应用新展式法求非线性发展方程的精确解

郑州大学硕士学位论文一个新的广义非线性Schr?dinger方程的达布变换及其精确解姓名：***申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：***201105摘要本文主要研究—个新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的达布变换及其精确解．文中共分四部分：第一部分主要介绍了孤立子理论的发展和现状以及Ｄａｒｂｏｕｘ变换的基本理论．第二部分首先给出一个新的耦合广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的Ｌａｘ对．然后引入Ｌａｘ对之间的规范变换，由此导出这个新的耦合广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的Ｄａｒｂｏｕｘ变换．第三部分主要研究Ｄａｒｂｏｕｘ变换的约化并给出这个新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的达布变换．文中给出一个系统的代数算法求解此新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程．第四部分主要讨论Ｄａｒｂｏｕｘ的应用，以平凡解作为种子解，详细讨论利用Ｄａｒｂｏｕｘ变换得到这个新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的Ⅳ－孤子解的算法．特别地，我们分别得到这个新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的单孤子解和双孤子解．利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件，通过适当选择参数，给出这个新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的单孤子解和双孤子解的图形．关键词：新的广义ＮＬＳ方程；Ｄａｒｂｏｕｘ变换；孤子解ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｍａｉｎａｉｍｏｆｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｐａｐｅｒｉｓｔｏｃｏｎｓｔｒｕｃｔａＤａｒｂｏｕｘｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｆｏｒａｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄｉｔｓｅｘａｃｔｓｏｌｕ－ｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｒｅａｒｅｆｏｕｒｓｅｃｔｉｏｎｓｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｉｎｓｅｃｔｉｏｎ１，ｗｅｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎｔｈｅｏｒｙａｎｄｃｕｒｒｅｎｔｓｉｔｕａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｔｈｅｏｒｙｏｆｔｈｅＤａｒｂｏｕｘｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｉｎｓｅｃｔｉｏｎ２，ｗｅｆｉｒｓｔｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅＬａｘｐａｉｒｏｆａｃｏｕｐｌｅｄｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｆｏｒｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ．ＴｈｅｎａＤａｒｂｏｕｘｔｈｅｃｏｕｐｌｅｄｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｄｅ－ｒｉｖｅｄｗｉｔｈｔｈｅｈｅｌｐｏｆｔｈｅｇａｕｇｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅＬａｘｐａｉｒ．Ｉｎｓｅｃｔｉｏｎ３，ｔｈｅＤａｒｂｏｕｘｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｆｏｒａｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｒｅｄｕｃｔｉｏｎｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ．ＡｓｙｓｔｅｍａｔｉｃａｌｇｅｂｒａｉｃｐｒｏｃｅｄｕｒｅｉｓｇｉｖｅｎｉｎｄｅｔａｉｌｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｉｎｔｈｅｆｉｎａｌｓｅｃｔｉｏｎ，ｗｅｄｉｓｃｕｓｓａｎａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｏｆｔｈｅＮ－ｓｏｌｉｔｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ．Ａｓａｌｌａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，ｗｅｏｂｔａｉｎｏｎｅ．ｓｏｌｉｔｏｎａｎｄｔｗｏ－ｓｏｌｉｔｏｎｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅＤａｒｂｏｕｘｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｗｉｔｈｔｈｅａｉｄｏｆｔｈｅＭａｔｈｅｍａｔｉｃａ，ｔｈｅｆｉｇｕｒｅｓｏｆｏｎｅ．ｓｏｌｉｔｏｎａｎｄｔｗｏ－ｓｏｌｉｔｏｎｗｅａｒｅｇｉｖｅｎｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｓｕｉｔａｂｌｙｃｈｏｓｅｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＡｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＮＬＳｅｑｕａｔｉｏｎ，Ｓｏｌｉｔｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎｓ，ＤａｒｂｏｕｘｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎＩＩ§１引言非线性科学是自２０世纪６０年代以来，在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为２０世纪自然科学的“第三次革命”．而孤立子理论作为非线性科学的一个重要分支，它既反映一类非常稳定的自然现象，又为非线性偏微分方程提供了求显式解的方法，因而受到物理学界和数学界的高度重视．在历史上，孤子和孤波的概念是从一维潜水槽中小振幅波的研究开始的，由于人们对自然现象的细心观察而发现了孤波．１８４４年，英国科学家Ｊ．Ｓ．Ｒｕｓｓｅｌｌ在他的《论波动》报告中，讲述了他１８３４年观察到的一种奇特的水波现象，认为这种孤立波的波动是流体力学方程的一个稳定解，但一直未能在理论上证明孤波的存在．直到１８９５年，荷兰著名数学家Ｋｏｒｔｅｗｅｇ和他的学生ｄｅＶｒｉｅｓ在对孤波进行全面分析后指出这种波可近似为小振幅的长波，并以此建立了浅水波运动方程，用行波法求出了与Ｒｕｓｓｅｌｌ描述一致的孤波解，孤立波的存在才得到普遍承认．起初人们认为虽然单个孤立波在行进中非常稳定，但在孤立波相互碰撞时，就可被撞得四分五裂，稳定波包将不复存在．但是，１９６５年，美国数学家Ｋｒｕｓｋａｌ和Ｚａｂｕｓｋｙ利用计算机通过计算详细研究了ＫｄＶ方程两波相互作用的全过程，惊奇地发现孤波在作用前后形状和速度保持不变而且具有弹性散射的性质，所以Ｋｒｕｓｋａｌ和Ｚａｂｕｓｋｙ又将这种稳定的孤波称为孤子．孤立子的高度稳定性和粒子性引起了人们对孤立子的极大兴趣．随着研究的深入，大批具有孤子解的非线性波动方程在物理的各个领域不断被揭示出，其中包括等离子体中的非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程、振子运动的Ｔｏｄａ链与二维流体流动的ＫＰ方程等，而且这些方程还具有其它许多共同的性质，例如它们都存在Ｌａｘ对与无穷守恒律，都存在等谱流与非等谱流，且相关的等谱方程族构成无穷维Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统等．随着对孤立子研究的深入，人们已发现一系列求孤立子方程精确解的方法，如反散射方法（［９］一［１０］），ＢｉｉｚＭｕｎｄ变换法（［１１］．［１２】，［３０】），Ｄａｒｂｏｕｘ变换法（［１３］－［１７］），Ｈｉｒｏｔａ双线性方法（［１８】．［１９】），Ｐａｉｎｌｅｖｄ分析法（［２０］），Ｌｉｅ对称方法（［２１】－［２２］），以及代数几何方法（［２３］－［２６］），非线性化方法（【２７】），齐次平衡法（【２８］－［２９］）等，其中Ｄａｒｂｏｕｘ变换方法是一１种简便而有效的方法．Ｄａｒｂｏｕｘ变换是１９世纪末法国数学家Ｇ．Ｄａｒｂｏｕｘ在研究线性Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ问题时提出的．１８８２年，Ｇ．Ｄａｒｂｏｕｘ研究了一个二阶线性常微分Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ方程（就是现在所谓的ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程）的特征值问题一≯２２＋让（ｚ）≯＝入砂，（１．１）其中ｕ（ｚ）是给定的函数，入是常数，称为普参数．Ｄａｒｂｏｕｘ发现下面的事实：设札（ｚ）和≯（ｚ，入）是满足（１．１）的两个函数，对任意给定的常数入ｌ，令咖＝多（ｚ，入）是方程（１．１）的一个解，≯１＝≯（ｚ，入１）是（１．１）当入＝入ｌ时的一个解，即≯１满足方程－砂１，ｚｚ＋ｕ（ｚ）≯ｌ＝Ａ１≯１，（１．２）则由覆（。

