《概率论与数理统计》实验指导书讲解

《概率论与数理统计》实验指导书【课程性质、目标和要求】课程性质:概率论与数理统计实验是与《概率论与数理统计》课程相配套的数学实验，它是为了理解和巩固这门课而设计的。

教学目标：通过本实验的教学，使学生掌握处理随机数据的基本方法，以及获得建立某些实际问题的模拟能力，并深刻理解概率与数理的思想方法。

教学要求：本实验是数学与应用数学专业教学计划中《概率论与数理统计》相配套的数学实验，所以，实验与课程紧密结合，服务这门课，在该课程的理论指导下开展数学实验。

在实验供应结合生产科研的实际问题，进行解决实际问题能力的实践性环节的培养。

概率论与数理统计是研究大量随机现象统计规律的一门数学科学，通过本实验(我们以excel为平台，教师也可选其它数学软件．Excel电子表格软件是微软办公软件组的核心应用程序之一，它功能强大，操作简单，适用范围广，普遍应用于报表处理、数学运算、工程计算、财务处理、统计分析、图表制作等各个方面。

其数据分析模块简单直观，操作方便，是进行概率与统计学教学的首选软件)，我们可以了解随机现象及其发生的概率，模拟系统的变化规律。

鉴于该课程的特点，为更好地实现教学目标，我们开发以下16个实验。

教师可以根据教学情况选其中6个试验进行教学。

【教学时间安排】实验一 Excel的基本使用方法和技巧1、问题的背景概率论与数理统计是研究大量随机现象统计规律的一门数学科学，如何对实践中的随机现象进行模拟和处理数据，成为概率论与数理统计实验课程的重要内容．鉴于Excel的通俗易懂和应用的普适性，我们采用Excel来实现概率论与数理统计课程实验。

因此，对Excel 的基本应用成为本门课程的基础．2、实验目的要求（1）学习和掌握Excel的调用程序．（2）学习和掌握Excel的基本命令．（3）学习和掌握Excel的有关技巧．（4）掌握基本统计命令的使用方法3、实验主要内容在各种电子表格处理软件中，Excel以其功能强大、操作方便著称，赢得了广大用户的青睐．本实验学习一些经常使用的技巧，掌握这些技巧将大大提高学生未来实验的效率．（一）基本命令(1) 快速定义工作簿格式(2) 快速复制公式(3) 快速显示单元格中的公式(4) 快速删除空行(5) 自动切换输入法(6) 自动调整小数点(7) 用“记忆式输入”(8) 用“自动更正”方式实现快速输入(9) 用下拉列表快速输入数据（二）基本统计函数（1）描述性统计（2）直方图4、实验仪器设备计算机和数学软件实验二随机事件的模拟-----模拟掷均匀硬币的随机试验1、问题的背景抛硬币实是一个古老而现实的问题，我们可以从中得出许多结论．但要做这个简单而重复的试验，很多人没有多余的时间或耐心来完成它，现在有了计算机的帮助，人人都可很短的时间内完成它．2、实验目的要求（1）学习和掌握Excel的有关命令（2）了解均匀分布随机数的产生（3）掌握随机模拟的方法．（4）体会频率的稳定性．3．实验主要内容抛硬币试验：抛掷次数为n．对于=n20，50，100，1000，10000各作5次试验．观察有没有什么规律，有的话，是什么规律．4、实验仪器设备计算机和数学软件实验三随机模拟计算π的值----蒲丰投针问题1、问题的背景：在历史上人们对π的计算非常感兴趣性，发明了许多求π的近似值的方法，其中用蒲丰投针问题来解决求π的近似值的思想方法在科学占有重要的位置，人们用这一思想发现了随机模拟的方法．2、实验目的要求本实验旨在使学生掌握蒲丰投针问题，并由此发展起来的随机模拟法，从中体学会到新思想产生的过程．（1）学习和掌握Excel的有关命令（2）掌握蒲丰投针问题（3）理解随机模拟法（4）理解概率的统计定义3、实验主要内容蒲丰投针问题：下面上画有间隔为(0)d d>的等距平行线，向平面任意投一枚长为()l l d<的针，求针与任一平行线相交的概率．进而求π的近似值．对于n=50，100，1000，10000，50000各作5次试验，分别求出π的近似值．写出书面报告、总结出随机模拟的思路．4、实验仪器设备计算机和数学软件实验四综合实验---敏感性问题调查1、问题的背景在问卷调查中，被调查者由于种种原因不愿意回答问题，这类问题就是敏感性问题．对敏感性问题的调查方案，关键要使被调查者原意作出真实回答问题又能保守秘密．进而能根据调查问题的特点，科学设计调查表，合理制定调查程序，分析调查结果是一个有趣的问题．2、实验目的要求（1）学习和掌握利用概率统计解决实际问题的技能．（2）学习和掌握对敏感性问题调查的基本方法和措施．（3）学习和掌握敏感性问题调查的有关技巧．3、实验主要内容确定敏感性问题：如某学校学生阅读黄色书刊和观看黄色影像的比率、或某社区居民参加赌博的比率、或某社区居民吸毒的比率、或某城市经营者偷税漏税户的比率、或某学校学生考试作弊的比率．调查方案的设计及操作程序：调查问题的设计、调查操作程序，调查样本容量的确定。

