高中数学 3.3.2 利用导数研究函数的极值课件 新人教B版选修1-1

[答案] 3 － 2
人 教 B 版 数 学
[解析]
∵y′＝(cosx)′＝－sinx，
π
π 3 ∴y′|x＝ ＝－sin ＝－ . 3 2 3
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
5 ． 曲 线 y ＝ xn 在 x ＝ 2 处 的 导 数 为 12 ， 则 n 等 于 ____________． [答案] 3
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
本节重点：常数函数、幂函数的导数．
本节难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到
幂函数的求导公式．
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用
3
人 教 B 版 数 学
求简单函数的导数．
2．过程与方法 通过利用导数定义推导及归纳导数公式的过程，掌握
利用导数公式求函数导数的方法．
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
3．情感、态度与价值观
通过公式的推导与归纳，进一步体会极限思想，培养
从特殊到一般、从有限到无限的思维方法；通过使用数学 软件求导，体会算法思想，进一步感受数学的应用价值， 培养探究问题、发现问题的兴趣．
1 1 1 y′＝x＝k，∴x＝k，切点坐标为 k，1，
)
[答案] C
[解析]
人 教 B 版 数 学
1 又切点在曲线 y＝lnx 上，∴ln ＝1， k 1 1 ∴ ＝e，k＝ . k e
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
二、填空题 π 1 4．曲线 y＝cosx 在点 P( ， )处的切线的斜率为 3 2 ____________．

其次，为了清楚起见，可用导数为零的点，将函数的定义
域分成若干小开区间，并列成表格，判断导函数在各个小 开区间的符号． 求函数的最大值和最小值，需要先确定函数的极大值 和极小值，极值是一个局部概念并且不唯一，极大值与极
小值之间无确定的大小关系．
f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，
当－1＜x＜2时，f(x)＜0
∴ 当 x ＝－ 1 时 f(x) 有极大值， f(x) 极大值＝ f( － 1) ＝ 5 ， 无极小值．故应选C.
[例2] [分析]
求函数f(x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]上的最大 首先求f(x)在(－1,2)内的极值．然后将f(x)的各
值与最小值． 极值与 f( －1) ， f(2) 比较，其中最大的一个是最大值，最小
[点评] 恒成立转化为最值，即用导数求最值．
函数的极值、最值常与单调性，不等式结合出解答题，
是历年考试的重点，一般分为二至三问，要注意它们之间 的内在联系，另外解此类问题要注意极值，最值的注意事 项．
[例5]
[ 误解 ] 6ax＋b.
已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，
1 1 解得 x1＝ ，x2＝－ . 3 3 当 x 变化时，y′和 y 的变化情况如下表：
1 11 因此，当 x＝－3时，y 有极大值，并且 y 极大值＝ 9 . 1 7 而当 x＝3时，y 有极小值，并且 y 极小值＝9.
[点评] 熟记极值的定义是做好本题的关键，要利用
求函数极值的一般步骤求解．
[ 例 4]
已知函数 f(x) ＝ ax4lnx ＋ bx4 － c(x>0) 在 x ＝ 1 处取
得极值－3－c，其中a、b、c为常数．

x2 ； x
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cosπ2－x.
[解] (1)y′＝0. (2)∵y＝x15＝x－5， ∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－x56. (3)∵y＝ x2x＝x32. ∵y′＝(x32)′＝32x12＝32 x.
第三章 导数及其应用
3.2 导数的运算 3.2.1 常数与幂函数的导数
3.2.2 导数公式表
学习目标
核心素养
1.能根据定义求函数 y＝C，y＝x，y＝x2，通过利用基本初等函数
y＝1x的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公
的导数公式求简单函数 的导数的学习，提升学
式求简单函数的导数．(重点、难点) 生的数学运算素养.
1
f′(x)＝_x_
1．下列结论：

2
①(sin x)′＝cos x；②(x3)′＝x3；
③(log3x)′＝3l1n x；④(ln x)′＝1x.
其中正确的有( )
A．0 个 B．1 个
C．2 个
D．3 个
C [∵②(x53)′＝53x23；③(log3x)＝xln1 3；∴②③错误，故选 C.]
(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45.
(3)y′＝(5 x3)′＝(x35)′＝35x35－1
＝35x－25＝ 5
3 5
. x2
(4)∵y＝2sin2xcos2x＝sin x，∴y′＝cos x. (5)y′＝(log12x)′＝ 1 1＝－xln1 2.
xln2
用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根 据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导 公式.
合作探究 提素养

互垂直的直线(斜率均存在)斜率乘积等于－1是解题的关键.
跟踪演练 3
已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，
求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程.
∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)， 4－1 则 y′| x＝x0 ＝2x0，又∵PQ 的斜率为 k＝ ＝1， 2＋1 1 而切线平行于 PQ，∴k＝2x0＝1，即 x0＝2， 1 1 ， 所以切点为 M 2 4. 1 1 ∴所求的切线方程为 y－4＝x－2，即 4x－4y－1＝0. 解
要点二 利用导数公式求函数的导数
例2 求下列函数的导数：
π 1 x (1)y＝sin3；(2)y＝5 ；(3)y＝x3； (4)y＝ x3；(5)y＝log3x. 4
解
(1)y′＝0；
(2)y′＝(5x)′＝5xln 5； (3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；
3 1 3 (4)y′＝( x )′＝(x )′＝4x－4＝ 4 ； 4 x 1 (5)y′＝(log3x)′＝xln 3.
应用.
跟踪演练1
导数.
解
用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的
x＋Δx2＋ax＋Δx＋b－x2＋ax＋b y′＝ lim Δx Δx→0
x2＋2x·Δx＋Δx2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－b ＝ lim Δx Δx→0 2x·Δx＋a·Δx＋Δx2 ＝ lim ＝ lim (2x＋a＋Δx)＝2x＋a. Δx Δx→0 Δx→0
1 2 3 4
3. f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则a的值等于( D )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
19 A. 3 解析
16 B. 3