指数函数基础训练题(含详解)

第二章函数2.4.2 指数函数（针对练习）针对练习针对练习一指数与指数幂的运算1．用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0)．(1)a222．计算或化简下列各式：（1）(a－2)·(－4a－1)÷(12a－4)(a>0)；（2）213-233+0.0028-⎛⎫- ⎪⎝⎭－2)－1＋0. 3．计算：(1)1111242 114310.7562)164300---⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111133420,0)a ba b a b->>⎛⎫⎪⎝⎭4．计算：(1)10132114(2)924---⎛⎫⎛⎫-⨯-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)2932)-⨯5．(1)()2163278()[2]8---；(2)()())1213321()0040.1a b a b ---＞，＞.针对练习二 指数函数的概念6．在①4x y =；①4y x =；①4x y =-；①()4xy =-；①()121,12xy a a a ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭中，y 是关于x 的指数函数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．下列函数是指数函数的是（ ）A ．y ＝()2x πB ．y ＝(－9)xC ．y ＝2x －1D ．y ＝2×5x8．下列函数中为指数函数的是（ ） A ．23x y =⋅ B ．3x y =-C ．3x y -=D ．1x y =9．函数()244xy a a a =-+是指数函数，则有（ ）A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a ＞0且a ≠110．若函数()x f x a =（a >0，且a ≠1）的图象经过(12,)3，则(1)f -=（ ） A．1 B ．2C D ．3针对练习三 指数函数的图像11．函数2x y -=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．函数①x y a =；①x y b =；①x y c =；①x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：5413，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．5413，12 B 54，12，13C ．12，1354D ．13，12，5413．若0a >且1a ≠，则函数()11x f x a -=+的图象一定过点（ ）A ．()0,2B ．()0,1-C ．()1,2D ．()1,1-14．已知函数f （x ）= ax +1的图象恒过定点P ，则P 点的坐标为（ ） A ．(0，1) B ．(0，2) C ．(1，2)D ．()1,1a +15．对任意实数01a <<，函数()11x f x a -=+的图象必过定点（ ）A ．()0,2B ．()1,2C ．()0,1D ．()1,1针对练习四 指数函数的定义域16．函数y ） A ．(,3]-∞ B ．[3,)+∞ C ．(,2]-∞ D ．[2,)+∞17．函数()22f x x -的定义域为（ ） A ．[0,2) B ．(2,)+∞C ．()(),22,-∞+∞D ．[0,2)(2,)⋃+∞18．设函数f （x ），则函数f （x 4）的定义域为（ ） A ．(],4∞- B ．1,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．(]0,4D ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦19．已知函数()y f x =的定义域为()0,1，则函数()()21xF x f =-的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．()(),00,1-∞⋃C ．()0,∞+D ．[)0,120．函数y (－∞，0]，则a 的取值范围为( ) A ．a ＞0 B ．a ＜1 C ．0＜a ＜1 D ．a ≠1针对练习五 指数函数的值域21．函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,222．若23x ，则函数1()421x x f x +=-+的最小值为（ ） A ．4 B ．0 C ．5 D ．923．函数2121x x y -=+的值域是（ ）A ．()(),11,-∞--+∞B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()(),11,-∞+∞24．已知函数()()1123,12,1x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．[)0,225．函数2x y a =-（0a >且1a ≠，11x -≤≤）的值域是5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数=a （ ）A ．3B ．13C ．3或13D ．23或32针对练习六 指数函数的单调性26．函数2435x x y -+-=的单调递减区间是（ ） A ．[2,)+∞ B ．(,2]-∞ C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞27．函数223112x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为（ ） A ．(1,)+∞ B ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝C ．(),1-∞D ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭28．若函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，则a 的取值范围（ ）A ．4a ≤-B ．2a ≤-C ．2a ≥-D ．4a ≥-29．若函数()(),1,513,13x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,33⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,2C ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭30．已知函数()()4211xa x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩，，是R 上的单调函数，那么实数a 的取值范围为（ ）A ．()01，B ．()13，C ．423⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．312⎛⎤ ⎥⎝⎦，针对练习七 比较大小与解不等式31．已知412a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，124b =，122c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．a c b << D ．b a c <<32．已知1313422,3,4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a <b <c B ．c <a <b C ．a <c <b D ．c <b <a33．若2141122a a+-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞C ．(3,)+∞D ．(3),-∞34．若x 满足不等式221139x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数2x y =的值域是（ ）A ．1,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[2,)+∞35．若1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列正确的是（ ）A ．33a b <B ．ac bc >C ．11a b<D ．b c a c -<-针对练习八 指数函数的应用36．专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：0.22(340)1()1t f t e --=+，当()0.1f t =时，标志着疫情将要局部爆发，则此时t 约为（参考数据： 1.13e ≈）（ ）A ．10B ．20C ．30D ．4037．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在α型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型(e )rt I t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R 、T 近似满足01R rT =+，有学者基于已有数据估计出0 3.22R =，10T =.据此，在α型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至(0)I 的4倍，至少需要（ ）（参考数据：ln 20.69≈） A ．6天 B ．7天 C ．8天 D ．9天38．某灭活疫苗的有效保存时间T （单位：小时h ）与储藏的温度t （单位：①）满足的函数关系为e ht b T +=（k ，b 为常数，其中e 2.71828=⋅⋅⋅，是一个和π类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0①时的有效保存时间是1080h ，在10①时的有效保存时间是120h ，则该疫苗在15①时的有效保存时间为（ ） A ．15h B ．30h C ．40h D ．60h39．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ︒）满足函数关系e kx b y +=（e 2.718=为自然对数的底数，,k b 为常数）．若该食品在0C ︒的保鲜时间是192小时，在33C ︒的保鲜时间是24小时，则该食品在22C ︒的保鲜时间是（ ） A ．20 小时 B ．24小时 C ．36小时 D ．48小时40．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：()100e ktθθθθ-=-+，其中为时间（单位：min ），0θ为环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20C 的情况下，一桶咖啡由100C 降低到60C 需要20min .则k 的值为（ ） A ．ln 220B ．ln 320C ．ln 210-D ．ln 310-第二章 函数2.4.2 指数函数（针对练习）针对练习针对练习一 指数与指数幂的运算1．用分数指数幂的形式表示下列各式(a >0，b >0)．(1)a2 2．【答案】(1)52a ； (2)136a ； (3)7362a b ； (4)76a . 【解析】 【分析】由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质化简求值即可. (1)原式＝11522222a a a a +⋅==. (2)原式＝22313333262a a a a +⋅==． (3)原式＝1221711333233332622222()()a ab a a b a b a b +⋅===.(4)原式＝55722666a a a a --⋅==． 2．计算或化简下列各式： （1）(a －2)·(－4a －1)÷(12a －4)(a >0)；（2）213-233+0.0028-⎛⎫- ⎪⎝⎭－2)－1＋0.【答案】（1）－13a ；（2）－1679.【解析】 【分析】直接根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】(1)原式21434114(12)33a a a a ----+=-÷=-=-(2)原式213227118500--⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213323()5002)12-⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦＝49＋20＋1＝－ 1679. 3．计算：(1)1111242114310.7562)164300---⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111133420,0)a b a b a b ->>⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】(1)-16 (2)(0,0)a a b b>> 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂的运算规则化简计算即可； （2）根据分数指数幂的运算规则化简得出结果. (1)原式=111222411010233-⎫⎫⎛⎫⨯⨯++⨯+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(12410223⎫=⨯-⨯+⎝⎭220216=-+=-(2)原式543311233(0,0)a baa b bab a b-==>> 4．