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第三篇公交车调度方案的优化模型欧阳引擎（2021.01.01）2001年 B题公交车调度Array公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。
下面考虑一条公交线路上公交车的调度问题，其数据来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调查和运营资料。
该条公交线路上行方向共14站，下行方向共13站，表3-1给出的是典型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计。
公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客100人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时。
运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过120%，一般也不要低于50%。
试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。
如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型，指出求解模型的方法；根据实际问题的要求，如果要设计更好的调度方案，应如何采集运营数据。
表3-1 某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表上行方表3-1（续）某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表下行方公交车调度方案的优化模型*摘要：本文建立了公交车调度方案的优化模型，使公交公司在满足一定的社会效益和获得最大经济效益的前提下，给出了理想发车时刻表和最少车辆数。
并提供了关于采集运营数据的较好建议。
在模型Ⅰ中，对问题1建立了求最大客容量、车次数、发车时间间隔等模型，运用决策方法给出了各时段最大客容量数，再与车辆最大载客量比较，得出载完该时组乘客的最少车次数462次，从便于操作和发车密度考虑，给出了整分发车时刻表和需要的最少车辆数61辆。
模型Ⅱ建立模糊分析模型，结合层次分析求得模型Ⅰ带给公司和乘客双方日满意度为（0.941，0.811）根据双方满意度范围和程度，找出同时达到双方最优日满意度(0.8807,0.8807)，且此时结果为474次50辆；从日共需车辆最少考虑，结果为484次45辆。
第三篇公交车调度方案得优化模型2001年 B题公交车调度Array公共交通就是城市交通得重要组成部分,作好公交车得调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司得经济与社会效益,都具有重要意义。
下面考虑一条公交线路上公交车得调度问题，其数据来自我国一座特大城市某条公交线路得客流调查与运营资料。
该条公交线路上行方向共１4站，下行方向共13站，表3—1给出得就是典型得一个工作日两个运行方向各站上下车得乘客数量统计。
公交公司配给该线路同一型号得大客车,每辆标准载客１00人,据统计客车在该线路上运行得平均速度为20公里／小时.运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过10分钟,早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过12０%,一般也不要低于5０％。
试根据这些资料与要求，为该线路设计一个便于操作得全天（工作日)得公交车调度方案,包括两个起点站得发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样得程度照顾到了乘客与公交公司双方得利益；等等。
如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整得数学模型，指出求解模型得方法；根据实际问题得要求，如果要设计更好得调度方案,应如何采集运营数据.公交车调度方案得优化模型*摘要：本文建立了公交车调度方案得优化模型，使公交公司在满足一定得社会效益与获得最大经济效益得前提下，给出了理想发车时刻表与最少车辆数。
并提供了关于采集运营数据得较好建议。
在模型Ⅰ中，对问题１建立了求最大客容量、车次数、发车时间间隔等模型，运用决策方法给出了各时段最大客容量数，再与车辆最大载客量比较，得出载完该时组乘客得最少车次数４62次,从便于操作与发车密度考虑，给出了整分发车时刻表与需要得最少车辆数61辆。
模型Ⅱ建立模糊分析模型，结合层次分析求得模型Ⅰ带给公司与乘客双方日满意度为（0、941,０、811)根据双方满意度范围与程度，找出同时达到双方最优日满意度（0、88０7,0、８807），且此时结果为474次5０辆;从日共需车辆最少考虑,结果为48４次４５辆。
