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用思维导图促进学生深度学习——以《平面向量数量积解题策略》复习为例江苏省通州高级中学（226300）尹晓宇［摘要］借助思维导图科学、完整地呈现数学思维的全过程，让学生在原有认知结构中融入新的知识，形成新旧知识相互联系.同时，帮助学生厘清解题思路，提高学生解决综合问题的能力.［关键词］思维导图；深度学习；平面向量；复习［中图分类号］G 633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2021）05-0019-02思维导图是一种思维工具，它以图解的形式和网状的结构储存、组织、优化、输出信息，一般从中心主题开始进行思维发散，建立与其相关的一级主题，一级主题下又包含若干二级主题，以此类推，建立起树状结构.思维导图，在创建过程中还可以使用图片颜色、线条粗细等变化建立联系。
学生在复习阶段，通过画思维导图可以将知识点按照不同层次呈现出来，通过纵横的串联、对比、差异分析等方式形成系统、清晰的知识脉络，加深对知识的理解，从而提高学习的效率.学生在回忆、反思和练习提升阶段，利用思维导图进行学习，前后对比、摸索研究知识的特点，能触类旁通.一、思维导图对深度学习的价值深度学习具有以下几个主要特征.在学习态度上，学习者对所学知识持有怀疑、批判的态度，这是深入思考的前提；在学习方法上，学习者能够整合知识，将新知识纳入已有的知识体系中，形成完整的知识链条；在学习动力上，学习者有强烈的促进自身发展的需求，有积极向上的内驱力.数学学习中，解题思路的优化，就是深度学习的具体体现.思维导图能够为学生提供思考的方向.学生在画思维导图构建新的知识网络时，必然要在相关的已有知识进行信息检索，从已有的知识结构中获取相应的信息，分辨不同的观点、看法，建立新旧知识网络的关联，形成新的思维导图，进而促使自己的认知得到提高.在高中数学学习过程中，通过绘制、修改和应用思维导图可以有效促进学生数学深度学习.高中数学的教学任务十分繁重，教师必须要通过有限的课堂活动引导学生全面熟悉、掌握各个数学知识，且要客观分析高考数学的命题方向，引导学生完成相应的解题任务，从中总结有效的解题方法.平时教学，教师一直在赶教学进度，忽视了思维总结、教学反思，因此导致学生的数学思维结构呈现出碎片化、零散的状态，最直接的表现便是学生无法灵活迁移应用所学知识，解题思路固化.面对这一现实问题，借助思维导图可以完整展现数学知识结构，由此引导学生掌握各个知识点的内在联系，可以很好地优化学生的思路，使其实现深度学习.因此，教师要尝试利用思维导图来优化数学教学效果.二、借助思维导图促进学生数学深度学习的案例（片段节选）（一）教学内容高三复习微专题《平面向量的数量积解题策略》.（二）教学目标1.熟练掌握解决向量数量积问题的基本方法：定义法、投影法、基底法、坐标法.2.理解极化恒等式的定义与几何意义以及极化恒等式在平面向量数量积中的应用.3.通过绘制思维导图，比较出平面向量数量积问题不同解题思路的优劣.（三）教学重难点重点：理解和运用基底法、坐标法解决向量数量积问题.难点：运用极化恒等式解决向量数量积问题.（四）教学主要流程教学片段一：先引导学生对向量知识模块的基本概念进行梳理和回顾（如图1）.数学·考试研究||a=()x2-x12+()y2-y12b在a方向上的投影为||b cosθ=a·b||a设a与b的夹角为θ,则cosθ=a·b||a·||ba∥b⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0a⊥b⇔b·a=0⇔x1x2+y1y2=0图1设计意图：通过学生回忆知识点，逐渐绘制出平面向量知识概念的思维导图.以思维导图的形式展现平面向量的知识网络，为学生提供运用思维导图记笔记的方法.原本的课堂小结设计方式是以传统的条目形式，对平面图形中的向量数量积问题基本解题策略进行归纳：1.特殊化，2.定义法，3.投影法，4.基底法，5.坐标法，6.极化恒等式.这样的总结方式中规中矩，虽然全面，但是不利于学生的记忆和选择.于是笔者尝试改用思维导图的方式进行呈现，让学生进行阐述，不拘泥于顺序，引出一条思维链即可进行深度的挖掘和方法总结，最后一条条的思维链就建立起来了.教学片段二平面图形中的向量数量积问题基本解题策略思维导图（如图2）：a·b=14[]()a+b2-()a-b2a·b为||a与b在aa·b=||a||b cosθa·b=()x1,y1()x2,y2=x1x2+y1y2图2设计意图：以思维导图进行课堂小结，展现思考的过程.一级结构为题目，二级结构为题目中的条件指向的方法，三级结构为该方法的解题思路和主要步骤.这样的方式能让学生比较各种方法的特征和优劣，能够快速结合题目的类型选择合适的方法解题，促进学生的深度学习.教师同样可利用思维导图优化课堂总结，通过思维导图整理一节课的重点知识、各个知识点的内在关联、新旧知的内在联系等.三、借助思维导图促进数学深度学习的思考思维导图是一种思维方式的呈现，不是一种固定的模式.在教学过程中，思维导图的形式层级不是一下子就画出来的，是在教学过程中，边教学边绘制的，逐渐形成一个思维的网络.在这过程中，学生表现出极大的热情，充分调动学生学习的积极性和主动性，提高学生的课堂参与度，促使学生产生深入学习的欲望.目前，高中数学教学领域正在全面提倡培养学生自主学习能力，需要教师主动调整师生关系、互动形式，调动学生的主观能动性.在此过程中，为了减少学生的无效学习行为，教师可利用思维导图引导、监督学生实现自主学习.思维导图也有助于学生发现知识网络上的短板，及时查漏补缺.课前以思维导图的形式回顾基本知识概念，如果学生在哪一个点上思考不下去了，那么此处就是思维的“断点”，就需要及时补上.总之，在高中数学教学过程中利用思维导图来促进学生的深度学习是十分重要的，教师要客观分析思维导图的制作方法，自觉将其运用到自己的教学中去.［参考文献］［1］刘北平.思维导图在高中数学教学的实践研究［D］.武汉：华中师范大学，2018.［2］刘慧年.思维导图在高中数学教学中的应用研究［J］.成才之路，2018（12）：34.（责任编辑黄桂坚）数学·考试研究。
