北师大版数学必修2试题及答案.docx

第二章综合测试一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.()()AB MB BO BC OM ++++化简后等于（）A .AM B .0C .0D .AC2.已知向量(3,4)OA =- ，(6,3)OB =- ，(2,1)OC m m =+ ，若 AB OC∥，则实数m 的值为（）A .15B .35-C .3-D .17-3.ABC △三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()()()b c b c a b a +-=-，则内角C 等于（）A .6πB .3πC .23πD .56π4.在ABC △中，1AB =，3AC =， 1AB AC ⋅=-，则ABC △的面积为（）A .12B .1CD .25.已知向量(,2)a x =，(2,)b y =，(2,4)c =-，且a c ∥，b c ⊥，则a b -=（）A .3B C D .6.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得15BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，30CD =米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔高AB=（）A .B .米C .米D .7.已知点P 是ABC △的内心（三个内角平分线交点），外心（三条边的中垂线交点），重心（三条中线交点），垂心（三个高的交点）之一，且满足222AP BC AC AB ⋅=-，则点P 一定是ABC △的（）A .内心B .外心C .重心D .垂心8.如图，在等腰直角ABC △中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =（）A .3155AB AC + B .21 55AB AC + C .481515AB AC + D .841515AB AC +二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是（）A .00a ⋅=B .()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅C .0a b a b⋅=⇒⊥D .22()()||||a b a b a b +⋅-=-10.点P 是ABC △所在平面内一点，满足|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，则ABC △的形状不可能是（）A .钝角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等边三角形11.已知向量(1,3)OA =- ，(2,1)OB =- ，(1,2)OC k k =+-，若ABC △中A 为钝角，则实数k 的值可以是（）A .1B .23-C .1-D .2-12.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是（）A .在ABC △中，若AB ＞，则sin sin A B ＞B .在锐角ABC △中，不等式sin cos A B ＞恒成立C .在ABC △中，若cos cos a A b B =，则ABC △必是等腰直角三角形D .在ABC △中，若60B =︒，2b ac =，则ABC △必是等边三角形三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.设向量(3,0)a =-，(2,6)b =-，则b 在a 上的投影为________.14.已知向量a ，b 满足||1a =，b =()a a b ⊥+，则a 与b 夹角的大小是________.15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ⊥，2AD DC AB ==，E 为AD 的中点，若CA CE DB λμ=+，则λ=________，μ=________.（本题第一空2分，第二空3分）16.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，a =A 的平分线交边BC于点D ，其中AD =，则ABC S =△________.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知两个非零向量a 与b 不共线，2OA a b =- ，3OB a b =+ ，5OC ka b =+.（1）若20OA OB OC -+=，求k 的值；（2）若A ，B ，C 三点共线，求k 的值.18.已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(3,1)c =-，t ∈R .（1）求a tb ＋的最小值及相应的t 值；（2）若a tb -与c 共线，求实数t .19.如图所示，在ABC △中，已知45B =︒，D 是BC 边上的一点，6AD =，AC =，4DC =.（1）求ADC ∠的大小；（2）求AB 的长.20.在①222b ac a c =＋＋，② cos sin a B b A =，③sin cos B B +=的问题中，并解决该问题.已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ________，3A π=，b =，求ABC △的面积.（已知562sin124π=）21.已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P ，连接AP ，用向量法证明：（1）BE CF ⊥；（2）AP AB =.22.