.圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ,则该圆锥的全面积为.14.函数sin cos ()e e x x f x =-在(0,2π)范围内极值点的个数为.四、解答题15.如图所示,半圆柱的轴截面为平面11BCC B ,BC 是圆柱底面的直径,O 为底面圆心,1AA 为一条母线,E 为1CC 的中点,且14AB AC AA ===.(1)求证:1OE AB ⊥;(2)求平面1AB E 与平面1B OE 夹角的余弦值.16.已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为:每一场比赛均须决出胜负,按主、客场制先进行两场比赛(第一场在甲队主场比赛),若某一队在前两场比赛中均获胜,则该队获得冠军;否则,两队需在中立场进行第三场比赛,且其获胜方为冠军.已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为12,13,25,且每场比赛的胜负均相互独立.(1)当甲队获得冠军时,求决赛需进行三场比赛的概率;(2)若主办方在决赛的前两场中共投资m (千万元),则能在这两场比赛中共盈利2m(千万元).如果需进行第三场比赛,且主办方在第三场比赛中投资n (千万元),则能在该场比赛中盈.若主办方最多能投资一千万元,请以决赛总盈利的数学期望为决策依据,则其在前两场的投资额应为多少万元?17.已函数32()(,,)f x x ax bx c a b c =+++∈R ,其图象的对称中心为(1,2)-. (1)求a b c --的值;(2)判断函数()f x 的零点个数.18.在等差数列{}n a 中,已知34527,,,4a a a a =成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)数列{}2n a是否为等比数列?若是求其前n 项和,若不是,请说明理由;(3)设()11log 0322n q n n a d q n -⎛⎫=<<⎪-⎝⎭,且**12,,k n k k k n d d d d ++∀∈∃∈-=+N N ,求q 的所有取值. 19.在平面直角坐标系xOy 中,A ,B 点的坐标分别为()01,和()01-,,设ABM V 的面积为S ,内切圆半径为r ,当3Sr=时,记顶点M 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程;(2)已知点E ,F ,P ,Q 在C 上,且直线EF 与PQ 相交于点A ,记EF ,PQ 的斜率分别为1k ,2k .(i )设EF 的中点为G ,PQ 的中点为H ,证明:存在唯一常数λ,使得当12k k λ=时,OG OH ⊥; (ii )若1243k k =,当EF PQ -最大时,求四边形EPFQ 的面积.。
河南省信阳市新县高级中学2024届高三考前第一次适应性考试数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.下面四个数中,最大的是( ) A .ln3B .ln (ln3)C .1ln3D .(ln3)22.从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数,则该三位数能被3整除的概率为( ) A .110B .15C .310D .253.若等差数列{a n } 的前n 项和为S ,且满足S 45>0,S 46<0 ,对任意正整数n ,都有 |a n |≥|a m |,则m 的值为( ) A .21B .22C .23D .244.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 若面积S =(a+b )2−c 23, 则sinC =( )A .2425B .45C .35D .7255.已知在等腰直角三角形ABC 中,CA =CB =4,点M 在以C 为圆心、2为半径的圆上,则|MB |+12|MA |的最小值为( )A .3√5−2√2B .√17C .1+2√5D .2√5−16.已知m,n 表示两条直线,α,β,γ表示平面,下列命题中正确的有( ) ①若α∩γ=m,β∩γ=n ,且m//n ,则α//β;②若m,n 相交且都在平面α,β外,m//α,m//β,n//α,n//β,则α//β; ③若m//α,m//β,则α//β;④若m//α,n//β,且m//n ,则α//β. A .1个B .2个C .3个D .4个7.已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线C 2:x 2m 2−y 2n 2=1(m >0,n >0)有共同的焦点F 1,F 2,且在第一象限的交点为P ,满足2OF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2(其中O 为原点).设C 1,C 2的离心率分别为e 1,e 2,当3e 1+e 2取得最小值时,e 1的值为( )A .√64B .√33C .√22D .√638.