平面向量的数量积和叉积的计算步骤平面向量是数学中重要的概念，它在物理、几何等领域中具有广泛的应用。
其中，数量积和叉积是平面向量运算中的两个重要概念，用于描述向量之间的关系和性质。
本文将介绍平面向量数量积和叉积的计算步骤。
一、平面向量的数量积的计算步骤数量积又称为点积或内积，表示两个向量的乘积的数量。
计算平面向量的数量积可以按照以下步骤进行：1. 确定两个向量的坐标表示形式。
平面向量通常用列向量表示，例如向量a可以表示为(a₁, a₂)，向量b可以表示为(b₁, b₂)。
2. 将两个向量的对应坐标相乘。
将a₁与b₁相乘得到的结果记为x₁，将a₂与b₂相乘得到的结果记为x₂。
3. 对结果进行求和。
将x₁和x₂相加得到总和s，即s = x₁ + x₂。
4. 得到最终结果。
最终结果即为平面向量的数量积，记作a·b = s。
二、平面向量的叉积的计算步骤叉积又称为向量积或外积，表示两个向量之间的乘积的向量。
计算平面向量的叉积可以按照以下步骤进行：1. 确定两个向量的坐标表示形式。
与数量积相同，平面向量可以用列向量表示，向量a可以表示为(a₁, a₂)，向量b可以表示为(b₁, b₂)。
2. 计算叉积的第一分量。
将a₁与b₂相乘得到的结果记为y₁。
3. 计算叉积的第二分量。
将a₂与b₁相乘得到的结果记为y₂。
4. 得到最终结果。
最终结果即为平面向量的叉积，记作a×b = (y₁, y₂)。
三、数量积和叉积的性质和应用1. 数量积的性质：- a·b = b·a，即数量积满足交换律。
- a·(b+c) = a·b + a·c，即数量积满足分配律。
- k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，即数量积满足数乘的结合律。
2. 叉积的性质：- a×b = -b×a，即叉积满足反交换律。
- a×(b+c) = a×b + a×c，即叉积满足分配律。
平面向量的数量积与向量积知识点总结平面向量是数学中的重要概念之一，它们可以用来表示物体在平面上的位移、速度、加速度等。
平面向量有许多重要的运算，其中包括数量积和向量积。
本文将对平面向量的数量积与向量积进行知识点总结和讨论。
一、数量积数量积又称为点积，是两个向量的运算，它的结果是一个标量（即一个实数）。
数量积的定义如下：对于两个向量a和b，它们的数量积定义为：a·b = |a||b|cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示向量a和b之间的夹角。
1. 特点：数量积是两个向量的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
根据这个特点，我们可以得出一些重要结论：（1）若夹角θ为90°，则cosθ=0，数量积为0，即两个向量垂直。
（2）若夹角θ为180°，则cosθ=-1，数量积为-|a||b|，即两个向量反向。
（3）若夹角θ为0°，则cosθ=1，数量积为|a||b|，即两个向量同向。
2. 计算数量积的方法：（1）坐标法：设向量a的坐标为(a₁, a₂)，向量b的坐标为(b₁, b₂)，则a·b = a₁b₁ + a₂b₂。
（2）几何法：设向量a的起点为O，终点为A，向量b的起点为O，终点为B，则a·b = AB·OBcosθ，其中AB和OB分别表示向量a和向量b的长度。
3. 应用：数量积在物理学中有广泛应用，例如计算力的做功、计算向量的投影等。
二、向量积向量积又称为叉积，是两个向量的运算，它的结果是一个向量。
向量积的定义如下：对于两个向量a和b，它们的向量积定义为：a×b = |a||b|sinθn其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示向量a和b 之间的夹角，n表示垂直于a和b所在平面的单位向量。
1. 特点：向量积的结果是一个垂直于原向量所在平面的向量，并且其模的大小等于a和b所张的平行四边形的面积。
平面向量的数量积与向量积的运算平面向量的数量积与向量积是向量的两种重要运算。
它们在物理、几何和工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将详细介绍平面向量的数量积和向量积的定义、性质和计算方法。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积也叫点积或内积，用符号“·”表示。
给定向量A和向量B，在平面直角坐标系中，它们的数量积定义为：A·B = |A| |B| cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示向量A与向量B的夹角。
