平面向量数量积运算专题(附答案)

《平面向量：数量积》（2） 姓名：类型一：【求数量积】1、在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则AB AC ⋅=________－16【解】由余弦定理222222cos 53253cos AB AM BM AM BM AMB AMB =+-⋅∠=+-⨯⨯∠，222222cos 35253cos AC AM CM AM CM AMC AMC =+-⋅∠=+-⨯⨯∠，0180AMB AMC ∠+∠=，两式子相加为222222222(35)68AC AB AM CM +=+=⨯+=，2222221068100cos 222AB AC BC AB AC BAC AB AC AB AC AB AC +-+--∠===⨯⨯⨯⨯⨯⨯，68100cos 162AB AC AB AC BAC AB AC AB AC-⋅=∠=⋅=-⨯⨯.2、若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16C B →＋23C A →，则M A →·M B →＝___________－2.【解】 ∵CM →＝16C B →＋23C A →，∴M A →＝C A →－CM →＝13C A →－16C B →，M B →＝C B →－CM →＝56C B →－23C A →.∴M A →·M B →＝－29C A →2－536C B →2＋718C A →·C B →＝－29×12－536×12＋718×12×12＝－2.3、如右图，在△OAB 中，∠AOB =120°，OA =2，OB =1，C 、D 分别是线段OB 和AB 的中点，那么OD AC ⋅=_________－324、已知平面上三点A 、B 、C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于____－25____．【解】 由条件知∠ABC ＝90°，∴原式＝0＋4×5cos(180°－C )＋5×3cos(180°－A )＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－16－9＝－25.5、已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上求一点P ，使AP →·BP →取最小值，则P 点的坐标是 (3,0)【解】设P (x 0,0)，且AP →＝(x 0－2，－2)，BP →＝(x 0－4，－1)，∴AP →·BP →＝(x 0－2)(x 0－4)＋2＝x 20－6x 0＋10＝(x 0－3)2＋1，∴x 0＝3时，AP →·BP →取最小值． .6、如图，在平行四边形ABCD 中，()()1,2,3,2AC BD ==-， 则AD AC ⋅= .【解】令AB a =，AD b =，则(1,2)(2,0),(1,2)(3,2)a b a b a b ⎧+=⎪⇒==-⎨-+=-⎪⎩ 所以()3AD AC b a b ⋅=⋅+=.7、已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，且|AB |＝23，则OA →·OB →＝________.－2【解】∵|AB |＝23，|OA |＝|OB |＝2，∴∠AOB ＝120°. ∴OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos120°＝－2.8、(2009·天津文)若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16 CB →＋23 CA →，则MA →·MB →＝__________.－2【解】∵CM →＝16CB →＋23CA →，∴MA →＝CA →－CM →＝13CA →－16CB →，MB →＝CB →－CM →＝56CB →－23CA →.∴MA →·MB →＝－29CA →2－536CB →2＋718C A →·CB →＝－29×12－536×12＋718×12×12＝－2.9、已知菱形 ABCD 的边长为a ， ∠DAB=60°，2EC DE =，则 .AE DB 的值为 32a -．10、如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC =·83-．源头学子CBA11、设P 是双曲线1y x=上一点，点P 关于直线y x =的对称点为Q ，点O 为坐标原点，则OP OQ ⋅= 212、如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =且AP AC = .18【解】设ACBD O =，则2()AC AB BO =+，AP AC = 2()AP AB BO +=22AP AB AP BO +222()2AP AB AP AP PB AP ==+=18=.13、如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 2．【解】由2AB AF =，得cos 2ABAF FAB ∠=cos =AF FAB DF ∠。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第六章 平面向量及其应用6.3.5平面向量数量积坐标表示一、基础巩固1．向量()2,3a =-r ，()2,1b =r ，则a b ×=r r （ ）4．已知向量()1,2a =r ，()1,1b =r ，若c a kb =+r r r ，且b c r r ^，则实数k =（ ）A ．32B ．53-C ．53D ．32-【答案】D 【详解】因为向量()1,2a =r，()1,1b =r ，则()1,2c a kb k k =+=++r r r，又bcrr ^，所以120b c k k ×=+++=r r ，解得k = 32-.5．已知向量(4sin ,1cos ),(1,2)a b a a =-=-v v ,若2a b ×=-v v ,则22sin cos 2sin cos a aa a=-( )A ．