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导数及其应用

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导数

3.11函数的平均变化率

3.12瞬时速度与导数

一、函数的平均变化率

例1、求f（x）=21x在1到1+x之间的平均变化率

练习：若函数f（x）=x2-1，图象上点P（2,3）及其邻近点Q（2+x，3+y），则xy=（ ）

A.4 B.4x C.4+x D. x

二、瞬时速度

例2、已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）

（1） 求质点M从t=2s到t=2.1s的平均速度

（2） 求质点M在t=2s时的瞬时速度

练习：1、已知质点按规律s=2t2+4t（距离单位：m，时间单位：s）运动，在其在t=3s时的瞬时速度为（单位：m/s） （ ）

A.30 B.28 C.24 D.16

2、已知物体运动的方程为s（t）=vt- 21gt2，则在t=1时的瞬时速度是

三、导函数的定义

例3、求函数y=x在x=1处的导数

21（x2+1）（x≤1）

例4、已知函数f（x）=

试判断f（x）在x=1处是否可导

21（x+1）（x＞1）

练习：1、求函数y=24x在x=2处的导数

2、已知f（x）=2x，求fˊ（2）

3.1.3导数的几何意义

一、导数的几何意义

例1、已知曲线y=31x3上一点P（2，38） ，求：

（1） 点P处的切线的斜率

（2） 点P处的切线方程

练习：

1、 已知曲线y=21x2-2上一点P（1，23）,则过点P的切线的倾斜角为

2、 求曲线y=x3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积

2

二、函数图象的变化与导数值的关系

例2、已知函数y=f（x）的图象如图，则下列关系正确的是（ ）

A. 0＜fˊ（2）＜f（3）- f（2）＜fˊ（3）

B. 0＜fˊ（3）＜f（3）- f（2）＜fˊ（2）

C. 0＜fˊ（2）＜fˊ（3）- f（3）＜f（3）

D.0＜fˊ（3）＜fˊ（2）- f（3）＜f（2）

练习：

函数f（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. 0＜fˊ（a）＜fˊ（a+1）＜f（a+1）- f（a）

B. 0＜fˊ（a+1）＜f（a+1）- f（a）＜fˊ（a）

C. 0＜fˊ（a+1）＜fˊ（a）＜f（a+1）- f（a）

D．0＜f（a+1）- f（a）＜fˊ（a）＜fˊ（a+1）

三、已知切线求切点

例3、曲线y=f（x）=x2的切线分别满足下列条件，求出切点的坐标

（1） 平行于直线y=4x-5

（2） 垂直于直线2x-6y+5=0

（3） 切线的倾斜角为135°

练习：

1、下列点中，在曲线y=x2上，且在该点处的切线倾斜角为4的是（ ）

A.（0,0） B.（2,4） C.（41，161） D.（21，41）

2、已知两条曲线y=x2-1与y=1-x3在点x0处的切线平行，则x0的值为

3、若曲线f（x）=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x-y+1=0，则a= b=

四、求过某一点M（x1，y1）（非切点）的 切线方程

例4、求曲线y=3x-x3过点P（2,2）的切线方程

练习：

1、求曲线y=x过点（3,2）的切线方程

3

五、导数的几何意义的综合应用

例5、已知直线L1为曲线y=x2+x-2在（1,0）处的切线，L2为该曲线的另一条切线，且L1⊥L2

（1） 求直线L2的方程

（2） 求由直线L1、L2和x轴所围成的三角形的面积

练习：

1、 曲线y=-x3+2x在横坐标为-1的点处的切线为L，则点（3,2）到L的距离是

2、 曲线y=x1和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是

3.2.1常数与幂函数的导数

3.2.2导数公式表

一、利用导数公式求切线方程

例1、抛物线y=x2的斜率等于2的切线方程是（ ）

A.2x-y+1=0 B.2x-y+1=0或2x-y-1=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y=0

