最新高考数学(文)一轮复习冲刺压轴题(七) 概率与统计及答案

1．春节前夕，质检部门检查一箱装有2 500件包装食品的质量，抽查总量的2%，在这个问题中，下列说法正确的是( )A ．总体是指这箱2 500件包装食品B ．个体是一件包装食品C ．样本是按2%抽取的50件包装食品D ．样本容量是50 答案 D解析 总体、个体、样本的考查对象是同一事，不同的是考查的范围不同，在本题中，总体、个体是指食品的质量，而样本容量是样本中个体的包含个数．故答案为D.2．在可行域内任取一点，其规章如流程图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是( )A.π8B.π4C.π6D.π2 答案 B解析 依题意可行域为正方形，输出数对(x ，y )形成的图形为图中阴影部分，故所求概率为：P ＝14π⎝⎛⎭⎫22222·22＝π4.3．在区间[－1,1]上任取两数m 和n ，则关于x 的方程x 2＋mx ＋n 2＝0有两个不相等实根的概率为________． 答案 14解析 由题意知－1≤m ≤1，－1≤n ≤1.要使方程x 2＋mx ＋n 2＝0有两个不相等实根，则Δ＝m 2－4n 2>0，即(m －2n )(m ＋2n )>0.作出可行域，如图，当m ＝1，n C ＝12，n B ＝－12，所以S △OBC ＝12×1×⎣⎡⎦⎤12－⎝⎛⎭⎫－12＝12，所以方程x 2＋mx ＋n 2＝0有两个不相等实根的概率为2S △OBC2×2＝2×124＝14.4．设集合P ＝{－2，－1,0,1,2}，x ∈P 且y ∈P ，则点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为________． 答案925解析 以(x ，y )为基本大事，可知满足x ∈P 且y ∈P 的基本大事有25个．若点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部，则x ，y ∈{－1,1,0}，用列表法或坐标法可知满足x ∈{－1,1,0}且y ∈{－1,1,0}的基本大事有9个．所以点(x ，y )在圆x2＋y 2＝4内部的概率为925.5. 为了从甲、乙两名运动员中选拔一人参与某次运动会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训，现分别从他们在培训期间参与的若干次预赛成果中随机抽取6次，得到茎叶图如图所示．从平均成果及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派________(填甲或乙)运动员合适．答案 甲解析 依据茎叶图， 可得x 甲＝16×(78＋79＋81＋84＋93＋95)＝85， x乙＝16×(75＋80＋83＋85＋92＋95)＝85. s 2甲＝16×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(84－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝1333， s 2乙＝16×[(75－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝1393. 由于x甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲运动员的成果比较稳定，选派甲运动员参赛比较合适．题型一 古典概型与几何概型例1 (1) 如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的掩盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4B.π2－1 C ．2－π2D.π4答案 A解析 由题意得无信号的区域面积为2×1－2×14π×12＝2－π2，由几何概型的概率公式，得无信号的概率为P ＝2－π22＝1－π4.(2)(2021·四川)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5.乘客P 1，P 2，P 3，P 4，P 5的座位号分别为1,2,3,4,5，他们依据座位号从小到大的挨次先后上车．乘客P 1因身体缘由没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规章就座：假如自己的座位空着，就只能坐自己的座位；假如自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．①若乘客P 1坐到了3号座位，其他乘客按规章就座，则此时共有4种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；②若乘客P 1坐到了25 解 ①余下两种坐法如下表所示：②若乘客P 1坐到了2号座位，其他乘客按规章就座，则全部可能的坐法可用下表表示为于是，全部可能的坐法共8设“乘客P 5坐到5号座位”为大事A ，则大事A 中的基本大事的个数为4，所以P (A )＝48＝12.思维升华 几何概型与古典概型的本质区分在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较简单的基本大事空间，列举时要依据肯定的规律进行，做到不重不漏．(1)某地区有学校21所，中学14所，高校7所，现接受分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对同学进行视力调查．①求应从学校、中学、高校中分别抽取的学校数目．②若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， a ．列出全部可能的抽取结果； b ．求抽取的2所学校均为学校的概率． 解 ①由分层抽样定义知，从学校中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从高校中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1.故从学校、中学、高校中分别抽取的学校数目为3,2,1.②a .在抽取的6所学校中，3所学校分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，高校记为A 6，则抽取2所学校的全部可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．b ．从6所学校中抽取的2所学校均为学校(记为大事B )的全部可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种，所以P (B )＝315＝15.(2)已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解 ∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图像的对称轴为直线x ＝2ba ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .依条件可知大事的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧ a ＋b －8≤0，a >0，b >0，构成所求大事的区域为三角形部分． 所求概率区间应满足2b ≤a .由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163，83)，故所求大事的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.题型二 概率与统计的综合应用例2 (2022·重庆)20名同学某次数学考试成果(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)分别求出成果落在[50,60)与[60,70)中的同学人数；(3)从成果在[50,70)的同学中任选2人，求此2人的成果都在[60,70)中的概率． 解 (1)依据直方图知组距为10， 由(2a ＋3a ＋7a ＋6a ＋2a )×10＝1， 解得a ＝1200＝0.005.(2)成果落在[50,60)中的同学人数为2×0.005×10×20＝2， 成果落在[60,70)中的同学人数为3×0.005×10×20＝3.(3)记成果落在[50,60)中的2人为A 1，A 2，成果落在[60,70)中的3人为B 1，B 2，B 3，则从成果在[50,70)的同学中任选2人的基本大事共有10个：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)， 其中2人的成果都在[60,70)中的基本大事有3个：(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，故所求概率为P ＝310.思维升华 概率统计解答题的主要依托点是统计图表，正确生疏和使用这些图表是解决问题的关键，因此在复习该部分时，要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上把握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法．某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(1)(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品． ①用产品编号列出全部可能的结果；②设大事B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求大事B 发生的概率． 解 (1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6，从而可估量该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的全部可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则大事B 发生的全部可能结果为{A1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种． 所以P (B )＝615＝25.题型三 概率与统计案例的综合应用例3 为了解高校生观看湖南卫视综艺节目“欢快大本营”是否与性别有关，一所高校心理学老师从该校同学中随机抽取了50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：若该老师接受分层抽样的方法从50份问卷调查中连续抽查了10份进行重点分析，知道其中宠爱看“欢快大本营”的有6人．(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为宠爱看“欢快大本营”节目与性别有关？说明你的理由；(3)已知宠爱看“欢快大本营”的10位男生中，A 1，A 2，A 3，A 4，A 5还宠爱看新闻，B 1，B 2，B 3还宠爱看动画片，C 1，C 2还宠爱看韩剧，现再从宠爱看新闻、动画片和韩剧的男生中各选出1名进行其他方面的调查，求B 1和C 1不全被选中的概率． 