2018年高考数学文科二轮专题闯关导练 ：基础模拟(三)
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基础模拟(三)时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(导学号：05856291)已知集合P ＝{}x |x ≤－1或x ≥3，Q ＝{}x |1<x <4，则P ∩Q 等于( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |3≤x <4}C ．{x |x ≥4或x <3}D ．{x |x <－1或x >3} 2．复数z ＝2i1－i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 23．(导学号：05856292)已知等比数列{a n }满足a 1＝2，a 1＋a 3－a 5＝－10，则a 3＋a 5－a 7＝( )A ．－20B ．－30C ．－40D ．－604．(导学号：05856293)为了调查观看电视剧“三生三世十里桃花”观众的年龄，某研究人员随机抽取了1000名观众进行调查，所得频率分布直方图如下所示，则可以估计这1000名观众的年龄的平均数为( )A ．35.8B ．34.8C ．36.8D ．38.85．(导学号：05856294)已知椭圆mx 2＋y 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．46．(导学号：05856295)德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子.19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对1＋2＋3＋…＋100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也被称为高斯算法．现有函数f(x)＝x3m＋6054，则f(1)＋f(2)＋…＋f(m＋2017)等于()A.m＋20173 B.m＋20166C.m＋20176 D.m＋100837．(导学号：05856296)已知p：“a≤t＋16t对t∈(0，＋∞)恒成立”，q：“直线x－2y＋a＝0与直线x－2y＋3＝0的距离大于5”，则綈p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．(导学号：05856297)执行如图所示的程序框图，则输出S的值为() A．1500B．1800C．2000D．25009．(导学号：05856298)将g(x)＝cos(2x＋π6)的图象向右平移π6个单位后得到函数f(x)＝sin(2x＋φ)(|φ|<π)的图象，则φ的值为()A．－2π3B．－π3 C.π3 D.2π310．(导学号：05856299)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 是其上一点，双曲线的离心率是2，若△F 1PF 2是直角三角形且面积为3，则双曲线的实轴长为( )A ．2 B. 2 C ．2或 2 D ．1或2211．(导学号：05856300)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．20πB ．12πC ．8πD ．5π12．(导学号：05856301)已知函数f (x )＝m (x －1)e x ＋12x 2(m ∈R )，其导函数为f ′(x )，若对任意的x <0，不等式x 2＋(m ＋1)x >f ′(x )恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]D ．(1，＋∞) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(导学号：05856302)若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥2，2x ，x <2，则f (log 218)＝________.14．(导学号：05856303)已知向量a 与b 的夹角为2π3，|a|＝2，|b|＝1，则|a ＋2b|＝________.15．(导学号：05856304)已知实数x 、y满足⎩⎨⎧x ＋2y －2≥0，x －y ＋1≥0，3x ＋y －6≤0，则z ＝－3x＋y 的最大值是________．16．(导学号：05856305)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若4S 2n －2＝a 2n ＋1a 2n(n ∈N *)，则S 400＝________. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(导学号：05856306)(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin Bsin A ＋sin C＝1－sin Csin A ＋sin B，且b ＝5，a cos C ＝－1.