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(2a a =，(,sin )b c C =，且a b ∥.（1）求角A ；（2）若2c ，且ABC △的面积为2，求AC 边上的中线BM 的大小.第二章综合测试答案解析一、1.【答案】D【解析】()()AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=.2.【答案】C【解析】因为(3,1)AB OB OA =-= ，又AB OC∥，所以()312m m ⨯+=，3m ∴=-.3.【答案】B【解析】由()()()b c b c a b a +-=-得222a b c ab +-=，即222122a b c ab +-=，1cos 2C ∴=，又0C π＜＜，3C π∴=.4.【答案】C【解析】||cos 13cos 1AB AC AB AC A A ⋅==⨯⨯=-，1cos 3A ⋅∴=-，sin 3A ∴⋅==，1sin 2ABC S AB AC A ∴=⋅⋅△，1221323=⨯⨯⨯，=5.【答案】B【解析】a c ∥，b c ⊥，440440x y --=⎧∴⎨-=⎩，11x y =-⎧∴⎨=⎩即(1,2)a =-，(2,1)b =(3,1)a b ∴-=-，||a b ∴-=6.【答案】D【解析】因为15BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，所以135CBD ∠=︒，在BCD △中，根据正弦定理可知sin sin CD BC CBD BDC =∠∠，即30 sin135sin 30BC︒=︒，解得BC =，因为在Rt ABC △中，tan 60ABBC︒==，所以AB ==（米）.7.【答案】B【解析】设BC 的中点为M ，222AP BC AC AB ⋅=- ，()()AP BC AC AB AC AB ∴⋅=-+ ，()2AP BC BC AC AB ∴⋅=⋅+ ，()20BC AC AB AP ∴⋅+-=，()BC AC AP AB AP ∴⋅-+- ，即()0BC PC PB ⋅+=，即 20BC PM ⋅=，∴点P 与BC 的中点连线与BC 垂直，即点P 一定是ABC △的外心.8.【答案】D【解析】设6BC =，则3AB AC ==，2BD DE EC ===，AD AE ==，101044cos 2105DAE +-∠==⨯，所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD = ，因为()1121 3333AD AB BC AB AC AB AB =+=+-=+所以42184 5331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭.二、9.【答案】CD【解析】00a ⋅= ，∴A 中结论错误；向量的数量积不满足结合律，∴B 中结论错误；当0a b ⋅=，a 与b 的夹角为90︒，即a b ⊥，∴C 中结论正确；D 中结论正确.10.【答案】ACD【解析】 P 是ABC △所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，||)()0CB PB PA PC PA ∴--+-= ∣∣，即||CB AB AC =+ ∣，即||||AB AC AB AC -=+，两边平方化简得 0AC AB ⋅=，AC AB ∴⊥ ，90A ∠∴=︒则ABC △一定是直角三角形.11.【答案】CD【解析】由已知(1,3),(2,1),(1,2)OA OB OC k k =-=-=+-，所以(1,2),(,1)AB AC k k ==+，因为A 为钝角，所以0AB AC ⋅＜，所以(1,2)(,1)0k k ⋅+＜，所以320k +＜，解得23k -＜，即实数k 应满足的条件23k -＜.12.【答案】ABD【解析】对于A ，在ABC △中，由正弦定理可得sin sin a bA B=，所以sin sin A B a b A B ⇔⇔＞＞＞，故A 正确；对于B ，在锐角ABC △中，A ，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2A B π+＞，则022A B ππ-＞＞＞，所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭＞，故B 正确；对于C ，在ABC △中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得sin 2sin 2A B ⋅=⋅，得到22A B =或22A B π=-，故A B =或2A B π=-，即ABC △是等腰三角形或直角三角形，故C 错误；对于D ，在ABC △中，若60B =︒，2b ac =，由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-，所以22ac a c ac =+-，即()20a c -=，解得a c =，又60B =︒，所以ABC △必是等边三角形，故D 正确，故选ABD .三、13.【答案】2【解析】 cos ,a b b a a b ⋅= ，∴向量b 在a 方向的投影为cos ,2b b a b a a =⋅==.14.【答案】34π【解析】()a a b ⊥+ ，()0a a b ∴⋅+=，20a a b ∴+⋅=，2cos ,a b b a a a b ∴⋅==-，cos ,2a b ∴==-，又[]0a b π∈,,，∴故a 与b 的夹角为34π.15.