2.一元二次方程及其解法

张泽学校 八年级数学（上） 设计人：郑春玲

17.2（3）一元二次方程的解法 班级 姓名

【学习目标】

学习内容 学习水平 识记 理解 简单应用 综合应用

解)0(02acbxax可以转化为适合开平方法的形式nmx2)(. √

正确的运用配方法解一般的一元二次方程． √

会根据一元二次方程的结构特点，选择适当的解法． √

学习重点：用配方法解一元二次方程．

学习难点：凑配成完全平方的方法与技巧.

【学习过程】

一、复习引入

1、求下列一元二次方程的解（口答）：

042)6(025)5(054)4(0)4()3(41)2(13)1(22222xxxxxxxxxx

2、如何解方程0422xx呢？

提问：

（1） 是否有可能把它转化为为已经学过的方法从而解决问题呢？

（2） 可能转化为两数相乘积为零的形式吗？可能转化为（px+q）2＝m（p≠0，m≥0）的形式吗？

观察与思考：422xx与方程（2）的左边有什么相同处与区别呢？

引出课题：配方法解一元二次方程

张泽学校 八年级数学（上） 设计人：郑春玲

二、探究用配方法解一元二次方程

1、如何把0422xx转化为nmx2)(的形式呢？

nmx2)( ①

nmxmx222 ②

逆向思维：我们把上述由方程①→方程②的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为nmx2)(的形式.这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式nmx2)(.那么如何构造完全平方式呢？

一元二次方程的概念及解法和讲义

知识点一：一元二次方程的概念

(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02acbxax

(3)四个特点：

(1)只含有一个未知数；

(2)且未知数次数最高次数是2；

(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02acbxax的形式，则这个方程就为一元二次方程．

（4）将方程化为一般形式：02cbxax时，应满足（a≠0）

例1：下列方程①x2+1=0；②2y(3y-5)=6y2+4；③ax2+bx+c=0 ；④0351xx，其中是一元二次方程的有 。

变式:方程：①13122xx ②05222yxyx ③0172x ④022y中一元二次程的是 。

例2：一元二次方程12)3)(31(2xxx化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。

变式1：一元二次方程3（x—2）2＝5x－1的一般形式是 ，二次项系数是

，一次项系数是 ，常数项是 。

变式2：有一个一元二次方程，未知数为y，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。

例3：在关于x的方程(m-5)xm-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。

变式1：已知关于x的方程(m+1)x2－mx+1=0，它是（ ）

一元二次方程的解法详细解析

只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。标准形式:ax²+bx+c=0(a≠0)一元二次方程有4种解法，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。下面小编和你具体讲解一元二次方程的四种解法例析。

一元二次方程的解法例析

【一元二次方程要点综述】： 【要点综述】： 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。 一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。 下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表： 方法 适合方程类型 注意事项 直接开平方法 ≥0时有解， ＜0时无解。 配方法 二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。 公式法 ≥0时，方程有解；

＜0时，方程无解。先化为一般形式再用公式。 因式分解法 方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。 方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。 【举例解析】 例1：已知，解关于的方程。

分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。 解：由得：或，

当时，原方程为，即，解得. 当时，原方程为，即， 解得，. 说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才是一元二次方程， 才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。 通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。 若本题不给出条件，就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。 例2：用开平方法解下面的一元二次方程。 （1）； （2） （3）； （4） 分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程， 其解为。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做； 第（3）题因方程左边可变为完全平方式，右边的121＞0，所以此方程也可用直接开平方法解；

专题(一) 一元二次方程的解法

1．用直接开平方法解下列方程：

(1)x2－16＝0； (2)3x2－27＝0；

(3)(x－2)2＝9； (4)(2y－3)2＝16.

2．用配方法解下列方程：

(1)x2－4x－1＝0；

(2)2x2－4x－8＝0；

(3)3x2－6x＋4＝0；

(4)2x2＋7x＋3＝0.

3．用公式法解下列方程：

(1)x2－23x＋3＝0；

(2)－3x2＋5x＋2＝0；

(3)4x2＋3x－2＝0；

(4)3x＝2(x＋1)(x－1)．

4．用因式分解法解下列方程：

(1)x2－3x＝0；

(2)(x－3)2－9＝0；

(3)(3x－2)2＋(2－3x)＝0；

(4)2(t－1)2＋8t＝0；

(5)3x＋15＝－2x2－10x；

(6)x2－3x＝(2－x)(x－3)．

5．用合适的方法解下列方程：

(1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；

(2)5(x－3)2＝x2－9；

(3)t2－22t＋18＝0.

参考答案

1.(1)移项，得x2＝16，根据平方根的定义，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4.

(2)移项，得3x2＝27，两边同除以3，得x2＝9，根据平方根的定义，得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3.

(3)根据平方根的定义，得x－2＝±3，即x1＝5，x2＝－1.

(4)根据平方根的定义，得2y－3＝±4，即y1＝72，y2＝－12.

2.(1)移项，得x2－4x＝1.配方，得x2－4x＋22＝1＋4，即(x－2)2＝5.直接开平方，得x－2＝±5，∴x1＝2＋5，x2＝2－5.

(2)移项，得2x2－4x＝8.两边都除以2，得x2－2x＝4.配方，得x2－2x＋1＝4＋1.∴(x－1)2＝5.∴x－1＝±5.∴x1＝1＋5，x2＝1－5.

(3)移项，得3x2－6x＝－4.二次项系数化为1，得x2－2x＝－43.配方，得x2－2x＋12＝－43＋12，即(x－1)2＝－13.∵实数的平方不可能是负数，∴原方程无实数根．