例2、（1）求曲线y=cosx在点A（6，23）处的切线方程

（2）求曲线y=sin（2-x）在点A（-3，21）处的切线方程

练习：

1、 已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2,7），则a=

2、 已知函数f（x）=x3+x-16

（1） 求曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线方程

（2） 直线L为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线L的方程及切点坐标

二、基本初等函数的导数公式

例3、下列结论：①（cosx）ˊ=sinx②（sin3）ˊ=cos3③若y=21x则yˊ|x=3=272④（x1）ˊ=xx21

其中正确的有（ ）

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

例4、求下列函数的导数：

（1） y=21x（2）y=3x（3）y=3x（4）y=log4x（5）y=π

4

练习：

1、若f（x）=cos4，则fˊ（x）为（ ）

A.-sin4 B.sin4 C.0 D.-cos4 2、给出下列命题：

①y=ln2，则yˊ=21 ②y=21x，则yˊ|x=3=272

③y=2x，则yˊ=2xln2 ④y=log2x，则yˊ=2ln1x

其中正确命题的个数为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

3、函数f（x）= 53x,则fˊ（x）=

3.2.3导数的四则运算法则

一、导数的四则运算法则

例1、求下列函数的导数

（1）y=x3+x2+x （2）y=2x+x

例2、 求下列函数的导数

（1）y=xtanx

（2）y=（x+1）（x+2）（x+3）

（3） y=11xx

练习：

1、下列求导数运算正确的是（ ）

A.（x+x1）ˊ=1+ 21x B.（log2x）ˊ= 2ln1x

C.（3x）ˊ=3xlog3e D.（x2cosx）ˊ=-2xsinx

2、函数y=x-（2x-1）2的导数是

3、函数y=xn在x=2处的导数为12，则n=

4、f（x）=x2·ex，则fˊ（x）=

二、利用导数求有关参数

例3、偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e图象过点P（0,1）,且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式

练习：

1、已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+），其中a为实数，fˊ（x）为f（x）的导函数，若fˊ（1）=3，则a的值为

2、若曲线y=xa+1（a∈R）在点（1,2）处的切线经过坐标原点，则a=

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3.3导数的应用

3.3.1利用导数判断函数的单调性

一、函数的单调性与导数的关系

例1、函数y=f（x）在定义域R上有导数，其导函数的图象如图所示，则函数y=f（x）的递增区间为 递减区间为

练习：

1、 fˊ（x）是函数f（x）的导函数，y= fˊ（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能是下列选项中的（ ）

二、利用导数求函数的单调区间

例2、（1）求函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间；

（2）求函数f(x)=3x2-2lnx的单调区间

练习：

1、 函数f（x）=21x2-lnx的单调减区间为

2、 y=x2ex的单调增区间为

三、利用导数证明函数不等式或解函数不等式

例3、已知x∈R,求证：ex≥x+1

四、关于含参函数的单调区间问题

例4、求下列函数的单调区间

（1）f(x)=x3+ax(a∈R)

（2）f(x)=x+xa (a＞0)

练习：

1、 设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a, b ∈R,求f(x)的单调区间

2、 已知函数f(x)=（x-2）ex+a(x-1)2,讨论f(x)的单调性

五、根据函数的单调性求参数范围

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例5、已知函数f(x)=2ax-21x,x∈（0,1］，若f(x)在x∈（0,1］上是增函数，求a的取值范围

练习：1、若函数f(x)=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（ ）

A.（-∞，-2］ B. （-∞，-1］ C. ［2，+∞） D. ［1，+∞）

2、设函数f(x)= xeaxx23 (a∈R)

（1）若a=0,求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程

（2）若f(x)在［3，+∞）上为减函数，求a的取值范围

3.3.2利用导数研究函数的极值

一、函数极值的概念

例1、函数f（x）的定义域为R，导函数fˊ（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）（ ）

A.无极大值，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点

C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点

练习：

1、函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数fˊ（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内的极小值点的个数为（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2、下列结论正确的是（ ）

