8.3.2(2)球的表面积和体积-导学案【新教材】

球的体积和表面积教案教案名称：球的体积和表面积教学目标：1.了解球体积和表面积的概念以及计算公式。

2.通过具体实例，培养学生计算球体积和表面积的能力。

3.通过合作学习和讨论，提高学生的动手能力和分析问题的能力。

教学内容：1.球的体积和表面积概念介绍。

2.球体积的计算公式。

3.球表面积的计算公式。

4.实例讲解和练习。

教学过程：Step 1：引入教学（5分钟）教师可以通过问题引入，如“同学们是否知道什么是球的体积和表面积？”等，激发学生的学习兴趣。

Step 2：概念介绍（10分钟）通过教师的介绍和板书，向学生简单介绍球的体积和表面积的概念，并引导学生理解。

Step 3：计算公式（15分钟）教师通过示意图和具体的计算公式，向学生讲解球体积和表面积的计算方法，并强调公式的推导过程。

Step 4：实例讲解（15分钟）教师通过几个具体的实例，向学生讲解如何根据给定数据计算球的体积和表面积。

教师可以提供一些复杂的例子，并引导学生一步步解决问题。

Step 5：合作学习（15分钟）将学生分成小组，通过合作学习的方式进行练习。

每个小组选择一道题目进行讨论和解答，学生可以自由讨论并分享解题思路。

Step 6：展示与总结（10分钟）请几个小组派代表上台展示他们的解答思路，并进行讨论和解答。

教师总结和讲解正确答案，并强调问题的解题思路和技巧。

Step 7：拓展联系（15分钟）通过提出一些拓展问题，帮助学生巩固所学知识，并培养学生分析问题和解决问题的能力。

Step 8：课堂巩固（5分钟）布置相关的作业题，让学生在课后继续巩固和复习所学知识。

教学资源：1.教师教案和课件。

2.黑板和彩色粉笔。

3.计算器和几何器具。

4.课堂练习题和作业题。

教学评价方法：1.课堂参与度评价：观察学生是否积极参与课堂讨论和学习，参与度高者评价较好。

2.问题解答能力评价：观察学生在课堂上解答问题的能力，解答准确且思路清晰者评价较好。

3.作业完成情况评价：评价学生对所学知识的掌握情况，作业完成准确且规范者评价较好。

球的体积和表面积教案教案标题：球的体积和表面积教案教案概述：本教案旨在通过教学活动和实践探索的方式，帮助学生理解和计算球的体积和表面积。

通过引导学生使用数学公式和几何概念，以解决实际问题的方式，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