数量积的性质如下：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：(kA)·B = k(A·B)，A·(kB) = k(A·B)，其中k为实数3. 结合律：(A+B)·C = A·C + B·C利用数量积，我们可以计算向量的夹角、向量的模、判断两个向量是否垂直等。
此外，数量积还有一种重要的几何意义，即两个向量的数量积等于它们的模与它们夹角的余弦的乘积。
二、平面向量的向量积平面向量的向量积也叫叉积或外积，用符号“×”表示。
给定向量A 和向量B，在平面直角坐标系中，它们的向量积定义为：A×B = |A| |B| sinθ n其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示向量A与向量B的夹角，n为垂直于平面的单位向量，其方向由右手定则确定。
向量积的性质如下：1. 反交换律：A×B = -B×A2. 分配律：(kA)×B = k(A×B)，A×(kB) = k(A×B)，其中k为实数3. 结合律：(A+B)×C = A×C + B×C向量积具有一些重要的几何意义。
首先，向量积的模等于以向量A 和向量B为邻边的平行四边形的面积。
其次，向量A和向量B的向量积的方向垂直于二者所在的平面，并符合右手定则。
微重点04平面向量数量积的最值与范围问题平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法．知识导图考点分类讲解考点一：求参数的最值(范围)规律方法利用共线向量定理及推论(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)．(2)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，则A ，B ，C 三点共线⇔λ＋μ＝1.【例1】(2023·漳州模拟)已知△ABC ，点D 满足BC →＝34BD →，点E 为线段CD 上异于C ，D 的动点，若AE →＝λAB→＋μAC →，则λ2＋μ2的取值范围是________．【变式1】设非零向量a ，b 的夹角为θ，若|a |＝2|b |＝2，且不等式|2a ＋b |≥|a ＋λb |对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为()A．[－1,3]B．[－1,5]C．[－7,3]D．[5,7]【变式2】（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）在ABC 中，点D 在线段AC 上，且满足12AD AC = ，点Q 为线段BD 上任意一点，若实数,x y 满足AQ x AB y AC =+，则24x y +的最小值为．【变式2】．（2023高三·全国·专题练习）已知向量,a b 满足||1,a b == ，且)0R (a b λλ+∈=，则函数()3(1)1f x x x xλ=+>-+的最小值为.【变式4】(2023·深圳模拟)过△ABC 的重心G 的直线l 分别交线段AB ，AC 于点E ，F ，若AE →＝λAB →，AF →＝μAC →，则λ＋μ的最小值为()A.23＋2 B.2＋223C.43D．1考点二：求向量模、夹角的最值(范围)易错提醒找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]．若向量a ，b 的夹角为锐角，包括a ·b >0和a ，b 不共线；若向量a ，b 的夹角为钝角，包括a ·b <0和a ，b 不共线．【例1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，向量c 与3a b +r r 共线，则||b c +的最小值为.【例2】(1)已知e 为单位向量，向量a 满足(a －e )·(a －5e )＝0，则|a ＋e |的最大值为()A．4B．5C．6D．7(2)平面向量a ，b 满足|a |＝3|b |，且|a －b |＝4，则a 与a －b 夹角的余弦值的最小值为________．【变式1】(2023·安庆模拟)已知非零向量a ，b 的夹角为θ，|a ＋b |＝2，且|a ||b |≥43，则夹角θ的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π2【变式2】(2023·杭州模拟)已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为____________．【变式3】（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，向量c 与3a b +rr 共线，则||b c +的最小值为.考点三：求向量数量积的最值(范围)规律方法向量数量积最值(范围)问题的解题策略(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决．【例3】(1)(2023·开封模拟)等腰直角三角形ABC 的直角顶点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，且AB ＝1，O 为坐标原点，则OC →·OA →的取值范围是()0，2－240，1＋22，1，1(2)(2023·全国乙卷)已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO |＝2，则PA →·PD →的最大值为()A.1＋22B.1＋222C．