公交站点的数学建模的例子0-1规划记录一个关于0-1规划问题（指派问题、分配问题）模型的建立、实现、求解的过程，并在基础模型通过添加惩罚或激励机制考虑多种情况。
记录目的在于学习交流以及日后自己对该类模型能进行较快的进行描述实现。
问题描述（基础）考虑这么一个分配问题有9个数，让他们其中分成2组每组不超过6人，每组又分成A、B两队，每队不超过3人。
目标使得每组A、B两队和之差最小。
用数学题的语言进行描述该问题，现有9人，分成2组，每组最多6人，每组内又分AB两队，如何安排才能使得每组两队分数较为平衡。
思考解的形式我们将解分成2*2个（两组每组两队）部分，每个部分需要重9个数中进行选择，用0-1来表示在该部分中是否被选中，那么它的解的个分别数为9*2*2，用矩阵形式为：将其用向量的形式进行表示：思考约束条件以及目标解的形式确定之后，思考如何针对该解的形式，然后对问题进行描述，从问题中和解的形式，我们可以总结出以下的2个约束：•每组中的A部分和B部分分别小于等于3人•每个数只能出现1次，即每一列的和为1 用公式进行表达为：∑j=113x1ja<=3∑i=13xi1a<=1∑j=113x1jb<=3∑i=13xi 1b<=1......思考目标两队分数之和比较接近，可以理解每一组中为：max(∑(xa)∗y)st.∑(xa)∗y<=1/2∗∑(x)∗y其中x表示9个数的位置（0-1表示），y表示对应位置的数的值,即使得每组A队的分数尽可能大并且接近该组之和的1/2。
将其组合起来可以该总目标表示为：max(∑(xija)∗y）st.∑j=19x1ja<=∑j=19x1jb∑j=19x2ja<=∑j=19x2jb最后将问题进行重新进行整理•目标为：A队之和最大•约束1: 每队小于等于3人•约束2: 每组A队小于B队•约束3: 每个数只能出现1次，即每一列和为1代码实现主代码，函数在附录。
公交车上车人数状况及其收入分析的一个数学模型
化存才;段生指;李国桂;谷兴社
【期刊名称】《云南师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2006(026)005
【摘要】提出了一个反映城市公交车在运行过程中上车人数的基本状况及其收入情况的数学模型.首先,以昆明市运行状况较好的某条公交车线路作为对象,在抽样调查上车人数的基础上,我们将一天的运行时间划分为四段,每个时间段内的上车人数近似于服从正态分布.其次,通过对数据进行统计分析,给出了每个时间段内的上车人数分布的密度函数.最后,得到了该公交线路在每个时间段内的平均收入,一天的和一个月的总平均收入,结果与公交车公司的实际收入比较是相符合的.
【总页数】5页(P9-13)
【作者】化存才;段生指;李国桂;谷兴社
【作者单位】云南师范大学数学学院,云南,昆明,650092;云南师范大学数学学院,云南,昆明,650092;云南师范大学数学学院,云南,昆明,650092;云南师范大学数学学院,云南,昆明,650092
【正文语种】中文
【中图分类】O29
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目录一、背景 (3)二、模型变量的选定 (3)三、数据的收集 (4)四、模型的建立与求解 (4)1、模型1的建立： (4)4.1.1经济意义检验 (5)4.1.2统计检验 (5)4.1.3计量经济学检验 (6)2、模型2的建立 (7)3、模型3的建立 (7)4、模型4的建立 (8)五、模型经济意义说明 (9)六、模型的扩展与完善 (9)七、模型的评价 (10)八、小结 (11)九、参考文献 (11)十、附表 (12)公共汽车乘客人数模型摘要确定影响公共汽车乘客的人数的因素是具有很大的现实意义和经济价值的。
本文立足于计量经济学，通过多元回归试图找出公共汽车乘客人数的决定因素。
所有结果均用Eviews输出，并运用了经济意义检验，统计检验和计量经济学检验对模型进行了相应的检验。
当模型不能通过的检验时，运用相应的方法对模型进行了修正和改进，以便达到预期效果。
关键字多元线性回归可决系数与校正的可决系数 F检验 t检验 D-W检验怀特检验被解释变量解释变量一、背景公共汽车是现代城市不可缺少的工具，它在人们日常生活中扮演作重要的作用，很多人上班下班都要用到它。
对于一个城市的政府来说提供适当的公共汽车数量是非常必要的。
但当我们来确定公共汽车数量的时候就遇到一个实际的问题：公共汽车乘客人数受哪些因素的影响？更准确点可以说公共汽车乘客人数的决定因素是哪些？于是本模型试图找出公共汽车乘客人数的决定因素，以便给政府的决策提供一个有用的参考。
二、模型变量的选定1、根据历史经验我们选取以下因素作为影响因素，也就是解释变量。
