40 第五章 虚功原理与结构位移计算
概 述
1．结构的位移
（1）结构的位移
结构在外因的影响下将产生变形，由于变形使结构上各截面的位置将发生变化，这种位置的变化称为位移。
（2）位移的分类及表示
位移可分为线位移Δ及角位移φ，为计算方便常把线位移分解为水平及竖直两个方向，分别用ΔCx(或ΔCH)、ΔCy(或ΔCV)表示，如图5-1所示。角位移用φC(或θC)表示如图5-2所示。位移的表示符号右下方有两个脚标，其物理意义为：第一个脚标表示发生位移的截面，第二个脚标表示位移的方向(或引起位移的原因)。位移又可分为绝对位移（如图5-1所示）及相对位移，如图5-2中C、D两截面的水平线位移ΔCx、ΔDx之和ΔCD=ΔCx+ΔDx表示C、D两截面在水平方向上的相对线位移，又如φAB=φA+φB表示A、B两截面的相对转角。无论是绝对位移或相对位移，今后统称为广义位移，可用Δ表示。
图5-1 图5-2
2．计算结构位移的目的
（1）验算结构的刚度
结构在外因影响下如果变形太大，同样会影响结构的正常使用，为此在各种结构的设计规范中，对结构的刚度都有一定的要求。
（2）结构在施工过程中需要计算位移
结构在施工过程中，往往需要预先知道结构的变形情况，而这种变形与结构正常使用时完全不同。如图5-3为悬臂拼装架梁的示意图。在正常使用时，该简支梁的最大挠度在跨中，而在施工时悬臂端B处的挠度最大，该挠度值也成为在结构设计时的控制因素之一。
（3）为超静定结构的计算打基础 (b)(a)cccyBAcC'cxDxcxqBACCABDFl 41 在超静定结构的计算中，除考虑平衡条件外，还必须考虑变形协调条件，因此计算结构的位移是解超静定结构的一个重要手段。
图5-3
（4）结构的动力计算和稳定计算中也需要计算结构的位移。
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9 虚功原理和结构的位移计算习题
1. 引言
虚功原理是结构力学中一项重要的基本原理，它可以用于解决各种结构的位移计算问题。本文将通过一些习题来演示如何应用虚功原理进行位移计算。
2. 虚功原理简介
虚功原理是指在结构力学中，结构在虚位移下所进行的虚功等于零。虚位移是指结构在受力作用下的无限小位移，不违反实际情况下的几何和边界条件。利用虚功原理，可以建立结构的平衡方程，并求解未知的位移。
3. 习题一
考虑一个简支梁，受到一个集中力F作用在梁的中点。已知梁的长度L和截面的惯性矩I，求梁的最大挠度。
解答：根据虚功原理，可以得到以下方程：
$$\\int_{0}^{L} M \\cdot \\delta dL - F \\cdot \\delta
\\cdot \\frac{L}{2} = 0$$ 未知驱动探索，专注成就专业
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其中M为弯矩，$\\delta$为虚位移。由弯矩与挠度之间的关系，可以得到：
$$M = -\\frac{F}{2}L + F \\cdot x$$
代入上述方程，得到：
$$\\int_{0}^{L} \\left(-\\frac{F}{2}L + F \\cdot x\\right)
\\cdot \\delta dL - F \\cdot \\delta \\cdot \\frac{L}{2} = 0$$
对上述方程两边进行积分并整理，可以得到：
$$\\frac{FL^3}{6EI} = \\delta$$
所以梁的最大挠度为$\\frac{FL^3}{6EI}$。
4. 习题二
考虑一个简支梁，长度为L，弹性模量为E，截面惯性矩为I，受到一个均布载荷q作用在梁上。已知梁的两端处的位移分别为0和$\\delta_1$，求梁上某一点的位移。
解答：根据虚功原理，可以得到以下方程：
$$\\int_{0}^{L} \\left(-M\\right) \\cdot \\delta dL -
第三章虚功原理和结构的位移
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第三章虚功原理和结构的位移
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厂
（X）
题4图 题5图
5. 图示梁的跨中挠度为零。（）（V）
6. 在位移互等定理中，可以建立线位移和角位移的互等关系： 「2=：：21。这里-12 , ；：21与
只是数值相等而量纲不同。（）（X）
7. 三个刚片用不在同一直线上的三个虚铰两两相联，则所组成的体系是无多余约束的几何
不变体系。（）（V）
8. 几何瞬变体系产生的运动非常微小并很快就转变成几何不变体系，因而可以用作工程结
构。（）（X）
9. 在任意荷载下，仅用静力平衡方程即可确定全部反力和内力的体系是几何不变体系。 （）
（V）
10. 两刚片或三刚片组成几何不变体系的规则中， 不仅指明了必需的约束数目，而且指明了
这些约束必须满足的条件。（）（V）
11. 在非荷载因素（支座移动，温度变化，材料收缩等）作用下，静定结构不产生内力，但
会有位移，且位移只与杆件相对刚度有关。 （）（X）
12. 虚功中的力状态和位移状态是彼此独立无关的， 这两个状态中的任一个都可看作是虚设
的。（）（V）
13. 温度改变，支座位移，材料收缩和制造误差不会使静定结构产生内力， 因而也不产生位
移。（）（X）
14. 计算自由度W小于等于零是体系几何不变的充要条件。 （）（X） 1. 已知M P ,Mk图, 用图乘法 求位移的结果为:
2.
3.
4. (X)
题1图
图示结构中B点挠度不等于零。
图示桁架中腹杆截面的大小对 求图示A点竖向位移可用图乘法。 题2图
（）（V）
C点的竖向位移影响。 （）（X） %
1 ）/（ EI）。（ ） 第三章虚功原理和结构的位移
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15. 若体系计算自由度 W
46
16. 平面几何不变体系的三个基本组成规则是可以相互沟通的。
17•三刚片由三个单铰或任意六根链杆两两相联，体系必为几何不变。
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1 第1章 绪论（无习题）
第2章 平面体系的几何组成分析习题解答
习题 是非判断题
(1) 若平面体系的实际自由度为零，则该体系一定为几何不变体系。( )
(2) 若平面体系的计算自由度W=0，则该体系一定为无多余约束的几何不变体系。( )
(3) 若平面体系的计算自由度W＜0，则该体系为有多余约束的几何不变体系。( )
(4) 由三个铰两两相连的三刚片组成几何不变体系且无多余约束。( )
(5) 习题(5) 图所示体系去掉二元体CEF后，剩余部分为简支刚架，所以原体系为无多余约束的几何不变体系。( )
BDACEF
习题 (5)图
(6) 习题(6)(a)图所示体系去掉二元体ABC后，成为习题(6) (b)图，故原体系是几何可变体系。( )
(7) 习题(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF后，成为习题(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。(
)
(a)(b)(c)AEBFCD
习题 (6)图
【解】（1）正确。
（2）错误。0W是使体系成为几何不变的必要条件而非充分条件。
（3）错误。
（4）错误。只有当三个铰不共线时，该题的结论才是正确的。
（5）错误。CEF不是二元体。
（6）错误。ABC不是二元体。
（7）错误。EDF不是二元体。
习题 填空
(1) 习题(1)图所示体系为_________体系。 百度文库
2
习题(1)图
(2) 习题(2)图所示体系为__________体系。
习题 2-2(2)图
(3) 习题(3)图所示4个体系的多余约束数目分别为_______、________、__________、__________。
习题 (3)图
(4) 习题(4)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题 (4)图
(5) 习题(5)图所示体系的多余约束个数为___________。