下面的临界值表供参考：(参考公式：χ2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )解 (1)由分层抽样学问知，宠爱看“欢快大本营”的同学有50×610＝30人，故不宠爱看“欢快大本营”的同学有50－30＝20人，于是可将列联表补充如下：(2)∵χ2＝50×(20×15－10×5)230×20×25×25≈8.333>7.879.∴有99.5%的把握认为宠爱看“欢快大本营”节目与性别有关．(3)从宠爱看“欢快大本营”的10位男生中选出宠爱看韩剧、宠爱看新闻、宠爱看动画片的各1名，其一切可能的结果组成的基本大事共有N ＝5×3×2＝30个，用M 表示“B 1，C 1不全被选中”这一大事，则其对立大事M 表示“B 1，C 1全被选中”这一大事，由于M 由(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 4，B 1，C 1)，(A 5，B 1，C 1)5个基本大事组成，所以P (M )＝530＝16. 由对立大事的概率公式得 P (M )＝1－P (M )＝1－16＝56.思维升华 运用独立性检验的思想，可以考查两个分类变量是否有关系，并且能精确地给出这种推断的牢靠程度，此类题在高考中常以选择题或解答题中的某一步的形式消灭，并常与频数分布表和频率分布直方图有关学问相交汇，难度一般中等．求解时，一般按以下三个步骤来完成：(1)依据样本数据制成2×2列联表；(2)依据公式计算χ2的值；(3)比较χ2的值与临界值的大小关系，作出统计推断．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机选择了5天进行争辩，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：(1)从这5(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请依据这5天中的另3天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(3)若由回归方程得到的估量数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程 是牢靠的，试问(2)中所得的回归方程是否牢靠？ 附：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ＝y －b x .解 (1)全部的基本大事为(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共10个．设“m ，n 均不小于25”为大事A ，则大事A 包含的基本大事为(25,30)，(25,26)，(30,26)，共3个． 所以P (A )＝310.(2)由数据得，另3天的平均数x ＝12，y ＝27,3x y ＝972,3x 2＝432，∑i ＝13x i y i ＝977，∑i ＝13x 2i ＝434，所以b ＝977－972434－432＝52，a ＝27－52×12＝－3，所以y 关于x 的线性回归方程为y ＝52x －3.(3)依题意得，当x ＝10时，y ＝22，|22－23|<2； 当x ＝8时，y ＝17，|17－16|<2，所以(2)中所得到的线性回归方程是牢靠的．(时间：80分钟)1．在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55. (1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本大事，并求这两项的值相等的概率． 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2， 所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本大事有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本大事有2个：(1,1)，(2,2)． 故所求的概率P ＝29.2．某校高三某班的一次数学周练成果(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析同学失分状况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．解(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4；频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为425÷10＝0.016.(3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，将[90,100]之间的2个分数编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本大事为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个，其中，至少有一份在[90,100]之间的基本大事有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是915＝0.6.3．一个均匀的正四周体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四周风光朝下的数字分别为b，c.(1)z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率；(2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就称该方程为“秀丽方程”，求方程为“秀丽方程”的概率．解(1)由于是投掷两次，因此基本大事(b，c)：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．当z＝4时，(b，c)的全部取值为(1,3)，(3,1)，所以P(z＝4)＝216＝1 8.(2)①若方程一根为x＝1，则1－b－c＝0，即b＋c＝1，不成立．②若方程一根为x＝2，则4－2b－c＝0，即2b＋c＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧b＝1，c＝2.③若方程一根为x＝3，则9－3b－c＝0，即3b＋c＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧b＝2，c＝3.④若方程一根为x＝4，则16－4b－c＝0，即4b＋c＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b＝3，c＝4.由①②③④知(b，c)的全部可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，所以方程为“秀丽方程”的概率为P＝316.4．已知袋子中放有大小和外形相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，其次次取出的小球标号为b.①记“a＋b＝2”为大事A，求大事A的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求大事“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．解(1)依题意nn＋2＝12，得n＝2.(2)①记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球为k，h，则取出2个小球的可能状况有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共12种，其中满足“a＋b＝2”的有4种：(s，k)，(s，h)，(k，s)，(h，s)．所以所求概率为P(A)＝412＝13.②记“x2＋y2>(a－b)2恒成立”为大事B，则大事B等价于“x2＋y2>4恒成立”，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，而大事B构成的区域为B＝{(x，y)|x2＋y2>4，(x，y)∈Ω}．所以所求的概率为P(B)＝1－π4.5．某班甲、乙两名同学参与100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成果(单位：秒)如下：(1)谁参与竞赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)；(2)经过对甲、乙两位同学的若干次成果的统计，甲、乙的成果都均匀分布在[11.5,14.5]之间，现甲、乙竞赛一次，求甲、乙成果之差的确定值小于0.8秒的概率． 解 (1)甲、乙两人10次训练的成果的茎叶图：从统计图中可以看出，乙的成果较为集中，差异程度较小，所以选派乙同学代表班级参与竞赛更好． (2)设甲同学的成果为x ，乙同学的成果为y ， 则|x －y |<0.8， 得x －0.8<y <0.8＋x ， 如图，阴影部分面积即为 3×3－2.2×2.2＝4.16，则P (|x －y |<0.8)＝P (x －0.8<y <0.8＋x ) ＝4.163×3＝104225. 6．已知集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}，Q ＝{y |y ＝2n －1,1≤n ≤2，n ∈N ＋}，M ＝P ∪Q .在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(x ′，y ′)，且x ′∈M ，y ′∈M ，试计算： (1)点A 正好在第三象限的概率； (2)点A 不在y 轴上的概率；(3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的概率． 解 由集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}，可得P ＝{－6，－4,0}，由Q ＝{y |y ＝2n －1,1≤n ≤2，n ∈N ＋}， 可得Q ＝{1,3}，则M ＝P ∪Q ＝{－6，－4,0,1,3}，由于点A 的坐标为(x ′，y ′)，且x ′∈M ，y ′∈M ，所以满足条件的点A 的全部状况为(－6，－6)，(－6，－4)，(－6,0)，(－6,1)，(－6,3)，…，(3,3)，共25种．(1)点A 正好在第三象限的可能状况为(－6，－6)，(－6，－4)，(－4，－6)，(－4，－4)，共4种， 故点A 正好在第三象限的概率P 1＝425.(2)点A 在y 轴上的可能状况为(0，－6)，(0，－4)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，共5种， 故点A 不在y 轴上的概率P 2＝1－525＝45.(3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的可能状况为(0,0)，(1,0)，(0,1)，(3,1)，(1,3)，(3,0)，(0,3)，(1,1)，共8种，故点A 落在区域x 2＋y 2≤10上的概率P 3＝825.。