X1:车费，美元：Fare X2油价，美元/加仑：Gasprice X3:人均平均收入，美元：Income X4:城市人口，千人：PopX5:人口密度，人/平方英里：Density X6城市土地面积，平方英里：Area 被解释变量： Y：城市公共汽车的运输，千乘客每月于是我们可以得出被解释变量与解释便量之间的初步关系模型：0112233445566i Y x x x x x x βββββββμ=+++++++2、对模型的回归系数的符号做一个预期。
公交车调度模型(故可视作环行线，见下图)记v ：公交车速度；t(k)： 第k 次发车时刻（k=1,2,……，N ）；d(j)： 第Bj 站到第Bj+1站的距离(km)（j=1,2,……,25）；t1(k,j)：第k 次发车到达第j 站的时刻：t1(k,j)=t(k)+[d(1)+d(2)+……+d(j))]/v; (j=2,……,26) T ： 公交车环行周期（h ）；mu ：矩阵元素mu(i,j)为第i 个时间段第j 个站上车人数(i=1,2,……,18, j=1,2,……,26)； md ：矩阵元素md(i,j)为第i 个时间段第j 个站下车人数(i=1,2,……,18, j=1,2,……,26)；； z(k,j)： 第k 次发车第j 个站启车时乘客增量：z(k,j)=f(t(k),j)×[t(k,j)-t(k-1,j)]( j=1,2,……,25)；其中 0,t(k)5and t(k)23f (t(k),j)mu(i1,j)md(i2,j),elsei1[t(k)(d(1)...d(j 1))/v]4,i2[t(k 1)]4<>⎧=⎨-⎩=+++--=--其中 s(k,j)：第k 次发车第j 站启车时车上乘客数 s(k,j)=[z(k,1)+ z(k,2)+……＋z(k,j)]( j=1,2,……,25);优化模型目标函数：max t(k)约束条件：25j 1t(k)t(k 1)10;1s(k,j)50;25s(k,j)120,j 1,2,3, (25)=⎧--<=⎪⎪>=⎨⎪⎪<==⎩∑sets :fache/1/:t;distance/1..25/:d;time_stage/1..18/;zhan/1..26/:i0,i1,i3;link1(time_stage,zhan):mu,md;link(fache,zhan):f,s,z;!link2(fache,time_stage):tj,z;endsetsdata:v=20;d=1.56,1,0.44,1.2,0.97,2.29,1.3,2,0.73,1,0.5,1.62,1.6,0.5,1,0.73,2.04,1.26,2.29,1,1 .2,0.4,1,1.03,0.53;mu=22,3,4,2,4,4,3,3,3,1,1,0,371,60,52,43,76,90,48,83,85,26,45,45,11,0795,143,167,84,151,188,109,137,130,45,53,16,1990,376,333,256,589,594,315,622,510,17 6,308,307,68,0,2328,380,427,224,420,455,272,343,331,126,138,45,3626,634,528,447,948,868,523,958,90 4,259,465,454,99,0,2706,374,492,224,404,532,333,345,354,120,153,46,2064,322,305,235,477,549,271,486,43 9,157,275,234,60,0,1556,204,274,125,235,308,162,203,198,76,99,27,1186,205,166,147,281,304,172,324,267, 78,143,162,36,0,902,147,183,82,155,206,120,150,143,50,59,18,923,151,120,108,215,214,119,212,201,75, 123,112,26,0,847,130,132,67,127,150,108,104,107,41,48,15,957,181,157,133,254,264,135,253,260,74, 138,117,30,0,706,90,118,66,105,144,92,95,88,34,40,12,873,141,140,108,215,204,129,232,221,65,103, 112,26,0,770,97,126,59,102,133,97,102,104,36,43,13,779,141,103,84,186,185,103,211,173,66,108 ,97,23,0,839,133,156,69,130,165,101,118,120,42,49,15,625,104,108,82,162,180,90,185,170,49,75 ,85,20,0,1110,170,189,79,169,194,141,152,166,54,64,9,635,124,98,82,152,180,80,185,150,49,85,85,20,0,1837,260,330,146,305,404,229,277,253,95,122,34,1493,299,240,199,396,404,210,428,390 ,120,208,197,49,0,3020,474,587,248,468,649,388,432,452,157,205,56,2011,379,311,230,497,479,296,586,50 8,140,250,259,61,0,1966,350,399,204,328,471,289,335,342,122,132,40,691,124,107,89,167,165,108,201,194, 53,93,82,22,0,939,130,165,88,138,187,124,143,147,48,56,17,350,64,55,46,91,85,50,88,89,27,48,47,11 ,0,640,107,126,69,112,153,87,102,94,36,43,13,304,50,43,36,72,75,40,77,60,22,38,37,9,0, 636,110,128,56,105,144,82,95,98,34,40,12,209,37,32,26,53,55,29,47,52,16,28,27,6,0, 294,43,51,24,46,58,35,41,42,15,17,5,19,3,3,2,5,5,3,5,5,1,3,2,1,0;md=0,21,1,6,7,7,5,3,4,2,3,9,8,9,13,20,48,45,81,32,18,24,25,85,57,0,70,40,40,184,205,195,147,93,109,75,108,271,99,105,164,239,588,542,800,407,208,300 ,288,921,615,0,294,156,157,710,780,849,545,374,444,265,373,958,205,227,272461,1058,1097,1793,801,469,560,636,1871,1459,0,266,158,149,756,827,856,529,367,428,237,376,1167,106,123,169,300,634,621,971,440, 245,339,408,1132,759,0,157,100,80,410,511,498,336,199,276,136,219,556,81,75,120,181,407,411,551,250,136, 187,233,774,483,0,103,59,59,246,346,320,191,147,185,96,154,438,52,55,81,136,299,280,442,178,105,153 ,167,532,385,0,94,48,48,199,238,256,175,122,143,68,128,346,54,58,84,131,321,291,420,196,119,159, 153,534,340,0,70,40,40,174,215,205,127,103,119,65,98,261,46,49,71,111,263,256,389,164,111,134,1 48,488,333,0,75,43,43,166,210,209,136,90,127,60,115,309,39,41,70,103,221,197,297,137,85,113,11 6,384,263,0,84,48,48,219,238,246,155,112,153,78,118,346,36,39,47,78,189,176,339,139,80,97,120 ,383,239,0,110,73,63,253,307,341,215,136,167,102,144,425,36,39,57,88,209,196,339,129,80,107, 110,353,229,0,175,96,106,459,617,549,401,266,304,162,269,784,80,85,135,194,450,441,731,335,157, 255,251,800,557,0,330,193,194,737,934,1016,606,416,494,278,448,1249,110,118,171,257,694,573,957,390 ,253,293,378,1228,793,0,223,129,150,635,787,690,505,304,423,246,320,1010,45,48,80,108,237,231,390,150,89, 131,125,428,336,0,113,59,59,266,306,290,201,147,155,86,154,398,22,23,34,63,116,108,196,83,48,64,66, 204,139,0,75,43,43,186,230,219,146,90,127,70,95,319,16,17,24,38,80,84,143,59,34,46,47,160,1 