一个不等式猜想的证明及推广

柯西不等式的一个推广柯西不等式是一个著名的数学不等式，它最初由英国数学家约翰柯西在1857年提出。

这个不等式给了数学家以一种强有力的表达“有趣”问题的方法，它在推动数学研究方面发挥了重要作用。

最初的柯西不等式表达的是这样一种思想：一个函数内的若干点的和的倒数不可能大于函数的最大值。

柯西不等式的一个推广是称为Carleman不等式，由瑞典数学家Torsten Carleman在1924年提出。

Carleman不等式的思想是：给定集合的函数的和的倒数不可能大于所有函数的最大值的和的倒数。

与柯西不等式相比，Carleman不等式把研究对象扩展到函数集合，而不仅仅是函数内的若干点，这让研究函数集合对于每一个点的关系变得更加容易。

为了证明Carleman不等式，Torsten Carleman提出了一种新的数学工具：偏微分方程组。

他通过推导不等式来表达他的思想：假设一个函数集合{f1，f2，…，fn}，那么我们可以构建一个函数f=f1+f2+…+fn，它的偏微分方程组为f1x1+f2x2+…+fnxn≤M其中，M表示函数集合{f1，f2，…，fn}的所有函数的最大值的和。

通过解决这个偏微分方程组，我们就可以得到满足它的解，从而得到Carleman不等式的证明：f1/x1+f2/x2+…+fn/xn≤M/min(x1，x2，…，xn)我们可以看出，当x1，x2…，xn趋近于零时，M/min(x1，x2，…，xn)可以趋近于任意大的值，使得Carleman不等式成立。

柯西不等式和Carleman不等式的研究在现代数学中仍被广泛应用，它们的推广更是被纳入到各种数学研究领域中，诸如几何、拓扑、复变函数等等。

比如，在几何学中，柯西不等式更新了几何中点的定义，使得几何问题更加清晰明了。

在复变函数领域，Carleman不等式被应用到多复变函数的研究中，使得多复变函数的研究变得更加容易。

由于柯西不等式和Carleman不等式是数学中著名的不等式，它们可以帮助数学家完成各种复杂的数学问题，从而推动数学研究的发展。

概率论中几个不等式的推广及应用
1. 闵可夫斯基不等式：它是概率论中最重要的不等式，它的推广及应用包括：
（1）贝叶斯不等式：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明贝叶斯定理，以及证明条件概率的关系。

（2）拉普拉斯不等式：它是闵可夫斯基不等式的另一种推广，它可以用来证明拉普拉斯定理，以及证明条件概率的关系。

（3）抽样不等式：它是闵可夫斯基不等式的另一种推广，它可以用来证明抽样定理，以及证明条件概率的关系。

（4）泰勒不等式：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明泰勒定理，以及证明条件概率的关系。

（5）大数定律：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明大数定律，以及证明条件概率的关系。

2. 黎曼不等式：它是概率论中另一个重要的不等式，它的推广及应用包括：
（1）熵不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明熵定理，以及证明条件概率的关系。

（2）马尔可夫不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明马尔可夫定理，以及证明条件概率的关系。

（3）惩罚不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明惩罚定理，以及证明条件概率的关系。

（4）贝尔不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明贝尔定理，以及证明条件概率的关系。

（5）贝尔-黎曼不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明贝尔-黎曼定理，以及证明条件概率的关系。