计算：(1)1132114(2)924---⎛⎫⎛⎫-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)2932)-⨯【答案】(1)196(2)【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可求解.（2）利用根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算性质即可求解. (1)原式1111924()1218236=-⨯-+=++-=. (2)原式24119555636333222221[(8)](10)10(2)1010102---=⨯÷=⨯÷=⨯721102=⨯=== 5．(1)()21603278()[2]8---；(2)()())1213321()0040.1a b a b ---＞，＞.【答案】(1)8π+；(2)85. 【解析】 【分析】(1)(2)均根据指数幂的运算性质即可计算； 【详解】(1)原式233(2)=-1＋|3﹣π|162(2)+=4﹣1＋π﹣3＋23＝π＋8.(2)原式3332223322248510a b a b--⋅==.针对练习二 指数函数的概念6．在①4x y =；①4y x =；①4x y =-；①()4xy =-；①()121,12xy a a a ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭中，y 是关于x 的指数函数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】直接根据指数函数的定义依次判断即可. 【详解】根据指数函数的定义，知①①中的函数是指数函数， ①中底数不是常数，指数不是自变量，所以不是指数函数； ①中4x 的系数是1-，所以不是指数函数； ①中底数40-<，所以不是指数函数． 故选：B ．7．下列函数是指数函数的是（ ）A ．y ＝()2x πB ．y ＝(－9)xC ．y ＝2x －1D ．y ＝2×5x【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数定义判断． 【详解】B 中底数90-<，C 中指数是1x -，不是x ，D 中5x 前面系数不是1，根据指数函数定义，只有A 中函数是指数函数， 故选：A.8．下列函数中为指数函数的是（ ）A ．23x y =⋅B ．3x y =-C ．3x y -=D ．1x y =【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】根据指数函数的定义知，()0,1xy a a a =>≠，可得函数23x y =⋅不是指数函数；函数3x y =-不是指数函数；函数3x y -=是指数函数；函数1x y =不是指数函数. 故选：C.9．函数()244xy a a a =-+是指数函数，则有（ ）A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a ＞0且a ≠1【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列不等式，由此求得正确选项. 【详解】由已知得244101a a a a ⎧-+=⎪>⎨⎪≠⎩，即2301a a a a ⎧+=⎪⎨⎪≠⎩，解得3a =．故选：C10．若函数()x f x a =（a >0，且a ≠1）的图象经过(12,)3，则(1)f -=（ ） A ．1 B ．2 CD ．3【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数所过的点求解析式，进而求(1)f -的值. 【详解】由题意，21(2)3f a ==，又a >0，则a =①()x f x =，故1(1)f --== 故选：C针对练习三 指数函数的图像11．函数2x y -=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式可得函数2x y -=是以12为底数的指数函数，再根据指数函数的图像即可得出答案. 【详解】解：由122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭，得函数2x y -=是以12为底数的指数函数，且函数为减函数，故D 选项符合题意. 故选：D.12．函数①x y a =；①x y b =；①x y c =；①x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：5413，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．5413，12 B 54，12，13C ．12，1354D ．13，12，54【答案】C 【解析】 【分析】由直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b 即可求解. 【详解】解：直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，511423>>， 所以a ，b ，c ，d 的值分别是12，1354， 故选：C.13．若0a >且1a ≠，则函数()11x f x a -=+的图象一定过点（ ）A ．()0,2B ．()0,1-C ．()1,2D ．()1,1-【答案】C 【解析】 【分析】令10x -=求出定点的横坐标，即得解. 【详解】解：令10,1-=∴=x x .当1x =时，()1111=2f a -=+，所以函数()f x 的图象过点()1,2. 故选：C.14．已知函数f （x ）= ax +1的图象恒过定点P ，则P 点的坐标为（ ） A ．(0，1) B ．(0，2) C ．(1，2)D ．()1,1a +【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数过定点的性质进行求解. 【详解】()x f x a =的图象恒过定点()0,1，所以()1x f x a =+的图象恒过定点()0,2故选：B15．对任意实数01a <<，函数()11x f x a -=+的图象必过定点（ ）A ．()0,2B ．()1,2C ．()0,1D ．()1,1【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的知识确定正确选项. 【详解】当10x -=，即1x =时，()12f =， 所以()f x 过定点()1,2. 故选：B针对练习四 指数函数的定义域16．函数y ） A ．(,3]-∞ B ．[3,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域定义求解即可. 【详解】要使得函数y 则390x -≥，39x ≥，233x ≥，解得2x ≥.故函数y [2,)+∞. 故选：D.17．函数()22f x x -的定义域为（ ） A ．[0,2) B ．(2,)+∞C ．()(),22,-∞+∞D ．[0,2)(2,)⋃+∞【答案】D 【解析】求出使函数式有意义的自变量的范围即得、 【详解】由21020x x ⎧-≥⎨-≠⎩得02x x ≥⎧⎨≠⎩，即[0,2)(2,)x ∈⋃+∞.故选：D.18．设函数f （x ），则函数f （x 4）的定义域为（ ） A ．(],4∞- B ．1,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．(]0,4D ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】求得4x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0，结合指数函数的性质求解即可． 【详解】因为()f x =所以4x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭因为44440,44,1,44x x x x -≥≤≤≤，所以4xf ⎛⎫⎪⎝⎭的定义域为(],4-∞，故选A ．【点睛】本题主要考查函数的定义域以及指数函数的单调性的应用，是基础题．定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.19．已知函数()y f x =的定义域为()0,1，则函数()()21xF x f =-的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．()(),00,1-∞⋃C ．()0,∞+D ．[)0,1【答案】B 【解析】 【分析】抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x 的取值范围；二是同一对应法则下，取值范围一致. 【详解】()y f x =的定义域为()0,1，1021x-∴<<，即121121x x ⎧-<-<⎨≠⎩，10x x <⎧∴⎨≠⎩，解得：1x <且0x ≠， ()()21x F x f ∴=-的定义域为()(),00,1-∞⋃.故选：B .20．函数y (－∞，0]，则a 的取值范围为( ) A ．a ＞0 B ．a ＜1 C ．0＜a ＜1 D ．a ≠1【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得10x a -≥，对a 讨论，分1,01a a ><<,运用指数函数的单调性，列不等式即可得到a 的范围. 【详解】要使函数0y a >且1)a ≠有意义, 则10x a -≥, 即01x a a ≥=, 当1a >时，0x ≥；当01a <<时，0x ≤，因为y =的定义域为(],0-∞ 所以可得01a <<符合题意，a ∴的取值范围为01a <<，故选C.【点睛】本题考查函数的定义域以及指数函数的单调性，注意运用偶次根式被开方式非负，意在考查分类讨论思想与运算能力，属于中档题.针对练习五 指数函数的值域21．函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,2【答案】D 【解析】 【分析】令22t x x =-，则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭，转求二次函数与指数函数的值域即可.【详解】令22t x x =-，则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭，①()222111t x x x =-=--≥-，①(],2120ty ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝，①函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,2，故选：D22．若23x ，则函数1()421x x f x +=-+的最小值为（ ） A ．4 B ．0C ．5D ．9【答案】A 【解析】 【分析】设23x t =，则2()21=-+f t t t 利用函数()f t 单调性可得答案. 【详解】设23x t =，则()22()211=-+=-f t t t t （3t ）， 对称轴为1t =，所以()f t 在[)3,+∞上单调递增，所以2min ()(3)32314f t f ==-⨯+=.故选：A.23．函数2121x x y -=+的值域是（ ）A ．()(),11,-∞--+∞B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()(),11,-∞+∞【答案】C 【解析】 【分析】将函数化为121xyy+=-，利用20x >列出关于y 的不等式，解出不等式即可. 【详解】设2121x x y -=+，由原式得121xy y +=-，20x >, 101yy+∴>-， ①11y -<<，即函数()f x 的值域为(1,1)-. 故选：C24．已知函数()()1123,12,1x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．[)0,2【答案】A 【解析】 【分析】先求出12x y -=在[)1,+∞上的取值范围，再利用分段函数的值域进行求解．【详解】因为12x y -=在[)1,+∞上单调递增， 所以当1≥x 时，1022=1x y -=≥， 若函数()f x 的值域为R ，则1201231a a a ->⎧⎨-+≥⎩， 解得102a ≤<． 故选：A.25．函数2x y a =-（0a >且1a ≠，11x -≤≤）的值域是5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数=a （ ）A ．3B ．13C ．3或13D ．23或32【答案】C 【解析】当0a >且1a ≠时，函数为指数型函数，需要分情况进行讨论解决．当1a >时，函数2x y a =-是增函数；当01a <<时，函数2x y a =-是减函数，由此结合条件建立关于a的方程组，解之即可求得答案． 【详解】当1a >时，2xy a =-在[]1,1-上为增函数， 211523a a-=⎧⎪∴⎨-=-⎪⎩，解得3a =；当01a <<时，2xy a =-在[]1,1-上为减函数，523121a a⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解得13a =．综上可知：3a =或13． 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了指数函数的单调性和值域，解题的关键是利用函数的单调性求解函数值域，但含有参数时往往需要讨论.