1B ．1-C ．27-D ．12-【答案】A 【详解】由2a b ×=-r r，得4sin 2(1cos )2a a --=-，整理得1tan 2a =-，所以2221sin cos tan 2112sin cos 2tan 112a a aa a a -===---，6．已知向量()2,1a =r ，(),1b m =-r，且()a ab ^-r r r ，则实数m =（ ）A ．3B ．12C ．-2D ．2【答案】A 【详解】由题意，向量()2,1a =r ，(),1b m =-r ，可得()2,2a b m -=-r r，因为()a ab ^-r r r ，可得()2(2)20a a b m ×-=´-+=r r r ，解得3m =.7．已知向量()2,4a =r ，()1,b k =r ，且a r 与b r的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,2æö-+¥ç÷èøB ．1,22æö-ç÷èøC ．1,2æö-¥-ç÷èøD ．()1,22,2æö-È+¥ç÷èø【答案】D 【详解】a r 与b r的夹角为锐角，24024a b k k ì×=+>\í¹îvv ，解得12k >-且2k ¹，即k 的取值范围是()1,22,2æö-È+¥ç÷èø.8．向量()(),4,6,3AB x CD ==uuu v uuu v 且AB CD ^uuu v uuu v ，若()=2,CF y uuu v ，且//AB CF uuu v uuu v ，则CF CD ×uuu v uuu v的数量积为（）A ．1B ．0C ．2D ．3【答案】B 【详解】()(),4,6,3AB x CD ==u u u r u u u r 且AB CD ^u u u r u u u r，则6120,2AB CD x x ×=+=\=-u u u r u u u r .()2,4AB =-u u u r ，()=2,CF y u u u r ，//AB CF u u u r u u u r，则28,4y y -==-，()=2,4CF -u u u r .()()2,46,312120CF CD ×=-×=-=u u u r u u u r.9．（多选）如果平面向量(2,0)a=r，(1,1)b =r，那么下列结论中正确的是（ ）A ．2a br r=B ．22a b ×=r r C ．()-^a b brr r D ．//a brr 【答案】AC 【详解】由平面向量(2,0)a =r，(1,1)b =r 知：在A 中，2=r a ，2b =r ，∴=2a b r r，故A 正确；在B 中，2a b ×=rr ，故B 错误；在C 中，(1,1)a b -=-rr ，∴()110a b b -×=-=r r r ，∴()-^a b b r r r ，故C 正确；在D 中，∵2011¹，∴a r 与b r不平行，故D 错误.0，1®所以()()224102l -´=´-，解得 32l =-；（2）当2l =时，向量(2,3)a =r，(2,4)b =-r ，所以向量b r 在a r 方向上的投影是()2222348131323a b a ´-+´==+×rr r ．14．已知(1,2)a =r，(1,1)b =-r .（1）若q 为2a b +r r 与a b -r r 的夹角，求q 的值；（2）若2a b +rr与ka b -rr垂直，求k 的值.【答案】（1）4πq =；（2）0k =；【详解】（1）Q (1,2)a =r，(1,1)b =-r ，\2(3,3)a b +=r r ，(0,3)a b -=r r ，\(2)()92cos 2|2|||318a b a b a b a b q +×-===+-r rr r r r r r.Q [0,]q πÎ\4πq =.（2）Q (1,2)a =r，(1,1)b =-r \(1,21)k k k a b -=-+r r ，2(3,3)a b +=r r Q 2a b +r r 与ka b-r r 垂直\(3,3)(1,21)0k k ×-+=，\33630k k -++=，解得：0k =.15．（1）已知()1,2a =r ，()3,2b =-r ，当k 为何值时，ka b +r r 与3a b -r r垂直；（2）已知向量()3,4OA =-uuu r ，()6,3OB =-uuu r ，()5,3OC m m =---uuu r.若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 满足的条件；（3）已知向量()3,3a =r ，求向量b r ，使2b a =r r ，并且a r 与b r 的夹角为3π.【答案】（1）19k =；（2）12m ¹；（3）()0,43b =r 或()6,23b =-r .【详解】（1）因为()1,2a =r，()3,2b =-r ，所以()3,22ka b k k +=-+r r ，()310,4a b -=-r r 因为ka b +r r 与3a b -r r垂直，所以()()1034220k k --+=，解得19k =（2）因为()3,4OA =-uuu r ，()6,3OB =-uuu r ，()5,3OC m m =---uuu r所以()3,1AB OB OA =-=uuu r uuu r uuu r，()2,1AC OC OA m m =-=--uuu r uuu r uuu r 若点A 、B 、C 能构成三角形，则点A 、B 、C 不共线，即AB uuu r 、AC uuu r不共线所以()312m m -¹-，解得12m ¹（3）设(),b m n =r ，因为()3,3a =r ，所以2223343b a ==+=r r所以2248m n +=因为a r 与b r 的夹角为3π，所以1332343122a b m n ×=+=××=r r 解得0,43m n ==或6,23m n ==-，即()0,43b =r 或()6,23b =-r。