17,0,73,41,42,190,243,192,132,107,123,67,101,290,14,14,21,33,78,63,125,62,30,40,41,128 ,92,0,35,20,20,87,108,92,69,47,60,33,49,136,3 3,5,8,18,17,27,12,7,9,9,32,21;t1=5;f=22,-18,3,-4,-3,-3,-2,0,-1,-1,-2,-9,363,13,20,enddatainit:t2=5.1;endinitmax=t2-t1;t2-t1<10/60;@for(zhan(j)|j#eq#1:i0(j)=t2);@for(zhan(j)|j#ge#2:i0(j)=t2+@sum(zhan(n)|n#le#(j-1)#and#n#ge#2:d(n)) 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公交车调度关于公交车调度的数学模型摘要：本文根据典型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计，首先探讨了如何利用平滑法来确定一个有价值并且效率高的车辆运行时刻表，使其满足乘客的舒适性和公交公司低成本的服务；接着，又利用最优化的基本思想，对此问题进行了进一步的讨论，得到了最小配车辆的数量，然后针对满意度的评价水平问题，建立了几个良好刻画公司以及乘客满意度的满意度函数并求出了乘客与公交公司双方的满意度。
最后，我们对新提出的模型进行了模型的评价和模型改进方向的讨论，并对如何采集公交车客运量的数据，提出了几个中肯的建议，完成了对关于公交车调度问题的较为详细而合理的讨论。
（一）问题重述公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。
下面考虑一条公交线路上公交车的调度问题，其数据来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调查和运营资料。
该条公交线路上行方向共14站，下行方向共13站，第3-4页给出的是典型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计。
公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客100 人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时。
运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过120%，一般也不要低于50%。
试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。
如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型，指出求解模型的方法；根据实际问题的要求，如果要设计更好的调度方案，应如何采集运营数据。
（二）定义与符号说明1、T( I )------ 第I个时段( I=1、2……18 )2、A( J )------ 第J个公交车站(J=1、2……15 )3、P( I )------ 在第I个时段内的配车量4、L( I )------ 在第I个时段内的客流量5、G( I )------ 在第I个时段内的满载率6、S( I )------ 在第I个时段内的乘客候车时间期望值7、V--------- 客车在该线路上运行的平均速度8、ΔL(J)---第J-1个公交车站到第J个公交车站之间的距离9、ΔT(I)------第I个时段内相邻两辆车发车间隔时间10、L----- 收、发车站之间的距离（三）模型的假设基本假设：1、乘客在各个时段内到达公交车站的时间均服从均匀分布2、乘客上车的时间可以忽略不计。
公交车调度问题数学建模论文公交车调度问题数学建模论文————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:20１１年数学建模论文——对公交车调度问题的研究摘要:本文根据所给的客流量及运营情况排出公交车调度时刻表，以及反映客运公司和乘客的利益有多个指标，建立了乘客的利益及公司利益两个目标函数的多目标规划数学模型。
基于多目标规划分析法，进行数值计算，从而得到原问题的一个明确、完整的数学模型，并在模型扩展中运用已建的计算机模拟系统对所得的结果和我们对于调度方案的想法进行分析和评价。
首先通过数据的分析,并考虑到方案的可操作性，将一天划为；引入乘客的利益、公司利益作为两个目标函数，建立了两目标优化模型。
通过运客能力与运输需求(实际客运量) 达到最优匹配、满载率高低体现乘客利益;通过总车辆数较少、发车次数最少表示公司利益建立两个目标函数。
应用matｌaｂ中的ｆgoalａttain进行多目标规划求出发车数,以及时间步长法估计发车间隔和车辆数。