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利用一元二次不等式的一个推广证明不等式作者：王毅
来源：《理科考试研究·高中》2013年第02期
若一元二次不等式ax2+bx+c≥0恒成立，且a>0，则b2-4ac≤0.由它易得
推广1：若（x-k1）2+（x-k2）2+…+（x-kn）2≥0，
则（k1+k2+…+kn）2≤n（k21+k22+…+k2n），当且仅当k1=k2=…=kn时，取等号.
证明：略.
推广2：若（a1x-k1）2+（a2x-k2）2+…+（anx-kn）2≥0，
则（a1k1+a2k2+…+ankn）2≤（a21+a22+…+a2n）（k21+k22+…+k2n），当且仅当
a1k1=a2k2=…=ankn时，取等号.
证明：略.
这两个推理很有应用价值，用它来解决一类竞赛题，出人意料的简单.
例1 （第三届加拿大数学竞赛题）设x，y为正数，且x+y=1.证明（1+1x）（1+1y）≥9.
证明因为x+y=1，所以x2+y2=1-2xy.构造一元二次不等式
（t-x）2+（t-y）2≥0.
由推广1得：（x+y）2≤2（x2+y2）=2（1-2xy）xy≤14.
所以（1+1x）（1+1y）=xy+x+y+1xy=1+2xy≥1+8=9，故（1+1x）（1+1y）≥9.
例2 （1997年加拿大数学竞赛题）已知16个正数的和是100，它们的平方和为1000，证明这16个数中没有一个大于25.
证明：设这16个数分别是a1，a2，a3，…，a16，依题意得a1+a2+a3+…+a16=100，
a21+a22+a23+…+a216=100.
构造一元二次不等式。

对数平均不等式的推广简介对数平均不等式（AM-GM不等式）是一个常用的数学不等式，可以用于证明和推导各种数学问题。

本文将对对数平均不等式进行推广，探讨其在更广泛场景下的应用。

对数平均不等式对数平均不等式是指对于给定的一组非负实数，其算术平均值不小于几何平均值。

具体地，对于正数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，有以下不等式成立：$$\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \ldotsx_n}$$其中，等号当且仅当所有的 $x_i$ 值相等时成立。

对数平均不等式的推广在某些情况下，对数平均不等式可以进一步推广以适应更复杂的情况。

以下是两个对数平均不等式的推广形式。

1. 幂平均不等式幂平均不等式是对数平均不等式的一种推广形式，它将几何平均值替换为更一般的平均值。

给定一组正数 $x_1, x_2, \ldots,x_n$ 及相应的权重 $w_1, w_2, \ldots, w_n$，其中 $w_i > 0$ 且$\sum_{i=1}^{n} w_i = 1$，幂平均不等式可以表示为：$$\sqrt[w]{w_1x_1^w + w_2x_2^w + \ldots + w_nx_n^w} \geq\sqrt[w]{x_1^{w_1} x_2^{w_2} \ldots x_n^{w_n}}$$当 $w = 1$ 时，幂平均不等式即为对数平均不等式。

2. 加权对数平均不等式加权对数平均不等式是对数平均不等式的另一种推广形式，它考虑的是不同变量之间的加权关系。

给定一组正数 $x_1, x_2, \ldots,x_n$ 及相应的权重 $w_1, w_2, \ldots, w_n$，其中 $w_i \geq 0$ 且$\sum_{i=1}^{n} w_i = 1$，加权对数平均不等式可以表示为：$$w_1 \log(x_1) + w_2 \log(x_2) + \ldots + w_n \log(x_n) \geq\log(x_1^{w_1} x_2^{w_2} \ldots x_n^{w_n})$$当权重 $w_i$ 相等时，加权对数平均不等式即为对数平均不等式。

柯西不等式的证明、推广及应用2 柯西不等式的推广2.1 命题1若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，则有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221。

证明：∑∑==ni i n i i b a 1212, 收敛，⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 1212210i ni i b a ∑=∴1收敛，且∑∑∑=∞→=∞→=∞→≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n n i i n n i i i n b a b a 121221lim lim lim从而有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221成立。

2.2 命题2[3]若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，且对N n ∈∀有∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221，则对定义在[]b a ,上的任意连续函数()()x g x f ,有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b ab a ⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛222证明：因为函数()()x g x f ,在区间[]b a ,上连续，所以函数()()()()x g x fx g x f 22、、与在[]b a ,上可积，将[]b a ,区间n 等分，取每个小区间的左端点为i ξ，由定积分的定义得：()()()()()()()()xg dx x g x f dx x f xg dx x g x f dx x f i ni n bai ni n bani in bani in ba∆=∆=∆=∆=∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰=∞→=∞→=∞→=∞→ξξξξ12212211lim ,lim lim ,lim令()()12211221,ξξg bfa ==，则∑∑==ni i n i i b a 1212与收敛，由柯西不等式得()()()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∑∑∑∑∑∑=∞→=∞→=∞→===ni i n n i i n ni i i n n i i n i i n i i i x g x f x g f x g x f x g f 121221121221lim lim lim ,ξξξξξξξξ从而有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b ab a ⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛222。