第七单元 统计与概率A 卷 基础过关检查一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+【答案】D【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+. 故选D.2. 【2020全国高三课时练习（理）】等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 9的公差为1，若以上述数据x 1，x 2，x 3，…，x 9为样本，则此样本的方差为（ ） A ．203B ．103C ．60D ．30【答案】A【解析】由等差数列的性质得样本的平均数为129555555222299x x x x x x x x x +++++++==，所以该组数据的方差为()()()()22222221525952432120993x x x x x x ⨯+++-+-++-==故选A3.【2020山东青岛高三其他】如图是一个22⨯列联表，则表中a 、b 处的值分别为（ ）A ．96，94B ．60，52C ．52，54D ．50，52【答案】B【解析】由表格中的数据可得33258c =-=，212546d =+=，1064660a ∴=-=，60852b =-=. 故选B.4. 【2020山东青岛高三其他】中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ） A ．50种 B ．60种 C ．80种 D ．90种【答案】C 【解析】解：根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论： 若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种， 此时有21020⨯=种不同的选法；若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种， 此时有231060⨯⨯=种不同的选法； 则一共有206080+=种选法.故选C .5.【2020山东文登高三期末】二项式2()nx x-的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（ ） A ．160- B ．80- C ．80 D ．160【答案】A【解析】由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，即()21219,,2,9,61802n n n n C C n N n n n n *--=∈≥-=--= 解得：6n =，二项式62()x x-的展开式中，通项6162()r r rr T C x x-+=-，当r =3时，取得常数项，3333162()160T C x x+=-=-. 故选A6. 【2020年高考山东】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅， 则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-= 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选C.7. 【2020嘉祥县第一中学高三其他】 “仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一-位,且“智信”相邻的概率为（ ） A ．110B ．15C ．310D ．25【答案】A【解析】“仁义礼智信”排成一排,任意排有55A 种排法,其中“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有2323A A 种排法,故概率232355110A A P A == 故选A.8.【2019山东省实验中学高三一模（理）】已知三个村庄A ，B ，C 构成一个三角形，且AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米．为了方便市民生活，现在△ABC 内任取一点M 建一大型生活超市，则M 到A ，B ，C 的距离都不小于2千米的概率为 A ．25B ．35C ．115π-D ．15π 【答案】C【解析】在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13，则△ABC 为直角三角形，且∠B 为直角。

第二篇易错考点大清查专题7 概率与统计（文科）1.基本事件判断不准致误基本事件的特点：(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.本题中基本事件是个位数与十位数之和为奇数的两位数.例1.【2017广东深圳一模】袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A. B. C. D.【答案】C点评：求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数，常用方法有列举法、树状图法、列表法法等，所求事件包含的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率.【举一反三】在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为 .1【答案】682.对图形的分割不清致误解决几何概型问题要处理好以下两个问题：1.复杂几何图形的构成：对于复杂几何图形往往可分解成几个规则图形的组合或拆分，注意拆分成规则图形；2.几何图形面积的求法：如果是规则的几何图形，可利用面积公式，如果是不规则图形，则可转化为规则图形.例2.【2017云南师大附中月考】在棱长为2的正方体中任取一点，则满足的概率为（ ） A.B.C. D.【答案】A【解析】以AB 为直径作球，球的正方体内部的区域体积为33441ππ=⨯=V ，正方体的体积为8，所以由几何概型得24π=P ；点评：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找【举一反三】不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x-+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（ ） A ．932 B ．732 C ．916 D ．716【答案】A为9921632P ==，选A.3.概念不清导致错误极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感.方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离，也表示波动幅度，但它与样本数据的单位一致；中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动一般对中位数没有影响.中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.例3.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A.46 45 56B.46 45 53C.47 45 46D.45 47 53点评：本题易出现的错误主要有两个方面：(1)中位数计算时中间两数找不准.(2)极差与方差概念混淆导致错误.【举一反三】【2017广东湛江市高三上学期期中调研考试，5】已知某路段最高限速60/km h，电子监控测得连续6辆汽车的速度用茎叶图表示如下（单位：/km h）.若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为（）A．415B．25C.815D．35【答案】C【解析】由茎叶图可知，这6辆汽车中有2辆汽车超速，所以从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为112426815C CPC==，故选B.4.因事件之间的关系不清致误求事件的概率的关键在于搞清事件的关系，合理选择概率公式进行求解；如：互斥事件有一个发生的概率使用加法公式，相互独立事件同时发生的概率使用乘法公式.例4.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中： (1)至少有1株成活的概率；(2)两种大树各成活1株的概率．【解析】设A k 表示第k 株甲种大树成活，k ＝1,2；设B l 表示第l 株乙种大树成活，l ＝1,2.则A 1，A 2，B 1，B 2独立，且54)()(,65)()(2121====B P B P A P A P 。

专题07 概率与统计文-2021年高考题和高考模拟题数学文分项版汇编7．概率与统计1．【2021年浙江卷】设0A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D点睛：2．【2021年全国卷Ⅲ文】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7 【答案】B【解析】分析：由公式计算可得详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则，因为，所以，故选B.点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题。

3．【2021年全国卷II文】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能，则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.4．【2021年江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5．【2021年江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数. 详解：由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为，故平均数为.点睛：的平均数为.6．【2021年全国卷Ⅲ文】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．【答案】分层抽样点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题。

7 概率与统计一、选择题：一共16道题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.【2019全国III 文3】两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ）A ．16B ．14C ．13D ．122. 【四川省成都市2016级成都一诊文科数学】齐王有上等，中等，下等马各一匹，田忌也有上等，中等，下等马各一匹，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；，田忌的下等马劣于齐王的下等马。

