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第1讲 一元二次方程的解法

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第1讲 一元二次方程的解法（一）

【基础知识精讲】

1．一元二次方程的定义：

只含有一个未知数整式方程，并且都能够化为ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）

2．一元二次方程的一般形式：

一元二次方程的一般式是ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）。其中ax2是二次项，

a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

3．一元二次方程的解法：

⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m）2= n (n≥0)，那么就能够用两边开平方来求出方程的解。

(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：

① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；

② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；

③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；

④ 化原方程为(x+m）2=n的形式；

⑤ 如果n≥0就能够用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．

注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）.

②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．

【例题巧解点拨】

（一）一元二次方程的定义：

例1：1、方程①13122xx ②05222yxyx ③0172x ④022y中一元二次方程是 .

A. ①和②； B.②和③ ； C. ③和④； D. ①和③

2、要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则__________.

A．a≠0 B．a≠3

C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0

3、若（m+1）(2)1mmx+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．

（二）一元二次方程的一般形式：

例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2xxx的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是________；常数项是 。

（三）一元二次方程的解法：

例3：判断下列括号里的数哪个是方程的解。

（1）)0,2,1(232xx (2))4,5,5(0252x

例4：若1x是关于x的一元二次方程)0(02acbxax 的一个根， 求代数式）（cba2008的值。

例5：解方程：

用直接开平方法解一元二次方程：

（1）0252x （2） 900)12(16002x

（3）32y （4）08)12(212x）

用配方法解一元二次方程：

（1）0342xx （2）015122xx

（3）161442xx （4）1622xx

例6：（开放题）关于x的方程1322xbxax一定是一元二次方程吗？若是，写出一个符合条件的a值。

【随堂练习】 A组

一、填空题：

1.在4(1)(2)5xx,221xy,25100x,2280xx，2340xx,213xx,22a，223213xxx，22)12)(3(xxx中，是一元二次方程有_________个 。

2.关于x的方程是(m2–1)x2+(m–1)x–2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；当m 时，方程为一元一次方程.

3.把方程9)2)(2()1(3xxxx化成一般式为____________________.二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是是_________.

4．关于的x的一元二次方程方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0, 则a的值是___________.

5.223____(_____)xxx; 2226____2(_____)xxx

6. 一元二次方程20axbxc若有两根1和－1,那么abc________,abc 。

二、按要求解下列方程:

1.223)52(a（直接开平方法） 2.0362xx(配方法)

B组

一、填空题:

1.当_____m时, 关于x的方程2(2)80mmxmx是一元二次方程.

2.如果关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时方程为____________方程．

3.已知256yxx,当x=_______时,y=0; 当y=_______时,x=0.

4.当2420abc时,则20axbxc的解为____________________.

5. 方程2230xx的解是_______________________

二、用配方法解下列方程: 1.(1)(3)12xx 2．01)32(2)32(2xx

3．01442xx 4.04)12()12(22axax

三、解答题。

1．已知a是方程0120042xx的一个根，试求12004200322aaa的值。

2．一元二次方程02cbxax的一个根是1，且a,b满足等式122aab，求此一元二次方程。

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第一部分：

1．下列方程，是一元二次方程的是（ ）

A. 08692xx B. 065a C. 01742yx D. 0862xx 2.方程8652aa化为一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）

A. 5,6,-8 B. 5，-6，-8 C. 5，-6,8 D. 6,5，-8

第二部分：

3.若关于x的方程012122kxxk）（的一个根是0，则k= 。

4.请你写出一个有一根为1的一元二次方程： 。

5.）用配方法解方程542xx时，方程的两边同加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式。

第三部分：

6.解下列方程：

（1）22)6()2(xx(直接开平方法) （2）（2012，义乌）2220xx（用配方法）

（3）用配方法解次方程：xx3122

7.当a为何值时，关于x的方程036132axxa）（是一元一次方程？当a为何值时，原方程是一元二次方程？

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第1讲一元二次方程的根与解法学生版

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第1讲 一元二次方程的根与解法

【知识要点与基本方法】

一、一元二次方程基本概念

1、概念：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为20axbxc（,,abc为常数，0a）的形式的方程叫做一元二次方程.

2、一元二次方程必须满足的三大条件

（1）整式方程

（2）含有一个未知数

（3）未知数的最高次数为2

3、一元二次方程的一般形式

形如关于x的一元二次方程：)0(02acbxax的形式，（它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中2ax叫二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.注意b、c可以是任何实数，但a绝对不能为零）

二、一元二次方程的根与解法

1、一元二次方程的根

0xx是方程20axbxc（,,abc为常数，0a）的根的充要条件是0020cbxax.

