2018版高考数学一轮复习第八章立体几何8.4直线平面平行的判定与性质理

1 第八章 立体几何 8.4 直线、平面平行的判定与性质 理

1．线面平行的判定定理和性质定理

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判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α

性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β

性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b

【知识拓展】

重要结论：

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；

(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；

(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 2 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × )

(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( × )

(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( × )

(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ )

(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × )

(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( ×

)

1．(教材改编)下列命题中正确的是( )

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．平行于同一条直线的两个平面平行

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α

答案 D

解析 A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．

2．设l，m为直线，α，β为平面，且l⊂α，m⊂β，则“l∩m＝∅”是“α∥β”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 B

解析 当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“l∩m＝∅”是“α∥β”的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，∴l∩m＝∅是α∥β的必要不充分条件．

3．(2016·济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是( )

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

答案 D

解析 若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D. 3 4．(教材改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．

答案 平行

解析 连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，

则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，

所以BD1∥平面ACE.

5.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．

答案 平行四边形

解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH，

又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，

∴EF∥HG.同理EH∥FG，

∴四边形EFGH的形状是平行四边形.

题型一 直线与平面平行的判定与性质

命题点1 直线与平面平行的判定 4 例1 如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．

(1)求证：AP∥平面BEF；

(2)求证：GH∥平面PAD.

证明 (1)连接EC，

∵AD∥BC，BC＝12AD，

∴BC綊AE，

∴四边形ABCE是平行四边形，

∴O为AC的中点．

又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，

FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，

∴AP∥平面BEF.

(2)连接FH，OH，

∵F，H分别是PC，CD的中点，

∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.

又∵O是BE的中点，H是CD的中点，

∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.

又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.

又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.

命题点2 直线与平面平行的性质

例2 (2017·长沙调研)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH. 5

(1)证明：GH∥EF；

(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．

(1)证明 因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，

且平面PBC∩平面GEFH＝GH，

所以GH∥BC.

同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.

(2)解 如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.

因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，

同理可得PO⊥BD.

又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，

所以PO⊥底面ABCD.

又因为平面GEFH⊥平面ABCD，

且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.

因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，

所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，

从而GK⊥EF.

所以GK是梯形GEFH的高．

由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，

从而KB＝14DB＝12OB，即K为OB的中点．

再由PO∥GK得GK＝12PO，

即G是PB的中点，且GH＝12BC＝4.

由已知可得OB＝42，

PO＝PB2－OB2＝68－32＝6， 6 所以GK＝3.

故四边形GEFH的面积S＝GH＋EF2·GK

＝4＋82×3＝18.

思维升华 判断或证明线面平行的常用方法

(1)利用线面平行的定义(无公共点)；

(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；

(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；

(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．

如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形．

证明 ∵CD∥平面EFGH，

而平面EFGH∩平面BCD＝EF，

∴CD∥EF.

同理HG∥CD，∴EF∥HG.

同理HE∥GF，

∴四边形EFGH为平行四边形．

∴CD∥EF，HE∥AB，

∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角（或补角）．

又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.

∴平行四边形EFGH为矩形．

题型二 平面与平面平行的判定与性质

例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

7 (1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG.

证明 (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

∴GH是△A1B1C1的中位线，

∴GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC，

∴GH∥BC，

∴B，C，H，G四点共面．

(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，

∴EF∥BC.

∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.

∵A1G綊EB，

∴四边形A1EBG是平行四边形，

∴A1E∥GB.

∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

∴A1E∥平面BCHG.

∵A1E∩EF＝E，

∴平面EFA1∥平面BCHG.

引申探究

1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.

证明 如图所示，连接HD，A1B，

∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，

∴HD∥A1B，

又HD⊄平面A1B1BA，

A1B⊂平面A1B1BA，

∴HD∥平面A1B1BA.

2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.

证明 如图所示，连接A1C交AC1于点M， 8

∵四边形A1ACC1是平行四边形，

∴M是A1C的中点，连接MD，

∵D为BC的中点，

∴A1B∥DM.

∵A1B⊂平面A1BD1，

DM⊄平面A1BD1，

∴DM∥平面A1BD1.

又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，

∴四边形BDC1D1为平行四边形，

∴DC1∥BD1.

又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，

∴DC1∥平面A1BD1，

又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，

∴平面A1BD1∥平面AC1D.

思维升华 证明面面平行的方法

(1)面面平行的定义；

(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

(2016·许昌三校第三次考试)如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：

(1)BE∥平面DMF；

(2)平面BDE∥平面MNG.