现从双方的马匹中随机选择一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王马获胜的概率（ ） A.94 B.95 C.32 D.97 3. 【陕西师大附中2019-2020学年度第一学年高2020届期中考试高三年级】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓收粮，有人送米1536石，验得米内夹谷，抽取样米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．108石B ．169石C ．237石D ．338石4.在区间[]0,4上随机选择一个数p ，则关于x 的方程2380x px p -+-=有两个正根的概率为（ ）A ．23B ．13C ．12D ．145. 【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期文科数学期中考试】我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。

问两鼠在第几天相遇？（ ）A. 第2天B.第3天C.第4天D.第5天6.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知函数()sin f x x x =+,当[0,]x π∈时,()1f x ≥的概率为（ ）A ．13B ．14 C. 15 D ．127. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为 直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．∆ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（ ）A ．12=p pB ．13=p pC ．23=p pD ．123=+p p p8．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．349.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.710．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表 广告费用x （万元）4 2 35 销售额y （万元） 49 26 39 54根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ） A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72.0万元11.【2019全国III 文4】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.812．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半13．【2018全国卷Ⅲ】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽 样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．14. 右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数 为________．15.高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ．16.已知,a b 都是区间[]0,4内任取的一个数,那么函数231)(222++-=x b ax x x f 在R x ∈上是增函数的概率是 ．17.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

2021年高考数学一轮总复习第10章计数原理概率与统计第7节统计与统计案例高考AB卷理抽样方法1.(xx·全国Ⅲ，4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃。

下面叙述不正确的是( )A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个解析由题意知，平均最高气温高于20 ℃的有六月，七月，八月，故选D.答案D2.(xx·全国Ⅰ，3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样解析因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜采用分层抽样.答案C频率分布直方图与茎叶图3.(xx·全国Ⅱ，18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C户的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；记CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；记CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；记CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”；则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C＝CB1CA1∪CB2CA2.P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2).由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为1620，420，1020，820，故P(CA1)＝1620，P(CA2)＝420，P(CB1)＝1020，P(CB2)＝820，P(C)＝1020×1620＋820×420＝0.48.变量间的相关关系及统计案例4.(x x·全国Ⅱ，3)根据下面给出的2004年至xx年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图.以下结论不正确的是( )A.逐年比较，xx年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.xx年我国治理二氧化硫排放显现成效C.xx年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.xx年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析从xx年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到xx年二氧化硫排放量与xx年排放量的差最大，A选项正确；xx年二氧化硫排放量较xx年降低了很多，B选项正确；虽然xx年二氧化硫排放量较xx年多一些，但自xx年以来，整体呈递减趋势，即C 选项正确；自xx年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.答案D5.(xx·全国Ⅲ，18)如图是我国xx年至xx年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图：(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测xx年我国生活垃圾无害化处理量.解 （1）由折线图中数据和附注中参考数据得r ≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.(2)由y －＝9.327≈1.331及(1)得＝2.8928≈0.103， a ^＝y －－b ^ t －≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将xx 年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测xx 年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨.6.(xx·全国Ⅰ，19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(u n，v n)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：解(1)由散点图可以判断，y＝c＋d x适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程，由于所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68x.(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z的预报值＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.所以当x＝13.62＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.抽样方法1.(xx·陕西，2)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A.167B.137C.123D.93解析由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选B.答案B2.(xx·湖南，2)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )A.p1＝p2<p3B.p2＝p3<p1C.p1＝p3<p2D.p1＝p2＝p3解析因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等，故选D.答案D3.(xx·广东，6)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A.200，20B.100，20C.200，10D.100，10解析 由题图可知，样本容量等于(3 500＋4 500＋2 000)×2%＝200；抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A. 答案 A4.(xx·陕西，4)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为( ) A.11 B.12 C.13D.14解析 840÷42＝20，把1，2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k －1)·20，1≤l ≤20，1≤k ≤42.令481≤l ＋(k －1)·20≤720，得25＋1－l 20≤k ≤37－l20.由1≤l ≤20，则25≤k ≤36.满足条件的k共有12个. 答案 B5.(xx·天津，9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.解析420×300＝60(名). 答案 606.(xx·北京，16)A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计C 班的学生人数；(2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取1人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(3)再从A ，B ，C 三个班中各任取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小(结论不要求证明). 