对偏微分方程求解方法的相关分析偏微分方程作为非线性科学领域中的一项重要研究内容，方程自身具有较强的复杂性，大多数偏微分方程的精确性不高，方程的精确求解尚不完全，确保偏微方程求解方法的精确性，成为专家学者重点研究内容。

但是从过去的研究情况上来看，无法精确的求出偏微分方程解，相关的研究人员通过多年来的研究及实验，现总结出了以下三种研究方法，具体分析了偏微分方程的求解方法，确保了求解方法的合理性，有助于提升方程求解效果，提升了偏微分方程的精确性。

1 （2+1）维耗散长水波方程的孤波解方法1.1 双曲正切法双曲正切法函数是由Malfliet等人提出的一种非线性求解方法。

在90年代中期对该方法进行了改进，将计算机代数与双曲正切法有机的结合在一起，对非线性偏微分方程进行求解，提高了偏微分方程的精确性。

偏微分方程求解方法通过采用各种方法，将偏微分方程约化为常微分方程，在通过不同的方程求解方法来完成对偏微方程的孤立波解。

方程求解需要按照如下步骤执行：将偏微方程转换为常微分方程；在利用双曲正切法求解时，运用双曲正切函数将方程解进行组合和叠加；对常微分方程中的非线性代数方程组进行求解；利用吴消元法求解；将所获得的方程解带入到原方程式中进行验证。