毕业论文开题报告数学与应用数学一些不等式的证明及推广一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）柯西不等式是著名的不等式之一，且不失为至善至美的重要不等式。

它不仅是数学分析的重要工具，还和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间有着密切的联系。

柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，适当、巧妙地引入柯西不等式，可以简化解题过程，起到事半功倍的作用。

因此柯西不等式在初等数学、微分方程和泛函分析等领域都有重要的应用，再加上本身有着优美的对称形式、简洁的统一证法和命题间的内在联系，关于它的研究一直受到人们的关注。

由此促使我们进一步了解柯西不等式的各种形式及它的应用。

闵可夫斯基不等式是由闵可夫斯基（Minkowski）于1896年证明的，它的出现对于促进泛函空间理论的飞速发展起到了至关重要的作用。

在1881年法国大奖中，闵可夫斯基深入钻研了高斯、狄利克雷和爱因斯坦等人的论著。

因为高斯曾在研究把一个整数分解为三个平方数之和时用了二元二次型的性质，闵可夫斯基根据前人的工作发现：把一个整数分解为五个平方数之和的方法与四元二次型有关。

由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理论体系。

这样一来，上述问题就很容易从更一般的理论中得出，闵可夫斯基交给法国科学院的论文长达140页，远远超出了原题的范围。

闵可夫斯基此后继续研究n元二次型的理论。

他透过三个不变量刻画了有理系数二次型有理系数线性变换下的等价性，完成了实系数正定二次型的约化理论，现称“Minkowski约化理论”。

当闵可夫斯基用几何方法研究n 元二次型的约化问题时，他获得了十分精彩而清晰的结果。

柯西不等式推广公式(一)柯西不等式推广公式什么是柯西不等式？柯西不等式是数学中的一种基本不等式，用于描述向量的内积性质。

它可以用来证明其他数学定理以及解决实际问题。

柯西不等式的原始形式是针对两个向量的，即对于向量a和向量b，有以下不等式成立：|a·b| ≤ ||a|| × ||b||该不等式表明，两个向量的内积的绝对值不会超过两个向量的模的乘积。

柯西不等式的推广公式除了上述原始形式的柯西不等式，还存在许多推广公式。

以下是几种常见的推广公式：1.几何形式的柯西不等式：对于n维实数空间中的n个向量a1，a2，…，an，有以下不等式成立：|a1·a2| +|a2·a3| + … + |an·a1| ≤ √(a1·a1) × √(a2·a2)× … × √(an·an) 这个公式表明，n个向量两两之间的内积的绝对值的和不会超过这n个向量模的乘积的开方。

2.数学分析中的柯西不等式：对于n维实数空间中的两个函数f(x)和g(x)，以及一个非零值为常数的函数h(x)，有以下不等式成立：|∫[a,b] f(x) × g(x) × h(x) dx| ≤(∫[a,b] f(x)² × h(x) dx × ∫[a,b] g(x)² × h(x)dx)^(1/2) 这个公式表明，对于给定的函数f(x)和g(x)，它们的乘积的积分的绝对值不会超过这两个函数分别平方并乘以常数函数积分的乘积的开方。

3.组合数学中的柯西不等式：对于n个实数a1，a2，…，an和n个实数b1，b2，…，bn，有以下不等式成立：(a1² + a2² + … + an²) × (b1² + b2² + … + bn²) ≥ (a1 × b1 + a2 × b2 + … + an × bn)² 这个公式表明，对于给定的两组实数，它们的平方和的乘积应大于等于这两组实数逐一相乘的和的平方。