古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus )利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知AB =BC =CD =1,AB ⊥BC,AC ⊥CD,AC 与BD 交于点O ,若DO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,则λ+μ=( )A .√2−1B .1−√2C .√2+1D .−√2−1二、多选题9.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x +2)+f(x)=f(2026),且f(x +1)−1是奇函数.则( )A .f(1)+f(3)=2B .f(2023)+f(2025)=f(2024)C .f(2023)是f(2022)与f(2024)的等差中项D .∑⬚2024i=1f(i)=2024 10.下列命题恒成立的有( )A .已知平面向量a ,b ⃑ ,则a ⋅b ⃑ =14(|a +b ⃑ |2−|a −b⃑ |2) B .已知a ,b ∈R ,则ab =14(|a +b |2−|a −b |2) C .已知复数z 1,z 2,则z 1⋅z 2=14(|z 1+z 2|2−|z 1−z 2|2)D .已知复数z 1,z 2,则z 1⋅z 2=14[(z 1+z 2)2−(z 1−z 2)2]11.在平面直角坐标系xoy 中,动点P 与两个定点M (−2,0)、N (2,0)连线的斜率之积等于14,记点P 的轨迹为曲线E ,直线l :y =k(x −√5)与E 交于A ,B 两点,则下列说法正确的是( )A .E 的方程为:x 24−y 2=1(x ≠±2)B .E 的离心率为√52C .E 的渐近线与圆(x −√5)2+y 2=1相交D .满足|AB |=4的直线l 有3条三、填空题12.圆C1:(x+2)2+y2=1与C2:(x−2)2+y2=49的位置关系为;与圆C1,C2都内切的动圆圆心的轨迹方程为.13.在△ABC中,已知BC边上的高等于13BC,当角B=π4时,tanA=;当角B∈[π6,π4]时,tanA的最大值为.14.已知m,n∈R,且m+2n=2,则m⋅2m+n⋅22n+1的最小值为 .四、解答题15.如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=2√3,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,OP=2√3,点E,F分别是棱PA,PB的中点,连接OE,OF,EF.(1)求证:平面OEF//平面PCD;(2)求二面角A−EF−O的余弦值.16.“村BA”后,贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”,其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江(三宝侗寨)和美乡村足球超级联赛,被大家简称为“村超”.“村超”的民族风、乡土味、欢乐感,让每个人尽情享受着足球带来的快乐.某校为了丰富学生课余生活,组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关,随机抽取了男、女同学各50名进行调查,部分数据如表所示:附:χ2=n(ad−bc)2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ).(1)根据所给数据完成上表,依据α=0.005的独立性检验,能否有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关?(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计,这两名男生进球的概率均为23,这名女生进球的概率为12,每人射门一次,假设各人进球相互独立,求3人进球总次数X 的分布列和数学期望.17.已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,O 为坐标原点,在椭圆E 上仅存在6个点M i (i =1,2,3,4,5,6),使得△M i F 1F 2为直角三角形,且△M i F 1F 2面积的最大值为2.(1)求椭圆E 的标准方程;(2)已知点P 是椭圆E 上一动点,且点P 在y 轴的左侧,过点P 作y 2=4x 的两条切线,切点分别为A 、B .求S △OF 2A +S △OF 2B 的取值范围.18.设p 为实数.若无穷数列{a n }满足如下三个性质,则称{a n }为ℜp 数列: ①a 1+p ≥0,且a 2+p =0; ②a 4n−1<a 4n ,(n =1,2,⋅⋅⋅);③a m+n ∈{a m +a n +p,a m +a n +p +1},(m,n =1,2,⋅⋅⋅).(1)如果数列{a n }的前4项为2,-2,-2,-1,那么{a n }是否可能为ℜ2数列?说明理由; (2)若数列{a n }是ℜ0数列,求a 5;(3)设数列{a n }的前n 项和为S n .是否存在ℜp 数列{a n },使得S n ≥S 10恒成立?如果存在,求出所有的p ;如果不存在,说明理由. 19.已知函数f (x )=e 1x lnx . (1)讨论f (x )的单调性;(2)证明:x =1不是函数y =f (x )+ax 2的极值点;(3)设u ,v 为正数,证明:e −u f (u )+e −uv f (v )+e −1v f (1uv )≤0.。
