第五章函数
1. 给定集合X={1,2,3} Y={a,b} 问可构成多少个从X到Y函数？请画出这些函数的有向图。
2. X,Y 是有限集合，|X|=m,|Y|=n.则|X×Y|=( )；可以构成（）个从X到Y的不同的关系；其中有( )个是从X到Y的函数；在（）条件下有从X到Y的入射的函数，可构成从X到Y的入射的函数有（）个。
3. X,Y 是有限集合，|X|=n，|Y|=m。可以构成（）个从X到Y的不同的关系；其中有( )个是从X到Y的函数；若可构成从X到Y的入射的函数，则可构成从X 到Y的入射的函数有（）个。若可构成从X到Y的双射的函数，则可构成从X 到Y的双射的函数有（）个。
4．设.X、Y 是有限集合，|X|=4，|Y|=6，可以构成( )个从X到Y的不同的关系；其中有( )个是从X到Y的函数；其中有( )个是从X到Y的常值函数；有( )个是从X到Y的入射函数；有( )个是从X到Y的满射函数。
5. R是实数集合，给定R上的关系如下：
f={| y=tgx} g={| y=lgx}
h={| y=1/x} r={| y=x2}
u={| y=x+4} v={| y=2x}
上述关系中，哪些不是从R到R的函数，为什么？如果是函数，请指出它是什么类型的（即满射、入射、映内以及双射的）。
6. R是实数集合，给定R上的关系如下：
f={|y=ctgx} g={|y=lgx}
h={|y=1/(x+1)} r={|y=2+x2}
u={|y=3x+8} v={|y=2x}
上述关系中，哪些不是从R到R的函数，为什么？如果是函数，请指出它是什么类型的（即满射、入射、映内以及双射的）。
7. R是实数集合，给定R上的五个关系如下:
R1={|x=y2} R2={|y=x+6}
R3={|y=(x+1)-1} R4={|y=2x}
R5={|x2+y2=4}
上述五个关系中，哪些不是从R到R的函数，为什么？如果是函数，则是从R到R的入射函数的分别是（）；是从R到R的双射函数的分别是（）。
8. 令f:A→B, C⊆A, 证明f(A)－f(C)⊆f(A－C)
9. 已知R是A上的二元关系，任何a∈A,定义集合R(a)如下：
R(a)={x|x∈A,∈R}
如果R是从A到A的函数，分别说明如何用R(a)定义R是满射的、入射的。10. 设f:A→B是满射的函数，由f确定A上关系E，定义如下：
任取a1,a2∈A, a1Ea2当且仅当f(a1)=f(a2)
1．证明E是A上等价关系。
2．定义从商集A/E到B的关系g, 定义如下：
任取[a]∈A/E, b∈B, <[a],b>∈g 当且仅当f(a)=b
首先证明g从商集A/E到B的函数，再证明g是双射函数。
11. 给定函数f:A→B g:C→D ，已知
f⊆g 并且ran g⊆ran f , 其中ran g 是函数g的值域
求证：如果g是入射的，则Ａ＝Ｃ。
12. 设f和g是函数，f⊆g,且dom g⊆dom f, 证明f=g。
13.设f:A→B是函数，定义函数G:B→P(A), 对于b∈B,
G(b)={x| x∈A, f(x)=b}
试证明，如果f是满射的，则G是入射的。
14. f:X→Y, g:Y→Z
X={1,2,3} Y={1,2,3,4,} Z={1,2,3,4,5,}
f= {<1,2>,<2,4>,<3,1>}
g={ <1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1> }
求复合函数gο f
15. 令f和g都是实数集合R上的函数,如下:
f={|x,y∈R∧y=3x+1 }
g={|x,y∈R∧y= x2 + x}
分别求gο f 、fοg 、fοf 、gοg
16. f:X→Y, g:Y→Z是两个函数, 则
⑴如果f和g是满射的，则gο f 也是满射的；
⑵如果f和g是入射的，则gοf 也是入射的；
⑶如果f和g是双射的，则gοf 也是双射的。
17. 设fοg 是复合函数，证明如果fοg 是双射，则f是满射，而g是入射的。
18. 设f是从A到B的函数，g是从B到A的函数，且g f=I A,则f是（）射的，而g是（）射的。
19. 如果f g是双射函数, 则f是（）射的，而g是（）射的。
20. 选择填空。令f：X→Y, g：Y→X是两个函数，如果gοf= I X ，则( )。
A：f是满射，g是入射。
B：f是双射，g是双射，
C：f是入射，g是满射。
D：f是入射，g是入射。
21. 令f:X→Y, g:Y→X是两个函数, 如果gοf= I X且fοg = I Y ,则g= f-1。
22. 填空：A是可数集合，则A⊕A的基数是（）。
1.答案：可构成8个从X到Y函数。分别是f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8，它们的有向图如下：
2.答案：X,Y 是有限集合，|X|=m,|Y|=n.则|X×Y|=(mn)；可以构成（2mn）个从X 到Y的不同的关系；其中有(n m)个是从X到Y的函数；在（m≤n ）条件下有从X到Y的入射的函数，可构成从X到Y的入射的函数有（n(n-1)(n-2)…(n-m+1) ）个。
3.答案：X,Y 是有限集合，|X|=n，|Y|=m。可以构成（2mn）个从X到Y的不同的关系；其中有( m n )个是从X到Y的函数；若可构成从X到Y的入射的函数，则可构成从X到Y的入射的函数有（m(m-1)(m-2)…(m-n+1) ）个。若可构成从X 到Y的双射的函数，则可构成从X到Y的双射的函数有（m!或n! ）个。
4.答案：设.X、Y 是有限集合，|X|=4，|Y|=6，可以构成(224)个从X到Y的不同的关系；其中有(64 )个是从X到Y的函数；其中有(6 )个是从X到Y的常值函数；有(360或P64 )个是从X到Y的入射函数；有( 0 )个是从X到Y的满射函数。
5.答案：f,g,h不是从R到R的函数。
f：当x＝nπ/2 (n是整数) 时，没有相应的y对应，所以它不是从R到R的函数。
g：当x≤0时，没有相应的y对应，所以它不是从R到R的函数。
h：当x＝0时，没有相应的y对应，所以它不是从R到R的函数。
r：是映内的函数。
u：是双射的函数。