例如，方程有解，需要按照公式进行求解：将利用齐次平衡法进行求解，得，n=1，。

其中，当b0时，所求出的方程解为，。

当b=0时，所求出的方程解为，当b0时，所求出的方程解为，。

1.2 投影Riccati法投影Riccati法主要是利用计算机来直接进行求解的过程，通过在Riccati方程中寻找NEEs的形式来求出新的孤波解，将这个解构成初等的函数多项式。

在利用投影Riccati法对偏微分方程进行求解时，需要按照以下步骤进行：针对已经给定的非现象发展方程，将方程中的自变量设置为X，t，做航波变换，会得出一个微分方程；对偏微分方程中的微分方程组进行求解，运用平衡最高阶导数项和非线性项进行求解。

非线性方程的求解毕业论文题目(中文): 非线性方程的求解(英文): The Solution of Nonlinear Equations目录绪论 ..................................................................... ........................................................... 1 1 非线性方程的简介 ..................................................................... .. (1)1.1非线性方程的背景 ..................................................................... . (1)1.2非线性方程的概念 ..................................................................... ...................... 2 2非线性方程求解的数值方法 ..................................................................... (3)2.1 二分法 ..................................................................... .. (3)2.1.1 二分法的思想 ..................................................................... . (3)2.1.2 二分法的推理 ..................................................................... . (3)2.1.3 二分法的应用 ..................................................................... . (4)2.2 牛顿迭代法 ..................................................................... (4)2.2.1 迭代法 ..................................................................... (4)2.2.2 牛顿迭代法 ..................................................................... . (6)2.3 改进牛顿迭代法 ..................................................................... .. (10)2.3.1 改进牛顿迭代法的背景 ......................................................................102.3.2 改进的法 ..................................................................... ........... 11 Newton3 牛顿迭代法和改进牛顿迭代法的应用 ....................................................................123.1 牛顿迭代法的应用...................................................................... . (12)3.2 改进牛顿迭代法的应用 ..................................................................... ............ 19 4 结束语 ..................................................................... ................................................. 22 参考文献 ..................................................................... ................................................. 23 致谢 ..................................................................... (24)I非线性方程的求解摘要非线性方程在实际问题中经常出现，很多熟悉的线性模型都是在一定的条件下由非线性问题简化得到的;非线性方程在科学与工程计算中的地位越来越重要,因此研究和探讨非线性方程求解的方法是非常有必要的。

Fisher方程的一种求解方法 摘要： 本文利用Riccati方程映射法求解广义Fisher方程。首先求解n等于1和2的方程，在这基础上，利用幂变换求得方程在高次情况下的精确解，最后对所求得的解进行简单的讨论。本文所用的方法简单而初等，能够推广到其他一些高次方程的求解。

关键词：广义Fisher方程；Riccati方程映射法；幂变换；精确解 1 Fisher 方程 在相当长的一段时间里，非线性物理问题的研究都处于难以深入的境地。二十世纪六七十年代，计算机逐渐发展起来，人们利用现代工具有效的解决了一些问题，才实现了开启非线性物理学的大门。求解非线性动力学方程，长期以来都是物理学家和数学家研究的重要课题。随着研究方法不断地涌现和计算机代数系统的快速发展，非线性方程的解日趋丰富。1975—1978年，Aronson和Weinberger系统地研究了如下的非线性问题[1,2]

)(22ufxutu

， （1）

这里要求非线性函数)(uf满足如下的泛定条件 ]1,0[)(1Cuf，0)1()0(ff， （2）

在相应的限制下, 文献[1,2]给出了非线性方程（1）解的渐近行为已相当普遍和深人的讨论。所得重要结论之一表明, 在任意局域的初始扰动下, 方程（1）的解将发展成为具有确定波速的局域行波。这种性质的行波是耗散系统中的一种孤波。 非线性扩散方程（1）的研究具有广泛而深刻的物理背景。核反应中的中子增殖, 液晶等凝聚态物质中波动的传播, 成核相变中动态物理过程的描述, 生物物理中神经传导和种群遗传等问题均联系着方程（1）的研究。 方程（1）最简单的特殊形式是取非线性函数)1()(uuuf，这时方程（1）成为