教学目标：1. 理解并能够定义球的体积和表面积。

2. 能够使用相应的公式计算球的体积和表面积。

3. 应用所学知识解决实际问题，如球体容积问题或表面积运用。

教学资源：1. 彩色粉笔/白板标记笔及白板。

2. 球模型或球体实物、球体图像（投影或打印）。

3. 尺子、计算器等学生使用的小工具。

4. 实际问题的练习题集。

教学过程：引入活动：1. 在白板上绘制一个球体，并问学生们对球有哪些属性和特征。

概念讲解：2. 介绍球的定义：一个由无限多个点组成且其中每个点都与一个给定中心点的距离相等的几何体。

3. 定义球的体积：球体内部可以容纳的空间。

4. 定义球的表面积：球体外部覆盖的表面部分。

运用公式计算球的体积：5. 提供球的半径（或直径）示例，帮助学生理解公式体积公式：V = (4/3)πr³（或V = (4/3)π(1/2d)³）。

6. 通过数值实例指导学生计算球的体积。

7. 强调单位（如立方单位）的重要性，并帮助学生在计算时正确使用。

运用公式计算球的表面积：8. 提供球的半径（或直径）示例，帮助学生理解表面积公式：A = 4πr²（或A = 4π(1/2d)²）。

9. 通过数值实例指导学生计算球的表面积。

10. 强调单位（如平方单位）的重要性，并帮助学生在计算时正确使用。

应用实践：11. 提供一些实际问题（如一个篮球场地需要多少漆来涂抹该场地的表面等），要求学生运用所学知识解决问题。

12. 指导学生列出关键信息，确定适当的公式并进行计算。

13. 让学生在小组内或个人尝试解决问题，并与班级分享他们的解决方案。

巩固练习：14. 分发练习题集，让学生独立完成一些球体的体积和表面积计算问题。

1 1.3.
2 球的体积和表面积
一、课时目标
1.了解并掌握球的体积和表面积公式．(易混点)
2.会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点)
3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．(难点)
二、自主学习
1、知识点（一）
球的表面积公式和体积公式
2、知识点（二）
（1）求球的体积和表面积时，关键是求球的半径．
（2）与球有关的组合体问题解决的关键是作出截面图．找出球半径与几何体的棱长之间的关系，这样可把与球有关的组合体的立体问题转化为平面问题解决．
三、课堂练习
1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )
A ．2∶3
B ．4∶9 C.2∶ 3 D.8：27
2．棱长为2的正方体的外接球的表面积是( )
A ．8π
B ．4π
C ．12π
D ．16π
3．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A.8π3 B.32π3
C ．8π D.82π3
4．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 Cm ，两个直径为5 Cm 的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？。

高一数学导学案课题：球的表面积和体积姓名：___________________________【学习目标】了解并灵活运用球的表面积和体积公式，运用公式解决与球有关的简单组合体的表面积和体积问题【重点难点】灵活运用公式求球的表面积和体积，难点是与球有关的简单组合体的表面积和体积问题的综合应用【知识链接】S圆柱侧=__________________________；V柱体=__________________________S圆锥侧=__________________________；V锥体=__________________________S圆台侧=__________________________；V台体=__________________________ 【学习过程】⑴球的表面积公式S球面=__________________________⑵球的体积公式V球=__________________________注：①计算球的表面积和体积应把握的关键量是什么？②通过学习球的表面积公式，分析球的表面积公式有何特点？仅与什么有关？若球的表面积变为原来的2倍，则半径变为原来的多少倍？若球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的多少倍？例1、做课本习题1-7A组1于导学案.例2、看课本例6、例7并做本节练习1、2 .例3、在球心同一侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49 π2cm 和400π2cm ，求球的表面积.例4、做课本习题1-7A 组4于导学案.拓展：若球的表面积膨胀为原来的2倍，则体积变为原来的多少倍？注：若一个球的体积为π，则它的表面积为__________________________. ⑴ 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为____________________.⑵ 已知球的体积为36π，则过球的球心的截面圆周长为____________________.【教后反思】。

1.3.2球的体积与表面积学习目标1. 了解球的表面积和体积计算公式；2. 能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题.二、新课导学※探索新知新知：球的体积和表面积球没有底面,也不能像柱体、锥体、台体那样展成平面图形，它的体积和表面积的求法涉及极限思想(一种很重要的数学方法).经过推导证明：球的体积公式：___________________________球的表面积公式：_________________________其中，R为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径R有关.※典型例题例1 木星的表面积约是地球的120倍，则体积约是地球的多少倍变式1：若三个球的表面积之比为1﹕2﹕3，则它们的体积之比为多少例2、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径(即圆柱内有一内切球)，求证（1）球的体积等于圆柱体积的23；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.变式2：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。

体积是__________________.变式3：半径为R的球内有一内接正方体，设正方体的内切球半径为r，则Rr为多少.三、当堂检测1. 2倍，则球的表面积扩大（）.2倍 B.2倍2倍倍2. 有相等表面积的球及正方体，它们的体积记为1,V2V，球直径为d，正方体的棱长为a，则（）.A.12,d a V V>> B.12,d a V V>< C.12,d a V V<> D.12,d a V V<<3. 记与正方体各个面相切的球为1O，与各条棱相切的球为2O，过正方体各顶点的球为3O 则这3个球的体积之比为（）.2322334. 已知球的一个截面的面积为9π，且此截面到球心的距离为4，则球的表面积为__________.5.把一个半径为cm的金属球熔成一个圆锥,倍，则这个圆锥的高应为_______cm.6. 如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.四、学习小结：五、反思：。