1＋2D．2＋2【变式1】(2023·台州模拟)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内(含边界)一点，M 为边BC 的中点，则AP →·AM →的取值范围是()A．[－2,6]B．[－1,9]C．[－2,4]D．[－1,6]【变式2】(2023·邵阳模拟)已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，P 为对角线AC 上一点，则PA →·(PB →＋PD →)的最小值是()A．0B．－14C．－12D．－2【变式3】（2024高三·江苏·专题练习）已知点M 为直角ABC 外接圆O 上的任意一点，90,1,ABC AB BC ∠=︒=()OA OB BM -⋅的最大值为．强化训练单选题1．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知向量a ，b，且5a b == ，6a b += ，则()ta b t +∈R 的最小值为（）A．245B．4C．165D．1252．（23-24高三上·江西吉安·期中）ABC 中，D 为AC 上一点且满足34CD CA = ，若P 为BD 上一点，且满足AP AB AC λμ=+，,λμ为正实数，则下列结论正确的是（）A．λμ的最小值为116B．λμ的最大值为1C．114λμ+的最大值为16D．114λμ+的最小值为43．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在ABC 中，D 为线段AC 的一个三等分点，2AD DC =.连接BD ，在线段BD 上任取一点E ，连接AE ，若AE aAC bAB =+，则22a b +的最小值为（）A．134B．52C．413D．254．（2023·安徽安庆·二模）已知非零向量a ，b的夹角为θ，2a b += ，且43a b ≥ ，则夹角θ的最小值为（）A．π6B．π4C．π3D．π25．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量,a b满足||||6a b += ，若a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影之和等于()2a b ⋅ ，则,a b夹角的余弦值的最小值为（）A．227B．127C．13D．236．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知AB 是圆O ：221x y +=的直径，C 、D 是圆O 上两点，且60COD ∠=，则()OC OD AB +⋅的最小值为（）A．0B．C．3-D．-7．在ABC 中，点D 为AC 边上的中点，点E 满足3EC BE =，点P 是直线BD ，AE 的交点，过点P 做一条直线交线段AC 于点M ，交线段BC 于点N （其中点M ，N 均不与端点重合）设CM mCA = ，CN nCB =，则m n +的最小值为（）C．75D．1658．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知O 是ABC 所在平面内一点，若0,,,,,OA OB OC AM xAB AN y AC MO ON x y λ++==== 均为正数，则xy 的最小值为（）A．12B．49C．1D．43二、多选题1．（2024·河南·模拟预测）已知O 是坐标原点，平面向量a OA = ，b OB = ，c OC = ，且a是单位向量，2a b ⋅= ，12a c ⋅= ，则下列结论正确的是（）A．c a c=- B．若A ，B ，C 三点共线，则2133a b =+C．若向量b a - 与c a -垂直，则2b c a +- 的最小值为1D．向量b a - 与b 的夹角正切值的最大值为42．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则下列说法正确的有（）A．1233BD BA BC=+ B．132BD BO ⋅=C．BP BC ⋅存在最大值D．x y +1+3．（2023·全国·模拟预测）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，12AB AD AA ===，P 为1CC 的中点，点Q 满足[][]()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ=+∈∈，则下列结论中正确的是（）A．若13λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值B．若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅为定值2C．若1AQ =，则点Q 的轨迹长度为4D．若1λ=且12μ=，则存在点1E A B ∈，使得AE EQ +三、填空题1．（2024·湖北·模拟预测）已知向量a ，b 满足2a =r ，1= b ，且a ，b的夹角为π3，则()a b λλ-∈R 的最小值是.2．（23-24高三上·山西太原·期末）已知非零向量a ，b 夹角为2π3，则|2|||a b b +的最小值为.3．（2024高三·全国·专题练习）在四边形ABCD 中，AB AC AD ===AB AD ⊥，则CB CD ⋅的最小值为.四、解答题1．