解 (1)C 班学生人数约为100×85＋7＋8＝100×820＝40(人).(2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，i ＝1，2，…，5. 事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，j ＝1，2，…，8. 由题意可知P (A i )＝15，i ＝1，2， (5)P (C j )＝18，j ＝1，2， (8)P (A i C j )＝P (A i )P (C j )＝15×18＝140，j ＝1，2，...，5，j ＝1，2， (8)设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，E ＝A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2∪A 5C 3∪A 5C 4.因此P (E )＝P (A 1C 1)＋P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (A 2C 2)＋P (A 2C 3)＋P (A 3C 1)＋P (A 3C 2)＋P (A 3C 3)＋P (A 4C 1)＋P (A 4C 2)＋P (A 4C 3)＋P (A 5C 1)＋P (A 5C 2)＋P (A 5C 3)＋P (A 5C 4)＝15×140＝38.(3)μ1＜μ0.频率分布直方图与茎叶图7.(xx·山东，3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A.56B.60C.120D.140解析 设所求人数为N ，则N ＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140，故选D.答案 D8.(xx·安徽，6)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( ) A.8 B.15 C.16D.32解析 由题意知，x 1＋x 2＋…＋x 10＝10，s 1＝110[（x 1－）2＋（x 2－）2＋…＋（x 10－）2]， 则＝1n[(2x 1－1)＋(2x 2－1)＋…＋(2x 10－1)]＝1n[2(x 1＋x 2＋…＋x 10)－n ]＝2－1，所以S 2＝110[（2x 1－1－）2＋（2x 2－1－）2＋…＋（2x 10－1－）2] ＝410[（x 1－）2＋（x 2－）2＋…＋（x 10－）2] ＝2s 1，故选C. 答案 C9.(xx·重庆，3)重庆市xx 年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是( ) A.19 B.20 C.21.5 D.23解析从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.答案B10.(xx·陕西，9)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i＝x i＋a(a为非零常数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为( ) A.1＋a，4 B.1＋a，4＋aC.1，4D.1，4＋a解析∵x1，x2，…，x10的均值＝1，方差s21＝4，且y i＝x i＋a(i＝1，2，…，10)，∴y1，y2，…，y10的均值＝110(y1＋y2＋…＋y10)＝110(x1＋x2＋…＋x10＋10a)＝110(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝＋a＝1＋a，其方差s22＝110[(y1－)2＋(y2－)2＋…＋(y10－)2]＝110[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝s21＝4.故选A.答案A11.(xx·福建，4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )A.588B.480C.450D.120解析由频率分布直方图知40～60分的频率为(0.005＋0.015)×10＝0.2，故估计不少于60分的学生人数为600×(1－0.2)＝480.答案B12.(xx·江苏，2)已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.解析这组数据的平均数为16(4＋6＋5＋8＋7＋6)＝6.答案613.(xx·湖南，12)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________.解析由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间[139，151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名.答案414.(xx·江苏，6)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.解析60×(0.015＋0.025)×10＝24.答案24变量间的相关关系及统计案例15.(xx·福建，4)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元) 6.27.58.08.59.8入为15万元家庭的年支出为( )A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元解析回归直线一定过样本点中心(10，8)，∵＝0.76，∴＝0.4，由＝0.76x＋0.4得当x＝15万元时，＝11.8万元.故选B.答案B16.(xx·湖北，4)根据如下样本数据x345678y 4.0 2.5－0.50.5－2.0－3.0A.a>0，b>0B.a>0，b<0C.a<0，b>0D.a<0，b<0解析把样本数据中的x，y分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy中作出散点图，由图可知b<0，a>0.故选B.答案B17.(xx·辽宁，19)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷总计男女1055总计(2)采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E (X )和方差D (X ).附：K 2(χ2)＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，解 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：非体育迷 体育迷 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计7525100将2×2K 2(χ2)＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×（30×10－45×15）275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，从而X 的分布列为X0 1 2 3 P276427649641641 4＝34，D(X)＝np(1－p)＝3×14×34＝916.E(X)＝np＝3×。

第七单元 概率与统计B 卷 滚动提升检查一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【2020年高考全国III 卷理数】在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A ．14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ==== D ．14230.3,0.2p p p p ====【答案】B【解析】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组标准差最大. 故选B.2. 【2020全国高三课时练习（理）】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ．100，20B ．100，10C ． 200，20D ．200，10【答案】C【解析】由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=， 高中生的近视人数为4050%20⨯=， 故选C.3. 【2020山东泰安高三其他】下列结论正确的是（ ）A ．残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低.B ．在线性回归模型中，相关指数0.96=2R ，说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%.C ．已知随机变量2(2,)XN σ，若(02)0.4P X <<=，则(4)0.2P X >=.D ．设,a b 均为不等于1的正实数，则“log 2log 2b a >”的充要条件是“1a b >>”. 【答案】B【解析】对于A ，残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，故选项A 错误； 对于B ，在线性回归模型中，相关指数0.96=2R ，说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%，故选项B 正确；对于C ，因为2μ=且(02)0.4P X <<=，所以(24)0.4P X <<=，所以(4)(2)(02)0.50.40.1P X P X P X >=>-<<=-=，故选项C 错误；对于D ，log 2log 2b a >2211log log b a ⇔>101b a >⎧⇔⎨<<⎩或1a b >>或01b a <<<，故选项D 错误. 故选B.4. 【2020年高考全国II 卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 A ．10名 B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，设需要志愿者x 名，500.95900x≥，17.1x ≥,故需要志愿者18名. 故选B.5. 【2020湖北省高考模拟】设等边三角形ABC ∆的边长为1，平面内一点M 满足1123AM AB AC =+，向量AM 与AB 夹角的余弦值为A．3BC．12D．19【答案】D【解析】22211||()()23AM AM AB AC ==+22111119()()2232336AB AC AB AC =++⨯⨯⨯⋅=，196AM =，对1123AM AB AC =+两边用AB 点乘，2112,233AB AM AB AB AC AM ⋅=+⋅=与AB夹角的余弦值为4AM AB AM AB⋅=故选D ．6. 