北师大版必修二数学5.1.2平面与平面平行的判定

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作业：第65页习题2.2 A组 第7题。教后反思：A1MC1
F B1
D A
C B
小结
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行。
定理的推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
❖11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 ❖12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 ❖13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 ❖14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 ❖15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 ❖16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 ❖17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 ❖18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18
α
练习：
1）α、β、γ为三个不重合的平面，a,b,c为三条
不同直线，则有一下列命题，不正确的是
① a∥c b∥c
a∥b ② a∥γ b∥γ
a∥b
③ α∥c β∥c
α∥β④ α∥γ β∥γ
α∥β
⑤ α∥c a∥c
α∥a ⑥ α∥γ a∥γ
a∥α
例题分析
例1、如图：A、B、C为不在同一直线上的
三点，AA1 =∥ BB1=∥ CC1

行四边形.所以AB=CD.
想一想：由两个平面平行可以得到哪些结论呢？ 1.平行于同一平面的两平面平行；
2.夹在两平行平面间的平行线段相等.
议
例2几何体ABCD—A1B1C1D1是棱长为a
的正方体，M、N分别是棱A1B1、B1C1
1 AP a, 的中点，P是AD上的一点， 3
过P、M、N的平面交底面ABCD于PQ，
γ
β α b a
平行.
由于两条交线a,b分别
在两个平行平面α，β内，
所以a与b不相交.
又因为a,b都在同一平
面γ 内，由平行线的定
义可知a∥b.
定理
简记:面面平行
线线平行
如果两个平行平面同时和第三个平面 相交，那么它们的交线平行.

图形语：
a b
/ / , I a, 符号语言： I b

a // b
例1:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 如图,α //β ,AB//CD,且A∈α , C∈α ,B∈β ,D∈β . 求证:AB=CD. 证明 因为AB//CD,所以过AB,CD 可作平面γ ,且平面γ 与平面α 和β分 别相交于AC和BD.
议
因为α //β,所以AC//BD. 因此,四边形ABDC是平
与另一个平面有什么位置关系？
a


直线与平 面没有公 共点
结论：如果两个平面平行，那么一个平面内的
直线与另一个平面平行.
思
思考2:如果两个平面平行，两个平面内的直线有
什么位置关系？
提示:如果两个平面平行，那 么两个平面内的直线是异面 直线,或者是平行直线.
思
思考3:若α ∥β ，平面α，β分别与平面γ 相交于直线 a，b，那么直线a，b的位置关系如何？为什么？

2.2.4 平面与平面平行的性质
学习目标 思维脉络 1.理解
并能证明两 个平面平行 的性质定理. 2.能利用性 质定理解决 有关的平行 问题.
平面与平面平行的性质定理
文字 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交 语言 线平行
图形 语言
a∥b 证明两条直线平行
∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ,
则 α∩γ=AC,β∩γ=BD.
又 α∥β,∴AC∥BD.
(2)解:由(1)得 AC∥BD,
∴������������
������������
=
������������������������,∴45
=
������3������,∴CD=145,
∴PD=PC+CD=247.
或取 B1C1 的中点 E1→证明平面 EE1F∥平面 BB1D1D→EF∥平面 BB1D1D
探究一
探究二
(1)
证明:(方法一)如图,连接 AC,CD1.
∵P,Q 分别是 AD1,AC 的中点,∴PQ∥CD1.
又 PQ⊄平面 DCC1D1, CD1⊂平面 DCC1D1,
∴PQ∥平面 DCC1D1.
1234
1.已知长方体 ABCD-A'B'C'D',平面 α∩平面 AC=EF,平面 α∩平面 A'C'=E'F',
则 EF 与 E'F'的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
解析:由于平面 AC∥平面 A'C',所以 EF∥E'F'.
答案:A
1234
2.已知平面 α∥平面 β,过平面 α 内的一条直线 a 的平面 γ 与平面 β 相交,交

A E D 平面BCD,
平面BCD， /

∴EF ∥平面BCD。
解后反思：通过本题的解答，你可以总结出什么解题 思想和方法？
反思1：要证明直线与平面平行可以运用判定定理； 线线平行 线面平行
反思2：能够运用定理的条 a / 件是要满足六个字， b “面外、面内、平行”。 a // b
b
a//
空间问题 平面问题
简述为：线线平行线面平行
直线与平面平行判定
怎样判定直线与平面平行？
（1）定义法：证明直线与平面无公共点；
（2）判定定理：证明平面外直线与平面内直线 平行．
应用巩固：
例1.空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的 中点，试判断EF与平面BCD的位置关系.
解： 如图，连接BD。在△ABD中， E，F分 别为AB，AD的中点，
如果平面 内有直线 b 与直线 a平行，那么直线 a 与平面 的位置关系如何？
是否可以保证直线 a 与平面 平行？
a

b
抽象概括：
直线与平面平行的判定定理： 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行. a 即： a/ b a // b
a //