考点自测 1.已知向量 a＝(1，k)，b＝(2,2)，且 a＋b 与 a 共线，那么 a· b 的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
解析：依题意得 a＋b＝(3，k＋2)．由 a＋b 与 a 共线，得 1×(k＋2)－3×k＝0，由此解得 k＝1，a· b＝2＋2k＝4，选 D. 答案：D
疑点清源 1.向量的数量积是一个实数 两个向量的数量积是一个数量， 这个数量的大小与两个向 量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题 时，一定要注意两向量夹角的范围． 2．数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合 律，但不满足向量间的结合律，即(a· b)c 不一定等于 a(b· c)．这 是由于(a· b)c 表示一个与 c 共线的向量，而 a(b· c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线.

2．向量数量积的性质 a cos (1)如果 e 是单位向量，则 a·e＝e·a＝⑨__________.
a b 0 且 a·b＝0⇒⑪______. ab (2)a⊥b⇒⑩__________
2



a (3)a·a＝⑫______，|a|＝⑬______.

a
2
a b
(4)cos〈a，b〉＝⑭__________. a b (5)|a·b|⑮______|a||b|.


3．数量积的运算律 (1)交换律 a·b＝⑯__________. b a a c b c (2)分配律(a＋b)·c＝⑰____________. a b (3)对λ∈R，λ(a·b)＝⑱__________ ＝⑲__________. a b 4．数量积的坐标运算 设 a＝(a1，b1)，b＝(a2，b2)，则 a1a2 b1b2 (1)a·b＝⑳__________. a1a2 b1b2 a1a2 b1b2 0 1__________. (2)a⊥b⇔2 ○ 2 2 2 22__________.(4)cos 23____________. (3)|a|＝○ 〈a，b〉＝○ a12 b12 a2 b2 a12 a2

2OE；③AH在AB向量上的投影向量的模为
2．
2
其中正确结论的个数为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
10. 设向量 a,b,c,满足 a = b = 2,a ⋅ b = 2, a − c ⋅ b − c = 0,则 c 的最小值为
A. 3+1 2
B. 3−1 2
C. 3 − 1
11. 在给出的下列命题中，不正确的是( )
−5 10
=−
10，所以
2
B
错误：
因为a
−
b
=
(5,0)，所以
cos
<
a，a
−
b
>=
a⋅(a−b) |a|×|a−b|
=
10 5×5
=
2 5，所以
5
C
正确;
因为c
=
(
5 5
,
25 5
)，所以a
⋅
c
=2×
5 5
+
1
×
25 5
=
45 5
≠
0，所以a与c不垂直，所以 D
错误．
故选 C．
20.
已知向量m =
⋅
OB
=
OA
⋅
OC,AO
=
λ(
AB |AB|
+
AC |AC|
)则ΔABC
为等腰三角形
D. 已知平面向量OA，OB，OC满足 OA = OB = OC = r(r > 0)，且OA + OB + OC = 0，则△ ABC
是等边三角形
12. 已知不共线向量OA,OB夹角为α, OA = 1, OB = 2,OP = 1 − t OA,OQ = tOB 0 ≤ t ≤ 1), PQ 在 t = t0