(Ⅰ)求角A ；(Ⅱ)求△ABC 的面积．18.(导学号：05856307)(12分)某老师为了分析学生的学习情况，随机抽取了班上20名学生某次期末考试的成绩(满分为150分)进行分析，统计如下：男生：133 131 130 126 123 120 116 109 107 105女生：136127125123119118117114113108(Ⅰ)计算男、女生成绩的平均值并分析比较男、女生成绩的分散程度；(Ⅱ)现从分数在120分以下的女同学中随机抽取2位，求这两位同学分数之差的绝对值小于10的概率．19.(导学号：05856308)(12分)如图，∠ABC＝π4，O为AB上一点，3OB＝3OC＝2AB，PO⊥平面ABC,2DA＝2AO＝PO，OA＝1，且DA∥PO.(Ⅰ)求证：平面PBD⊥平面COD；(Ⅱ)求点O到平面BDC的距离．20.(导学号：05856309)(12分)已知抛物线C的方程为x2＝4y，M(2,1)为抛物线C上一点，F为抛物线的焦点．(Ⅰ)求|MF|；(Ⅱ)设直线l2：y＝kx＋m与抛物线C有唯一公共点P，且与直线l1：y＝－1相交于点Q，试问，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．21.(导学号：05856310)(12分)已知函数f(x)＝x＋ax＋ln x(a∈R)．(Ⅰ)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若关于x的函数g(x)＝ln xx2－f(x)＋ln x＋2e(e为自然对数的底数)有且只有一个零点，求实数a的值．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(导学号：05856311)[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)与曲线C 2：ρ＝4sin θ(θ为参数)．(Ⅰ)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (Ⅱ)求C 1和C 2公共弦的长度．23．(导学号：05856312)[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知函数f (x )＝|x －m |－2|x －1|(m ∈R )． (Ⅰ)当m ＝3时，求函数f (x )的最大值； (Ⅱ)解关于x 的不等式f (x )≥0.基础模拟(三)1．B 因为P ＝{}x |x ≤－1或x ≥3，Q ＝{}x |1<x <4，所以P ∩Q ＝{}x |3≤x <4. 2．B 由题意z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )2＝－1＋i ，所以|z |＝(－1)2＋12＝ 2.3．B ∵a 1＝2，a 1＋a 3－a 5＝－10，∴2＋2q 2－2q 4＝－10,1＋q 2－q 4＝－5，q 2＝3，a 3＝6，a 3＋a 5－a 7＝a 3(1＋q 2－q 4)＝－30.4．A 本题考查由频率分布直方图求平均值．根据频率分布直方图可得观众年龄的平均数为15×0.12＋25×0.24＋35×0.28＋45×0.20＋55×0.12＋65×0.04＝35.8.5．D x 21m ＋y 21＝1，∴长轴长为2，短轴长为1，即21m ＝1，∴m ＝4.6．C f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (m ＋2017)＝13m ＋6054＋23m ＋6054＋…＋m ＋20163m ＋6054＋m ＋20173m ＋6054，又f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (m ＋2017)＝m ＋20173m ＋6054＋m ＋20163m ＋6054＋…＋23m ＋6054＋13m ＋6054，两式相加可得f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (m ＋2017)＝m ＋20176. 7．A 当t ∈(0，＋∞)时，t ＋16t ≥216＝8，所以a ≤8，则綈p ：a >8，由||a －35>5，解得a <－2或a >8，所以綈p 是q 的充分不必要条件．8．D 第一次执行不符合条件i >99，得到S ＝1，i ＝3；第二次执行不符合条件i >99，得到S ＝1＋3＝4，i ＝5；第三次执行不符合条件i >99，得到S ＝1＋3＋5＝9，i ＝7；…；第五十次执行符合条件，输出S ＝1＋3＋5＋…＋99＝50(1＋99)2＝2500.9．C 由题意得g (x )＝sin[2(x ＋π6)＋φ]，又因为g (x )＝cos(2x ＋π6)＝sin(2x ＋2π3)，所以π3＋φ＝2k π＋2π3，即φ＝2k π＋π3(k ∈Z )，又因为|φ|<π，所以φ＝π3. 