【答案】65或25【解析】以D 为原点，DC 边所在直线为x 轴，DA 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，不妨设1AB =则D （0,0），C （2,0），A （0,2），B （1,2），E （0,1），(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB =-=-=，CA CE DB λμ=+，(2,2)(2,1)(1,2)λμ∴-=-+，2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩，解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.16.【答案】【解析】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：222()3112b c bc b c bc +-=+-=，)11sin sin c22224ABC ACD ABD A A S S S b AD c AD b =+=⋅+⋅=+△△△，又1 sin 2ABC S bc A ==△，)33344bc b c∴=+，13b c bc ∴+=，()2131129bc bc ∴-=，解得：48bc =，48ABC S ∴==△.四、17.【答案】（1）()22235(3)0OA OB OC a b a b ka b k a -+=---++=+=，3k ∴=-，（2）由题意知4AB OB OA a b =-=-+，()26AC OC OA k a ba =-=-+ ，A ，B ，C 三点共线，∴设AC AB λ=，即()264k a b a b λλ-+=-+，264k λλ-=-⎧∴⎨=⎩，解得12k =.18.【答案】（1）(3,2),(2,1),(3,1)a b c =-==- ，()()()3,22,132,2a tb t t t ∴+=-+=-++，a tb ∴+===当且仅当45t =时取等号，即a tb -的最小值为755.（2）()()()3,22,132,2a tb t t t -=-+=--- ，又a tb -与c 共线，31c =-（，），()()()321230t t ∴--⨯---⨯=，解得35t =.19.【答案】（1）在ADC △中，6AD =，2AC =，4DC =，由余弦定理得2223616761cos 22642AD DC AC ADC AD DC ∠+-+-===-⨯⨯⨯⨯，又0180ADC ︒∠︒ ＜＜，120ADC ∴∠=︒.（2）由（1）知60ADB ∠=︒，在ABD △中，6AD =，45B =︒，60ADB ∠=︒，由正弦定理，得 sin sin AB AD ADB B =∠，6sin sin 22AD ADBAB B⨯∠∴==.20.【答案】若选择①222b a c +=+，由余弦定理22222cos 222a cb B ac ac +-===，因为0,B π∈（），所以4B π=，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 3 sin 22b Aa Bπ==因为34A B ππ==，所以53412C ππππ=--=，所以11sin 22ABC S ab C ==△，若选择②cos sin a B b A =，则sin cos sin sin A B B A =，因为sin 0A ≠，所以sin cos ,B B =，因为(0,)B π∈，所以4B π=，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 3 sin 22b Aa Bπ==因为,34A B ππ==，所以53412C ππππ=--=，所以113sin 2244ABC S ab C ===△，若选择③ sin cos B B +=，4B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为(0,)B π∈，所以5 ,444B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以42B ππ+=，所以4B π=，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 3 sin 22b Aa Bπ==因为,34A B ππ==，所以53412C ππππ=--=，116233sin 2244ABC S ab C ++===△.21.【答案】如图，建立平面直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设2AB =，则A （0，0），B （2，0），C （2，2），E （1，2），F （0，1），（1）(1,2)(2,0)(1,2)BE OE OB =-=-=- (0,1)(2,2)(2,1)CF OF OC =-=-=-- ()()()12210BE CF ∴⋅=-⨯-+⨯-= BE CF ∴⊥ ，即BE CF ⊥，（2）设(,)P x y ，则(,1)FP x y =- ，(2,)BP x y =-，由（1）知(2,1)CF =-- ，(1,2)BE =- ，FP CF ∥，2(1)x y ∴-=--，即22x y =-，同理，由BP BE ∥，得24y x =-+，2224x y y x =-⎧∴⎨=-+⎩，解得6585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即68,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222268455AP AB ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，AP AB ∴= ，即AP AB =.22.【答案】（1）因为a b ∥，(2a a =，(),sin b c C =，所以2sin a C =，由正弦定理得2sin sin A C C ⋅=，因为0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0C ≠，所以sin 2A =，因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=.（2）因为ABC △的面积为2，所以1sin 2bc A =，因为 2,3c A π==，所以3b =，在ABM △中，由余弦定理得2222331132cos 4222224BM AM AB AB AM A ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，所以BM =。