A.导数为零的点一定是极值点

B.如果在x0附近的左侧fˊ（x）＞0，右侧fˊ（x）＜0，那么f（x0）是极大值

C.如果在x0附近的左侧fˊ（x）＞0，右侧fˊ（x）＜0，那么f（x0）是极小值

D.如果在x0附近的左侧fˊ（x）＜0，右侧fˊ（x）＞0，那么f（x0）是极大值

二、极值与导数的关系

例2、求函数y=x+x1的极值

练习：

1、设函数f（x）=ex-e-x-2x，则下列结论正确的是（ ）

A.f（2x）min=f（0）

B.f（2x）max=f（0）

C.f（2x）在（-∞，，+∞）上递减，无极值

D.f（2x）在（-∞，，+∞）上递增，无极值

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专题03导数及其应用（解析版）

专题03导数及其应用（解析版）

专题03 导数及其应用

1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线elnxyaxx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则

A．e1ab， B．a=e，b=1

C．1e1ab， D．1ea，1b

【答案】D

【解析】∵eln1,xyax

∴切线的斜率1|e12xkya，1ea，

将(1,1)代入2yxb，得21,1bb.

故选D．

【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.

2．【2019年高考天津理数】已知aR，设函数222,1,()ln,1.xaxaxfxxaxx若关于x的不等式()0fx在R上恒成立，则a的取值范围为

A．0,1 B．0,2

C．0,e D．1,e

【答案】C

【解析】当1x时，(1)12210faa恒成立；

当1x时，22()22021xfxxaxaax恒成立，

令2()1xgxx，

则222(11)(1)2(1)1()111xxxxgxxxx

11122(1)2011xxxx， 当111xx，即0x时取等号，

∴max2()0agx，则0a.

当1x时，()ln0fxxax，即lnxax恒成立，

令()lnxhxx，则2ln1()(ln)xhxx，

当ex时，()0hx，函数()hx单调递增，

当0ex时，()0hx，函数()hx单调递减，

则ex时，()hx取得最小值(e)eh，

∴min()eahx，

综上可知，a的取值范围是[0,e].

故选C.

【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.

导数的定义及其应用领域

导数的定义及其应用领域

导数的定义及其应用领域

导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。导数的定义和性质被广泛地应用在物理、工程、经济学等领域中。本文将简要介绍导数的定义，以及它在不同领域的应用。

一、导数的定义

导数可以理解为函数的瞬时变化率。对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)或df(x)/dx。导数的定义可以通过极限来描述，即

f'(x) = lim┬(h→0)⁡〖((f(x+h)-f(x))/h)〗，

其中h是趋于0的增量。

二、导数的性质

导数具有多个重要性质，其中一些常见的性质包括：

1. 导数可以用于判断函数的单调性。如果在某个区间内，函数的导数始终为正（或负），则该函数在该区间内单调增加（或减少）。

2. 导数可以用于求解函数的最大值和最小值。函数在极值点处的导数为零或不存在。

3. 导数满足乘法规则、和差规则和链式法则等运算规则，使得我们可以方便地计算复杂函数的导数。

三、导数的应用领域

1. 物理学中的运动学 导数在物理学中的运动学方程中起着关键作用。例如，速度可以定义为物体位移关于时间的导数，加速度则是速度关于时间的导数。通过求解导数，我们可以推导出各种运动的速度、加速度和位移关系，从而更好地理解物体的运动规律。

2. 工程学中的控制系统

导数在工程学中的控制系统中经常被使用。例如，在机械工程中的控制系统中，导数可以表示速度或者加速度的变化。这对于设计和分析各种控制系统非常重要，从而提高系统的稳定性和响应度。

3. 经济学中的边际效应

导数在经济学中的边际效应分析中起着关键作用。例如，在经济学中，边际成本和边际收益可以通过求导来计算。这对于制定合理的经济政策和决策具有重要意义。

4. 生物学中的生态模型

导数在生物学中的生态模型中也有广泛应用。生态学家利用导数来描述物种数量的变化速率，从而研究生态系统的稳定性和动态性。导数的计算帮助我们理解和预测生物多样性和种群变化等重要生物学现象。