2、直接开平方法解一元二次方程：

（1）把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成)0()(2aabx的形式

（2）直接开平方，解得abxabx21,

3、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.

【注】、用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）利用配方法解一元二次方程时，如果02cbxax中a不等于1，必须两边同时除以a，使得二次项系数为1.

（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

（4）用直接开平方法求出方程的根.

4、公式法解一元二次方程

（1）对于一元二次方程02cbxax其中0a，由配方法有22244)2(aacbabx，

①当042acb时，得aacbbx242；

②当042acb时，一元二次方程无实数解.

一元二次方程解法讲义(全4讲)

一元二次方程解法讲义(全4讲)

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一元二次方程解法讲义（全四讲）

第一讲 直接开平

一、学习目标

了解形如20xhkk的一元二次方程的解法——直接开平方法；

能够熟练而准确的运用开平方法求一元二次方程的解．

二、知识回顾

1．什么叫做平方根?平方根有哪些性质？

平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．

用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根．

记作x=a，即x=a或x=a．

如：9的平方根是3；425的平方根是25．

平方根的性质：

（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；

（2）0的平方根是0；

（3）负数没有平方根．

2．x2=4，则x=±2.

想一想：求x2=4的解的过程，就相当于求什么的过程？

三、新知讲解

四、典例探究

1．用直接开平方法求一元二次方程的解

【例1】解方程：（1）2x2﹣8=0；（2）（2x﹣3）2=25．

分析：（1）先变形得到x2=4，然后利用直接开平方法求解；

（2）首先两边直接开平方可得2x﹣3=±5，再解一元一次方程即可．

解答：解：（1）x2=4， 直接开平方法解一元二次方程

一般地，运用平方根的定义直接开平方求出一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．

对结构形如2()(0,0)axbcac的一元二次方程来说，因为0c，所以在方程两边直接开平方，可得axbc，进而求得(0)cbxca．

注：

（1）直接开平方法是解一元二次方程最基本的方法，它主要针对形如2()(0,0)axbcac的一元二次方程，它的理论依据就是平方根的定义．

（2）利用直接开平方法解一元二次方程时，要注意开方的结果取“正、负”．

（3）当0c时，方程没有实数根．

2

两边直接开平方，得x1=2，x2=﹣2．

（2）两边直接开平方，得2x﹣3=±5，

则2x﹣3=5，2x﹣3=﹣5，

所以x=4，x=﹣1．

点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解．

一元二次方程的概念及其解法

一元二次方程的概念及其解法

一元二次方程的概念及解法和讲义

知识点一：一元二次方程的概念

(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02acbxax

(3)四个特点：

(1)只含有一个未知数；

(2)且未知数次数最高次数是2；

(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02acbxax的形式，则这个方程就为一元二次方程．

（4）将方程化为一般形式：02cbxax时，应满足（a≠0）

例1：下列方程①x2+1=0；②2y(3y-5)=6y2+4；③ax2+bx+c=0 ；④0351xx，其中是一元二次方程的有 。

变式:方程：①13122xx ②05222yxyx ③0172x ④022y中一元二次程的是 。

例2：一元二次方程12)3)(31(2xxx化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。

变式1：一元二次方程3（x—2）2＝5x－1的一般形式是 ，二次项系数是

，一次项系数是 ，常数项是 。

变式2：有一个一元二次方程，未知数为y，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。

例3：在关于x的方程(m-5)xm-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。

变式1：已知关于x的方程(m+1)x2－mx+1=0，它是（ ）

一元二次方程讲义全

一元二次方程讲义全

一元二次方程讲义

考点一、概念

(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02acbxax

注：当b=0时可化为02cax这是一元二次方程的配方式

(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02acbxax的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02cbxax时，应满足（a≠0）

(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：

①该项系数不为“0”；

②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：

例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

A 12132xx B 02112xx C 02cbxax D 1222xxx

变式：当k 时，关于x的方程3222xxkx是一元二次方程。

例2、方程0132mxxmm是关于x的一元二次方程，则m的值为 。

考点二、方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值；

典型例题：

例1、已知322yy的值为2，则1242yy的值为 。

例2、关于x的一元二次方程04222axxa的一个根为0，则a的值为 。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.

例3、已知关于x的一元二次方程002acbxax的系数满足bca，则此方程必有一根为 。