针对练习六 指数函数的单调性26．函数2435x x y -+-=的单调递减区间是（ ） A ．[2,)+∞ B ．(,2]-∞ C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性“同增异减”来解题. 【详解】设243x x μ=-+-，在(,2]-∞单调递增，在[2,)+∞单调递减，5y μ=在(,)-∞+∞单调递增，根据“同增异减”可得，函数2435x x y -+-=的单调递减区间是[2,)+∞. 故选：A.27．函数223112x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为（ ） A ．(1,)+∞ B ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(),1-∞D ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数单调性法则“同增异减”求解即可. 【详解】解：因为函数2231y x x =-+在区间3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内是单调递减函数，所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得223112x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：D28．若函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，则a 的取值范围（ ）A ．4a ≤-B ．2a ≤-C ．2a ≥-D ．4a ≥-【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数单调性来求得a 的取值范围. 【详解】依题意函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，15xy =在R 上递减， 2y x ax =+的开口向上，对称轴为2ax =-，根据复合函数单调性同增异减可知，122a a -≤⇒≥-. 故选：C29．若函数()(),1,513,13x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,33⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,2C ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的性质，以及函数()f x 在R 上单调递减，结合指数函数的性质，可知011305133a a a a⎧⎪<<⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，求解不等式，即可得到结果. 【详解】①函数()f x 在R 上单调递减，①011305133a a a a⎧⎪<<⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得1233a <≤，实数a 的取值范围是12,33⎛⎤⎥⎝⎦. 故选：A.30．已知函数()()4211xa x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩，，是R 上的单调函数，那么实数a 的取值范围为（ ）A ．()01，B ．()13，C ．423⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．312⎛⎤ ⎥⎝⎦，【答案】C 【解析】 【分析】根据()f x 的单调性列不等式组，由此求得a 的取值范围. 【详解】 函数()()4211xa x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩，，，若()f x 在R 上为单调递增函数，则()14201421a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯≤⎩，解得423a ≤<；若()f x 在R 上为单调递减函数，则()142001421a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-⨯≥⎩，无解． 综上所述，实数a 的取值范围为423⎡⎫⎪⎢⎣⎭，． 故选：C针对练习七 比较大小与解不等式31．已知412a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，124b =，122c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．a c b << D ．b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性判断指数式的大小关系. 【详解】由题设，42a -=，2b =，122c =，又2x y =在定义域上递增， ①a c b <<. 故选：C.32．已知1313422,3,4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a <b <c B ．c <a <b C ．a <c <b D ．c <b <a【答案】B 【解析】 【分析】结合指数函数、幂函数的单调性确定正确选项. 【详解】4x y =在R 上递增，14y x =在()0,∞+上递增.123111334442422893c a b ==<==<==.故选：B33．若2141122a a+-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞C ．(3,)+∞D ．(3),-∞【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； 【详解】解：因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，所以2141122a a+-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭等价于214a a +<-，解得1a <，即原不等式的解集为(,1)-∞ 故选：A34．若x 满足不等式221139x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数2x y =的值域是（ ）A ．1,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[2,)+∞【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数的单调性得到自变量的范围，进而得到指数函数的值域. 【详解】 由221139x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭可得2212(2)1339x x x -+--⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为3x y =在R 上单调递增， 所以2124x x +-+即x 2+2x -3≤0， 解得：31x -≤≤ ， 所以31222x y -=，即函数2x y =的值域是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选:B .35．若1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列正确的是（ ）A ．33a b <B ．ac bc >C ．11a b<D ．b c a c -<-【答案】D 【解析】 【分析】先根据题干条件和函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性得到a b >，A 选项可以利用函数的单调性进行判断，BC 选项可以举出反例，D 选项用不等式的基本性质进行判断. 【详解】因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，若1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a b >，对于选项A ：若a b >，因为()3f x x =单调递增，所以33a b >，故A 错误；对于选项B ：当a b >时，若0c ，则ac bc =，故B 错误；对于选项C ：由a b >，不妨令1a =，2b =-，则此时11ab>，故C 错误； 对于选项D ：由不等式性质，可知D 正确. 故选：D.针对练习八 指数函数的应用36．专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：0.22(340)1()1t f t e--=+，当()0.1f t =时，标志着疫情将要局部爆发，则此时t 约为（参考数据： 1.13e ≈）（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40【答案】A 【解析】 【分析】根据()0.1f t =列式，并根据给出参考数据，结合指数函数的性质解相应的指数方程，即可得答案. 【详解】解：因为()0.1f t =，0.22(340)1()1t f t e--=+，所以0.22(340)10.11t e--=+，即0.22(340)011t e --=+，所以0.22(340)9t e --=，由于 1.13e ≈，故()21.12.29e e =≈， 所以0.22(23).240t e e --≈，所以()0.22340 2.2t --≈，解得10t ≈. 故选：A.37．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在α型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型(e )rt I t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R 、T 近似满足01R rT =+，有学者基于已有数据估计出0 3.22R =，10T =.据此，在α型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至(0)I 的4倍，至少需要（ ）（参考数据：ln 20.69≈） A ．6天 B ．7天 C ．8天 D ．9天【答案】B 【解析】 【分析】根据题意将给出的数据代入公式即可计算出结果 【详解】因为0 3.22R =，10T =，01R rT =+，所以可以得到01 3.2210.22210R r T --===0.2220(0)1I e ⨯==，由题意可知0.2224t e >，ln 42ln 220.696.20.2220.2220.222t ⨯>=≈≈ 所以至少需要7天，累计感染病例数增加至(0)I 的4倍 故选：B38．某灭活疫苗的有效保存时间T （单位：小时h ）与储藏的温度t （单位：①）满足的函数关系为e ht b T +=（k ，b 为常数，其中e 2.71828=⋅⋅⋅，是一个和π类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0①时的有效保存时间是1080h ，在10①时的有效保存时间是120h ，则该疫苗在15①时的有效保存时间为（ ） A ．15h B ．30h C ．40h D ．60h【答案】C 【解析】 【分析】根据已知的函数模型以及已知数据，待定系数即可求得结果. 【详解】由题意知1080e b =，1010120e e e k b k b +==⋅，所以()21051201ee 10809kk===， 所以51e 3k =，所以151e 27k =，所以15151ee e 10804027k bk b +=⋅=⨯=. 故选：C ．39．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ︒）满足函数关系e kx b y +=（e 2.718=为自然对数的底数，,k b 为常数）．若该食品在0C ︒的保鲜时间是192小时，在33C ︒的保鲜时间是24小时，则该食品在22C ︒的保鲜时间是（ ） A ．20 小时 B ．24小时 C ．36小时 D ．48小时【答案】D 【解析】 【分析】根据题意建立方程组，进而解出11e ,e b k ，然后将22代入即可求得答案. 【详解】由题意，331133e 1922411e e 19282e24b k k k b+⎧=⇒==⇒=⎨=⎩，所以该食品在22C ︒的保鲜时间是2222e e e 1192484k b k b +=⋅=⨯=.故选：D.40．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：()100e ktθθθθ-=-+，其中为时间（单位：min ），0θ为环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20C 的情况下，一桶咖啡由100C 降低到60C 需要20min .则k 的值为（ ） A ．ln 220B ．ln 320C ．ln 210-D ．ln 310-【答案】A 【解析】 【分析】把020θ=，1100θ=，60θ=，20t =代入()100e ktθθθθ-=-+可求得实数k 的值.【详解】由题意，把020θ=，1100θ=，60θ=，20t =代入()100e ktθθθθ-=-+中得2080e 2060k -+=，可得201e2k-=， 所以，20ln 2k -=-，因此，ln 220k =. 故选：A.。