10．C 不妨令点P 在双曲线右支上，当∠F 1PF 2＝π2时，∵S △F 1PF 2＝3，∴|PF 1|·|PF 2|＝6，又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以联立可得16a 2－12＝4a 2，∴a ＝1，双曲线实轴长为2；当∠F 1F 2P ＝π2时，则此时P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，S △F 1PF 2＝c ·b 2a ＝3⇒b 2＝32， ∵c a ＝2，∴b 2a 2＝3，∴a 2＝12，∴a ＝22，此时2a ＝2，双曲线实轴长为 2. 11．A 由三视图可知原几何体是一个侧放的四棱锥，四棱锥的底面为侧视图，即边长为2的正方形，高为正视图和俯视图的底边，长度为23，其外接球的直径的平方等于高与底面对角线的平方和，即(2R )2＝(23)2＋(22)2，解得R ＝5，所以外接球的表面积为S ＝4πR 2＝20π.12．C 由题意得f ′(x )＝m e x ＋m (x －1)e x ＋x ＝mx e x ＋x ，所以x 2＋(m ＋1)x >f ′(x )对任意的x <0恒成立等价于mx e x ＋x <x 2＋(m ＋1)x 对任意的x <0恒成立，即m e x －x －m >0对任意的x <0恒成立．令g (x )＝m e x －x －m (x <0)，则g ′(x )＝m e x －1，当m ≤1时，g ′(x )＝m e x －1≤e x －1<0，则g (x )在(－∞，0)上单调递减，所以g (x )>g (0)＝0，符合题意；当m >1时，g (x )在(－∞，－ln m )上单调递减，在(－ln m,0)上单调递增，所以g (x )min ＝g (－ln m )<g (0)＝0，不合题意．所以实数m 的取值范围为(－∞，1]．13．－614．2 因为a ·b ＝|a ||b |cos 2π3＝－1，所以|a ＋2b |＝|a |2＋4ab ＋4|b |2＝2.15．1 作出不等式组表示的平面区域，则目标函数z ＝－3x ＋y 在(0,1)处取得最大值1.16．20 由题意得2S n ＝a n ＋1a n ，所以当n ≥2时，2(S n －1＋a n )＝a n ＋1a n，a 2n ＋2S n －1a n －1＝0，所以a n ＝－S n －1±S 2n －1＋1.由a n >0得a n ＝－S n －1＋S 2n －1＋1，S n ＝a n ＋S n －1＝S 2n －1＋1，所以S 2n －S 2n －1＝1，即数列{S 2n }是公差为1的等差数列，又2S 1＝2a 1＝a 1＋1a 1，解得a 1＝1(a 1>0)，即S 1＝1，S 21＝1，所以S 2n ＝n ，所以S 400＝400＝20.17．解：(Ⅰ)由正弦定理得sin B sin A ＋sin C ＝b a ＋c ，sin C sin A ＋sin B ＝ca ＋b，所以b a ＋c ＝1－c a ＋b，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.6分 (Ⅱ)因为a cos C ＝－1，所以由余弦定理得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝－1，整理得a 2－c 2＝－b 2－2b ＝－35，把b ＝5，a 2－c 2＝－35，代入b 2＋c 2－a 2＝bc ，得25＝－35＋5c ，解得c ＝12,所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×12×32＝15 3.12分 18．解：本题考查统计和概率的求法． (1)男生的平均成绩为x －＝110(3×130＋3×120＋110＋3×100＋1＋3＋3＋6＋6＋5＋7＋9)＝120，女生的平均成绩为y －＝110(130＋3×120＋5×110＋100＋6＋7＋5＋3＋9＋8＋7＋4＋3＋8)＝120，所以男、女生的平均成绩一样．由所给数据可以看出，男生的成绩比较分散，女生的成绩比较集中.6分(2)依题意，女生成绩在120以下的情况为108,113,114,117,118,119，则随机抽取2人，其成绩的情况可能为(108,113)，(108,114)，(108,117)，(108,118)，(108,119)，(113,114)，(113,117)，(113,118)，(113,119)，(114,117)，(114,118)，(114,119)，(117,118)，(117,119)，(118,119)，共15种，其中不满足条件的为(108,118)，(108,119)两种，故所求概率P ＝1－215＝1315.12分19．解：(Ⅰ)因为OA ＝1，所以PO ＝OB ＝2，DA ＝1.由DA ∥PO ，PO ⊥平面ABC ，知DA ⊥平面ABC ，∴DA ⊥AO ，从而DO ＝2，PD ＝ 2.