最新北师⼤版⾼中数学必修⼆测试题全套含答案解析最新北师⼤版⾼中数学必修⼆测试题全套含答案解析章末综合测评(⼀)⽴体⼏何初步(时间120分钟，满分150分)⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的)1.下列推理错误的是()A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?lαB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC.l?/α，A∈l?A?αD.A∈l，lα?A∈α【解析】若直线l∩α＝A，显然有l?/α，A∈l，但A∈α，故C错.【答案】 C2.下列说法中，正确的是()A.经过不同的三点有且只有⼀个平⾯B.分别在两个平⾯内的两条直线⼀定是异⾯直线C.垂直于同⼀个平⾯的两条直线是平⾏直线D.垂直于同⼀个平⾯的两个平⾯平⾏【解析】A中，可能有⽆数个平⾯；B中，两条直线还可能平⾏、相交；D中，两个平⾯可能相交.【答案】 C3.已知⽔平放置的△ABC是按“斜⼆测画法”得到如图1所⽰的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的⾯积是()图1 A. 3 B.2 2C.32 D.34【解析】由题图可知，原△ABC的⾼为AO＝3，∴S△ABC ＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故选A.【答案】 A4.下列四个命题判断正确的是()A.若a∥b，a∥α，则b∥αB.若a∥α，bα，则a∥bC.若a∥α，则a平⾏于α内所有的直线D.若a∥α，a∥b，b?/α，则b∥α【解析】A中b可能在α内；B中a与b可能异⾯；C中a可能与α内的直线异⾯；D 正确.【答案】 D5.已知⼀个圆锥的展开图如图2所⽰，其中扇形的圆⼼⾓为120°，底⾯圆的半径为1，则该圆锥的体积为()图2A.22π3 B.2π3C.2π3 D.3π【解析】因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，⾼为22，所求体积V＝1 3×π×12×22＝22π3.【答案】 A6.如图3所⽰，在正⽅体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()图3A.ACB.BDC.A1DD.A1D1【解析】CE平⾯ACC1A1，⽽BD⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平⾯ACC1A1，所以BD⊥CE.【答案】 B7.正⽅体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成⾓的余弦值是()A.12 B.33 D.62【解析】连接BD1，则BD1∥EF，∠BD1A是异⾯直线AD1与EF所成的⾓.∵AB⊥AD1，∴cos∠BD1A＝AD1BD1＝63.【答案】 C8.如图4所⽰，则这个⼏何体的体积等于()图4 A.4 B.6C.8D.12【解析】由三视图得⼏何体为四棱锥，如图记作S -ABCD ，其中SA ⊥平⾯ABCD ， SA ＝2，AB ＝2，AD ＝2，CD ＝4，且ABCD 为直⾓梯形，∠DAB ＝90°，∴V ＝13SA ×12(AB ＋CD )×AD ＝13×2×12×(2＋4)×2＝4，故选A. 【答案】 A9.如图5，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正⽅体，下⾯结论错误的是( )图5A.BD ∥平⾯CB 1D 1B.AC 1⊥BDC.AC 1⊥平⾯CB 1D 1D.异⾯直线AD 与CB 1所成的⾓为60°【解析】由于BD ∥B 1D 1，易知BD ∥平⾯CB 1D 1；连接AC ，易证BD ⊥平⾯ACC 1，所以AC 1⊥BD ；同理可证AC 1⊥B 1C ，因BD ∥B 1D 1，所以AC 1⊥B 1D 1，所以AC 1⊥平⾯CB 1D 1；对于选项D ，∵BC ∥AD ，∴∠B 1CB 即为AD 与CB 1所成的⾓，此⾓为45°，故D 错.【答案】 D10.圆柱被⼀个平⾯截去⼀部分后与半球(半径为r )组成⼀个⼏何体，该⼏何体三视图中的主视图和俯视图如图6所⽰.若该⼏何体的表⾯积为16＋20π，则r ＝( )图6D.8【解析】如图，该⼏何体是⼀个半球与⼀个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底⾯半径为r，⾼为2r，则表⾯积S＝12＋2×4πrπr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.⼜S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.【答案】 B11.如图7，以等腰直⾓三⾓形ABC的斜边BC上的⾼AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平⾯后，某学⽣得出下列四个结论：图7①BD⊥AC；②△BCA是等边三⾓形；③三棱锥D-ABC是正三棱锥；④平⾯ADC⊥平⾯ABC.