指数函数基础练习题指数函数是数学中的一个重要概念，广泛应用于自然科学、社会科学以及工程技术等领域。

它具有独特的性质和特点，是数学学习中不可或缺的一部分。

为了更好地掌握指数函数的基本知识和解题方法，下面将介绍一些常见的指数函数基础练习题。

1. 指数函数的定义指数函数是以底数为常数的指数幂的函数形式表示的。

通常用f(x) = a^x来表示，其中a为底数，x为指数。

指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。

在指数函数中，底数a大于1时，函数呈现增长趋势；底数a小于1且大于0时，函数呈现衰减趋势。

2. 指数函数的性质指数函数具有以下重要的性质：（1）指数函数的图像在x轴上有一个水平渐近线y=0。

（2）指数函数的图像随着x的增大而上升，或者随着x的减小而下降。

（3）指数函数在x=0处有一个特殊点，即f(0)=1。

（4）指数函数的图像在y轴上有一个垂直渐近线x=0。

3. 指数函数的解题方法（1）求解指数函数的零点：当指数函数的函数值等于零时，即f(x) = 0，可以通过求解方程a^x=0来得到指数函数的零点。

由于指数函数的值域为正实数集，所以指数函数没有零点。

（2）求解指数函数的交点：当两个指数函数相交时，可以通过求解方程a^x=b^x来得到交点的横坐标。

其中，a和b为不等于1的正实数。

（3）求解指数函数的极值：当指数函数的底数大于1时，函数呈现增长趋势，没有极值。

当指数函数的底数小于1且大于0时，函数呈现衰减趋势，也没有极值。

4. 指数函数的应用指数函数在实际应用中有着广泛的应用，其中一些典型的应用包括：（1）生物学领域：指数函数可以用来描述生物种群的增长和衰减规律，如细菌的繁殖、动物的繁殖等。