【2020广东中山市高三期末】已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若2233S a S +=-，则423a a +的最小值为 A ．18 B ．16 C ．12 D ．9【答案】A【解析】由2233S a S +=-得232333a S S a =--=-，所以2111233,01a q a q a q q q=-=>⇒>-.所以423a a +()()323112333331q q q a q a q q qq ++=+==--()()2121431q q q -+-+=⨯-()43161q q ⎡⎤=-++⎢⎥-⎣⎦3618≥⨯=.当且仅当41311q q q -=⇒=>-时取得最小值. 故选A ．7. 【2020山东栖霞月考】512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A ．-40B ．-20C ．20D ．40【答案】D 【解析】令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-．511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，故选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x. 故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40故选D.8. 【2020六盘山高级中学高三其他（理）】已知点 M N P Q ，，，在同一个球面上，34,5MN NP MP ===， ，若四面体MNPQ 体积的最大值为 10，则这个球的表面积是A ．254πB ．62516πC ．22516πD ．1254π【答案】B【解析】由34,5MN NP MP ===，，可知90PNM ∠=， 则球心O 在过PM 中点'O 与面MNP 垂直的直线上， 因为MNP 面积为定值，所以高最大时体积最大， 根据球的几何性质可得，当'O Q 过球心时体积最大， 因为四面体Q MNP -的最大体积为10， 所以111'34'10332MNP S O Q O Q ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△， 可得'5O Q =，在'OO P ∆中，222''OP OO O P =+，()222554R R ∴=-+，得258R =， ∴球的表面积为2256254816ππ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭，故选B ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9. 【2020山东省邹城市第一中学高三其他】下列命题中假命题是 A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的必要不充分条件；C ．若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为aD ．命题:0,1∃<->x p x e x 的否定:0,1⌝∀≥-≤x p x e x 【答案】BCD【解析】对于A ，随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，所以图像关于1x =对称，根据()40.79P ξ≤=， 可得()()4140.21p p ξξ≥=-≤=，所以()()240.21P p ξξ≤-=≥=，故A 正确； 对于B ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，若//αβ，则l m ⊥是真命题；若l m ⊥，则//αβ是假命题，所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，故B 错误；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为a 或a -，故C 错误； 对于D ，命题:0,1∃<->xp x e x 的否定:0,1xp x e x ⌝∀<-≤，故D 错误； 故选BCD.10. 【2020山东聊城高三三模】下列命题正确的是（ ）A ．在独立性检验中，随机变量2K 的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小B ．已知()2,XN μσ，当μ不变时，σ越大，X 的正态密度曲线越矮胖C ．若在平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，则平面//α平面βD ．若平面α⊥平面β，直线m α⊥，//n m ，则βn// 【答案】AB【解析】对选项A ，因为随机变量2K 的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大， 即犯错误的概率越小，故A 正确.对选项B ，根据正态曲线的几何特征，即可判断B 正确.对选项C ，当平面α与平面β相交时，在平面α内存在不共线的三点 到平面β的距离相等，故C 错误.对选项D ，若平面α⊥平面β，直线m α⊥，//n m ， 则直线n 有可能在平面β内，故D 错误. 故选AB.11. 【2020山东聊城一中高三月考】对于二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，以下判断正确的有（ ） A ．存在*n N ∈，展开式中有常数项； B ．对任意*n N ∈，展开式中没有常数项； C ．对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项； D ．存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项.【答案】AD【解析】设二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为1r T +， 则3411=()()rn rr r r nr n n T C x C x x--+=，不妨令4n =，则1r =时，展开式中有常数项，故答案A 正确，答案B 错误； 令3n =，则1r =时，展开式中有x 的一次项，故C 答案错误，D 答案正确。

2020年高考金榜冲刺卷（七）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知()()12ai i x yi +-=+（a 、x 、y ∈R ，i 是虚数单位），则（ ） A ．20x y -= B ．230x y +-= C ．250x y --=D ．220x y ++=2．在平行四边形ABCD 中，()()1.2,2,0A B -,()2,3AC =-u u u v,则点D 的坐标为（ ）A ．()6,1B ．()6,1--C ．()0,3-D ．()0,33．若集合{|32}A x x a =≥-，{|(1)()0}B x x a x a =-+-≥，A B R =U ，则a 的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为（ ）A ．4B ．－4C ．－14D ．145．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多6．如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是（ ）．① ② ③ ④ A ．①②B ．①④C ．②④D ．①③7．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则（ ） A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()y =f x 的图像关于直线1x =对称C ．()f x 在（0，2）单调递减D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称8．设x 为区间[]22-,内的均匀随机函数，则计算机执行下列程序后，输出的y 值落在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的概率为（ ）A ．34B ．58C ．12D ．389．已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>满足24f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0f π=，且()f x 在区间,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则符合条件的ω的值的个数为（ ） A ．7B ．9C ．12D ．1410．已知数列{}n a 的前n 项和221,4(1),5n n n S n m n n ⎧-≤=⎨-+-≥⎩.若5a 是{}n a 中的最大值，则实数m 的取值范围是_____．A ．53,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．53,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．53,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．53,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭11．如图，P 为椭圆22143x y +=上一个动点，过点P 作圆C ：22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则当四边形PACB 面积最大时，PA PB ⋅u u u v u u u v的值为（ ）A ．569B ．529C ．469D ．28912．设函数()h x 的定义域为D ，若满足条件：存在，使()h x 在上的值域为，则称“倍胀函数”.若函数()f x 为“倍胀函数”，则实数()()1xf x aa =>中a 的取值范围是（ ）A ．12(1,)eB ．2(1,)eeC ．212(,)ee eD ．121(,)2e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则8T =__________．14．函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()xf x e =，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为__________．15．设实数x ，y 满足2142106x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为__________．16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点Q 是线段11C D 上的动点，点P 为正方体对角线1AC 上的动点，若三棱锥11A B PQ -的体积为正方体体积的19，则直线1A P 与底面1111D C B A 所成角的正切值为__________．