人教B版1.9单调性学案

正切函数的性质和图象

一、导学目标

1．理解并掌握作正切函数图象的方法；

2．掌握正切函数的性质及其应用；

3．能用正切函数的图象解最简三角不等式．

二、尝试练习

（一）探究正切函数的性质

画出下列各角的正切线：

x y

o

T P A

的终边

（Ⅰ） （Ⅱ） T

P

A x y

o 的终边

x y

o

的终边 T

P A

（Ⅲ） x y

的终边

o

T P

A

（Ⅳ）

探究一、正切函数的定义域

当的终边在y轴上时，点P的横坐标x等于0，由正切函数的定义可知tanyx无意义；当的终边在y轴上时，过点(1,0)A的单位圆的切线平行于y轴，它与的终边或其反向延长线不相交，正切线不存在．

所以，我们得到正切函数tanyx的定义域是：,2xkkZ．

探究二、 正切函数的值域

由图（Ⅰ）可知，当x大于2且无限接近于2时，正切线AT向y轴的负方向无限延伸；由图（Ⅱ）可知，当x小于2且无限接近于2时，正切线AT向y轴的正方向无限延伸．因此，tanyx在(,)22内可以取任意实数，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是实数集R．

探究三、正切函数的奇偶性

因为tan()x xR且,2xkkZ，所以正切函数tanyx（,2xkkZ）是 函数．于是可得：

正切函数tanyx（,2xkkZ）的图象应关于 对称．

探究四、正切函数的周期性

由诱导公式tan() xR且,2xkkZ，可知函数tanyx（,2xkkZ）是 函数，且它的周期是 ．

探究五、正切函数的单调性

由图（Ⅰ）、（Ⅱ）正切线的变化规律可以得出，正切函数在(,)22内是 函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间(,),22kkkZ内都是增函数．

20212.2

第二节 函数的单调性与最值

课标要求 考情分析

1。理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．

2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。 1。主要考查函数单调性的判定、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题．

2．题型以选择题、填空题为主，若与导数交汇命题则以解答题的形式出现,属中高档题.

知识点一 函数的单调性

1．增函数、减函数的定义

定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2:

(1)增函数：当x1〈x2时，都有f(x1)

（2）减函数：当x1〈x2时，都有f（x1）〉f(x2)，那么就说函20212.2

数f(x）在区间D上是减函数．

2．单调性、单调区间的定义

若函数y＝f(x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f（x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x）的单调区间．

注意以下结论

1．对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，错误!>0⇔f(x)在D上是增函数，错误!<0⇔f（x)在D上是减函数．

2．对勾函数y＝x＋错误!(a〉0）的增区间为(－∞,－错误!]和［错误!，＋∞）,减区间为[－错误!，0）和(0，错误!]．

3．在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

4．函数f(g（x))的单调性与函数y＝f（u）和u＝g(x）的单调性的关系是“同增异减”．

知识点二 函数的最值

20212.2

1．思考辨析

判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）

(1）对于函数f（x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有（x1－x2）[f（x1）－f(x2)］〉0,则函数f（x)在区间D上是增函数．( √ )

（2）函数y＝1x的单调递减区间是（－∞,0）∪(0,＋∞)．（ × ）

（3）对于函数y＝f(x）,若f(1）

（4）函数y＝f（x）在［1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1,＋∞）．（ × ）

高二数学《函数》复习学案（二）

2010.5

知识梳理

（一）函数的单调性

1.单调函数的定义

增函数 减函数

定义 一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间MA,如果取区间M中的任意两个值21,xx

当012xxx时，都有__________那么就称函数f(x)在区间M上是增函数 当012xxx时，都有___________那么就称函数f(x)在区间M上是减函数

2.判断函数单调性的方法

①．根据定义；根据图象；利用已知函数的增减性；利用导数.

②.复合函数y=f[g(x)]单调性判定方法：规律:___ ________

u=g(x) y =f(u)

y=f[g(x)]

增函数 增函数

增函数 减函数

减函数 增函数

减函数 减函数

（二）函数的奇偶性

1.奇函数与偶函数的概念：

（1）一般地，如果对于函数)(xf的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数)(xf就叫做奇函数，奇函数图像关于 对称

（2）一般地，如果对于函数)(xf的定义域内任意一个x，都有

，那么函数)(xf就叫做偶函数，偶函数图像关于 对称

2.函数奇偶性的判断方法：

1）用定义判断函数奇偶性其步骤是：

①考察函数的定义域是否关于原点对称；

②若定义域关于原点对称；则函数不具有奇偶性；若定义域关于原点对称，则判断)()(xfxf是否成立；判定函数的奇偶性

2）复合函数的奇偶性：

已知))(()(xgfxFy，)(xf，)(xg具有奇偶性

① 若函数)(xf，)(xg满足条件 ，则)(xF是奇函数；

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高中数学 1.3 三角函数的图象与性质

1.3.1 正弦函数的图象与性质

第1课时 正弦函数的图象与性质

1.能正确使用“五点法”、“几何法”作出正弦函数的图象.(难点)

2.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值.(重点)

[基础·初探]

教材整理1 正弦函数的图象

阅读教材P37～P38“例1”以上部分，完成下列问题.

1.利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，要想得到y＝sin x(x∈R)的图象，只需将y＝sin x，x∈[0,2π]的图象沿x轴平移±2π，±4π…即可，此时的图象叫做正弦曲线.

2.“五点法”作y＝sin x，x∈[0,2π]的图象时，所取的五点分别是(0,0)，π2，1，(π，0)，32π，－1和(2π，0).

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的.( )

(2)正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，(k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同.( )

(3)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称.( )

(4)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于原点成中心对称.( ) 打印版

高中数学 【解析】

由正弦曲线的定义可知只有(3)错误.

【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√

教材整理2

正弦函数的性质

阅读教材P39～P40“例2”以上部分，完成下列问题.

1.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f (x＋T)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

(2)最小正周期：对于一个周期函数f (x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.

2.正弦函数的性质