（2）经济学领域：指数函数可以用来描述经济增长和衰退的趋势，如国内生产总值的增长、股票市场的波动等。

（3）物理学领域：指数函数可以用来描述物质的衰变和放射性元素的半衰期等。

5. 指数函数的练习题下面是一些关于指数函数的练习题，供读者进行练习和巩固所学知识：（1）已知指数函数f(x) = 2^x，求f(3)的值。

指数与对数基础题训练一、单选题1．在①4x y =；②4y x =；③4x y =-；④()4xy =-；⑤14xy =中，y 是关于x 的指数函数的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．若直线y =2a 与函数21xy =-的图象有且只有一个公共点，则a 的取值范围（ ）A ．1(0,)2B ．1[,)2+∞C ．1{0}(,)2⋃+∞D ．1{0}[,)2⋃+∞3．若指数函数x y a =，x y b =，x y c =（其中a 、b 、c 均为不等于1的正实数）的图象如图所示，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>；B ．c a b >>；C ．c b a >>D ．b a c >>．4．函数(1)xy a a =>的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．函数y ＝3x 与3x y -＝的图象关于下列哪条直线对称（ ） A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝xD ．直线y ＝－x6．函数()2log 21xy =+的值域是（ ）A ．[1,)+∞B ．(0,1)C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞7．已知1313422,3,4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a <b <cB ．c <a <bC ．a <c <bD ．c <b <a8．设x ∈R ，则“42x x >”是“1x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．若log 3(log 2x )＝1，则x 12-等于（ ） A ．13B C D10．计算235111log log log 9254⋅⋅=（ ）A ．8B ．6C ．－8D ．－611．函数f (x )lg(5－3x )的定义域是（ ） A ．50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．51,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．函数()()log 101a f x x a =+<<的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．13．如图是对数函数log a y x =的图象，已知a ，53，45，18，则相应的1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次是（ ）A ．18，45，53B53，45，18C ．5345，18D53，18，4514．函数(log 42)a y x -+=（0a >且1a ≠）恒过定点（ ） A ．()4,2B ．()2,4C ．()5,2D ．()2,515．已知函数4log ,04()13, 4.2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(16)，B ．(4,6)C ．(2,3)D ．(8,12)16．已知0.1log 0.4a =，0.1log 1.1b =，c =40.1，则（ ） A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<17．已知实数,a b 满足log log 221a b >>，则（ ） A ．12a b <<<B ．12a b <<<C ．12b a <<<D ．12a b <<<18．若函数()()log 0,1a f x x a a =>≠的反函数的图象过点()1,3，则()2log 8f =（ ） A ．1-B ．1C ．2D ．319．3x y =与3log y x =的图象关于（ ） A ．x 轴对称 B ．直线y x =对称 C ．原点对称D ．y 轴对称20．方程2log 2x x +=的解所在的区间为（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．322⎛⎫⎪⎝⎭， D ．522⎛⎫⎪⎝⎭，第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题21．若指数函数()y f x =的图象过点()2,4，则()f x =__________．22．函数()33xf x a -=-（0a >，且1a ≠）的图像恒过定点的坐标为___________.23．函数132x y +=-的图像是由函数3x y =的图像沿x 轴向_______平移_______个单位，再沿y 轴向_______平移_______个单位得到的． 24．函数y ___________.25．若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上最大值是最小值的2倍，则a =______.26．函数()2212x xf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的增区间为_______.27．若函数(0xy a a =>且1)a ≠在[]2,4上的最大值比最小值大22a，则=a ___________.28．设函数()21,024,0x x x f x x -⎧+>=⎨-+<⎩，则21log 3f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦______．29．计算103889()log 4lg9lg3()274-++÷--=______．30．325log 5log 3⨯=______.31．若对数函数的图象过点()4,2-，则此函数的表达式为______.32．函数()20.3log 56y x x =-+-的单调递增区间是___________.33．若函数(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩在x ∈R 上是严格减函数，则实数a 的取值范围为________．34．若函数()2lg 2y x ax =-+在区间()1,2上是严格减函数，则实数a 的取值集合是______．35．若函数()()log 1a f x ax =-在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为______.36．若函数y =f （x ）是函数y =2x 的反函数，则f （2）=______. 37．已知函数())ln 31f x x =+，则()1lg 5lg 5f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．三、解答题 38．计算:（1）07log 2(9.8)log lg25lg47+-++；（212 03331(1)(3)()864π---+.39．计算：（1）2200.75333π8124-⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭；（2）()221log 31lg 20lg 255lg 2lg522-++++.40．化简下列各式： （1（2）()()401130.7532370.0642160.018---⎛⎫⎡⎤--+-++- ⎪⎣⎦⎝⎭. 41．用分数指数幂的形式表示下列各式(a >0，b >0)．（1）a（2（3）2 （42．42．已知x 满足311x ≥+，求函数142x x y +=-的最大值及最小值． 43．比较下列各组数的大小： （1）1.52.5和1.53.2； （2）0.6－1.2和0.6－1.5； （3）1.70.2和0.92.1.44．已知函数1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）画出函数()f x 的图象，并指出函数的单调区间； （2）讨论直线y a =与函数()f x 图象的交点个数. 45．已知2x ＝3y ＝a ，若112x y+=，求a 的值． 46．求下列各式中x 的值： （1）43log 2x =-；（2）()23log log 1x =； （3）3log 272x =； （4）453x x =⨯． 47．计算下列各题：（1）1403443340.064()[(2)]25-----+-⋅（2）5log 22232lg 25lg8lg5lg 20lg 2log 3log 853++⋅++⋅+48．求下列函数的定义域、值域及单调区间： （1）13()log (4)f x x =-；（2）22()log ()f x x =；49．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（1）当[]1,16x ∈时，求该函数的值域； （2）求不等式()2f x >的解集；（3）若()4log f x m x <于[]4,16x ∈恒成立，求m 的取值范围． 50．已知函数()()2log 2f x x =-，()()2log 2g x x =+.（1）设函数()()()F x f x g x =+，求()F x 的定义域，并判断()F x 的奇偶性； （2）若[]1,1x ∈-时，()()122f m xg x -≥恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．B 【分析】根据指数函数的定义进行求解判断即可. 【详解】根据指数函数的定义，知①⑤中的函数是指数函数，②中底数不是常数，指数不是自变量，所以不是指数函数；③中4x 的系数是-1，所以不是指数函数；④中底数-4﹤0，所以不是指数函数. 故选：B. 2．D 【分析】画出两个函数在同一坐标系下的图象，数形结合分析即得解. 【详解】画出两个函数在同一坐标系下的图象，若两个函数图象有且只有一个公共点， 则20a =或21a ≥，0a ∴=或12a ≥. 故选：D ． 3．B 【分析】根据指数函数图象可得1c >，01a <<，01b <<，然后取1x =，判断a ，b 大小即可. 【详解】由所给图象，可知x y c =在R 上是严格增函数，根据指数函数的单调性， 得1c >．同理可得01a <<，01b <<．不妨取1x =，此时x y a =的图象在x y b =上方，即a b >．所以c a b >>， 选：B ． 4．B 【分析】,0,0x xx a x y a a x -⎧>==⎨<⎩，根据指数函数的性质，作出分段函数的图象即可.【详解】,0,0x xx a x y a a x -⎧>==⎨<⎩，当0x ≥时，因为1a >，所以x y a =过点()0,1且单调递增，结合指数函数的图象特点，排除选项A 、C 、D ， 故选：B 5．B 【分析】取函数y ＝3x 的图象上任意一点，然后计算可得 (－x 0，y 0) 在3＝-x y 的图象上，简单判断可得结果. 【详解】若点(x 0，y 0)在y ＝3x 的图象上，即 y 0＝03x ， 则()003＝--x y∴(－x 0，y 0)在003＝-x y 的图象上，反之亦然，∴y ＝3x 与3＝-x y 关于y 轴对称． 故选：B. 【点睛】本题考查函数图象对称问题，考查分析能力，属基础题. 6．D 【分析】利用指数函数的性质可求原函数的值域. 【详解】设21x t =+，则211x t =+>，故()2log 210x+>，故()2log 21xy =+的值域为(0,)+∞，故选：D. 7．B 【分析】结合指数函数、幂函数的单调性确定正确选项. 【详解】4x y =在R 上递增，14y x =在()0,∞+上递增.123111334442422893c a b ==<==<==.故选：B 8．B 【分析】把命题42x x >化简为0x >，再考查以0x >，1x >分别为题设，结论和结论，题设的两个命题真假即可作答. 【详解】因2422220x x x x x x x >⇔>⇔>⇔>， 又01x x >>，而10x x >⇒>，即“0x >”是“1x >”的必要不充分条件，所以“42x x >”是“1x >”的必要不充分条件． 故选：B 9．C 【分析】由对数的定义求得x ，再由幂的运算法则计算． 