如图，在△ABC 中，2AB =，AC =，cos BAC ∠=D 为BC 的中点，E 为AB 边上的动点（不含端点），AD 与CE 交于点O ，AE xAB =.(1)若14x =，求CO OE 的值；(2)求AO CE ⋅的最小值，并指出取到最小值时x 的值.2．（22-23高三·北京·阶段练习）已知非零平面向量a ，b 的夹角为23π，1a a b =+= .(1)证明：a b -= ；(2)设t ∈R ，求a tb +的最小值.3．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知()1sin cos ,2cos ,2sin ,sin 2.2a x x b x θθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(1)若),4(3c =- 且()π,0,π4x θ=∈时，a 与c 的夹角为钝角，求cos θ的取值范围；(2)若π3θ=函数()f x a b =⋅ ，求()f x 的最小值.4．（2023·四川成都·模拟预测）如图，A ，B 是单位圆（圆心为O ）上两动点，C 是劣弧 AB （含端点）上的动点．记OC OA OB λμ=+（λ，μ均为实数）．(1)若O 到弦AB 的距离是12，求λμ+的取值范围；(2)若532OA OB -≤ ，向量2OA OB +和向量OA OB + 的夹角为θ，求2cos θ的最小值．5．（2022高三·全国·专题练习）如图，已知点G 是边长为1的正三角形ABC 的中心，线段DE 经过点G ，并绕点G 转动，分别交边,AB AC 于点,D E ，设,AD m AB AE n AC ==，其中01,01m n <≤<≤．(1)求11m n的值；(2)求ADEV面积的最小值，并指出相应的,m n的值．。
微专题36 向量的数量积——寻找合适的基底在高考中经常会遇到几何图形中计算某两个向量,a b r r数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要素（,a b r r 模长，夹角）那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将,a b r r两个向量表示出来，进而进行运算。
这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法 一、基础知识：（一）所涉及的平面向量定理及数量积运算法则：1、平面向量基本定理：若向量12e e u r u r，为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量a r ，均存在唯一一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+r u r u r 。
其中12e e u r u r ，成为平面向量的一组基底。
（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）2、向量数量积运算cos a b a b θ⋅=⋅r r r r，其中θ为向量,a b r r 的夹角3、向量夹角的确定：向量,a b r r 的夹角θ指的是将,a b r r的起点重合所成的角，[]0,θπ∈其中0θ=：同向 θπ=：反向 2πθ=：a b ⊥r r4、数量积运算法则：（1）交换律：a b b a ⋅=⋅r r r r（2）系数结合律：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈r r r r r r（3）分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r因为向量数量积存在交换律与分配律，才使得有些向量数量积运算的展开式与实数因式相乘的展开式规律相同：例如：()2222a ba ab b ±=±⋅+r rr r r r ()()0a b a b +⋅-=r r r r5、若11221122+,+a e e b e e λλμμ==r u r u r r u r u r，则()()()2211221122111222122112++=a b e e e e e e e e λλμμλμλμλμλμ⋅=⋅+++⋅r r u r u r u r u r u r u r u r u r由此可见，只要知道基底的模与数量积，以及将,a b r r 用基底表示出来，则可计算a b ⋅r r（二）选择合适基底解题的步骤与技巧：1、如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了。
平面向量的数量积与夹角在二维平面上，向量具有大小和方向两个特征，我们可以通过数量积和夹角来描述和计算向量之间的关系。
本文将详细介绍平面向量的数量积和夹角的概念、性质以及计算方法。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积也被称为点积或内积，用符号“·”表示。
对于平面上的两个向量a和b，它们的数量积定义为：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（即长度），θ表示a和b之间的夹角。
数量积有以下几个重要性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积与夹角的关系：若a·b = 0，则a与b垂直通过数量积，我们可以判断向量之间的垂直关系。
