人教版数学八年级下册第19章19．2 特殊的平行四边形 课时同步训练
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21世纪教育网 精品资料·第 8 页 （共 8 页） 版权所有@21世纪教育网 第十九章 四边形
19．2 特殊的平行四边形
19．2．3正方形
第1课时（共2课时）
课前预习篇
1．正方形的定义：有一组邻边 相等 且有一个角是 直角 的平行四边形叫做正方形．
2．正方形的性质：
（1）边：四边 相等 ，对边 平行 ；（2）角：四个角都是 直角 ；
（3）对角线：互相 垂直平分且相等 ，对角线把正方形分成四个全等的 等腰直角 三角形．
（4）对称性：既是 中心 对称图形，对称中心是 对角线的交点 ，又是 轴 对称图形，有 四 条对称轴
典例剖析篇
【例1】（2010苏州）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是 °．
【解析】此题考查了正方形的性质：对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，即此题中∠CAE=45°，∠ABC=90°，而由已知条件知：AE=AC，所以易求得∠E=67．5°，所以∠BCE=90°-∠E =22．5°．
【答案】22．5
【例2】（2010红河自治州）如图，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点，（G与B、C两点不重合），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两点不重合），若AF=BF+EF，∠1=∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论．
【解析】此题考查了正方形四边相等，四个角都是直角的性质，遇到同类的题，可考虑先证三角形全等，再证明角相等最后得出结论．
解：根据题目条件可判断DE//BF．
证明如下：因为四边形ABCD是正方形，
所以AB=AD，∠BAF+∠2=90°．
因为AF=AE+EF，又AF=BF+EF，所以AE=BF
因为∠1=∠2，所以△ABF≌△DAE（SAS）．
所以∠AFB=∠DEA，∠BAF=∠ADE．
所以∠ADE+∠2=90°，所以∠AED=∠BFA=90°．
所以DE//BF． 登陆21世纪教育
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基础夯实篇
1．下列性质中，正方形具有而菱形不具有的是 ( C )
A．对角线平分内角 B．对角线互相垂直平分
C．对角线相等 D．对称中心到各边的距离相等
2．下列性质中，正方形具有而矩形不具有的是 ( C )
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．四条边相等 D． 对角线互相平分
3．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则( C )
A．S=2
B．S=2．4
C．S=4
D．S与BE长度有关[来
4．如图，正方形ABCD的面积为1， M是AB的中点，连接AC、DM，则图中阴影部分的面积是 13 ．
5．如图在正方形ABCD中，E为AB的中点， E，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为____3____．
6．（2010宜宾）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP =EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD= 2EC．其中正确结论的番号是 ①②④⑤ ．
7．（2010宿迁）如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为 32 ．
决胜中考篇
8．（2010长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
MADCB 登陆21世纪教育
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21世纪教育网 精品资料·第 8 页 （共 8 页） 版权所有@21世纪教育网 （2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．
（1）证明：因为四边形ABCD是正方形
所以BC＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°
又EC＝EC
所以△ABE≌△ADE
（2）因为△ABE≌△ADE
所以∠BEC＝∠DEC＝12∠BED
因为∠BED＝120°所以∠BEC＝60°＝∠AEF
所以∠EFD＝60°+45°＝105°
9． (苏州2010)如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数kyx (x＞0)的图像经过点B．
(1)求k的值；
(2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、MA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数kyx (x＞0)的图像交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．
解：（1）因为四边形OABC是面积为4的正方形，
所以OA=OC=2．所以点B的坐标为（2，2）．
所以k=xy=2×2=4．
(2)因为正方形MABC′，NA′BC由正方形OABC翻折所得，所以ON=OM=2OA=4，
所以点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4．
因为点E，F在函数4yx的图像上，所以当x=4时，y=1，即E（4，1）．
当y=4时，x=1，即F（1，4）．
设直线EF的解析式为y=mx+n，将E，F两点坐标代入，得：
414mnmn，解得：m=-1,n=5．
所以直线EF的解析式为5yx
EBDACFA F D
E
B C 登陆21世纪教育
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21世纪教育网 精品资料·第 8 页 （共 8 页） 版权所有@21世纪教育网 10．(2010中山）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；以此下去···，则正方形A4B4C4D4的面积为_____625_____．
11．（2009北京）阅读下列材料：
小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：
(1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；
(2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连接AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）．
解：（1）拼接成的平行四边形是□ABCD（如图3）
（2）正确画出的图形如图4，平行四边形MNPQ的面积为25．
第2课时（共2课时）
课前预习篇
1．定义：有一组邻边 相等 且有一个角是 直角 的平行四边形叫做正方形
3．正方形的判定
（1）有一组邻边 相等 的矩形是正方形，对角线 互相垂直 的矩形是正方形．
（2）有一个角是 直角 的菱形是正方形，对角线 相等 的菱形是正方形．
（3）有一组邻边 相等且有一个角是 直角 的平行四边形叫做正方形．
（4）对角线______互相垂直且相等______的平行四边形是正方形． 第10题图（1） A1 B1 C1
D1
A B C D
D2
A2 B2 C2
D1 C1
B1 A1 A B C D
第10题图（2） 登陆21世纪教育 助您教考全无忧
21世纪教育网 精品资料·第 8 页 （共 8 页） 版权所有@21世纪教育网 （5）对角线______垂直平分且相等 ___的四边形是正方形．
3．特殊的平行四边形的性质与判定：
平行四边形 矩形 菱形 正方形
性
质 边 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等
角 对角相等 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角
对角线 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判定 两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等;两组对角分别相等；两条对角线互相平分． 有三个角是直是平行四边形且有一个角是直角;是平行四边形且两条对角线相等． 四边相等的四边形是平行四边形且有一组邻边相等；是平行四边形且两条对角线互相垂直． 是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角．
对称性 只是中心对称图形 既是轴对称图形，又是中心对称图形
典例剖析篇
【例1】已知：如图(4)，矩形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的平分线组成四边形A'B'C'D'，
求证：四边形A'B'C'D'是正方形．
【解析】要判定一个四边形是正方形，分两个步骤：
第一步先判定四边形是矩形，再 判定这个矫形又是菱形；或者：先判定四边形是菱形，再判定这个菱形又是矩形，即可判定它是正方形．
证明：因为AB'、BD'、CD'、DB'分别平分∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA，
所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°，所以∠B'＝∠D'＝90°，AD＝BC
所以△AB'D≌△BD'C (ASA) 。所以AB'＝BD'＝CD'＝DB'
同理可证：∠D'A'B'＝∠D'C'B'＝90且AA'＝BA'＝CC'＝DC'
所以四边形A'B'C'D'是矩形(有三个角都是直角的四边形是矩形)
又因为AB‘＝BD’ 且AA‘＝BA’(已证)，AB'－AA'＝BD'－BA'，A'B'＝A'D
所以四边形A'B'C'D'是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)