其中正确的是()A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④【解析】由题意知，BD⊥平⾯ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直⾓三⾓形斜边BC上的⾼，平⾯ABD⊥平⾯ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三⾓形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，⼜由②知③正确；由①知④错.故选B.【答案】 B12.已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球⾯上，△ABC 是边长为1的正三⾓形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22【解析】由于三棱锥S -ABC 与三棱锥O -ABC 底⾯都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S -ABC 的⾼是三棱锥O -ABC ⾼的2倍，所以三棱锥S -ABC 的体积也是三棱锥O -ABC 体积的2倍.在三棱锥O -ABC 中，其棱长都是1，如图所⽰， S △ABC ＝34×AB 2＝34，⾼OD ＝12－? ??332＝63，∴V S -ABC ＝2V O -ABC ＝2×13×34×63＝26. 【答案】 A⼆、填空题(本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13.设平⾯α∥平⾯β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平⾯α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________.【解析】由⾯⾯平⾏的性质得AC ∥BD ，AS BS ＝CSSD ，解得SD ＝9. 【答案】 914.如图8所⽰，将等腰直⾓△ABC 沿斜边BC 上的⾼AD 折成⼀个⼆⾯⾓，此时∠B ′AC ＝60°，那么这个⼆⾯⾓⼤⼩是________.图8【解析】连接B ′C ，则△AB ′C 为等边三⾓形，设AD ＝a ，则B ′D ＝DC ＝a ，B ′C ＝AC ＝2a ，所以∠B ′DC ＝90°.【答案】 90°15.若⼀个底⾯边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在⼀个球⾯上，则此球的体积为________.【解析】球的直径等于正六棱柱的体对⾓线的长.设球的半径为R ，由已知，可得2R ＝62×22＋(6)2＝23，R ＝ 3. 所以球的体积为43πR 3＝4π3×(3)3＝43π. 【答案】 43π16.将正⽅形ABCD 沿对⾓线BD 折成直⼆⾯⾓A -BD -C ，则异⾯直线AB 与CD 所成的⾓等于________.【解析】如图所⽰，分别取BC ，AC 的中点G 、F ，连接EG ，GF ，EF ，则EG ∥CD ，GF ∥AB ，∴∠EGF 就是AB 与CD 所成的⾓. 由题意EG ＝GF ＝EF ＝a2，∴△EFG 是等边三⾓形，∴∠EGF ＝60°. 【答案】 60°三、解答题(本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本⼩题满分10分)如图9所⽰，四棱锥V -ABCD 的底⾯为边长等于2 cm 的正⽅形，顶点V 与底⾯正⽅形中⼼的连线为棱锥的⾼，侧棱长VC ＝4 cm ，求这个正四棱锥的体积.图9 【解】连接AC，BD相交于点O，连接VO，∵AB＝BC＝2 cm，在正⽅形ABCD中，求得CO＝ 2 cm，⼜在直⾓三⾓形VOC中，求得VO＝14 cm，∴V V－ABCD＝13S ABCD·VO＝13×4×14＝4314(cm3).故这个正四棱锥的体积为4314cm3.18.(本⼩题满分12分)如图10所⽰，P是?ABCD所在平⾯外⼀点，E，F分别在P A，BD 上，且PE∶EA＝BF∶FD.求证：EF∥平⾯PBC.图10【证明】连接AF延长交BC于G，连接PG.在?ABCD中，易证△BFG∽△DF A，∴GFF A＝BFFD＝PEEA，∴EF∥PG.⽽EF?/平⾯PBC，PG平⾯PBC，∴EF ∥平⾯PBC .19.(本⼩题满分12分)如图11，长⽅体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平⾯α与此长⽅体的⾯相交，交线围成⼀个正⽅形.图11(1)在图中画出这个正⽅形(不必说明画法和理由)； (2)求平⾯α把该长⽅体分成的两部分体积的⽐值. 【解】 (1)交线围成的正⽅形EHGF ，如图：(2)作EM ⊥AB ，垂⾜为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正⽅形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56， S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长⽅体被平⾯α分成两个⾼为10的直棱柱，所以其体积的⽐值为97? ????79也正确.20.(本⼩题满分12分)如图12所⽰，在长⽅体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点.证明：平⾯ABM ⊥平⾯A 1B 1M .图12【证明】由长⽅体的性质可知A1B1⊥平⾯BCC1B1，⼜BM平⾯BCC 1B1，所以A1B1⊥BM.