关键字：公交车调度；多目标规划;数据分析；数学模型；时间步长法,matlaｂ一问题的重述：１、路公交线路上下行方向各２４站,总共有L 辆汽车在运行，开始时段线路两端的停车场中各停放汽车m辆,每两车可乘坐S人。
这些汽车将按照发车时刻表及到达次序次发车，循环往返地运行来完成运送乘客的任务。
建立数学模型,根据乘客人数大小,配多少辆车、多长时间发一班车使得公交公司的盈利最高,乘客的抱怨程度最小。
假设公交车在运行过程中是匀速的速度为v。
1路公交车站点客流量见下表从新汽车站出发到市检察院站点名称新汽车站汉庭花园天九湾电信公司天九湾车场西环小区步行街上车人数1１３１ 1 1 2 下车人数1 ０0 ０ 4 等待时间3．8 5 2 1.5 2站点名称实验小学莆一中后门十字街旧汽车站新街口市农行上车人５ 1 ３ 4 8 3下车人数1 0 ０１0 1 等待时间3．8 3 ５.３ 1 4.１ 3.８站点名称市公交公司中国银行凤凰山八十亩小区石室路口市公交稽证处上车人数3 1 3 ３ 2 2下车人数２ 3 3 9 ２ 3等待时间1.７１０．5 2．５２.2 5．5 站点名称北磨交通花园三信家园市政府龙桥市场市检察院上车人数２0 0 0 ０0 下车人4 2 ２5 7 １0 等待时 4从市检察院出发到新汽车站站点名称市检察院龙桥市场市政府三信家园交通花园北磨上车人数1７ 3 0 １ 2 7 下车人数0 1 1 1 1 4 等待时间3．5 1.2 ２.８４.8 ２．6 ４站点名称市公交稽证处石室路口八十亩小区凤凰山中国银行市公交公司上车人2 ３１５83 下车人数1 0 12 ２ 1 等待时间3.3 １．6 5 ４０9 站点名称市农行新街口旧汽车站十字街莆一中后门实验小学上车人数２0 2 4 1 0 下车人数２7 2 5 ２２等待时间3.４６ 5 1站点名称步行街西环小区天九湾车场天九湾电信汉庭花园新汽车站上车人数0 ０ 1 0 ００下车人数3 １ 2 ４３１4 等待时间1１已知数据及问题的提出我们要考虑的是莆田市的一路公交线路上的车辆调度问题。
公交车的调度胡敏，郭鹏程，方少军 指导教员：刘卫华（学员旅十队）摘要: 本文就公交车调度问题，运用最优化方法，提出了两个数学模型。
第一个模型采用步长搜索法，以一分钟时间间隔为给定步长，考虑每个站的乘客候车情况，由此来确定是否需要发车。
第二个模型假设在一定的时间间隔内乘客流服从Possion 分布，公交车以等时间间距发出，高峰期和低峰期的发车情况不同且高峰期有加班车辆，提出了一个排队论动态最优化设计模型。
依据算法运行的结果给出了便于操作的全天（工作日）公交车调度方案，该方案需要车辆总数为62辆，上行方向应发车243班次，下行方向应发车238班次。
一、 问题的提出公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。
下面我们对一条公交线路上的公交车进行调度设计，所用的数据来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调查和运营资料。
该条公交线路上行方向共14站，下行方向共13站，乘客数量统计表已知。
公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客100 人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时。
运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过 120%，一般也不要低于50%。
现根据这些资料和要求，要为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；指出这个方案是以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。
最后将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型，指出求解它的方法；根据实际问题的要求确定应如何采集运营数据，才能满足设计更好的调度方案的需要。
二、 问题的分析问题要求在照顾乘客和公交公司双方利益的前提下，设计一个调度车辆的时刻表，可以看作是排队论中系统控制最优化问题。
在一般情形下，提高服务水平（即多派车）自然会减少乘客的候车时间（提高乘客的满意度），单个乘客的满意度可以用下面的公式来衡量:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=高峰期平常551010)(t tt g 其中t 表示等待时间整体乘客的满意度可以用不超过最长等待时间的乘客数与总乘客数的比值来衡量,但同时会增加公交公司的成本使利润降低，此问题的最优化目标之一就是使候车时间以及公交公司的成本两者之和最小并达到这个水平上的最优服务。