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知ABC ∆内接于单位圆，且()()1tan 1tan 2A B ++=， （1）求角C ；（2）求ABC ∆面积的最大值．18．（12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F ，G 分别是棱1CC ，1AA 的中点，E ，M 分别为棱AB ，11A B 上一点，113B M MA =，且GM P 平面1B EF.（1）证明：E 为AB 的中点. （2）若四棱锥1F B MGE -的体积为32，求正方体1111ABCD A B C D -的表面积. 19．（12分）党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一,为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村扶贫. 此帮扶单位为了了解某地区贫困户对其所提供的帮扶的满意度，随机调查了40个贫困户，得到贫困户的满意度评分如下：贫困户编号评分贫困户编号评分贫困户编号评分贫困户编号评分1 2 378 73 8111 12 1388 86 9521 22 2379 83 7231 32 3393 78 75用系统抽样法从40名贫困户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92. （1）请你列出抽到的10个样本的评分数据； （2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2s ；（3）在（2）条件下，若贫困户的满意度评分在(,)x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”.运用样本估计总体的思想，现从（1）中抽到的10个样本的满意度为“A 级”贫困户中随机地抽取2户，求所抽到2户的满意度均评分均“超过80”的概率.5.92≈≈≈）20．（12分）已知抛物线E ：24y x =，圆C ：22(3)1x y -+=.（1）若过抛物线E 的焦点F 的直线l 与圆C 相切，求直线l 方程；（2）在（1）的条件下，若直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，x 轴上是否存在点(,0)M t 使AMO BMO ∠=∠（O 为坐标原点）？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 21．（12分）已知函数()ln f x x x ax =+，()f x '是()f x 的导函数. （1）若1a =-，求()f x 的最值；（2）若1a >，证明：对任意的[]11,x a ∈，存在[]21,x a ∈，使得()()121f x f x '-=.(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）曲线1C 的参数方程为121:23x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线()2:2cos 0C a a ρθ=>关于1C 对称． （1）求1C 极坐标方程，2C 直角坐标方程；（2）将2C 向左平移4个单位长度，按照x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩变换得到33C C ；与两坐标轴交于,A B 两点，P 为3C 上任一点，求ABP ∆的面积的最大值. 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 设函数()13f x x x =-++.（1）求不等式()61f x -<的解集；（2）证明：24()24x f x x -≤≤+.2020年高考金榜冲刺卷（七）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知()()12ai i x yi +-=+（a 、x 、y ∈R ，i 是虚数单位），则（ ） A ．20x y -= B ．230x y +-= C ．250x y --= D ．220x y ++=【答案】C【解析】()()()()12221ai i a a i x yi +-=++-=+Q ，221x a y a =+⎧∴⎨=-⎩， 消去参数a 得()22125y x x =--=-，即250x y --=.故选：C.2．在平行四边形ABCD 中，()()1.2,2,0A B -,()2,3AC =-u u u v,则点D 的坐标为（ ）A ．()6,1B ．()6,1--C ．()0,3-D ．()0,3【答案】A【解析】AB 32=--u u u v （，），∴AD AC AB 51=-=-u u u v u u u v u u u v（，），则D(6,1)，故选A 3．若集合{|32}A x x a =≥-，{|(1)()0}B x x a x a =-+-≥，A B R =U ，则a 的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】因为{|32}A x x a =-…{|1}B x x a x a =-或厔，A B R ⋃=，所以321a a --„，解得43a …. 4．双曲线mx2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为（ ） A ．4 B ．－4C ．－14D ．14【答案】C【解析】依题意，双曲线的标准方程为2211x y m-=-，即2211,a b m ==-，由于虚轴长是实轴长的2倍，所以2b a =，即224b a =，也即114,4m m -==-.故选C. 5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 【答案】D【解析】在A 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；在B 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%39.6%22.176%20%⨯=>，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%，所以是正确的；在C 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：13.7%39.6%9.52%⨯=，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；在D 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定不80后多，所以是错误的.故选：D. 6．如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是（ ）．① ② ③ ④ A ．①② B ．①④ C ．②④ D ．①③【答案】C【解析】对于①，由AB 与CE 所成角为45︒，可得直线AB 与平面CDE 不垂直； 对于②，由AB CE ^，AB ED ⊥，CE ED E ⋂=，可得AB ⊥平面CDE ； 对于③，由AB 与CE 所成角为60︒，可得直线AB 与平面CDE 不垂直； 对于④，连接AC ，由ED ⊥平面ABC ，可得ED ⊥AB ，同理可得EC AB ⊥， 又ED EC E ⋂=，所以AB ⊥平面CDE .故选C. 7．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则（ ） A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()y =f x 的图像关于直线1x =对称C ．()f x 在（0，2）单调递减D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称【答案】B【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故B 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，C 错误，故选B ．8．设x 为区间[]22-,内的均匀随机函数，则计算机执行下列程序后，输出的y 值落在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的概率为（ ）A ．34B ．58C ．12D ．38【答案】C【解析】根据题意知，当x ∈[﹣2，0]时，y ＝2x ∈[14，1]；当x ∈（0，2]时，y ＝2x +1∈（1，5]；所以当y ∈[12，3]时，x ∈[﹣1，1]，其区间长度为2，所求的概率为P 2142==．故选C ．9．已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>满足24f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0f π=，且()f x 在区间,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则符合条件的ω的值的个数为（ ）A ．7B ．9C ．12D ．14【答案】B【解析】由题意知函数()f x 的周期T ，由24f π⎛⎫=⎪⎝⎭，()0f π=，结合正弦函数图像的特征可知3424T kT π+=，k ∈N ，故312T k π=+，()2123k ω+=，k ∈N ；又因为()f x 在区间,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以342T ππ-<，故6T π>，所以212T πω=<，即()212123k +<，∴172k <，k ∈N ，∴0,1,2,8k =L 符合条件的ω的值有9个.故选B.10．已知数列{}n a 的前n 项和221,4(1),5n n n S n m n n ⎧-≤=⎨-+-≥⎩.若5a 是{}n a 中的最大值，则实数m 的取值范围是_____．A ．53,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．53,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．53,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．53,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为()221,41,5n n n S n m n n ⎧-≤⎪=⎨-+-≥⎪⎩，所以当24n ≤≤时，112n n n n a S S --=-=；当1n =时，111a S ==也满足上式；当6n ≥时，12n n n a S S n a -=-=-+，当5n =时，554545a S S a =-=-，综上，124545526n n n a a n n a n -⎧≤⎪=-=⎨⎪-+≥⎩，，，；因为5a 是{}n a 中的最大值，所以有5458a -≥且54512a a -≥-+，解得535a ≥.故选B. 11．