⼜CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.在Rt△B1C1M中，B1M＝B1C21＋MC21＝2，同理BM＝BC2＋CM2＝2，⼜B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从⽽BM⊥B1M.⼜A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平⾯A1B1M，因为BM平⾯ABM，所以平⾯ABM⊥平⾯A 1B1M.21.(本⼩题满分12分)如图13，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底⾯ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点.图13(1)求证：AE⊥平⾯PCD；(2)求⼆⾯⾓A-PD-C的正弦值.【解】(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，因P A⊥底⾯ABCD，CD平⾯ABCD，故CD⊥P A.由条件CD⊥AC，P A∩AC＝A，∴CD⊥平⾯P AC，⼜AE平⾯P AC，∴AE⊥CD.由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.⼜PC∩CD＝C，∴AE⊥平⾯PCD.(2)过点E作EM⊥PD，垂⾜为M，连接AM，如图所⽰.由(1)知，AE⊥平⾯PCD，AM在平⾯PCD内的射影是EM，则AM⊥PD.因此∠AME是⼆⾯⾓A-PD-C的平⾯⾓.由已知，可得∠CAD＝30°.22.(本⼩题满分12分)⼀个空间⼏何体的三视图及部分数据如图14所⽰.图14(1)请画出该⼏何体的直观图，并求它的体积；(2)证明：A1C⊥平⾯AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平⾏于平⾯AB1C1，并证明你的结论.【解】(1)⼏何体的直观图如图.四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝3，BC＝1，四边形AA1C1C是边长为3的正⽅形，且垂直于底⾯BB1C1C，∴其体积V＝12×1×3×3＝32.(2)证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平⾯ACC1A1，∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1C.∵四边形ACC1A1为正⽅形，∴A1C⊥AC1.∵B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平⾯AB1C1.(3)当E为棱AB的中点时，DE∥平⾯AB1C1.证明：如图，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1.∵AB1平⾯AB1C1，EF?/平⾯AB1C1，∴EF∥平⾯AB1C1.∵FD∥B1C1，∴FD∥平⾯AB1C1，⼜EF∩FD＝F，∴平⾯DEF∥平⾯AB1C1.⽽DE平⾯DEF，∴DE∥平⾯AB1C1.章末综合测评(⼆)解析⼏何初步(时间120分钟，满分150分)⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的)1.空间两点A(3，－2,5)，B(6,0，－1)之间的距离为()A.6B.7C.8D.9【解析】|AB|＝(3－6)2＋(－2－0)2＋(5＋1)2＝7，故选B.【答案】 B2.过两点A (－2，m )，B (m,4)的直线倾斜⾓是45°，则m 的值是( ) A.－1 B.3 C.1D.－3【解析】由k AB ＝m －4－2－m＝tan 45°＝1，解得m ＝1.【答案】 C3.过点(－1,3)且平⾏于直线x －2y ＋3＝0的直线⽅程为( ) A.x －2y ＋7＝0 B.2x ＋y －1＝0 C.x －2y －5＝0D.2x ＋y －5＝0【解析】∵直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的⽅程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.【答案】 A4.已知直线l 1：ax －y －2＝0和直线l 2：(a ＋2)x －y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( ) A.－1 B.0 C.1D.2【解析】 l 1的斜率为a ，l 2的斜率为a ＋2，∵l 1⊥l 2，∴a (a ＋2)＝－1，∴a 2＋2a ＋1＝0即a ＝－1. 【答案】 A 5.如图1，在正⽅体OABC -O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )图1A.(2,2,1)B.? ?2，2，23 C.? ?2，2，13 D.? ?2，2，43【解析】∵|EB |＝2|EB 1|，∴|EB |＝23|BB 1|＝43. ⼜E 在B 1B 上，∴E 的坐标为? ?2，2，43.【答案】 D6.若以点C (－1,2)为圆⼼的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.? ????0，255 B.? ????0，355 C.(0，5)D.(0,25)【解析】设圆⼼到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋(－2)2＝255.若直线与圆没有公共点，则05，故选A.【答案】 A7.已知直线l 1的⽅程为x ＋Ay ＋C ＝0，直线l 2的⽅程为2x －3y ＋4＝0，若l 1，l 2的交点在x 轴上，则C 的值为( )A.2B.