在△PDO 中，∵PO ＝2，∴△PDO 为直角三角形，故PD ⊥DO .又∵OC ＝OB ＝2，∠ABC ＝π4，∴CO ⊥AB ，又PO ⊥平面ABC ，∴PO ⊥OC ，又PO ∩AB ＝O ，∴CO ⊥平面P AB ，故CO ⊥PD .∵CO ∩DO ＝O ，∴PD ⊥平面COD .又PD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面COD .6分(Ⅱ)由计算得BD ＝10，BC ＝22，CD ＝6，所以cos ∠BCD ＝36，所以sin ∠BCD ＝336，所以S △BCD ＝12×22×6×336＝11，S △BOC ＝12×2×2＝2.又V O －BCD ＝V D －BOC ，所以13×11×d ＝13×1×2，解得d ＝21111，即点O 到平面BDC 的距离为21111.12分20．解：(Ⅰ)由题可知2p ＝4，即p ＝2，由抛物线的定义可知|MF |＝1＋p 2＝2.4分(Ⅱ)由C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必在y 轴上．设N (0，n )，又设点P (x 0，x 204)，由直线l 2：y ＝kx ＋m 与曲线C 有唯一公共点P 知，直线l 2与C 相切．由y ＝14x 2得y ′＝12x ，∴，∴直线l 2的方程为y －x 204＝x 02(x －x 0)，令y ＝－1得x ＝x 202－2x 0， ∴Q 点的坐标为(x 02－2x 0，－1)， ∴NP →＝(x 0，x 204－n )，NQ →＝(x 02－2x 0，－1－n )． ∵点N 在以PQ 为直径的圆上，∴NP →·NQ →＝x 202－2－(1＋n )(x 204－n )＝(1－n )x 204＋n 2＋n －2＝0，①要使方程①对x 0恒成立，必须有⎩⎨⎧1－n ＝0，n 2＋n －2＝0，解得n ＝1， ∴在坐标平面内存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1).12分21．解：(Ⅰ)由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝2时，f ′(x )＝1－2x 2＋1x ＝x 2＋x －2x 2＝(x ＋2)(x －1)x 2， 当x >1时f ′(x )>0，当0<x <1时f ′(x )<0，∴函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，函数f (x )的单调递减区间为(0,1).4分(Ⅱ)由g (x )＝ln x x 2－x －a x ＋2e ＝0得ln x x 2＝x ＋a x －2e ，化为ln x x ＝x 2－2e x ＋a .令h (x )＝ln x x ，则h ′(x )＝1－ln x x 2，令h ′(x )＝0，得x ＝e ，当0<x <e 时，h ′(x )>0;当x >e 时，h ′(x )<0，∴函数h (x )在区间(0，e)上单调递增，在区间(e ，＋∞)上单调递减，∴当x ＝e 时，函数h (x )取得最大值，其值为h (e)＝1e .而函数m (x )＝x 2－2e x ＋a ＝(x －e)2＋a －e 2，当x ＝e 时，函数m (x )取得最小值，其值为m (e)＝a －e 2，∴当a －e 2＝1e ，即a ＝e 2＋1e 时，方程ln x x 2－f (x )＋ln x ＋2e ＝0只有一个根. 12分22．解：(Ⅰ)因为曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)与曲线C 2：ρ＝4sin θ(θ为参数)，所以C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝4，C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.5分(Ⅱ)因为C 1和C 2公共弦所在直线为2x －4y ＋3＝0，所以点(1,0)到2x －4y ＋3＝0的距离为52，所以公共弦长为24－54＝11.10分 23．解：(Ⅰ)当m ＝3时，f (x )＝|x －3|－2|x －1|＝⎩⎨⎧ －x －1(x ≥3)，－3x ＋5(1<x <3)，x ＋1(x ≤1)，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最大值2.5分(Ⅱ)由f (x )≥0得|x －m |≥2|x －1|,两边平方得(x －m )2≥4(x －1)2，即3x 2＋2(m －4)x ＋4－m 2≤0，得[x －(2－m )][3x －(2＋m )]≤0，所以，①当m >1时，不等式的解集为{x |2－m ≤x ≤2＋m 3}；②当m ＝1时，不等式的解集为{}x | x ＝1；③当m <1时，不等式的解集为{x |2＋m 3≤x ≤2－m }.10分。