调查结果分析。

4、实验仪器设备计算机和数学软件实验五正态分布综合实验1．问题的背景正态分布是实际生活中最常用的概率分布，在概率论与数理统计的理论研究和实际应用中都具有重要的价值，应熟练掌握和运用。

2．实验目的要求学会产生服从正态分布的随机数并作密度函数和分布函数的图形，学会NORMDIST命令和Excel绘图工具的使用。

3．实验主要内容(1) 利用随机数发生器分别产生n=100;1000;10000个服从正态分布N(6，1)的随机数，每种情形下各取组距为2，1，0．5作直方图及累积百分比曲线图。

(2) 固定数学期望μ=0．05，分别取标准差为σ=0．01、0．02、0．03，绘制密度函数和分布函数的图形。

(3) 固定标准差为σ=0．02，分别取数学期望为μ=0．03、 0．05、0．07，绘制密度函数和分布函数的图形。

4、实验仪器设备计算机和数学软件实验六产生服从任意分布的随机数1．问题的背景实际中经常需要用到服从指定分布F(x)的随机数据。

学会产生服从任意分布的随机数，对今后的学习和实际应用而言，是非常有帮助的。

2． 实验目的要求学会产生分布函数为预先指定的分布函数F(x)的随机数；利用所产生的随机数据作直方图、密度函数图和分布函数图。

3． 实验主要内容(1)分别产生1000、10000个(0,1)U 分布随机数，通过变换分别把它们转换为服从指数分布Exp(3)和Gamma(2，2)的随机数，然后对所得到的Exp(3)随机数作组距为0．1的直方图，对Gamma(2，2) 随机数作组距为1的直方图，观察它们轮廓线的形状。

(2) 用命令EXPONDIST 计算Exp(3)在x = 0、0．1、0．2、…、3处的值；用GAMMADIST 命令计算Gamma(2，2)在x = 0、1、2、…、15处的值；并画出指数分布Exp(3)和Gamma(2，2)；的密度函数的图形，与(1)中的直方图的轮廓线进行比较。

4、实验仪器设备计算机和数学软件实验七 产生服从二维正态分布的随机数1． 问题的背景二维正态分布是最常用的多维连续型分布。

设二维随机向量（X ，Y ）服从二维正态分布221122(,;,;)N μσμσρ，由二维正态分布的性质知，相关系数ρ＝0或ρ≠0对应于X 与Y独立或相关两种情形。

2． 实验目的要求(1) 学会用计算机产生分量相互独立的二维正态分布随机数；(2) 学会用计算机产生分量不独立的二维正态分布随机数。

3． 实验主要内容(1) 若随机变量X 与Y 相互独立且211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，则221122(,)~(,;,;0)X Y N μσμσ。