)1(22uuxutu

， （3）

方程（3）是熟知的Fisher方程，下文将会给出求解过程。1936年Fisher提出该方程后，Kolmigoroff，Petrovski和Piscounoff对方程（2）进行过严格的探讨。半个多世纪以来，围绕Fisher方程有大量的工作出现，其中由Ablowitz和Zeppetella首次求得（2）式的孤波解[3]，受到他们的启发，Abdelkader考虑了广义的Fisher方程[4]

非线性方程数值解法及其应用摘要:数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。

本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。

是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。

我将从二分法、Steffensen加速收敛法、Newton迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。

关键字：非线性方程;二分法；Steffensen加速收敛法；代数Newton法；弦截法一、前言随着科技技术的飞速发展，科学计算越来越显示出其重要性。

科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。

因此经常需要求非线性方程 f(x) = O的根。

方程f(x) = O 的根叫做函数f(x)的零点。

由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则f(x) = O在开区间(a,b)内至少有一个实根。

这时称[a,b]为方程f(x) = O的根的存在区间。

本文主要是对在区间[1.2]的根的数值解法进行分析，介绍了非线性方程数值解法的四种方法，从而得到在实际问题中遇到非线性方程根的求解问题的解决方法。

二、非线性方程的数值解法1、二分法二分法的基本思想是将方程根的区间平分为两个小区间，把有根的小区间再平分为两个更小的区间，进一步考察根在哪个更小的区间内。

如此继续下去，直到求出满足精度要求的近似值。

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则[a,b]是方程f(x)=O 的根的存在区间，设其内有一实根，记为。

取区间[a,b]的中点，并计算，则必有下列三种情况之一成立：(1)= O,就是方程的根；(2)f(a)·f()<O，方程的根位于区间[a,]之中，此时令，；(3)f()·f(b)<O，方程的根位于区间[,b]之中，此时令。