柯西不等式的推广及其应用1 柯西不等式的定义 定义1[1](1)P 如果1212,,,,,,n n a a a b b b 为两组实数，则21122()n n a b a b a b +++ ≤ 2222221212()()n n a a a b b b ++++++并且仅当1221133111n n n n a b a b a b a b a b a b ---=-==-时，等式成立．2 柯西不等式的证明证法一 (利用均值不等式)[2](12)P P -A=21ni i a =∑，B=21ni i b =∑，C=1ni i i a b =∑，只需证明A ≥2C B由均值不等式有222111122C C a b a b B B +≥， 222222222C C a b a b B B+≥22222n n n n C C a b a b B B+≥n 个式子相加得222C CA B C B B+≥，即2C A B≥．当且仅当(1,2,,)i i a kb i n ==，等号成立．证法二 （比值证明法）[2](12)P P -要证222111()n n ni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑只需证明2ni i a b ⎛⎫⎪∑1≤ （2.1）2ni ia b⎛⎫⎪∑=21ni=⎛⎫⎪⎝2222211112ni in nii ii ia ba b===⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎢⎥⎪≤+⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑∑=21(11)2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=1(2.1)式得证，故结论成立．证法三（差值法）[2](12)P P-222111()n n ni i i ii i ia b a b===-∑∑∑221111n n n ni j i j j ii j i ja b a b a b=====-∑∑∑∑22221111111(2)2n n n n n ni j j i i j j ii j i j i ja b a b a b a b=======+-∑∑∑∑∑∑2222111(2)2n ni j i j j i j ii ja b a b a b a b===-+∑∑2111()2n ni j j ii ja b a b===-∑∑≥．当且仅当i j j ia b a b=，即(1,2,)jii jaai nb b==时等式成立．证法四（利用Cauchy-schwarz不等式）[2](12)P P-在nR里，对任意两个向量1212(,,,),(,,,)n nx x x y y yξη==,ξη1122n nx y x y x y+++，因而n R对于上述定义的内积来说作成一个欧氏空间，则有不等式2,,,ηξηη≤令1212(,,),(,,)n na a ab b bξη==从而就有222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当且仅当ξ与η线性相关时等式成立．即(1,2,,)i i a kb i n ==等号成立．3 柯西不等式的几种变形变形一[3](1)P设,0(1,2,,)i i a R b i n ∈>=，则22111n i ni i ni iii a a b b===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑，当且仅当i i b a λ=时取等号．变形二[3](1)P设,i i a b ，同号且不为零（1,2,,i n =），则2111ni n i i ni ii ii a a b a b===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑，当且仅当12n b b b ===时取等号．变形三[3](1)P对任意数12,(1,2,,)i i a a R i n ∈=，有不等式2221212111n n n i i i i i i i a a a a ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑成立，当且仅当12(1,2,)i i a a i n λ==时等号成立．变形四[3](1)P对任意1212,,,;,,,n n a a a R b b b R ∈∈，则有112222111nnn i i i i i i i a b a b ===⎡⎤⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑．变形五[4](2)P对于任意两个正实数组i a ，(1,2,,)i b i n =，有不等式1122111()()nn ni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑成立，当且仅当i a 与i b 成比例时等号成立．4 柯西不等式的推广推广一[4](2)P设对于由任意正实数构成的m 个数组，12,,(1,2,,)i i mi a a a i n =，有不等式1112121111()()nnnnmmii mi i i mi i i i i aa a a a a ====⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅∑∑∑∑ (4.1)成立，当且仅当1i a :2i a ::mi a =1i b :2i b ::mi b 时等号成立．证明 根据算术－几何平均不等式，有下述几个不等式成立1112112111m nnniimii i i a a a aaa===+++∑∑∑11112112111mm n n ni imi i i i a a a m aa a ===⎛⎫⎪⎪≥⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑； 2122212111m nnniimii i i a a a aaa===+++∑∑∑12122212111mm n n ni imi i i i a a a m aa a ===⎛⎫ ⎪⎪≥⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑；1212111nnmnnnniimii i i a a a aaa===+++∑∑∑11212111mn n mn n n ni imi i i i a a a m aa a ===⎛⎫⎪⎪≥⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑． 将上述n 个不等式相加，整理后即得(4.1)式． 当上述n 个不等式等号成立时，(4.1)式等号才成立． 当且仅当各组数对应成比例时，(4.1)式等号成立．推广二[5](2)P 柯西不等式另一个很好的推广，即著名的Hölder 不等式设110,0(1,2,,),0,0,1,i i a b i n p q p q>>=>>+=则 11111nnnpqpq i i ii i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑， 当且仅当p qi i a b λ=时等号成立．证明 令11npp i i a M =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，11nqq i i b N =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑则有11,nnppq q ii i i aM b N ====∑∑．由于函数()ln (0)f x x x =>为凹函数 因此有1111ln ln ln ,(1,2,,)p qp q i i i i a b a b i n p M q N p M q N ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．从而有11ln ln p q i ii i a b a b MN p M q N ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因此11p qi i i i a b a b MN p M q N ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1,2,,)i n =所以11111p qnn n i i i i i i i a b a b MNp M q N ===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ =1111nnp qiii i Pqab p Mq N ==+∑∑=11p q+ =1．