【详解】解析 ∵log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3， ∴x ＝23＝8，则x 12-= 故选：C ． 10．C【分析】根据对数的计算法则和换底公式运算即可. 【详解】222235235235111log log log log 3log 5log 28log 3log 5log 289254---⋅⋅=⋅⋅=-⋅⋅=-,故选：C. 11．C 【分析】由二次根式下被开方数非负，对数的真数大于0求解． 【详解】由lg 0,530,x x ≥⎧⎨->⎩得1,5,3x x ≥⎧⎪⎨<⎪⎩即1≤x <53.故选：C ． 12．A 【分析】分析函数()f x 的奇偶性及该函数在()0,∞+上的单调性，可得出合适的选项. 【详解】函数()()log 101a f x x a =+<<的定义域为{}0x x ≠，()()log 1log 1a a f x x x f x -=-+=+=，函数()f x 为偶函数，当0x >时，()log 1a f x x =+，即函数()f x 在()0,∞+上为减函数. 故选：A. 13．B 【分析】根据对数函数的图象与性质判断． 【详解】∵当1a >时，图象呈上升趋势；当01a <<时，图象呈下降趋势，又当1a >时，a 越大，图象向右越靠近x 轴；01a <<时，a 越小，图象向右越靠近x 轴，故1C ，2C ，3C ，4C 对应的a53，45，18．故选：B ． 14．C 【分析】根据对数函数的知识确定正确选项. 【详解】当41x -=，即5x =时，2y =，所以定点为()5,2. 故选：C 15．B 【分析】画出()f x 的图象，结合对数运算求得abc 的取值范围. 【详解】画出()f x 的图象如下图所示， 4441log log log x x x=-=，所以不妨设1ab =， 所以()4,6abc c =∈. 故选：B16．A 【分析】利用指对数函数的性质判断指对数式的大小. 【详解】由0.10.10.10.1log 1.10log 0.4log 0.114<<<=<， ∴b a c <<. 故选：A.17．B 【分析】利用对数函数的单调性及对数的运算即可得解. 【详解】21log log a a a >=，12a ∴<<，同理12b <<又log 2log 2a b >，lg 2lg 2lg lg 22lg 20lg lg lg log log lg a b b aa b a b∴--=-=⋅>⋅ 又lg 20>，lg 0a >，lg 0b >， lg lg 0b a -∴>，即lg0ba >，1b a∴>，b a ∴>，12a b ∴<<< 故选：B 18．B 【分析】利用同底的指数函数与对数函数互为反函数求出a 值，再借助对数运算即可作答. 【详解】依题意，函数()()log 0,1a f x x a a =>≠的反函数是x y a =，即函数x y a =的图象过点()1,3， 则3a =，()3log f x x =，于是得()2323log 8log (log 8)log 31f ===， 所以()2log 81f =. 故选：B 19．B 【分析】利用反函数的性质即可得出结论. 【详解】函数3x y =与3log y x =互为反函数，故其图象关于直线y x =对称． 故选：B . 20．B 【分析】根据题意，设()2log 2f x x x =+-，根据基本初等函数的单调性，可知函数()f x 在()0,∞+上单调递增，再利用零点存在性定理可判断()f x 零点所在区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，从而得出答案.【详解】解：设()2log 2f x x x =+-，可知函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()110f =-<，223311log log 02222f ⎛⎫=->= ⎪⎝⎭，则()3102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，所以()f x 零点所在区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，故方程2log 2x x +=的解所在的区间为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B. 21．2x 【分析】设()(0xf x a a =>且1)a ≠，把点()2,4代入求出a 的值，可得函数解析式．【详解】解：由题意，设()(0xf x a a =>且1)a ≠，由函数()y f x =的图象过点()2,4得：24a =，则2a =，()2x f x ∴=故答案为：2x . 22．()3,2- 【分析】根据指数函数的性质，令幂指数等于零，求得,x y 的值，即可得出函数图像恒过定点的坐标. 【详解】令30x -=，3x ∴=,()33332f a -=-=-，∴()f x 的图像恒过定点的坐标为()3,2-.故答案为：()3,2-23．左 1 下 2 【分析】利用函数图象变换规律即得. 【详解】函数132x y +=-的图象由函数3x y =的图像沿x 轴向左平移1个单位得到函数13x y +=的图象，再沿y 轴向下平移2个单位得到的. 故答案为：左；1；下；2. 24．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦＃＃1|2x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭【分析】根据偶次被开方数大于等于零，以及指数函数的单调性即可解出． 【详解】由题意可得，12310x --≥，所以120x -≥，即12x ≤． 故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．25．2或12【分析】将a 分成01,1a a <<>两种情况，根据()f x 的单调性以及函数最大值是最小值的两倍列方程，解方程求得a 的值. 【详解】当01a <<时，函数()xf x a =为R 上的减函数，故()()122f f =，即22a a =，解得12a =. 当1a >时，函数()xf x a =为R 上的增函数，故()()221f f =，即22a a =，解得2a =.故a 的值为2或12. 故填：2或12. 【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 26．(),1-∞- 【分析】利用复合函数的单调区间的求解方法，即“同增异减”，进行求解 【详解】设22t x x =+，则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为22t x x =+在区间(),1-∞-上为减函数，区间()1,-+∞上为增函数，12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数， 所以()2212x xf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的增区间为(),1-∞-.故答案为：(),1-∞-27．2或 【分析】对a 进行分类讨论，分别求出01a <<和1a >下()xf x a =的最大值和最小值，列出方程，求出结果 【详解】若01a <<，则函数()x f x a =在区间[]2,4上单调递减，24max min (),()f x a f x a ∴==，由题意得2242a a a -=，又01a <<，故a =若1a >，则函数()xf x a =在区间[]2,4上单调递增，4max ()f x a ∴=，2min()f x a =，由题意得2422a a a -=，又1a >，故a =28．3 【分析】利用给定的分段函数对所求值的表达式由内及外依次计算函数值即可得解. 【详解】因函数()21,024,0x x x f x x -⎧+>=⎨-+<⎩，则221log log 332242411(log )3f --+=-+==，所以121[(log )](1)2133f f f ==+=.故答案为：3 29．196## 【分析】根据指数和对数的运算性质即可求出． 【详解】解：原式1332lg43219()2lg3lg31213lg8236⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=++÷-=++-=．故答案为：196． 30．12##【分析】直接根据对数运算性质与换底公式计算即可. 【详解】解：232533551lg5lg31log 5log 3log 5log 3log 5log 32lg32lg52⨯=⨯=⨯=⨯= 故答案为：12 31．()12log 0y x x =>【分析】将点()4,2-代入对数解析式求出底数，即可求解. 【详解】设对数函数为log a y x =，()0,1a ∈，因为对数函数的图象过点()4,2-，所以2log 4a -=，即2242a -==，解得12a =，所以()12log 0y x x =>.故答案为：()12log 0y x x =>32．[)2.5,3 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性原理求函数的单调递增区间. 【详解】由题得2560x x -+->， 23x ∴<<函数2(23)56u x x x -+-=<<在5(2,]2单调递增，在5[,3)2单调递减，函数0.3log y u =在定义域内单调递减，所以函数()20.3log 56y x x =-+-的单调递增区间是5[,3)2.故答案为：[)2.5,3 33．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】分段函数要满足在R 上单调递减，要在每一段上单调递减，且分段处左边函数的端点值大于等于右边函数的端点值. 【详解】因为(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩在x ∈R 上是严格减函数，所以要满足：31001314log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，解得：1173a ≤<，所以实数a 的取值范围是11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为：11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭34．{}1 【分析】根据给定条件结合复合函数单调性分析计算作答. 【详解】依题意，()1,2x ∀∈，函数()2lg 2y x ax =-+有意义，则210440a a -≥⎧⎨-≥⎩，解得1a ≥，在()2lg 2y x ax =-+中，220x ax -+>，解得02x a <<，令22u x ax =-+，则22u x ax =-+在(0,)a 上单调递增，在(,2)a a 上单调递减，而lg y u =是增函数，因函数()2lg 2y x ax =-+在区间()1,2上是严格减函数，则函数22u x ax =-+在()1,2上递减，于是得(1,2)(,2)a a ⊆，因此，122a a ≤⎧⎨≥⎩，解得1a =，所以实数a 的取值集合是：{}1. 故答案为：{}1 35．()1,4结合已知条件，由对数型复合函数单调性和定义域即可求解. 【详解】由题意可知，0a >且1a ≠，所以1y ax =-在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，因为函数()()log 1a f x ax =-在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，由复合函数单调性可知，1a >，又由对数型函数定义域可知，1104a ->，即4a <，综上可知，14a <<. 故答案为：()1,4. 36．1 【分析】根据反函数的定义即可求解. 【详解】由题知y ＝f (x )＝2log x ，∴f (2)＝1. 故答案为：1. 37．2 【分析】先根据题意求()()f x f x +-的值，然后再求()1lg 5lg 5f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值【详解】因为())ln31f x x =+（x ∈R ），所以))()()ln31ln31f x f x x x +-=+++()22ln 19922x x =+-+=，所以()()()1lg 5lg lg 5lg 525f f f f ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，故答案为：2 38． （1）132；【分析】（1）根据对数的运算性质，即可化简求值；（2）根据根式的化简和指数幂的运算法则，即可求解. （1）解：()70log 2log lg 25lg 479.8+++-()323log 3lg 25421=+⨯++32212=+++ 132=. （2）12 03331(1)(3)()864π---+12332711()()864-=-+()1323333142--⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦5311622=--+ 16=. 