非线性微分方程的数值求解方法非线性微分方程是现代科学研究中的一个重要课题，其涉及机械、物理、化学、电子、生物、医学等众多领域。

然而，由于非线性微分方程普遍难以求解，因此，数值求解成为了解决问题的有效方法。

在本文中，我们将介绍非线性微分方程数值求解的常用方法和一些应用实例。

1. 常用方法1.1 有限差分法有限差分法是一种基于离散化技术的数值求解方法。

其具体操作是将非线性微分方程转化为一个差分方程，然后利用数值迭代的方法逐步计算出方程的解。

有限差分法是非线性微分方程数值求解的最基本方法，其优点是简单、易于实现，但由于离散化带来的误差限制了其应用范围。

1.2 有限元法有限元法是结构力学和流体力学中常用的一种数学方法，可以用于求解大量的非线性微分方程。

该方法将连续的物理问题转化为一系列离散的有限元问题，并利用数值技术实现数值计算。

相对于有限差分法，有限元法更加灵活、精确，能够模拟各种复杂的力学问题。

1.3 辛波特-欧拉法辛波特-欧拉法是非线性微分方程数值求解中的一种高精度方法。

其基本思想是将微分方程用欧拉法离散化，然后利用辛波特方法来提高精度。

该方法应用广泛，在计算机模拟、物理学、天文学等领域有着广泛的应用。

2. 应用实例2.1 生态学非线性微分方程在生态学中有着广泛的应用，其中最经典的例子是Lotka-Volterra方程。

这个模型描述了食物链中食草动物和食肉动物的数量变化。

利用有限元法、有限差分法等数值方法，可以对生态系统的发展、演变进行模拟，研究生态链条的稳定性、物种丰富度变化、环境扰动的影响等问题。

2.2 理论物理学非线性微分方程在理论物理学中也有着广泛的应用。

例如，把非线性微分方程用于研究非线性波方程和非线性光学方程，以及非线性薛定谔方程和非线性薛定谔场方程等等。

这些数值方法的应用可以有效地模拟和研究各种物理现象。

例如，研究自然灾害引起的气候变化、稳定器的效应、研究界面液晶显示器，以及研究光学调制中涉及的非线性现象等等。

一个新的广义射影Riccati方程展开法及其应用刘娟;张小中【摘要】Many nonlinear evolution equations were arisen form physics equations, especially in the fluid me- chanics, aerodynamics, plasma physics, biology physical and chemical physical, etc. Because the precise so- lution is of great theoretical and applied research value, many mathematicians and physicists did a lot of work. In this paper, based upon a new generalized Projective Riccati equation rational expansion method, some new generalexact solutions are obtained for the single-nonlinear reaction-diffusion equation with nonlinear terms of arbitrary order. The presented method can also be applied to other nonlinear evolution equations with nonlinear terms of arbitrary order.%物理学方程，尤其是在流体力学、空气动力学、等离子体物理、生物物理和化学物理等现代科学技术中引出的非线性发展方程，其精确解有重大的理论和应用研究价值，许多数学家和物理学家为此作了大量工作．借助于符号计算软件Maple，通过利用一个新的更为广义的Ric—cati方程有理展开法，得到了非线性项具有任意次幂的非线性反应扩散方程的一些新的更广义的精确解．此方法还可以应用到其他的非线性发展方程中去．【期刊名称】《河南理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(031)006【总页数】4页(P753-756)【关键词】广义Riccati方程;三角周期解;指数函数解;类孤子解【作者】刘娟;张小中【作者单位】河南理工大学数学与信息科学学院,河南焦作454000;河南理工大学数学与信息科学学院,河南焦作454000【正文语种】中文【中图分类】TV1390 引言对非线性发展方程精确行波解的研究在研究非线性物理现象中起着非常重要的作用.通过利用符号计算软件，例如Mathmatica或Maple，关于求解非线性发展方程的精确解的有效算法得到了广泛的研究［1-8］，其中在文献［9］中，许多非线性发展方程的孤立子解可以写成两个基本函数的有理函数的形式，其中这两个基本函数满足射影(所以是可以线性化的)Riccati系统［10］.由于这个性质，Conte和Musette得到一个构造解的方法，这个方法只需要确定有限个系数，与通过包含扰动项级数相比，这个方法更为简单，而且可以得到更多的解.通过简化射影Riccati常系数的假设，可以发现由钟状和扭状函数组成的多项式形式的解，这些解包含了许多具有物理意义的孤立波解.如果不借助于这种简化的假设，则可以发现更多的解，甚至可以给出一些常微分方程的广义解.近年来，文献［11-13］发展了Conte的方法并且给出了广义射影Riccati方法来寻找非线性发展方程更多的精确解，后来在此基础上作了进一步的推广，称之为推广的射影Riccati方程法，这个方法给予以下更为广义的射影Riccati方程:这里p和r是非零常数，当q≠0时，它具有下面的首次积分:这里'=当 p= －1，q=1时，它就变为射影Riccati方程［14-19］.1 方法简述对于一个给定的非线性发展方程作行波变换这里a，b，c和λ为待定常数，这样非线性偏微分方程(4)可化为非线性常微分方程(ODE):步骤1 引入下面方程的解的如下形式.类型1 当式(1)和(2)中q≠0时，这里f(ξ)和g(ξ)满足式(1)和(2).类型2 当式(1)和(2)中q=r=0时，步骤2mi可以通过平衡式(4)或式(6)中的最高阶偏导数项和最高次非线性项得到: (i)如果mi是一个正整数转步骤3.(ii)如果mi为分数或负数，做变换U(ξ)=Φmi(ξ)然后重新确定mi的值.步骤3(1)当q≠0时，在满足式(1)和(2)的情况下，将式(7)代入式(6).(2)当 q=r=0 时，在满足f'(ξ)=f2(ξ)的时候，将式(8)代入式(6).于是得到关于 fsgt(s=0，1，2，…，t=0，1)的代数方程组，令同幂次的系数为零则得到关于a，b，c，λ，aij，bij的超定代数方程组.步骤4 借助符号计算软件Maple求解上面得到的代数方程组，得到k，m，n，λ，aij，bij的值.步骤5 根据文献［20］知道式(1)和(2)有下面的解.(1)当pq＜0时有解其中k和l为满足下述关系的任意数，即(2)当pq＞0时有解其中m和n为满足下述关系的任意数:(3)当p=r=0时有解式中:C为常数.于是，根据上述步骤可以得到式(4)的许多精确解.2 应用与推广在文献［2］中，Khater等人介绍了一个非线性反应扩散方程式中:u为种群密度;β，q0为常系数，q0＞0为爆破项，p0为一个正数;auδ中α为一个常系数，δ为一个正数.