实例感受
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面， 封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样 的位置关系？
实例感受
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面， 封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样 的位置关系？
A A
B
B
直线与平面平行
下图中的直线 a 与平面α平行吗？
a

直线与平面平行
5.1 直线与平面平行的判定
北师大版必修二

求证：平面PQR∥平面EFG。
D P A
R
Q
C
B
D
A
E
G
C
F B
【例2】 空间四边形ABCD中，M、E、F 分别为 △BAC、 △ACD、 △ABD 的重心. 求证: 面MEF // 平面BCD;
A
F
M
E
D
B
P
H
G C
练习
如图:在三棱锥S-ABC中,SM、SN、SH分别是三个
侧面的中线，D、E、F分别是SM、SN、SH上的点，
a// β
模型１
αααα
a
β
模型２
• 如果一个平面内有两条相交直线分别 平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
有两条怎么样的直线呢？
a// β
α
b// β
a
a// b
b
α
a// β b// β
b
Pa
β
β
c
二、两个平面平行的判定
判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行．
练习
2. 棱长为a的正方体AC1中，设M、N、E、F 分别为棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点. (1)求证：E、F、B、D四点共面；
(2)求证：面AMN∥ 面EFBD.
D1
N
A1
M
E B1
C1 F
D A
C B
练习：在正方体AC中，E、F、G、P、 Q、R分别是所在棱AB、BC、BB AD、DC、DD的中点，
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
平面与平面平行的判定
线面平行练习
已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和 ABEF不

探究新知
探究2.如果两个平面平行，两个平面内的直 线有什么位置关系？
探究3:如果两个平面平行，那么两个平面内 的直线什么时候是平行关系？.
探究新知
探究4:当第三个平面 和两个平行平面都 相交时，两条交线 有什么关系？为什 么？ β 答:两条交线平行.
α
a
b
下面我们来证明这个结论
结论:当第三个平面和两个平行平面都 相交时，两条交线平行
复习回顾
平面与平面平行的判定定理: 一个平面内两条相交直线分别平 行于另一个平面，那么这两个平 面平行.
ks5u
线不在多， 重在相交.
b

P
a

b 符号语言： a b P // a // b //
a
证题思路：要证明两 平面平行，关键是在 其中一个平面内找出 两条相交直线分别平 行于另一个平面.
γ α B
D
例3 如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平 行四边形A′B′C′D′所确定一个平面α外，且AA′、
BB′、CC′、DD′互相平行．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
例4
如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与
β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.
如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝ a,β∩γ=b，求证：a∥b 证明：∵α∩γ＝a,β∩γ=b ∴aÌα，bÌβ ∵α∥β ∴a，b没有公共点， 又因为a，b同在平面γ内， 所以，a∥b
这个结论可做定理用
平面与平面平行的性质
平面与平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面 相交，那么它们的交线平行。 简述为“面面平行，线线平行” 符号语言:

题型一
题型二
题型三
反思对于条件缺失的探索性问题,解答过程中要明确目的,结合题 目本身的特点与相应的定理大胆地猜想,然后加以证明.特别要注 意中点、顶点等特殊点.
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E为PB的中 点. (1)求证:CE∥平面PAD. (2)在线段AB上是否存在一点F,使得平面PAD∥平面CEF?若存在, 证明你的结论;若不存在,说明理由.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 设α,β为两个不重合平面,在下列条件中,可判断 平面α与β平行的是 . ①α,β都平行于γ. ②α内存在不共线的三点到β的距离相等. ③l,m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β. ④l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β. 解析:①正确.②中如果平面α内三个点在平面β的两侧,满足不共 线的三点到平面β的距离相等,此时这两个平面相交,故②错误.③中 若l与m平行,则α与β可能相交,故③错误.④正确. 答案:①④
题型一
题型二
题型三
(1)证明 :如图 ①所示 ,取 PA 的中点 H,连接 DH,EH. 因为 E 是 PB 的中点 ,所以 HE∥AB,且 HE= ������������ . 又 CD∥AB,且 CD=
题型一
题型二
题型三
解:(1)不正确.当直线a和平面α不相交时,可能有a⫋α,a∥α两种情 况,当a⫋α时,a与α不平行; (2)不正确.当直线b∥a时,如果b⊈α,则有b∥α,如果b⫋α,则没有 b∥α; (3)不正确.当a∥α时,经过直线a的平面β可能与α平行,也可能与α 相交; (4)正确.由线面平行的判定定理,知a∥β,b∥β,且a,b⫋α,a与b相交, 所以必有α∥β. 反思1.运用线面平行、面面平行的判定定理判定结论是否正确 时,一定要紧扣两个定理的条件,忽视条件,很容易导致判断错误. 2.在判断一些命题的真假时,一方面要善于列举反例来否定一个 命题,另一方面要充分考虑线线关系、线面关系、面面关系中的各 种情形,以对一个命题的真假作出合理的判断.

