导数的四则运算法则(学生版无答案)

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导数的四则运算法则

基本初等函数的导数公式表

原函数 导函数

f(x)＝C(C为常数)

f(x)＝xn(x＞0，n≠0)

f(x)＝sin x

f(x)＝cos x

f(x)＝ax(a＞0，a≠1)

f(x)＝ex

f(x)＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)

f(x)＝ln x

导数的运算法则

(1)前提：函数f(x)，g(x)是可导的．

(2)法则：

①和(或差)的求导法则：(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)，推广：(f 1±f 2±…±f n)′＝f 1′±f

2′±…±f n′.

②积的求导法则：[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．

特别地：[Cf(x)]′＝Cf′(x)．

③商的求导法则：

fxgx′＝f′xgx－fxg′xg2x(g(x)≠0)，

特别地：1gx′＝－g′xg2x(g(x)≠0)．

思考：商的导数fxgx′求导法则中，分子是个差式，这个差中先对f(x)还是g(x)进行求导？

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[提示] 先对f(x)求导，即f′(x)g(x)，再对g(x)求导，即f(x)g′(x)．

1．下列结论不正确的是( )

A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3

C．若y＝－x＋x，则y′＝－12x＋1 D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x

2．设y＝－2exsin x，则y′等于( )

A．－2excos x B．－2exsin x

C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)

3．已知函数f(x)＝ln xx，则f′(1)＝________.

用导数的求导法则求导数

【例1】 求下列函数的导数：

(1)y＝2x2＋1x－3x3； (2)y＝x＋3x2＋3；

(3)y＝excos x＋sin x； (4)y＝x3＋lg x.

应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则可迅速解决一些简单函数的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律.对比较复杂的求导问题，可先进行恒等变形，再利用公式求导.

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提醒：当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简，再求导.

求下列函数的导数：

(1)y＝1x2＋sinx2cosx2； (2)y＝xx2－32x－6＋2；

(3)y＝cos xln x； (4)y＝xex.

导数运算法则的应用

[探究问题]

1．导数的和、差运算法则求导能拓展到多个函数吗？

[提示] [f 1(x)±f 2(x)±…±f n(x)]′＝f 1′(x)±f 2′(x)±…±f′n(x)．

2．导数的积、商运算法则有哪些相似的地方？区别是什么？

[提示] 对于积与商的导数运算法则，应避免出现“积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商”这类想当然的错误，应特别注意积与商中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．

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【例2】 已知函数f(x)＝ln x－ax＋1－ax－1(a∈R)．当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．

1．(变换条件)本典例函数不变，条件变为“曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为x－y＋ln 2＝0”，求a的值．

2．(改变问法)本典例的条件不变，求使f′(x)>0成立的x的取值范围．

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1此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.

2准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键.

【巩固练习】

1．思考辨析

(1)若f(a)＝a3＋2ax－x2，则f′(a)＝3a2＋2x. ( )

(2)Cgx′＝－Cg′xg2x. ( )

(3)任何函数都可以应用导数的运算法则求导数． ( )

2．对于函数f(x)＝exx2＋ln x－2kx，若f′(1)＝1，则k等于( )

A．e2 B．e3 C．－e2 D．－e3

3．曲线y＝sin xsin x＋cos x－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为( )

A．－12 B．12 C．－22 D．22

4．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________.

5．设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，其中a＞0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b、c的值．

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【作业】：

1．已知函数f(x)＝sin x＋ln x，则f ′(1)的值为( )

A．1－cos 1 B．1＋cos 1 C．cos 1－1 D．－1－cos 1

2．函数f(x)＝ex＋xsin x－7x在x＝0处的导数等于( )

A．－6 B．6 C．－4 D．－5

3．设曲线y＝x＋1x－1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )

A．2 B．12 C．－12 D．－2

4．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( )

A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1) C．(2,8) D.－12，－18

5．已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )

A．0，π4 B．π4，π2 C．π2，3π4 D．3π4，π

6．已知f(x)＝13x3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.

7．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．

8．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

9．求下列函数的导数：

(1)y＝xx2＋1x＋1x3； (2)y＝(x＋1)1x－1； (3)y＝sin4x4＋cos4x4.

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10．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx过点(1,5)，其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式．

11．设函数f(x)＝sin θ3x3＋3cos

θ2x2＋tan θ，其中θ∈0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )

A．[－2,2] B．[2，3] C．[3，2] D．[2，2]

12．下列图象中，有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f ′(x)的图象，则f(－1)＝( )

A．13 B．－13

C．73 D．－13或53

13．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f ′(x)，若f ′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在坐标原点处的切线方程为________．

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