已知30分钟T内的上车人数N为40（长期统计得到的均值），那么每间隔x分钟(x<30)的上车人数m是多少？解题思路：寻找上车人数和间隔时间的对应关系，直接寻找或者依据某种分布规律，确定大概率值发生时的到站人次数，求出m。
最直接的规律？感觉上认为m=N*x/T。
（定为m1，方便后续比较）此处不管概率分布函数，直接寻找上车人数和间隔时间的函数关系，已知了间隔时间为T 时，上车人数为N，同时有间隔时间为0时，上车人数也为0，因此依据两点做线，直接认为函数关系为：m=kx (k= N/T)这种处理和概率论上的均匀分布无关。
说为上车人数沿间隔时间均匀分布，更多侧重的是一种形象描述。
解释：此规律假设了单次到站一定发生的最短时间间隔，而且认为更长间隔时间内发生到站事件次数为最短间隔时间的累加。
也可理解为一次到站事件发生需要的时间为N/T，那么x 时间内可以发生多少次事件肯定为N/T的x倍。
还可以理解为每隔x分钟的到站人数是固定的，T/x个x分钟的到站人数为N，那么也可反求出m。
单次到站服从二点分布？解释：人到站和丢一次硬币一样，都要一定的耗时。
忽略这个耗时，认为时刻点和次数有比较好的对应关系，事件发生一次刚好在某个时刻点。
但时刻点无法用来计算，只能取时间段。
定义最小时间间隔为单位时间，取为1秒。
一次事件和一个单位时间对应。
到站人数服从超几何分布？依据单次到站服从二点分布的模型，我们可以重新描述题目为：T*60次事件中，有N次事件成功了，那么随机抽取x*60次事件检查，发现其中有m次事件是成功的概率是多少？我们知道该概率服从超几何分布，公式为：()m M mn N nMNC CP X mC--==（N=T*60,M=N,n=x*60）依据大概率值一般不小于0.8的参考，可以确定P=0.8时对应的m值即为所求（定为m2，方便后续比较）。
解释：可能出现所有的P都小于0.8的情况，那么可以取最大的P值来处理。
超几何分布的最大概率值在m=N*x/T时取得，该结果和直觉一致。
数学上不难证明，N趋于无穷时，为二项分布，在实际应用时，只要N≥10n，可用二项分布近似描述。
到站人数服从二项分布？依据单次到站服从二点分布，可以认为到站人数服从二项分布。
那么x分钟可以变成x*60个单位时间，依据单位时间对应一次事件，x分钟变成x*60次事件，题目所求变为x*60次事件中到站事件发生m 次的概率与m 之间的关系。
即符合二项分布：{}(1)k k n k n P X k C p p -==-（k=m, n= x*60, p=0.5）依据大概率值一般不小于0.8的参考，可以确定P=0.8时对应的k 值即为所求m 值（定为m3，方便后续比较）。
解释：我们没有用样本数据就求出了m 值，总觉得有点过于理想化，相当于无论高低峰，无论冬夏，无论世界上哪个地区，隔一定的秒数，我们就一定可以推算出相同的到站人数。
这和现实情况不一致。
我们理想化的地方有三个：一次事件和一个单位时间的对应，单次到站事件发生概率取0.5，大概率值取为0.8。
这三条都是无法被推导和证明的。
但是单次到站事件发生的概率可以不取0.5，而取一种与间隔时间的函数关系【1】，当然简便的方式是取为样本均值N/(T*60)，依据概率论中的大数定律，该改变是适合的。
大概率值取为0.8，不一定恰当，有可能最大概率值小于0.8，那么我们取最大概率值对应点的k 值，而最大概率值发生在np 点。
即m= N*x/30，和直觉结果一致。
暂且搁置最大概率值不论，此时n 比较大，p 比较小，用二项分布不便计算，可以用泊松分布近似。
到站人数服从泊松分布？泊松分布为描述和分析小概率事件的发生规律，以时间段内的事件发生次数的大数据量统计样本来计算等长时间段内事件发生指定次数的概率（时间段也可以换成空间段，或者一次操作，或者其它指标）。
时间段内的事件发生次数均值λ是泊松分布所依赖的唯一参数。
所有概率值有泊松分布表可查。
泊松分布公式：n 比较大，p 比较小的二项分布也可以用泊松分布近似，此时λ=n*p= (x*60) * (N/(T*60))= N*x/T依据大概率值一般不小于0.8的参考，可以确定P=0.8时对应的k 值即为所求m 值（定为m4，方便后续比较）。
解释：此处n 比较大，p 比较小为模糊性语言，这影响二项分布近似为泊松分布的误差大小。
同时，泊松分布对λ处于0.1到10之间的概率是比较常用的，其它情况下泊松分布的准确性难以保证。
这使得我们用该公式，必须要求N,x 满足一定的条件。
还有，泊松分布是对小概率事件，由泊松分布表，我们可以看到所有概率值都是比较小的，要使得概率值比较大，要求λ<0.6。
我们此处取0.8可以说已经超出了该模型的适用范围。
我们可以不取0.8的概率值，而取泊松分布中的最大概率值点对应的发生次数。
我们关键是要找到发生概率和次数之间的关系，依据切比雪夫不等式，样本均值对应的概率最高，但也不一定为很高的值，反而很可能低于0.5，它的取值还和标准差相关，因此此处取最大概率值点也有一定的合理性。
依据各种随机变量的分布模型，容易明白最大概率值点也就是均值点。
也就是说取k ＝λ时的概率最高，这就使得m= N*x/T ，和直觉结果一致。