即1ni i i a b MN =≤∑当且仅当p i a 与qi b 成比例时等号成立．推广三[4](3)P已知,(1,2,,,1,2,,)ji j a R i n j m α+∈==，且11mj j α==∑则有12121mni i mi i a a a ααα=⋅⋅⋅∑1212111mn n n i i mi i i i a a a ααα===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑． 证明 对m 用数学归纳法 1） 当2m =时，命题成立． 2） 假设当m k =时，命题成立． 则当1m k =+时，因111k jj α+==∑，记12k j j s α+==∑，则11s α+=注意()23111k sααα++++=，有112121,1k ni i k i i a a a ααα++=⋅⋅⋅∑121121,1k sns si i k ii a a a ααα++=⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭∑ 121121,111sk n nns si i k ii i i a a a αα++===⎛⎫⎛⎫≤⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 121121,111k snn n s si i k i i i i a a a ααα++===⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ 121121,111k n n n i i k i i i i a a a ααα++===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑综上所述命题得证．5 柯西不等式的应用应用柯西不等式解一般题目的关键是将原问题变形使之适合柯西不等式的形式，而能否成功运 用柯西不等式的关键在于可否根据问题自身固有的特点对照柯西不等式的标准形式，构造出两组适当的数据演12,,,n a a a ；12,,,n b b b 的角色．例1 已知,x y R +∈，且44sin cos 1x y x y αα+=+，证明88333sin cos 1()x yx y αα+=+ 证明 由柯西不等式可得4422sin cos ()()1x y x y αα⎫++≥= 即44sin cos 1x y x yαα+≥+且当且仅当2α=时等号成立，即22sin cos x yαα= （5.1） 由已知44sin cos 1x y x yαα+=+ （5.2） 由（5.1）和（5.2）式解得22sin ,cos x yx y x yαα==++ 所以有8833sin cos x yαα+443311()()x y x x y y x y =+++ 31()x y =+． 例2 已知正数,,x y z 满足1x y z ++=，证明2223333x y z x y z ++++≥．证明 利用柯西不等式2222()x y z ++3131312222222()x x y y z z =++()333222222()()()x y z x y z ⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦=3332()()x y z x y z ++++(1x y z ++=)，又因为222x y z xy yz zx ++≥++在此不等式两边同乘以2， 再加上222x y z ++得2222()3()x y z x y z ++≤++，因为2222333()()x y z x y z ++≤++⨯2223()x y z ++故2223333x y z x y z ++++≥．例3 求函数11sin cos (,0,,(0,)2n ny a b a b n N πααα=+>∈∈的最大值．解 由[6](2)12121122()()()()n n n n n n n P n n n n a a a b b b a b a b a b +≤+++可得112(sin cos )nnna b αα+111111112212121212121(sin cos )n n n n nn n n naaabbbαα------=+（21n -）个 （21n -）个2221222121()(sin cos )n nn n n abαα---≤++=22212121()n nn n n ab---+所以11222121212sin cos ()n n n n n n n na b abαα---+≤+当且仅当11112121:sin :cos n n n na bαα--=，即21arc ()n n a tg bα-=时等号成立．所以222121212max ()n n n n n ny ab---=+．例4 已知2221,,,x y z x y z ++=是实数，求证：112xy yz zx -≤++≤． 证明 因为22()(111)x y z x y z ++=⨯+⨯+⨯所以由柯西不等式2222222()(111)()3x y z x y z ++≤++++=又由于22220()2()12()3x y z x y z xy yz zx xy yz zx ≤++=+++++=+++≤所以012()3xy yz zx ≤+++≤即112xy yz zx -≤++≤．例5 求证三角形三边上正方形的面积之和不小于该三角形面积的222a b c ++≥，其中,,,a b c 为三角形三边的长，∆为三角形的面积．证明 由三角形面积公式可得2()()()s s a s b s c ∆=---其中2a b cs ++=，于是 216()()()()a b c b c a c a b a b c ∆=+++-+-+-2222224442()b c c a a b a b c =++---由柯西不等式，有22222224444444442()()()()b c c a a b b c a c a b a b c ++≤++++=++即222222444b c c a a b a b c ++≤++当且仅当222222b c a c a b==，即a b c ==时等号成立．于是4442222224()4()a b c b c c a a b ++≥++变形为444222222222a b c b c c a a b +++++2222224443(222)b c c a a b a b c ≥++---即22222()316a b c ++≥⨯∆所以222a b c ++≥，当且仅当a b c ==时等式成立．例6 设P 为ABC ∆内的一点，M ，N ，H ，分别为P 到各边所引垂线的垂足，求所有BC CA AB PM PN PH++为最小值的点P ． AB MC图1解 如图1，设ABC ∆的面积为S ，则S 111222BC PM CA PN AB PH =⨯+⨯+⨯（5.3） 由柯西不等式可知222222⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦2≥ (5.4) 将（5.3）代入（5.4）得2()2BC CA AB BC CA AB PM PN PH S++++≥== 时等号成立， 即PM PN PH ==又S 和()AB BC CA ++分别是ABC ∆的面积和周长，故为定值， 即P 为ABC ∆内心时BC CA ABPM PN PH++为最小值．参考文献：[1] 鞠建恩．柯西不等式在初等数学中的应用[J]．南平师专学报，2002，02[2] 赵朋军．柯西不等式的多种证法推广及其应用[J]．商洛师范专科学校学报，2004，03 [3] 王晓凤．对柯西不等式探讨[J]．通化师范学院学报，2006，03 [4] 黄 毅．柯西不等式的一个变形及其推广[J]．数学教学通讯，2003，1 [5] 林银河．关于Minkowshi 不等式的讨论[J]．丽水师范专科学校学报，2003，10 [6] 徐幼明．柯西不等式的推广及其应用[J]．数学通讯，1996，12[7] T ．Damm ．A unified version of Cauchy-Schwarz and Wielandt inequality [J] ．School of Information and Mathematics ，2007，1111。