人教A版必修第二册第八章第三节基本立体图形8.3.2 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积圆柱、圆锥、圆台与棱柱、棱锥、棱台的体积栏目安排上有异曲同工之妙，不仅有利于把前一节课所蕴含的转化、类比、一般化与特殊化等数学思想方法和“思考——总结——归纳”的学习方法再次渗透、应用到本节课程的学习中，更有利于进行一般化推广，得到柱体、锥体、台体的体积公式.1.了解圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系,并能利用计算公式求出几何体的表面积与体积.1.数学运算：解圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算；问题驱动式五彩生态课堂多媒体.1.若圆锥的底面半径为√3,高为1,则圆锥的体积为().A.π3B.π2C.πD.2π答案 C解析V=13Sh=13×π×3×1=π.2.圆台的上、下底面半径分别为3,4,母线长为6,则其表面积等于( ).A.72B.42πC.67πD.72π答案 C解析S表=π(32+42+3×6+4×6)=67π.故选C.3.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.该圆柱的表面积为.答案6π解析由底面周长为2π,可得底面半径为1,所以S底=2πr2=2π,S侧=2πr·h=4π,所以S表=S底+S侧=6π.圆柱、圆锥、圆台的表面积问题1:回顾棱柱、棱锥、棱台的表面积计算方法,你认为旋转体——圆柱、圆锥、圆台的表面积又是怎样计算的呢?答案棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和,即侧面积与底面积的和.圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它们的各个面的面积的和,即侧面积与底面积的和.问题2:我们已经知道圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图,如何计算它们的侧面积呢?答案根据它们展开图计算,圆柱的侧面积利用矩形的面积公式计算,圆锥的侧面积利用扇形的面积公式计算,圆台的侧面积利用大扇形面积减去小扇形面积计算.问题3:圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系?答案当圆台的上底面半径等于下底面半径时,圆台的表面积公式为圆柱的表面积公式;当圆台的上底面半径等于0时,圆台的表面积公式为圆锥的表面积公式.新知生成与多面体的表面积一样,圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和.图形侧面积与表面积公式圆柱侧面积:S侧= 2πrl.表面积:S= 2πr(r+l)圆锥侧面积:S侧= πrl.表面积:S= πr(r+l)圆台侧面积:S侧= πl(r'+r).表面积:S= π(r'2+r2+r'l+rl)新知运用例1如图所示,在边长为4的正△ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,D为BC的中点,H,G分别是BD,CD的中点,若将正△ABC绕AD旋转180°,求阴影部分形成的几何体的表面积.方法指导先确定旋转体的类型,然后根据旋转体的表面积公式计算.解析该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体.令BD=R,HD=r,AB=l,EH=h,则R=2,r=1,l=4,h=√3.所以圆锥的表面积S1=πR2+πRl=π×22+π×2×4=12π,圆柱的侧面积S2=2πrh=2π×1×√3=2√3π.所以所求几何体的表面积S=S1+S2=12π+2√3π=(12+2√3)π.方法总结：圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这些曲面展开为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.圆柱的一个底面的面积是S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是( ).A.4πSB.2πSC.πSD.2√3π3S答案 A解析设底面半径为r,则πr2=S,解得r=√Sπ,∴底面周长为2πr=2π√Sπ,又侧面展开图为一个正方形,∴侧面积为2π√Sπ2=4πS.探究2 圆柱、圆锥、圆台的体积下面两图为同一个健身哑铃,它是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆柱构成的,中间的连杆圆柱为实心.问题1:你能计算出健身哑铃的体积吗? 答案 根据圆柱的体积公式计算即可.问题2:结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式,你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗?答案 V 柱体=Sh(S 为底面积,h 为柱体高);V 锥体=13Sh(S 为底面积,h 为锥体高);V 台体=13(S'+√S ′S +S)h(S',S 分别为上、下底面面积,h 为台体高). 新知生成1.圆柱: V 圆柱=πr 2h (r 是底面半径,h 是高).2.圆锥: V 圆锥=13πr 2h (r 是底面半径,h 是高).3.圆台: V 圆台=13πh(r 2+rr'+r'2) (其中r',r 分别是上、下底面的半径,h 是高). 新知运用例2 (1)(多选题)已知圆柱的侧面展开图是长为12 cm,宽为8 cm 的矩形,则这个圆柱的体积可能是( ).A .288π cm 3B .192π cm 3 C .288π cm 3 D .192π cm 3(2)某圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16√2π,则圆锥的体积是( ).A.64π3B.128π3 C.64π D.128√2π 答案 (1)AB (2)A解析 (1)当圆柱的高为8 cm 时,V=π×122π2×8=288π(cm 3);当圆柱的高为12 cm 时,V=π×82π2×12=192π(cm 3).(2)作圆锥的轴截面,如图所示:由题意知,在△PAB 中,∠APB=90°,PA=PB.设圆锥的高为h,底面半径为r, 则h=r,PB=√2r.由S 侧=π·r ·PB=16√2π,即√2πr 2=16√2π,解得r=4,则h=4.故圆锥的体积V 圆锥=13πr 2h=64π3.方法总结：求几何体的体积时,要注意利用好几何体的轴截面,准确求出几何体的高和底面积.已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台的体积为.答案 224π解析 设上底面半径为r ,则下底面半径R=4r ,高h=4r ,如图.由题意得,102=(4r)2+(4r-r)2,解得r=2. ∴R=h=8,∴V 圆台=13π(r 2+rR+R 2)h=224π.1.将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( ).A.4πB.3πC.2πD.π答案 C解析易知该几何体为圆柱,且底面圆半径为1,母线长为1,故侧面积S=2πrl=2π×1×1=2π.故选C.2.若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比为( ).A.1∶2B.1∶√3C.1∶√5D.√3∶2答案 C解析设圆锥底面半径为r,则高h=2r,∴其母线长l=√5r.∴S侧=πrl=√5πr2,S底=πr2,∴S底∶S侧=1∶√5.故选C.3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( ).A.7B.6C.5D.3答案 A解析设圆台较小底面的半径为r,则另一底面半径为3r.由S=π(r+3r)×3=84π,解得r=7.。