39． （1）27-； （2）233. 【分析】（1）根据根式的化简以及指数幂的运算性质，即可化简求值； （2）根据对数的运算性质进行化简运算即可求解. （1）解：原式()32444323231232132727232=⨯+-⨯-=+--=-.（2）解：lg 20lg102lg10lg 21lg 2=⨯=+=+，211lg 25lg5lg522==，()()()2225lg 2lg55lg 255lg105+=⨯==⎡⎤⎣⎦， ()22211log 3log 3log 31222222233----=⨯=⨯=⨯=， ∴原式222231lg 2lg551lg10573333=++++=+++=+=. 40． （1）54a （2）14380【分析】（1）把根式化为分数指数幂，再利用指数幂的运算性质即得； （2）利用分数指数幂的运算性质运算即得. （1）1131332315355224423115454a b a b a a a a b b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅=⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2） 原式()()()1343434151111430.412211021681080---=-+-++=-+++=. 41． （1）52a ； （2）136a ； （3）7362a b ； （4）76a . 【分析】由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质化简求值即可. （1）原式＝11522222a a a a +⋅==. （2）原式＝22313333262a a a a +⋅==．（3） 原式＝1221711333233332622222()()a ab a a b ab a b +⋅===. （4） 原式＝55722666a a a a --⋅==．42．max 8y =，min 1y =-【分析】先求x 的范围，再通过换元法求最值.【详解】 由311x ≥+可得：201x x -≥+可得：(]1,2x ∈-，令2x t =，(]1,2x ∈-， 则()222(2)22211x x y t t t =-⨯=-=--，1,42t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 当1t =即0x =时，min 1y =-；当4t =即2x =时，max 8y =．43．（1）1.52.5＜1.53.2（2）0.6－1.2＜0.6－1.5（3）1.70.2＞0.92.1【分析】(1)(2)根据指数函数的单调性即可比较；(3)与中间值1比较即可.（1）1.52.5，1.53.2可看作函数y ＝1.5x 的两个函数值，由于底数1.5＞1，∴函数y ＝1.5x 在R 上是增函数，∵2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2.（2）0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y ＝0.6x 的两个函数值，∵0＜0.6＜1，∴函数y ＝0.6x 在R 上是减函数，∵－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5.（3）由指数函数性质得，1.70.2＞1.70＝1，0.92.1＜0.90＝1，∴1.70.2＞0.92.1.44．（1）见详解；（2）见详解.【分析】（1）根据函数解析式，直接画出图象，由图象即可得出单调区间；（2）由（1）中图象，即可得出结果.【详解】（1）因为11,021()1211,02xx x x f x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=-=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， 画出其图象如下：由图象可得，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+；单调递减区间为(),0-∞；（2）由（1）中图象可得，当0a <时，直线y a =与函数()f x 的图象没有交点；当0a =时，直线y a =与函数()f x 的图象有一个交点；当01a <<时，直线y a =与函数()f x 的图象有两个交点；当1a ≥时，直线y a =与函数()f x 的图象有一个交点；综上，当0a <时，直线y a =与函数()f x 图象的交点个数为0个；当0a =或1a ≥时，直线y a =与函数()f x 图象的交点个数为1个；当01a <<时，直线y a =与函数()f x 图象的交点个数为2个.45．a【分析】利用对指互化得到x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，再利用对数的运算化简求值.【详解】因为2x ＝3y ＝a ，所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，所以1x ＋1y ＝2311log log a a +＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝2， 所以a 2＝6，解得a ＝又因为a >0，所以a.46．（1）18（2）9（3）9（4）43log 5 【分析】（1）结合对数与指数的互化公式以及指数的运算公式即可求出结果；（2）利用对数与指数的互化公式即可求出结果；（3）结合对数与指数的互化公式以及指数的运算公式即可求出结果；（4）利用对数与指数的互化公式以及指数的运算公式即可求出结果.（1） 因为43log 2x =-，则()33232214228x ---====； （2）因为()23log log 1x =，所以13log 2x =，即3log 2x =，故239x ==； （3） 因为3log 272x =，所以3227x =，即2327x =，所以()2323339x ===（4） 因为453x x =⨯，所以453x⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此43log 5x =. 47．（1）1（2）8【分析】（1）根据指数幂的运算性质运算即可得出答案；（2）根据对数的运算性质及换底公式计算即可得出答案.（1）解：1403443340.064()[(2)]25-----+-⋅ 111190.41616=-+-⨯ 519121616=-+- 1=；（2） 解：5log 22232lg 25lg8lg5lg 20lg 2log 3log 853++⋅++⋅+ ()2lg33lg2lg25lg4lg52lg2lg5lg 22lg2lg3=+++++⨯+ 22lg1002lg5lg2lg 5lg 232=+++++22(lg2lg5)5=+++8=．48．（1）定义域为(4)∞-，，值域是R ，单调递增区间是(4)∞-，，无单调递减区间； （2）定义域为{|0}x x R x ∈≠且，值域是R ，单调递增区间是(0)+∞，，单调递减区间是(0)∞-，﹒【分析】求定义域，再根据复合函数“同增异减”的单调性判断方法即可求解﹒（1）由40x ->得4x <，∴定义域为(4)∞-，，值域是R ， 又1013<<，∴单调递增区间是(4)∞-，，无单调递减区间； （2）由20x >得0x ≠，∴定义域为{|x x R ∈且0}x ≠，值域是R ，又21>，∴单调递增区间是(0)+∞，，单调递减区间是(0)∞-，． 49．（1）9,58⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）104x x ⎧<<⎨⎩或}8x > （3）52m >【分析】 （1）利用换元法，结合二次函数的性质求得函数在区间[]1,16上的值域.（2）结合一元二次不等式、对数不等式的解法来求得不等式()2f x >的解集.（3）利用换元法并分离常数m ，结合函数的单调性求得m 的取值范围.（1）令4t log x =，[]1,16x ∈，则[]0,2t ∈，函数()f x 转化为()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,2t ∈， 则二次函数()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在]1,24⎛ ⎝上单调递增， 所以当14t =时，y 取到最小值为98-，当2t =时，y 取到最大值为5， 故当[]1,16x ∈时，函数()f x 的值域为9,58⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）由题得()4412220,2log x log x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，令4t log x =，则()122202t t ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，即2230t t -->，解得32t >或1t <-， 当32t >时，即432log x >，解得8x >；当1t <-时，即41log x <-，解得104x <<，故不等式()2f x >的解集为104x x ⎧<<⎨⎩或}8x >． （3）由于()4441222log x log x mlog x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭对于[]4,16x ∈上恒成立， 令4t log x =，[]4,16x ∈，则[]1,2t ∈即()1222t t mt ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭在[]1,2t ∈上恒成立， 所以121m t t>--在[]1,2t ∈上恒成立， 因为函数1y t=-在[]1,2上单调递增，2y t =也在[]1,2上单调递增， 所以函数121y t t =--在[]1,2上单调递增，它的最大值为52，故52m >时，()4f x mlog x <对于[]4,16x ∈恒成立． 50．（1）定义域为()2,2-；偶函数；（2）1m ≤-.【分析】(1)根据对数的真数大于0，列不等式组可解得定义域，根据奇偶性的定义判断可得奇偶性；(2)将1(2)()2f m xg x -≥转化为22m x ≤+[0,1]x ∈恒成立，继续转化为2222(2)22m t t t t ≤+--=--在t ⎡∈⎣上恒成立，再根据二次函数的单调性求出右边的最小值即可得到.【详解】(1)由题意，()()22()log 2log 2F x x x =-++，则2020x x ->⎧⎨+>⎩，解得22x -<<， 所以()F x 的定义域为()2,2-；因为()()()22log 2log 2F x x x -=--++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()22log 2log 2x x F x =++-=,所以函数()F x 为()2,2-上的偶函数；(2)因为()()122f m xg x -≥可化为()()221log 22log 22m x x -+≥+，可化为()22log 22log m x -+≥22m x -+可化为22m x ≤+[]1,1x ∈-恒成立,令t =22x t =-，因为[]1,1x ∈-，所以t ⎡∈⎣，所以2222(2)22m t t t t ≤+--=--在t ⎡∈⎣上恒成立，令()222h t t t =--，t ⎡∈⎣， 因为对称轴11224t -=-=⨯1<,所以()h t 在⎡⎣上递增，所以()()min 12121h t h ==--=-，为使2222(2)22m t t t t ≤+--=--在t ⎡∈⎣上恒成立，只需1m ≤-.【点睛】思路点睛：根据不等式恒成立求参数时，一般可将不等式变形，分离出参数，利用构造函数的方法，构造出函数，结合函数的基本性质，求出函数在给定区间的最值，即可求出参数范围；（有时也会用导数的方法求函数的最值）。