河南省新县高中2014届高三培优强化训练(1)一、选择题1.短周期主族元素W 、X 、Y 、Z 的原子序数依次增大,W 、X 原子的最外层电子数之比为4:3,Z 原子比X 原子的核外电子数多4。
下列说法正确的是( )A .W 、Y 、Z 的电负性大小顺序一定是Z>Y>WB .W 、X 、Y 、Z 的原子半径大小顺序可能是W>X>Y>ZC .Y 、Z 形成的分子的空间构型可能是正四面体D .WY 2分子中σ键与π键的数目之比是2:12.(2013·安徽卷·7)我国科学家研制出一种催化剂,能在室温下高效催化空气中甲醛的氧化,其反应如下:HCHO +O 2――→催化剂CO 2+H 2O 。
下列有关说法正确的是( )A .该反应为吸热反应B .CO 2分子中的化学键为非极性键C .HCHO 分子中既含σ键又含π键D .每生成1.8 g H 2O 消耗2.24 L O 23.下列数据是对应物质的熔点(℃):A .铝的化合物的晶体中有的是离子晶体B .表中只有BCl 3和干冰是分子晶体C .同族元素的氧化物可形成不同类型的晶体D .不同族元素的氧化物可形成相同类型的晶体4.短周期非金属元素X 和Y 能形成XY 2型化合物,下列有关XY 2的判断不正确的是( )A .XY 2一定是分子晶体B .XY 2的电子式可能是:Y ·· : :X: :Y ·· :C .XY 2水溶液不可能呈碱性D .X 可能是ⅣA、ⅤA 或ⅥA 族元素。
5.两种元素原子的核外电子层数之比与最外层电子数之比相等,则在周期表前10号元素中,满足上述关系的元素共有( )A .1对B .2对C .3对D .4对6.下列关于σ键和π键的理解不正确的是( )A.σ键能单独形成,而π键一定不能单独形成B.σ键可以绕键轴旋转,π键一定不能绕键轴旋转C.双键中一定有一个σ键、一个π键,三键中一定有一个σ键、两个π键D.气体单质中一定存在σ键,可能存在π键7.用VSEPR模型预测下列分子或离子的立体结构,其中不正确的是( )A.NH+4为正四面体形B.CS2为直线形C.HCN为折线形(V形) D.PCl3为三角锥形8.下列有关物质结构和性质的说法中,正确的是( )A.元素非金属性Cl>S的实验依据是酸性HCl>H2S。
B.碳元素的电负性小于氧元素,每个CO2分子中有4个σ键C.同周期主族元素的原子形成的简单离子的电子层结构一定相同D.Na、Mg、Al三种元素,其第一电离能由大到小的顺序为Mg>Al>Na9.NH3、H2O等是极性分子,CO2、BF3、CCl4等是极性键构成的非极性分子。
根据上述事实可推AB n型分子是非极性分子的经验规律是( )A.在AB n分子中A原子的所有价电子都参与成键B.在AB n分子中A的相对原子质量应小于B的相对原子质量C.在AB n分子中每个共价键的键长都相等D.分子中不能含有氢原子二、非选择题10.(2013·成都市第二次诊断·8)利用15N可以测定亚硝酸盐对地下水质的污染情况。
(1)下列说法正确的是________。
A.14N与15N为同种核素 B.14N的第一电离能小于14CC.15NH3与14NH3均能形成分子间氢键 D.CH153NH2与CH3CH142NH2互为同系物(2)15N的价层电子排布图为________;15NH4Cl的晶胞与CsCl相同,则15NH4Cl晶体中15NH+4的配位数为________;15NH+4中15N的杂化轨道类型为________。
(3)工业上电解法处理亚硝酸盐的模拟工艺如图。
已知阳极区发生化学反应:2NO-2+8H++6Fe2+===N2↑+6Fe3++4H2O①阳极电极反应方程式是________(不考虑后续反应);②若硫酸溶液浓度过大,阴极区会有气体逸出,该气体为_______(填化学式);该现象表明c(H+)越大,H+氧化性越________;③若电解时电路中有0.6 mol电子转移,且NaNO2有剩余,则电解池中生成Na2SO4________mol。
11.(2013·东北三省四市联考(二)·37)A、B、C、D、E、F均为周期表中前四周期元素,其原子序数依次增大,其中A、B、C为短周期非金属元素。
A是形成化合物种类最多的元素;B原子基态电子排布中只有一个未成对电子;C是同周期元素中原子半径最小的元素;D的基态原子在前四周期元素的基态原子中单电子数最多;E与D相邻,E的某种氧化物X与C的氢化物的浓溶液加热时反应常用于实验室制取气态单质C;F与D的最外层电子数相等。
回答下列问题(相关回答均用元素符号表示):(1)D的基态原子的核外电子排布式是______________。
(2)B的氢化物的沸点比C的氢化物的沸点________(填“高”或“低”),原因是______________________。