【新人教版】数学必修二第八单元8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.知识点一圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝2πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πr(r＋l)圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πr(r＋l)圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)知识点二圆柱、圆锥、圆台的体积几何体体积说明圆柱V圆柱＝Sh＝πr2h圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆锥V圆锥＝1 3Sh＝13πr2h圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆台V圆台＝13(S＋SS′＋S′)h＝13π(r2＋rr′＋r′2)h圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h知识点三球的表面积和体积公式1.球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径).2.球的体积公式V＝43πR3.1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.(×)2.圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关.(√)3.球的体积是关于球半径的一个函数.(√)4.球的表面积是球的体积的6倍.(×)一、圆柱、圆锥、圆台的表面积例1(1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A.1∶2B.1∶ 3C.1∶ 5D.3∶2答案 C解析 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r ，∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2，S 底∶S 侧＝1∶ 5.(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( ) A.7 B.6 C.5 D.3 答案 A解析 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r . 由S 侧＝3π(r ＋3r )＝84π，解得r ＝7.反思感悟 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.跟踪训练1 圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A.4πS B.2πS C.πS D.233πS 答案 A解析 设底面半径为r ，则πr 2＝S ， ∴r ＝S π，∴底面周长为2πr ＝2πS π，又侧面展开图为一个正方形，∴侧面积是⎝⎛⎭⎪⎫2πS π2＝4πS .二、圆柱、圆锥、圆台的体积例2 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是( ) A.288π cm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3 D.192π cm 3答案 AB解析 当圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π2×8＝288π(cm 3)，当圆柱的高为12 cm 时，V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫82π2×12＝192π(cm 3).(2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( )A.64π3B.128π3 C.64π D.1282π 答案 A解析 作圆锥的轴截面，如图所示：由题意知，在△P AB 中，∠APB ＝90°，P A ＝PB . 设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则h ＝r ，PB ＝2r .由S 侧＝π·r ·PB ＝162π，得2πr 2＝162π，所以r ＝4.则h ＝4. 故圆锥的体积V 圆锥＝13πr 2h ＝643π.反思感悟 求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面，准确求出几何体的高和底面积.跟踪训练2 已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________. 答案 224π解析 设上底面半径为r ，则下底面半径为4r ，高为4r ，如图.∵母线长为10，∴102＝(4r )2＋(4r －r )2，解得r ＝2. ∴下底面半径R ＝8，高h ＝8， ∴V 圆台＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h ＝224π. 三、球的表面积和体积例3 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5， 所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.反思感悟 计算球的表面积和体积的关键是确定球的半径. 跟踪训练3 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A.64π B.64π3 C.32π D.32π3 答案 D解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π.1.直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A.36π，144πB.36π，36πC.144π，36πD.144π，144π答案 B2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( ) A.1＋2π2π B.1＋2π4π C.1＋2ππ D.1＋4π2π答案 A解析 设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，由题意得h ＝2πr ，∴圆柱的表面积S 表＝2πr 2＋2πr ×h ＝2πr 2＋2πr ×2πr ＝2πr 2·(1＋2π)，圆柱的侧面积S 侧＝2πr ×h ＝2πr ×2πr ＝4π2r 2，故S 表S 侧＝2πr 2(1＋2π)4π2r 2＝1＋2π2π.3.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A.120°B.150°C.180°D.240° 答案 C解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧， 即2πr 2＝πrl ，得2r ＝l .设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl 180°＝2πr ，∴θ＝180°.4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________. 答案 2∶1解析 S 圆柱＝2·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2π·a 2·a ＝32πa 2.S 圆锥＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2.∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.5.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为________. 答案 3解析 设圆台的高为h ，由题意知，V ＝13(π＋2π＋4π)h ＝7π， 所以h ＝3.1.知识清单：(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积. (2)圆柱、圆锥、圆台的体积. (3)球的表面积和体积. 