据此结论产生服从二维正态分布(7,1;6,1;0)N 的随机向量（X ，Y ）。

(2) 设n 维随机向量'=1(,,)~(,)n n X X X N μ∑，其中1(,,)n μμμ'=是X 的均值向量，()ij n n ∑σ⨯=是X 的协方差阵，[()()]ij i i j j E X X σμμ=--。

由于∑为正定阵，故存在下三角阵C ，使得CC ∑'=；若设1(,,)n U U U '=，U 的各个分量相互独立均服从(0,1)N 分布，那么可以证明X CU μ=+服从以1(,,)n μμμ'=为均值向量，以CC ∑'=为协方差阵的n 维正态分布。

由上述结论，产生服从二维正态分布(7,1;6,1;0.6)N 的随机向量（X ，Y ）。

4、实验仪器设备计算机和数学软件实验八 随机变量综合试验1． 问题的背景正态分布、卡方分布、t 分布和F 分布常被称为数理统计四大分布，它们在假设检验、方差分析和回归分析中有着广泛的应用。

2． 实验目的要求(1) 学会用Excel 产生服从上述四大统计分布的随机数并能画出对应随机数的直方图；(2) 会用Excel 计算上述四大统计分布的分布函数值和分位点。

3． 实验主要内容实验原理：若独立同分布随机变量1,,~(0,1)iidn X X N ，则2221~()ni i X n χχ==∑；又若22~(),~()X m Y n χχ，且X 与Y 相互独立，则/~(,)/X mF F m n Y n =；再者，若~(0,1)X N ，2~()Y n χ，且X 与Y 相互独立，则~()t t n =。

（参见教材p270-p272定义），据上述原理，(1) 产生χ 2 (6)、χ 2(10)、F(6， 10)和t (6)四种随机数，并画出相应随机数的频数直方图；(2) 在同一张图中画出了N (0，1)和t (6)随机数频数直方图，比较它们的异同； (3) 写出计算上述四种分布的分布函数值和相应上侧分位点命令。

4、实验仪器设备计算机和数学软件实验九 定积分的近似计算1、问题的背景不少统计问题，如计算概率，各阶矩等，最后都归结为定积分的近似计算问题(特别是高维积分)．这一方法是求解数学物理、工程技术及经济管理近似的数值常用方法． 2、实验目的要求(1)掌握Excel 的有关命令． (2)进一歩理解大数定律． (3)掌握随机模拟的方法． 3、实验主要内容(1)用随机投点法和平均值法计算定积分:1112011,1x x e J dx J e dxe --==-⎰⎰(2)比较两种方法的精度．(n=100，1000，10000．对每一个n 重复做5次)4、实验仪器设备 计算机和数学软件实验十 参数的点估计一、背景知识：（一）参数点估计的计算方法1、参数估计问题，一种是总体分布类型已知，但含有未知参数，对总体的未知参数进行估计后可以近似确定总体分布；另一种是总体分布类型未知，通过参数估计来了解总体的主要数字特征如总体均值、总体方差等．2、点估计：设来自总体的样本为12,,,n X X X ，通过某种参数估计方法，构造统计量12ˆˆ(,,,)n X X X θθ=，用ˆθ来作为总体未知参数θ的估计，这个随机量ˆθ就是θ的点估计量．3、矩估计法的应用：分两种情况讨论，并只讨论到1阶到2阶矩．(1)总体的未知参数为总体的矩时∙ 总体均值近似于样本1阶原点矩即样本均值11ˆni i X X n μ===∑∙ 总体方差2σ的矩估计就是样本2阶中心矩即样本方差 22211()n ni i S X X n σ===-∑(2)总体分布类型已知，有1个或2个未知参数（我们主要考虑这两种）可以用样本的1阶、2阶原点矩列出方程（组）求解未知参数。