利用Tanh函数法，Khater等人发现了式(16)在δ=p0－1时的一组静态周期解，本文考虑式(16)中的p，q是任意常数而δ=p－1的情况，即首先将解设为如下形式:将式(17)化为如下格式:通过平衡式(19)中的最高阶偏导数项和最高次非线性项，可以得到m=－继而做如下变换:式中:a0，a1，a2，μ 为待定系数;f，g 满足式(1)和(2).利用符号计算软件Maple将式(22)，式(1)和式(2)代入式(21)，得到关于 fsgt(s=0，1，2…，t=0，1)的代数方程组.令 fsgt的系数为零，得到关于 a0，a1，a2，μ，a，b，λ的超定代数方程组.限于篇幅此处略去代数方程组，求解该代数方程组得从以上各组解的情况即可求得非线性反应扩散方程的以下几组解.对情形1来说，当pq＜0时解为其中ξ=a(bx－λt)，p0＞0，q0＞0，p，q≠0，且满足q2k2=q2l2－1.对情形2来说，当pq＜0时解为其中ξ=a(bx －λt)，p0 ＞ 0，q0 ＞ 0，p，q≠0，且满足q2k2=q2l2－1.3 结语整个过程中对射影Riccati方程法作了如下推广:(1)当p= －1，q=1时，方程(1)和(2)即为射影Riccati方程.(2)当p= ±1，q=R 时，方程(1)和(2)即为广义射影Riccati方程.所以，得到的方程解具有更强的一般性，可以求得许多非线性发展方程更多形式的精确解.参考文献:［1］PARKES E J，DUFFY B R.An automated tanh － function method for finding solitary wave solutions to nonlinear evolution equations［J］.Comput Phys Commun，1996，98:288-300.［2］KHSTER A H，MALFLIET W，CALLEBAUT D K，et al.The tanh method，a simple transformation and exact analytical solutions for nonlinear reaction-diffudion equations［J］.Chaos Solitons Fract，2002，14:513-522. ［3］FAN E G.Extended tanh-function method and its applications to nonlinearequations［J］.Phus Lett A，2000，277:212-218.［4］ELWAKIL S A，EL-LABANY S K，ZAHRAN M A，et al.Modifide extended tanh-function method for solving nonlinear partial differential equations［J］.Phys Lett A，2002，299:179-188.［5］WANG Q，CHEN Y，ZHANG H Q.A new Riccati equation rational expansion method and its application to(2+1)-dimensional Burgers equation［J］.Chaos Solitons Fract，2005，25:1019-1028.［6］YAN Z Y.New explicit solitary wave solutions and periodic wave solrtions for Whitham Broer-Kaup equation in shallow water［J］.Phys Lett A，2001，285:355-362.［7］石玉仁，吕克璞，段文山，等，组合KdV方程的显式精确解［J］.物理学报，2003，51:1159-1162.［8］WADATI M.Wave Propagation in Nonlivear Lattice［J］.J Phys Soc Jpn，1975，38:673-680.［9］CONTE R，MUSETTE M.Link between solitary waves and projective Riccati equations［J］.J Phys Gen，1992，25:5609.［10］ABOUNTIS T C，PAPAGEORGIOU V，WINTERNITZ P.On the integrability of systems of nonlinear ordinary differential equations with superposition principles.J Math Phys［J］，1986，27:1215 －1224.［11］何进春.关于KdV方程孤子解的研究［J］.应用数学，2007，20(1):145-150.［12］HUANG D J，ZHOU S G.Group Properties of Generalized Quasi-linear Wave Equations［J］.J Math Anal Appl，2010，366:460-472.［13］闫振亚张鸿庆.两个非线性发展方程精确解析解的研究［J］.应用数学和力学，2001，22(8):825-830.［14］YAN Z Y.New explicit travelling wave solutions for two new integrable coupled nonlinear evolution equations［J］.Phus Lett:A，2011，292:100 －106.［15］YAN Z Y.Generalixed method and its application in the higher-order nonlivear dinger equation in nonlinear oprical fivres［J］，Chaos Solitons and Fractals，2003，16:759.［16］XIE F D，GAO X S.Exact travelling wave solutions for a class of nonlivear partial differential equations［J］.Chaos Solitons and Fractals，2004，19:1113.［17］CHEN Y，WANG Q，LI B.A generalized method and general form solutions to the Whitham-Broer equation［J］.Chaos Solitons and Fractals，2004，22:675.［18］HUANG D J，ZHANG H Q.Exact travelling wave solutions for theBoiti-Leon-Pempinelli equation［J］.Chaos Solitons and Fractals，2004，22:243.［19］CHEN mun［J］.Theor Phys，2002，38:261.［20］WANG M L，WANG，Y M，ZHOU Y B.An auto-Bcklund transformation and exact solutions to a generalized KdV eqution with variable coefficients and their applications［J］.Phys Lett:A，2002，303:45.。