－2C.±2D.与A 有关【解析】在2x －3y ＋4＝0中，令y ＝0，得x ＝－2，即直线2x －3y ＋4＝0与x 轴的交点为(－2,0).∵点(－2,0)在直线x ＋Ay ＋C ＝0上，∴－2＋A ×0＋C ＝0，∴C ＝2.【答案】 A8.若a ，b 满⾜a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( ) A.? ????－12，－16 B.? ????12，－16 C.? ??12，16 D.? ??－12，16 【解析】令a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝0，得直线⽅程分别为－x ＋3y ＋1＝0，x ＋3y ＝0，其交点为? ??12，－16，此即为直线所过的定点.故选B.【答案】 B9.已知平⾯内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2， 5－2，则满⾜条件的直线l的条数为()A.1B.2C.3D.4【解析】由题知满⾜题意的直线l在线段AB两侧各有1条，⼜因为|AB|＝5，所以还有1条为过线段AB上的⼀点且与AB垂直的直线，故共3条.【答案】 C10.若圆⼼在x轴上，半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O 的⽅程是()A.(x－5)2＋y2＝5B.(x＋5)2＋y2＝5C.(x－5)2＋y2＝5D.(x＋5)2＋y2＝5【解析】设圆⼼O(a,0)，(a<0)，则5＝|a|1＋22，∴|a|＝5，∴a＝－5，∴圆O的⽅程为(x＋5)2＋y2＝5.【答案】 D11.直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦长为()A.2 2B.2C. 2D.与k的取值有关【解析】由于圆x2＋y2＝2的圆⼼在直线y＝kx上，所以截得弦为圆x2＋y2＝2的直径，⼜其半径为2，故截得的弦长为2 2.【答案】 A12.已知点P(x，y)是直线y＝22x－4上⼀动点，PM与PN是圆C：x2＋(y－1)2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN 的最⼩⾯积为()A.43 B.23。

北师大版高一数学必修2圆的方程练习题含答案§2.2.1 圆的方程重难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程；了解圆的一般方程的代数特征，能实现一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．经典例题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．当堂练习：1．点（1，1）在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则a的取值范围是（）A．-1<a<a<-1或a="">1 D．a=±1</a2．点P（m2,5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定3．方程(x+a)2+(y+b)2=0表示的图形是（）A．点（a,b）B．点（-a,-b）C．以（a,b）为圆心的圆D．以（-a,-b）为圆心的圆4．已知一圆的圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是（）A．(x-2)2+(y+3)2=13 B．(x+2)2+(y-3)2=13 C．(x-2)2+(y+3)2=52 D．(x+2)2+(y-3)2=525．圆(x-a)2+(y-b)2＝r2与两坐标轴都相切的充要条件是（）A．a=b=r B．|a|=|b|=r C．|a|=|b|=|r|≠0 D．以上皆对6．圆(x-1)2+(y-3)2=1关于2x+y+5=0对称的圆方程是（）A．(x+7)2+(y+1)2=1 B．(x+7)2+(y+2)2=1 C．(x+6)2+(y+1)2=1 D．(x+6)2+(y+2)2=17．如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为（）A．（-1，1） B．（1，-1） C．（-1，0） D．（0，-1）8．圆x2+y2-2Rx-2Ry+R2=0在直角坐标系中的位置特征是（）A．圆心在直线y=x上 B．圆心在直线y=x上, 且与两坐标轴均相切C．圆心在直线y=-x上 D．圆心在直线y=-x上, 且与两坐标轴均相切9．如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，则（）A．D=0，E=0，F≠0 B．E=0，F=0，D≠0 C．D=0，F=0，E≠0 D．F=0，D≠0，E≠010．如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）A．D=E B．D=F C．E=F D．D=E=F11．方程x4-y4-4x2+4y2=0所表示的曲线是（）A．一个圆 B．两条平行直线 C．两条平行直线和一个圆 D．两条相交直线和一个圆12．若a≠0, 则方程x2+y2+ax-ay=0所表示的图形（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线x-y=0对称D．关于直线x+y=0对称13．圆的一条直径的两端点是（2，0）、（2，-2），则此圆方程是（）A．x2+y2-4x+2y+4=0 B．x2+y2-4x-2y-4=0 C．x2+y2-4x+2y-4=0D ．x 2+y 2+4x+2y+4=014．过点P （12，0）且与y 轴切于原点的圆的方程为__________________．15．