高中数学指数函数和对数函数练习题（带答案和解释）一、选择题1．下列函数：①y＝3x2(xN＋)；②y＝5x(xN＋)；③y＝3x ＋1(xN＋)；④y＝32x(xN＋)，其中正整数指数函数的个数为()A．0B．1C．2D．3【解析】由正整数指数函数的定义知，只有②中的函数是正整数指数函数．【答案】 B2．函数f(x)＝(14)x，xN＋，则f(2)等于()A．2 B．8C．16 D.116【解析】∵f(x)＝(14x)xN＋，f(2)＝(14)2＝116.【答案】 D3．(2019阜阳检测)若正整数指数函数过点(2,4)，则它的解析式为()A．y＝(－2)x B．y＝2xC．y＝(12)x D．y＝(－12)x【解析】设y＝ax(a＞0且a1)，由4＝a2得a＝2.【答案】 B4．正整数指数函数f(x)＝(a＋1)x是N＋上的减函数，则a 的取值范围是()A．a B．－10C．01 D．a－1【解析】∵函数f(x)＝(a＋1)x是正整数指数函数，且f(x)为减函数，0a＋11，－10.【答案】 B5．由于生产电脑的成本不断降低，若每年电脑价格降低13，设现在的电脑价格为8 100元，则3年后的价格可降为() A．2 400元 B．2 700元C．3 000元 D．3 600元【解析】1年后价格为8 100(1－13)＝8 10023＝5 400(元)，2年后价格为5 400(1－13)＝5 40023＝3 600(元)，3年后价格为3 600(1－13)＝3 60023＝2 400(元)．【答案】 A二、填空题6．已知正整数指数函数y＝(m2＋m＋1)(15)x(xN＋)，则m ＝______.【解析】由题意得m2＋m＋1＝1，解得m＝0或m＝－1，所以m的值是0或－1.【答案】0或－17．比较下列数值的大小：(1)(2)3________(2)5；(2)(23)2________(23)4.【解析】由正整数指数函数的单调性知，(2)3(2)5，(23)2(23)4.【答案】(1) (2)8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2019年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2020年的垃圾量为________吨．【解析】由题意知，下一年的垃圾量为a(1＋b)，从2019年到2020年共经过了8年，故2020年的垃圾量为a(1＋b)8. 【答案】a(1＋b) a(1＋b)8三、解答题9．已知正整数指数函数f(x)＝(3m2－7m＋3)mx，xN＋是减函数，求实数m的值．【解】由题意，得3m2－7m＋3＝1，解得m＝13或m＝2，又f(x)是减函数，则01，所以m＝13.10．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)，(1)求函数f(x)的解析式；(2)求f(5)；(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．【解】(1)设正整数指数函数为f(x)＝ax(a0，a1，xN＋)，因为函数f(x)的图像经过点(3,27)，所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(xN ＋)．(2)f(5)＝35＝243.(3)∵f(x)的定义域为N＋，且在定义域上单调递增，f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3；f(x)无最大值．11．某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y＝f(t)．(1)写出函数y＝f(t)的定义域和值域；(2)在坐标系中画出y＝f(t)(06)的图像；(3)写出研究进行到n小时(n0，nZ)时，细菌的总个数(用关于n的式子表示)．【解】(1)y＝f(t)的定义域为{t|t0}，值域为{y|y＝2m，mN＋)}；(2)06时，f(t)为一分段函数，y＝2，02，4，24，8，46.图像如图所示．(3)n为偶数且n0时，y＝2n2＋1；n为奇数且n0时，y＝2n－12＋1.。