当且仅当两个向量的数量积为0时，它们相互垂直。
二、平面向量的夹角平面向量的夹角是指两个向量之间的夹角，它描述了向量的方向关系。
夹角的计算可以通过数量积的性质得到。
设有两个非零向量a和b，它们之间的夹角θ满足以下公式：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)其中，a·b表示a和b的数量积，|a|和|b|分别表示a和b的模。
夹角θ的范围在0到π之间，可以通过反余弦函数求得具体的夹角值。
三、平面向量数量积和夹角的应用1. 判断向量的平行和垂直关系：根据数量积的性质，当两个向量的数量积为0时，它们相互垂直；当两个向量的夹角为0或π时，它们平行。
2. 计算向量的模：根据数量积的定义，我们可以得到向量的模公式：|a| = √(a·a)通过计算向量的数量积，可以求得向量的模。
3. 计算向量的投影：向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。
通过数量积的概念，我们可以计算出向量a在向量b上的投影长度为：proj_b a = (a·b) / |b|其中，a·b表示a和b的数量积，|b|表示b的模。
平面向量的数量积和叉积的计算注意事项平面向量是高中数学中重要的概念之一，其数量积和叉积是计算两个向量之间关系的有效工具。
在进行数量积和叉积的计算时，需要注意以下几个关键点。
一、数量积的计算注意事项数量积又称为点积或内积，表示两个向量间的乘积。
在计算数量积时，有以下几个注意事项：1. 数量积的计算公式：对于两个向量A和B，其数量积的计算公式为A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量的夹角。
2. 注意模长的计算：在计算数量积时，需要先计算出向量的模长。
向量A的模长计算公式为|A| = √(A₁² + A₂²)，其中A₁和A₂分别表示向量A在x轴和y轴上的分量。
3. 注意夹角的取值范围：夹角θ的取值范围为0°≤θ≤180°。
当θ为锐角时，cosθ大于0；当θ为钝角时，cosθ小于0；当θ为直角时，cosθ等于0。
4. 注意正负号：数量积的结果既可以是正数，也可以是负数。
正数表示两个向量同向，负数表示两个向量反向。
二、叉积的计算注意事项叉积又称为向量积或外积，表示两个向量间的叉乘结果。
在计算叉积时，有以下几个注意事项：1. 叉积的计算公式：对于两个向量A和B，其叉积的计算公式为A×B = |A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量的夹角，n表示垂直于平面的单位向量。
2. 注意模长的计算：与数量积不同，叉积计算中不需要计算向量的模长。
3. 注意夹角的取值范围：夹角θ的取值范围为0°≤θ≤180°。
当θ为锐角时，sinθ大于0；当θ为钝角时，sinθ小于0；当θ为直角时，sinθ等于0。
4. 注意右手法则：叉积的结果具有方向性。
根据右手法则，将右手的食指指向向量A，中指指向向量B，那么拇指的方向就是叉积结果的方向。
总结：在计算平面向量的数量积和叉积时，我们需要注意以下几个要点：1. 数量积的计算公式为A·B = |A||B|cosθ，注意模长的计算和夹角的取值范围。
平面向量的数量积平面向量的数量积，也叫点积或内积，是向量运算中的一种重要操作。
它与向量的夹角以及向量的长度有着密切的关系。
在本文中，我们将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方法以及一些应用。
一、概念平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘，并将所得乘积相加而得到的数值。
设有两个平面向量A和A，它们的数量积记作A·A，计算公式为：A·A = AAAA + AAAA其中，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量。
二、计算方法要计算平面向量的数量积，需要先求出两个向量在A轴和A轴上的分量，然后按照数量积的计算公式进行计算。
假设有两个向量A = (A, A)和A = (A, A)，它们的数量积为A·A，计算步骤如下：1. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；2. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；3. 将AA和AA、AA和AA进行相乘得到AA和AA；4. 将AA和AA相加，得到平面向量的数量积A·A。
三、性质平面向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：A·A = A·A2. 数乘结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)3. 分配律：(A + A)·A = A·A + A·A其中，A为任意实数，A、A和A为任意向量。
四、夹角与数量积的关系两个非零向量A和A的数量积A·A与它们夹角A的余弦函数之间存在着如下关系：A·A = ‖A‖‖A‖cosA其中，‖A‖和‖A‖分别为向量A和A的长度。
五、应用平面向量的数量积在几何和物理学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 判断两个向量是否垂直：如果两个向量的数量积为零，即A·A = 0，那么它们是垂直的。