圆(x-4)2+(y-1)2=5内一点P （3，0），则过P 点的最短弦的弦长为 _____，最短弦所在直线方程为___________________．16．过点（1，2）总可以向圆x 2+y 2+kx+2y+k 2-15=0作两条切线，则k 的取值范围是_______________．17．已知圆x 2+y 2-4x-4y+4=0，该圆上与坐标原点距离最近的点的坐标是 ___________，距离最远的点的坐标是________________．18．已知一圆与直线3x+4y-2=0相切于点P （2，-1），且截x 轴的正半轴所得的弦的长为8，求此圆的标准方程．19．已知圆C ：x 2+y 2-4x-6y+12=0, 求在两坐标轴上截距相等的圆的切线方程．20．已知方程x 2+y 2-2(t+3)x+2(1-4t 2)y+16t 4+9＝0表示一个圆，（1）求t 的取值范围；（2）求该圆半径r 的取值范围．21．已知曲线C ：x 2+y 2-4mx+2my+20m-20＝0(1)求证不论m 取何实数，曲线C 恒过一定点；(2)证明当m≠2时，曲线C 是一个圆，且圆心在一条定直线上；(3)若曲线C 与y 轴相切，求m 的值．§2.2.1 圆的方程经典例题：解：设所求的圆的方程为：022=++++F Ey Dx y x∵(0,0),(11A B ，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于F E D ,,的三元一次方程组，即??=+++=+++=02024020F E D F E D F解此方程组，可得：0,6,8==-=F E D 王新敞∴所求圆的方程为：06822=+-+y x y x 王新敞542122=-+=F E D r ；32,42-=-=-F D 王新敞得圆心坐标为（4，-3）. 或将06822=+-+y x y x 左边配方化为圆的标准方程，25)3()4(22=++-y x ,从而求出圆的半径5=r ，圆心坐标为(4,-3) 王新敞当堂练习答案：1.A;2.B;3.B;4.A;5.C;6.A;7.D;8.B;9.C; 10.A; 11.D; 12.D; 13.A; 14. (x-6)2+y 2=36; 15. 23,x+y-3=0; 16.--338,23,338; 17. (2-2,2-2), (2+2,2+2); 18. 解：设所求圆圆心为Q （a,b ），则直线PQ 与直线3x+4y-2=0垂直，即1)43(21-=-?-+a b ,(1) 且圆半径r=|PQ|=22224)1()2(+=++-b b a ,(2) 由（1）、（2）两式，解得a=5或a= -511(舍)，当a=5时，b=3,r=5, 故所求圆的方程为(x-5)2+(y-3)2=25. 19. 解：圆C 的方程为(x-2)2+(y-3)2=1, 设圆的切线方程为a y a x +=1或y=kx ，由x+y-a=0，d=25,25,12|32|±=+∴±==-+y x a a 得.由kx-y=0，d=x y k k k )3322(,3326,11|32|2±=∴±==+-得. 综上，圆的切线方程为x+y-52±=0或(2332±)x-y=0. 20. 解：（1）方程表示一个圆的充要条件是D 2+E 2-4F ＝4(t+3)2+4(1-4t 2)2-4(16t 4+9)>0, 即：7t 2-6t-1<0, .171<<-∴t （2）r 2= D 2+E 2-4F ＝4(t+3)2+4(1-4t 2)2-4(16t 4+9)=-28t 2+24t+4=-28(t-73)2+764, 21. 解：（1）曲线C 的方程可化为：(x 2+y 2-20)+m(-4x+2y+20)＝0,由-==?=++-=-+240202402022y x y x y x , ∴不论m 取何值时，x ＝4, y ＝-2总适合曲线C 的方程，即曲线C 恒过定点(4, -2).（2）D ＝-4m, E ＝2m, F ＝20m-20, D 2+E 2-4F ＝16m 2+4m 2-80m+80＝20(m-2)2.778,0,764,02???? ??∈∴??? ??∈∴r r∵m≠2, ∴(m-2)2>0, ∴D 2+E 2-4F>0, ∴曲线C 是一个圆, 设圆心坐标为(x, y), 则由-==m y m x 2 消去m 得x+2y ＝0, 即圆心在直线x+2y ＝0上.（3）若曲线C 与y 轴相切，则m≠2，曲线C 为圆，其半径r=2)2(20-m , 又圆心为(2m, -m),则2)2(20-m =|2m|, 255±=∴m .。

描述：例题：高中数学必修2(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 立体几何初步 1.7 简单几何体的面积与体积
一、知识清单
展开图
截面分析 表面积与体积
二、知识讲解
1.展开图
空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容．
如图所示，是一个正方体的展开图，每一个面内都标注了字母，则展开前与字母 相对的是（
）
A．字母 B．字母 C．字母 D．字母
解：B B E C A D 下图是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段 、、 和 在原正方体中
不在同一平面内的有______对．
解：将展开图恢复为正方体，如图，可见 与 ， 与 ， 与 不在同一平面内．
AB
CD EF GH 3
AB CD AB GH EF GH
解：C
分都是一个三棱锥．
′
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形作截面图如图所示，可知是六边形．
ii）若两平行截面在球心的两侧，如图(2)所示，则
PA=PB=PC=2
，求三棱锥
R=AB
2。