到站人数服从几何分布？前面一直寻求从单次到站事件发生到多次到站事件发生之间的关联，我们也可以换一个角度，将发生k 次到站事件当做一个事件。
这样题目中的问题就变成要解决如下两个问题：已知单位时间段的到站人数均值，那么单位时间段内到站人数为k 的概率p 与k 存在什么样的关系？在x 个单位时间段内，上车人数为m 的概率p 与x 和m 存在什么关系？我们希望最多依赖得均值的样本，而不再有任何其它约束（比如必须为小概率事件，时间间隔最小值为1秒，单次事件必须服从两点分布或者均匀分布等等），因为任何约束都免不了增加假设，而这些假设都无法得到很好的符合事实的证明。
最好是只依赖均值，其次依赖均值和标准差，再次用最少最简单的假设。
第一个问题通常的做法是根据样本中各值出现的次数与样本总数的比值做为发生概率，据此拟合得到p 与k 的关系曲线。
曲线拟合的方式则千差万别。
第二个问题，一定要用到假设，就是要明确x 个单位时间段和样本中单位时间段的关系。
通常的做法是假设x 个单位时间段中每个单位时间段内事件发生的环境完全一样，而且相互之间并无任何关联，样本中的单位时间段也要遵守此规则。
这个假设的意义在于保证可以将事件发生k 次做为一个事件Q 。
基于此，我们有两种模型来处理，一种是二项分布，一种是几何分布。
二项分布：已知事件Q 在单位事件段内发生概率为p ，那么n 个单位时间段内，Q 发生k 次的概率P 服从二项分布，即为：{}(1)k k n k n P X k C p p -==-此处，k 2=m, n= T/x, p= x 分钟内发生m 次的概率,取为(N*x)/(T*m)。
依据大概率值一般不小于0.8的参考，可以确定P=0.8时的m 值为所求（定为m5，方便后续比较）。
几何分布：已知事件Q 在单位时间段内发生的概率为p ，那么n 个单位时间段内，Q 第一次发生的概率P 服从几何分布，即为：P{X=x} ＝ （1－p ）n-1 * p此处， n= T/x, p= x 分钟内发生m 次的概率,取为(N*x)/(T*m)。
依据大概率值一般不小于0.8的参考，可以确定P=0.8时的m 值为所求（定为m6，方便后续比较）。
解释：我们利用概率分布公式来避免x 个单位时间段内每个单位时间段中到站人数简单累加的处理方式。
这个累加关系是否确立正是解题的难点所在，我们无法确定对或者错，我们也可以凭空想出一些其它的汇总方式【2】。
我们也可以看出这两种处理方式有不当的地方，取x 分钟内发生m 次的概率为(N * x)/ (T * m)和认为是累加关系一样的武断【3】。
几种结果m 值的比较所有的解题方案中，都是将单位时间分离看待的，就是将单位时间段当作一个很独立的量，互相之间不干扰，就像每个单位时间段都是从0开始，因此时间的跨单位累积效应体现不出来。
由于累积效应不知道是按正比累积还是按指数累积，很难数字化处理。
我们目前也未找到更好的方式。
只能根据前面的分析，得到m 值，在此基础上取平均，或者根据m 值获取的曲线，拟合出一条新的曲线，由此得到m 值。
以x为横轴（最大值T），m为纵轴（最大值N），可以依据计算公式计算各个m 值，我们也可以看到，各个计算公式中的概率都没有到0.8的，取最大概率值得到各个m的曲线如下：取均值的到的曲线如下：最终结论依据常理，间隔时间x越接近T，那么m应该越接近N。
据此推断m6是不满足的；希望m 随x变化，尽量连续，m5是不满足的；间隔时间x越接近T，那么m应该越接近m1，据此推断m2拟合情况不好。
剩下m2，，m3比较好，泊松分布比二项分布更容易计算，也就是可以说到站人数服从泊松分布。
而以题目的求解来看，m1为最好的求法，计算简单，偏差也不大。
补充说明【1】单次到站事件的发生概率与间隔时间的关系间隔时间为0，概率为0；间隔时间为∞，概率为1，满足此条件可以构造多种分布函数。
在此分布函数的基础上，寻求多个间隔时间发生多次事件的概率，该方式将时间和事件发生分成两种维度。
【2】多个间隔时间段的概率累加设单位时间内上车人数平均值为n ，经过连续k 个单位时间，每个新的单位时间依据某种概率分布关系得到大概率值对应的上车人数为ni ，汇总的总上车人数N 的部分可能取值有： N = n i k i =1N = n 15N = 15*n 1N = 15*n 15Ni 与n 和i 相关，N 与ni 和i 相关。
【3】设单位时间段为x 分钟， x 分钟内发生m 次的概率设为p1； x 分钟内发生N 次的概率设为p2； x 分钟内发生1次的概率，设为p3；我们知道这三者一定是不一样的。
我们已知的是一秒钟内发生1次的概率P0（＝N/(T*60)），据此认为一秒钟内发生m 次的概率为P1＝P0/m ，再进一步认为x 分钟内发生m 次的概率为P2＝x*60*P1＝x*60* P0/m ＝x*60* N/(T*60*m)＝(x* N)/(T*m)。
一次按次数平均，一次按时间段数累加得出最后的值。
显然(x* N)/(T*m)可以大于1的，而这对概率而言是违背常理的。