导数及其应用知识点总结

导数及其应用知识点总结

导数及其应用知识点总结

导数及其应用是微积分中的重要概念，它可以用来描述一个函数在其中一点的变化率，进而用于求解曲线的切线、求解最值、优化问题等。在学习导数及其应用的过程中，我们需要掌握导数的定义、导数的计算法则、导数与函数性质的关系以及导数在几何和物理问题中的应用等知识点。

一、导数的定义

1.函数在其中一点的导数：

函数f(x)在点x=a处的导数定义为：

f'(a) = lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h

2.函数的导函数：

函数f(x)在定义域上每一点的导数所构成的新函数，被称为函数f(x)的导函数，记作f'(x)。

二、导数的计算法则

1.常数法则：

对于常数k，有：(k)'=0。

2.幂函数法则：

对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则有：(x^n)'=n*x^(n-1)。

3.基本初等函数法则：

对于基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数），可以通过求导法则求得其导函数。 4.乘积法则：

对于函数u(x)和v(x)，有：(u*v)'=u'*v+u*v'。

5.商数法则：

对于函数u(x)和v(x)，有：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^2

6.复合函数法则：

对于复合函数y=f(g(x))，有：y'=f'(g(x))*g'(x)。

三、导数与函数性质的关系

1.导函数与函数的单调性：

若函数f(x)在区间I上可导，则f'(x)在I上的符号与f(x)在I上的单调性一致。

2.导函数与函数的极值：

若函数f(x)的导函数在点x=a处存在，且导数的符号在x=a左侧从正数变为负数，那么函数在点x=a处取得极大值；

若导数的符号在x=a左侧从负数变为正数，那么函数在点x=a处取得极小值。

3.导函数与函数的凹凸性：

函数f(x)的导函数f''(x)的符号与函数f(x)的凹凸性一致。

四、导数的应用

1.曲线的切线与法线： 函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)即为曲线在该点的斜率，因此可以求得曲线在该点的切线方程；

导数定义及其在中学数学中的应用 毕业论文

导数定义及其在中学数学中的应用 毕业论文

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一、导数的定义

导数是微积分中最基本的概念之一，它是指函数在某一点处的变化率。更具体地说，设函数y=f(x)，x0为区间I内的一点，当x在x0处取近似于x0的值时对应的函数值之差Δy=f(x0+Δx)-f(x0)与x0处的自变量增量Δx之比，即Δy/Δx的极限为：

lim Δx→0 Ε0Δy/Δx=dy/dx=f'(x0)

如果这个极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，其导数为f'(x0)。其中f'(x0)表示函数f(x)在x0处的导数，也可以用dy/dx、 y' 或者 df/dx 表示。

二、导数在中学数学中的应用

1. 切线与法线

导数的最重要的应用之一是用于求函数在某一点处的切线与法线，这也是导数最基本的应用之一。在求解中，我们首先求出函数在该点处的导数，然后求出该点处的坐标，进而求解出函数在该点处的切线和法线。

例如，对函数y=x^2，求该函数在点(x0, y0)处的切线和法线，其中x0表示点的横坐标，y0表示点的纵坐标。

解法：

首先求出函数y=x^2在点(x0, y0)处的导数：

f'(x0)=2x0

然后代入点(x0, y0)得：

y-y0=f'(x0)(x-x0)

化简后得：

y-y0=2x0(x-x0)

这个公式就是函数y=x^2在点(x0, y0)处的切线的方程式。

同样的，可以通过求解出函数在该点处的导数，进而求解出函数在该点处的法线的方程式。理论上说，导数是极限，但在实际的计算中，我们一般采用微小的增量等量的方法来近似于导数，而这个近似值就可以被用于实际计算中。

2. 最值的求解 另一个导数在中学数学中常见的应用就是求解函数的最大值和最小值。具体来说，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导，且函数在区间内的某点x0处的导数f'(x0)=0或不存在，则f(x)在点x0处取得了最大值或最小值。因此，我们可以通过求出函数的导数，并找到导数等于0的点或导数不存在的点，就可以求解出函数的极大值和极小值。