2. 计算向量的模：根据数量积的性质，向量的模可以通过向量与自身的数量积来计算。
平面向量数量积运算的解题方法与策略平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。
1.利用数量积运算公式求解在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(a ＋b )２＝a ２＋２a ·b ＋b ２，（a －b ）２＝a ２－２a ·b ＋b ２上述两公式以及(a ＋b )(a －b )＝a ２－b ２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.例1 已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a ·b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.解析：∵｜a ＋b ｜２＝（a ＋b ）２＝a ２＋２a ·b ＋b ２＝２２＋２×（－３）＋５２＝２３∴｜a ＋b ｜＝23，∵（｜a －b ｜）２＝（a －b ）２＝a ２－2a ·b ＋b ２＝2２－2×（－3）×５２＝35，∴｜a －b ｜＝35．例2 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°).解析：∵（｜a ＋b ｜）２＝（a ＋b ）２＝a ２＋2a ·b ＋b ２＝｜a ｜２＋2｜a ｜·｜b ｜ｃｏｓθ＋｜b ｜２ ∴１６２＝８２＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０２，∴ｃｏｓθ＝4023，∴θ≈５５° 例3 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(xa +yb )⊥a ，且｜xa +yb ｜=1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有xa +yb =(3x +4y ,4x +3y )又（xa +yb ）⊥a ⇔(xa +yb )·a ＝０⇔3(3x +4y )+4(4x +3y )=0即25x +24y ＝０ ①又｜xa +yb ｜=1⇔｜xa +yb ｜２＝１⇔（３x +4y ）２＋（４x +3y ）２＝１整理得：25x ２＋48xy +25y ２＝１即x (25x +24y )+24xy +25y ２＝１ ②由①②有24xy +25y ２＝１ ③将①变形代入③可得：y =±75 再代回①得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524753524y x y x 和2. 利用定义直接求解.例4 若向量,a b 满足a b =2=，,a b 的夹角为45°，则a a a b ⋅+⋅=______.解析：根据数量积的定义得a a a b ⋅+⋅22445cos 22220+=⨯+⨯=，例5 设向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.解析：∵0))(72(2121<++e t e e e t ，故071522<++t t ，解之217-<<-t ． 另有λλt t ==7,2，解之14,214-=-=λt ， ∴)21,214()214,7(--⋃--∈t ． 例 6 如图, 已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（ ）（A ）1213PP PP ⋅ （B ）1214PP PP ⋅（C ）1215PP PP ⋅ （D ）1216PP PP ⋅解析：选项中均有向量12PP ，根据数量积的几何意义，要找121(3,4,5,6)i PP PP i ⋅=的最大值,只需求1(3,4,5,6)i PP i =在12PP 方向上的投影最大即可，画图可知只有13PP 在12PP 方向上的投影最大，故最大选A.3. 利用数量积的定义、性质、运算律求解例7 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.分析：根据数量积的定义、性质、运算律，逐一判断.解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0；对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜ｃｏｓθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.4. 借助零向量. 即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理使用向量的移项以及平方等变形，求解数量积.例8 已知△ABC 中，c AB b CA a BC ===,,，若a c c b b a ⋅=⋅=⋅，求证：△ABC为正三角形.证明：a c c b ⋅=⋅ ， ∴0)(=-a b c ， 又∵0=++c b a ， )(b a c +-=， 故0))((=-+-a b b a ， 知a =b ， 同理可知b=c ， 故a =b=c ， 得证．例9 已知平面上三点A 、B 、C 满足3,4,5AB BC CA ===则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于 。