(3)A的电负性________(填“大于”或“小于”)C的电负性,A形成的氢化物A2H4中A的杂化类型是________。
(4) X在制取C单质中的作用是________,C的某种含氧酸盐常用于实验室中制取氧气,此酸根离子中化学键的键角________(填“>”“=”或“<”)109°28′。
(5)已知F与C的某种化合物的晶胞结构如图所示,则该化合物的化学式是__________________,若F与C原子最近的距离为a cm,则该晶体的密度为________g·cm-3(只要求列算式,不必计算出数值,阿伏加德罗常数的数值为N A)。
12.(2013·山东省青岛市统一质检·32)太阳能电池的发展已经进入了第三代。
第三代就是铜铟镓硒CIGS等化合物薄膜太阳能电池以及薄膜Si系太阳能电池。
完成下列填空:(1)亚铜离子(Cu+)基态时的电子排布式为________;(2)硒为第四周期元素,相邻的元素有砷和溴,则3种元素的第一电离能从大到小顺序为________(用元素符号表示),用原子结构观点加以解释:________。
(3)与镓元素处于同一主族的硼元素具有缺电子性(价电子数少于价层轨道数),其化合物可与具有孤对电子的分子或离子生成加合物,如BF3能与NH3反应生成BF3·NH3。
BF3·NH3中B原子的杂化轨道类型为________,B与N之间形成________键。
(4)单晶硅的结构与金刚石结构相似,若将金刚石晶体中一半的C原子换成Si原子且同种原子不成键,则得如图所示的金刚砂(SiC)结构;在SiC中,每个C原子周围最近的C原子数目为________。
13.(2013·武汉市4月调研·37)Ⅰ.下列有关说法正确的是________。
A.相同类型的离子晶体,晶格能越大,形成的晶体越稳定B.手性催化剂只催化或者主要催化一种手性分子的合成C.用金属的电子气理论能合理地解释金属易腐蚀的原因D.H3O+、NH4Cl和[Ag(NH3)2]+中均存在配位键Ⅱ.碳及其化合物在自然界中广泛存在。
(1)基态碳原子的价电子排布图可表示为________。
(2)第一电离能:碳原子________(填“>”“<”或“=”)氧原子,原因是__________________________。
(3)冰晶胞中水分子的空间排列方式与金刚石晶胞类似。
每个冰晶胞平均占有________个水分子,冰晶胞与金刚石晶胞排列方式相同的原因是__________________________。
(4)C60的晶体中,分子为面心立方堆积,已知晶胞中C60分子间的最短距离为d cm,可计算C60晶体的密度为________g/cm3。
(5)请写出一个反应方程式以表达出反应前碳原子的杂化方式为sp2,反应后变为sp3:________________________________。
14.(2013·南昌市第二次模拟·37)A、B、C、E、F为原子序数依次增大的六种元素,其中A、B、C、D、E为短周期元素,F为第四周期元素,F还是前四周期中电负极最小的元素。
已知:A原子的核外电子数与电子层数相等;B元素原子的核外p电子数比s电子数少1个;C原子的第一至第四电离能为I1=738 kJ/mol,I2=1451 kJ/mol,I3=7733 kJ/mol,I4=10540 kJ/mol;D原子核外所有p轨道为全充满或半充满;E元素的族序数与周期序数的差为4;(1)写出E元素在周期表位置:________;D元素的原子的核外电子排布式:__________________________________。
(2)某同学根据题目信息和掌握的知识分析C的核外电子排布为该同学所画的轨道式违背了________。
(3)已知BA5为离子化合物,写出其电子式:______________。
(4)DE3中心原子杂化方式为__________________,其空间构型为______________。
(5)某金属晶体中原子堆积方式如图甲,晶胞特征如图乙,原子相对位置关系如图丙,则晶胞中该原子配位数为________;空间利用率为________;该晶体的密度为________。
(已知该金属相对原子质量为m,原子半径为a cm)15.(2013·陕西省质检(二)·37)有A、B、C、D、E五种原子序数依次增大的元素(原子序数均小于30)。
A的基态原子2p能级有3个单电子;C的基态原子2p能级有1个单电子;E原子最外层有1个单电子,其次外层有3个能级且均排满电子;D与E同周期,价电子数为2。
则:(1)D的元素符号为______。
A的单质分子中π键的个数为______。
(2)B元素的氢化物的沸点是同族元素氢化物中最高的,原因是__________________________________。
(3)A、B、C 3种元素的第一电离能由大到小的顺序为________(用元素符号表示)。
(4)写出基态E原子的价电子排布式:__________________。
(5)A的最简单氢化物分子的空间构型为________,其中A原子的杂化类型是________。
(6)C和D形成的化合物的晶胞结构如图所示,已知晶体的密度为ρg·cm-3,阿伏加德罗常数为N A,求晶胞边长a=________cm。
(用ρ、N A的计算式表示)。