Pure Mathematics 理论数学, 2022, 12(2), 316-321Published Online February 2022 in Hans. /journal/pmhttps:///10.12677/pm.2022.122036Cauchy-Schwarz不等式的证明与推广刘鑫贵州师范大学，贵州贵阳收稿日期：2022年1月15日；录用日期：2022年2月17日；发布日期：2022年2月24日摘要Cauchy-Schwarz不等式在数学领域中是一类重要的不等式。

本文归纳了Cauchy-Schwarz不等式几种典型证明方法，并给出了其推广形式。

关键词Cauchy-Schwarz不等式，积分不等式，判别式，矩阵Proof and Generalization of Cauchy-Schwarz InequalityXin LiuGuizhou Normal University, Guiyang GuizhouReceived: Jan. 15th, 2022; accepted: Feb. 17th, 2022; published: Feb. 24th, 2022AbstractCauchy-schwarz inequality is an important inequality in mathematics. In this paper, several typical proof methods of Cauchy-Schwarz inequality are summarized and their generalized forms are given.KeywordsCauchy-Schwarz Inequality, Integral Inequality, Discriminant, MatrixCopyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0)./licenses/by/4.0/刘鑫1. 引言柯西不等式是一类著名不等式[1] [2]，在实数域或复数域上的内积空间Y ，,x y Y ∃∈，()222,x y xy ≤为Cauchy-Schwarz 不等式最基本形式。