2.方法归纳：公式法.3.常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚.1.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A.3 B.2 C.1 D.12 答案 A解析 设球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，所以R ＝3.2.两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A.2∶3B.4∶9C.2∶ 3D.8∶27答案 B解析 由两球的体积之比为8∶27， 可得半径之比为2∶3， 故表面积之比是4∶9.3.将边长为4 cm 和8 cm 的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为( ) A.32π cm 2 B.32π cm 2 C.32 cm 2 D.16π cm 2答案 A解析 当以4 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为r ， 则2πr ＝8，∴2r ＝8π， ∴S 轴截面＝4×8π＝32π(cm 2).当以8 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为R ， 则2πR ＝4,2R ＝4π， ∴S 轴截面＝8×4π＝32π(cm 2).综上，圆锥的轴截面的面积为32π cm 2.4.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.22π3 B.42π3 C.22π D.42π 答案 B解析 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示.每一个圆锥的底面半径和高都为2，故所求几何体的体积V ＝2×13×2π×2＝42π3.5.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( )A.4 cmB.3 cmC.2 cmD.1 cm答案 B解析 由题意可得，设球的半径为r ，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，∴3×43πr 3＝πr 2(6r －6)，解得r ＝3，故选B.6.一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ，则球的体积为________cm 3. 答案 500π3 解析 如图所示，由已知得O 1A ＝3 cm ，OO 1＝4 cm ，从而R ＝OA ＝5 cm. 所以V 球＝4π3 ×53＝500π3(cm 3).7.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________. 答案 33π解析 圆锥的母线长l ＝2，设圆锥的底面半径为r ， 则2πr ＝12×2π×2，∴r ＝1， ∴圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3， 则圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝33π.8.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________. 答案7解析 设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.9.如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积.解 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S . 则R ＝OC ＝2，AC ＝4，AO ＝42－22＝2 3.如图所示，易知△AEB ∽△AOC ，∴AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2，∴r ＝1， S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π.∴S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.10.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积.解 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l＝43π×13＋π×12×3＝13π3.11.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A.122π B.12π C.82π D.10π答案 B解析 ∵过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，∴圆柱的高为22，底面圆的直径为22，∴该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.12.若一个球的外切正方体的表面积等于 6 cm 2，则此球的体积为( )A.π6 cm 3B.6π8 cm 3C.4π3 cm 3D.6π6 cm 3答案 A解析 设球的半径为R cm ，正方体棱长为a cm ，∴6a 2＝6，∴a ＝1 cm ，即2R ＝1，∴R ＝12 cm ，∴球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝π6 cm 3. 13.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A.1∶ 3B.1∶3C.1∶3 3D.1∶9答案 C解析 设正方体的棱长为a ，则其内切球的半径为a 2，∴V 内＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＝πa 36， 正方体的外接球的半径为32a ，∴V 外＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 3＝33πa 36，∴V 内∶V 外＝1∶3 3.14.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 圆锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.15.已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为________.答案 144π解析 如图所示，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V 三棱锥O －ABC ＝V 三棱锥C －AOB ，而△AOB 的面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，三棱锥O －ABC 的体积最大， ∴当动点C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，三棱锥O －ABC 的体积最大，此时V 三棱锥O －ABC ＝V 三棱锥C －AOB ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36，解得R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.16.已知四面体的各面都是棱长为a 的正三角形，求它外接球的体积. 解 如图，设SO 1是四面体S －ABC 的高，则外接球的球心O 在SO 1上.设外接球半径为R .∵四面体的棱长为a ，O 1为正△ABC 的中心，∴AO 1＝23×32a ＝33a ，SO 1＝SA 2－AO 21＝a 2－13a 2＝63a ，在Rt △OO 1A 中，R 2＝AO 21＋OO 21＝AO 21＋(SO 1－R )2， 即R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2，解得R ＝64a ， ∴所求外接球的体积V 球＝43πR 3＝68πa 3.。