平面 平行 .
（×）
（3）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则
与 平行； （ × ）
（4）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则
与 平行；
（×）
知识小结
1. 直线和平面、平面与平面平行的判定。
2．证明平行的方法： （1）利用定义 （2）利用判定定理
3．数学思想方法：转化的思想
文字语言
图形语言 符号语言
1、平面与平面相交
α∩β=a
2、平面与平面平行
α∥β
3、平面与平面重合
【学习目标】
1.理解并掌握直线与平面、平面与平面平行的判 定定理。（重点）
2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述 这两个定理，并知道其地位和作用。（重点）
3.能运用两个定理证明线面、面面平行问题。 （难点）
模型２
α a
b
β
二、平面与平面平行的判定 ➢探究: 如何判定一个平面和另一个平面平行?
问题3 平面α内有两条相交直线 a , b 平行平 面β, 则α∥β吗?
1. 判断下列说法是否正确： （1）若直线a与平面 内的一条直线平行 ，则 a
与平面 平行 . （ × ）
（2）若直线a平行于平面 内的无数条直线，则a与
二、平面与平面平行的判定 ➢探究: 如何判定一个平面和另一个平面平行?
问题1 平面α内有一条直线 a 平行于平面 β, 则α∥β吗? 请举例说明.
模型１
a α α α
β
二、平面与平面平行的判定 ➢探究: 如何判定一个平面和另一个平面平行?
问题2 平面α内有两条平行直线a , b 分别平 行于平面β, 则α∥β吗? 请举例说明.
如何判定一个平面和另一个平面平行?

而BD∥B1D1，所以BD∥EF. 所以E，F，B，D四点共面. ②易知MN∥B1D1，B1D1∥BD， 所以MN∥BD.
又MN⊈平面EFDB，BD
所以MN∥平面EFDB.
平面EFDB.
连接MF.因为M，F分别是A1B1，C1D1的中点，
所以MF∥A1D1，MF=A1D1.
所以MF∥AD，MF=AD. 所以四边形ADFM是平行四边形，所以AM∥DF. 又AM⊈平面BDFE，DF 所以AM∥平面BDFE. 又因为AM∩MN=M， 所以平面MAN∥平面EFDB. 平面BDFE，
【知识拓展】平面与平面平行的判定定理推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两 条直线，则这两个平面平行. 此推论成立需要满足两个条件： (1)一个平面内的两条直线是相交的； (2)此两条相交直线平行于另一个平面.
【微思考】 (1)两个平面平行，则两平面内的所有直线一定相互平行吗？ 提示：不一定.也可能是异面直线，但可以肯定的是它们不相 交.
(2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1， B1C1，C1D1，D1A1的中点. 求证：①E，F，B，D四点共面. ②平面MAN∥平面EFDB.
【解题探究】1.题(1)中AG=GH=HD的作用是什么？GF与HC的关 系是什么？ 2.题(2)中①E，F，B，D四点共面的条件是什么？②中证明平 面MAN与平面EFDB平行的关键点是什么？ 【探究提示】1.AG=GH=HD说明G，H是AD的三等分点，GF是 △AHC的中位线，GF∥HC. 2.①证明一组对边平行即可.②关键是在一个平面内找到(或作 出)两条相交直线与另一个平面平行.
判断直线与平面平行问题，即要证明两平面平行，只要在其中
一个平面内找到两条相交直线都与另一个平面平行，就可断定