解析：注意到∵0AB BC CA ++=，两边平方得 2222220AB BC CA AB BC BC CA CA AB +++++=所以AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=−255. 借助平行向量与垂直向量.即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直条件关系或平行向量关系的向量数量积，借助a b ⊥，则0a b ⋅=等解决问题.例10 已知向量a ＝（3，－4），b ＝（2，x ）， c ＝（2，y ）且a ∥b ，a ⊥c ．求|b －c |的值．解析：∵ a ∥b ，∴ 3x ＋8＝0． ∴x ＝38-． ∴ b ＝（2， 38-） ． ∵ a ⊥c ， ∴ 6－4y ＝0． ∴ y ＝23． ∴ c ＝（2， 23）． 而b －c ＝（2，38-）－（2，23）＝（0，－256）， ∴ |b －c |＝256．例11 如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A为中心，问PQ 与BC 的夹角θ取何值时BP ·CQ 的值最大？，并求出这个最大值. 解析：∵AB ⊥AC ∴AB ·AC =0又∵AP =－AQ ，BP =AP －AB ,CQ =AQ －AC ,∴BP ·CQ =(AP －AB )·(AQ －AC )=AP ·AQ －AP ·AC －AB ·AQ +AB ·AC=－a 2－AP ·AC +AB ·AP =－a 2+AP (AB －AC )=－a 2+21PQ ·BC . ∴当cos θ=1,，即θ=0（PQ 与BC 方向相同）时，BP ·CQ 最大，最大值为0.例12 四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB（1）若DA BC //，试求x 与y 满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有BD AC ⊥，求y x ,的值及四边形ABCD 的面积。
解析： ),(y x BC =)2,4()2,4()(+---=-+-=++-=-=y x y x CD BC AB AD DA（1）DA BC // 则有0)4()2(=--⋅-+-⋅x y y x 化简得：02=+y x（2）)1,6(++=+=y x BC AB AC , )3,2(--=+=y x CD BC BD 又BD AC ⊥ 则 0)3()1()2()6(=-⋅++-⋅+y y x x化简有：0152422=--++y x y x 联立⎩⎨⎧=--++=+015240222y x y x y x 解得⎩⎨⎧=-=36y x 或⎩⎨⎧-==12y x DA BC // BD AC ⊥ 则四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形A B C当⎩⎨⎧=-=36y x 时,)0,8()4,0(-==BD AC 此时1621=⋅⋅=BD AC S ABCD 当⎩⎨⎧-==12y x 时, )4,0()0,8(-==BD AC 此时1621=⋅⋅=BD AC S ABCD 6. 借助向量的拆分将待求向量的数量积转化为题目中能求解的数量积.例13 如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC =·_______ .解析：直接利用定义求AD BC ·较困难，题目中给出了12021BAC AB AC ∠===，，°，可以利用定义直接求出ABAC ·，这样问题就转化为能否将向量AD BC ,都用AB AC ,形式表示.由2DC BD =得2()AC AD AD AB -=-即1233AD AC AB =+，BC AC AB =- ∴AD BC =2211283333AC AC AB AB +⋅-=-. 7. 建立坐标系，利用坐标运算求解数量积例14 已知O 为Rt △ABC 的内切圆的圆心，AB=5,BC=4,CA=3下列结论正确的是（ ）A. OA OB OB OC OC OA ⋅<⋅<⋅B. OA OB OB OC OC OA ⋅>⋅>⋅C. OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅D. OA OB OB OC OC OA ⋅<⋅=⋅解析：建立如图直角坐标系：设A(0,3)，B(4,0)，C(0,0)，∵O 为Rt △ABC 的内切圆的圆心∴O(1,1)，∴(1,2)OA =-，(3,1)OB =-，(1,1)OC =--∴5OA OB ⋅=-，1OA OC ⋅=，2OB OC ⋅=-故选 A例15 如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则ADBC =·_______. 解析：建立以AB 为x 轴，过点A 作AB 的垂线为y 轴的直角坐标系，如图所示，则A(0,0)，B(2,0)，C(13,22-)，由定比分点坐标公式得D(7,66)，所以5(,22BC =-，AD=(7,66), 即ADBC =·57826263-⨯+=-.三角恒等式证明的基本技巧三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。