海宁市第二高级中学学历案
教学日期：2024年3月日总第课时
⑵比较当N8AC=3()0.N8AC=45。

时.两个旋转体表面积的大小.
【跟踪训练I]如图.在四边形A8C7)中.NZλA8=J.N∙∙WC=WA8=5.d)=2√∑4)=1.求以边C1T A。

所在直线为轴旋转一周所得几何体的体积.
解:(1)所得旋转体如图所示,它由两个网底的圆锥S1.成.设底面01的叩心为。

连接OC.
：∙ΛB=2.ZBΛC=300.ΛCB=1..G1.=√1.：CO=£.：该旋转体的体枳为tXuX八
i 3 2
⑵当Nfi4C=30n时,旋转体的衣面积S=KXeoX(AC+BC)="X?x(√5+1)=?3♦√T),当N BΛC=45o时AC=BC=√2,则CO=I,.：旋转体的表面积S?=;CXCOX(AC+C8)=nx1.x(√Σ+√Σ)=2缶.故Sj>S∣.
解:以边八。

所在内城为釉旋转一周所得几何体为一个阳台中何核去∙一个圆锥.
设回台的I底面画心为E.W为NυAH=1.ZA1.)C=^Λ∣}=5.CD=2y[2AD=1.
所以CE=DE=与CD=2.得AE=3,所以该几何体的体枳V=V m,r-V hh=∣×(2511÷√2511×411+411)×3-i×11×22×2=∣×39χx3-∣×811=i^Ξ.
任务三：课生小结。