如图，P 为椭圆22143x y +=上一个动点，过点P 作圆C ：22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则当四边形PACB 面积最大时，PA PB ⋅u u u v u u u v的值为（ ）A ．569B ．529C ．469D ．289【答案】A【解析】连接PC ，设APC α∠=，则2APB α∠=，由切线的性质知PA PB =，所以1212PACB S PA PA 四边形=⨯⨯=，故四边形PACB 面积最大时，即PA 最大，且()21PA PC =-.易知当点P 为椭圆的左顶点时，PC 最大，所以()2,0P -，如图所示，此时1AC =，3PC =，22PA =，所以1sin 3α=， ()2cos212sin PA PB PA PB PA PB αα⋅=⋅=⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2125622221281399⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯=⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选A.12．设函数()h x 的定义域为D ，若满足条件：存在，使()h x 在上的值域为，则称“倍胀函数”.若函数()f x 为“倍胀函数”，则实数()()1xf x aa =>中a 的取值范围是（ ）A ．12(1,)eB ．2(1,)eeC ．212(,)ee eD ．121(,)2e【答案】B【解析】因为()()1xf x aa =>，所以函数为单调递增的函数，又因为()f x 为“倍胀函数”，所以由题可得：22m na ma n⎧=⎨=⎩. 即,m n 是方程：2x a x =的两个根，即函数()2xg x a x =-有两个零点,()ln 2x g x a a '=-，令()ln 20x g x a a '=-=可得22log ln ln x aa x a a=∴= , 易知当2log ,()ln ax g x a =取最小值，所以min 222()(log )2log 0ln ln ln a a g x g a a a==-<, 令2(0)ln t t a=> 此时2t a e = ，即22log 0t a t t t a -<⇒> ，又因为2t a e =, 所以t e > ，即2ln e a> ，解得2e a e < ，所以21e a e <<，故答案为21e a e <<.故选B. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则8T =__________． 【答案】4096【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由29T T =得761a =，故61a =，即511a q =.又2121512a a a q ==，所以91512q =，故12q =，所以36312832424096a T T a q ⎛⎫===== ⎪⎝⎭.故答案为4096.14．函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()xf x e =，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为__________．【答案】0ex y +=【解析】设0x <，则0x ->，因()f x 为偶函数，有()()xf x f x e -=-=，0x <.()()1,x f e f x e -∴-==-′，()1f e ∴-=-′，∴切线为过点()1,e -，斜率为e -的直线，故方程为()1y e e x -=-+，即0ex y +=.故答案为0ex y +=.15．设实数x ，y 满足2142106x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为__________．【答案】252【解析】由约束条件2142106x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩作出可行域如下：由图像可得102y x ≤-，则2525(102)2(5)222x x xy x x x x +-⎛⎫≤-=-≤=⎪⎝⎭，当且仅当52x =，5y =时，取等号；经检验，5,52⎛⎫⎪⎝⎭在可行域内，所以xy 的最大值为252. 16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点Q 是线段11C D 上的动点，点P 为正方体对角线1AC 上的动点，若三棱锥11A B PQ -的体积为正方体体积的19，则直线1A P 与底面1111D C B A 所成角的正切值为__________．【答案】2【解析】设正方体的边长为1，连11A C ，在11A C上取一点H ，使得1PH A A P .由1A A ⊥底面1111D C B A ，得PH ⊥底面1111D C B A ， 直线1A P 与底面1111D C B A 所成的角为1PA H ∠，记为θ，则11111113A B PQ P A B Q A B Q V V PH S --∆==⨯111326PH PH =⨯=. 又由11111ABCD A B C D V -=，则1169PH =，得23PH =，可得111123A H AC ==， 则123tan 22PHA H θ===.故答案为2.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知ABC ∆内接于单位圆，且()()1tan 1tan 2A B ++=， （1）求角C ；（2）求ABC ∆面积的最大值．【解析】（1）()()112tanA tanB ++=Q ,1tanA tanB tanA tanB ∴+=-⋅，()11tanA tanB tanC tan A B tanAtanB +∴=-+=-=--，()3C 0,4C ππ∈∴=Q . （2）ABC ∆的外接圆为单位圆，∴其半径1R =，由正弦定理可得22c RsinC ==，由余弦定理可得2222c a b abcosC =+-，代入数据可得2222a b ab =++()2222ab ab ab ≥+=+，当且仅当a=b时，“=”成立,22ab ∴≤+，ABC V ∴的面积1221222S absinC -=≤⋅=+， ABC ∆面积的最大值为212-. 18．（12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F ，G 分别是棱1CC ，1AA 的中点，E ，M 分别为棱AB ，11A B 上一点，113B M MA =，且GM P 平面1B EF .（1）证明：E 为AB 的中点. （2）若四棱锥1F B MGE -的体积为32，求正方体1111ABCD A B C D -的表面积.【解析】（1）取11A B 的中点N ，连接AN因为113B M MA =，所以M 为1A N 的中点，又G 为1AA 的中点，所以GM AN P .因为GM P 平面1B EF ，GM ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A I 平面11B EF B E =.所以1GM B E P ，即1AN B E P .又1B N AE P ，所以四边形1AEB N 为平行四边形，则1AE B N =， 所以E 为AB 的中点.（2）设AB a =，则1A MG ∆，AGE ∆，1BEB ∆的面积分别为2a 16，28a ，24a ，易知F 到平面11ABB A 的距离为a ，所以11222321133331684162F B MGEB MGE a a a a V h S a a -⎛⎫==⋅⋅⨯---⨯== ⎪⎝⎭， 解得2a =，故所求正方体的表面积为2624a =.19．（12分）党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一,为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村扶贫. 此帮扶单位为了了解某地区贫困户对其所提供的帮扶的满意度，随机调查了40个贫困户，得到贫困户的满意度评分如下：贫困户编号评分贫困户编号评分贫困户编号评分贫困户编号评分1781188217931 93用系统抽样法从40名贫困户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92. （1）请你列出抽到的10个样本的评分数据； （2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2s ；（3）在（2）条件下，若贫困户的满意度评分在(,)x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”.运用样本估计总体的思想，现从（1）中抽到的10个样本的满意度为“A 级”贫困户中随机地抽取2户，求所抽到2户的满意度均评分均“超过80”的概率.5.92≈≈≈）【解析】（1）通过系统抽抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40 则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89. （2）由（1）中的样本评分数据可得1(92848678897483787789)8310x =+++++++++=，则有22222222221[(9283)(8483)(8683)2(7883)(8983)(7483)(8383)(7783)(8983)]10s =-+-+-+⨯-+-+-+-+-+- 33=. 所以均值83x =，方差233s =.（3）由题意知评分在(83-+即(77.26,88.74)之间满意度等级为“A 级”，由（1）中容量为10的样本评分在(77.26,88.74)之间有5人，从5人中选2人共有10种情况，而80-分以上有3人，从这3人选2人共有3种情况，故310P =. 20．（12分）已知抛物线E ：24y x =，圆C ：22(3)1x y -+=.（1）若过抛物线E 的焦点F 的直线l 与圆C 相切，求直线l 方程；（2）在（1）的条件下，若直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，x 轴上是否存在点(,0)M t 使AMO BMO ∠=∠（O 为坐标原点）？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题知抛物线E 的焦点为()1,0F ，当直线的斜率不存在时，过点()1,0F 的直线不可能与圆C 相切；所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在，设直线斜率为k ，则所求的直线方程为()1y k x =-，即0kx y k --=，所以圆心到直线l的距离为d ==当直线l与圆相切时，有113d k =⇒=⇒=±，所以所求的切线方程为)1y x =-或)1y x =-.（2）由（1）知，不妨设直线l：()13y x =-，交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，联立方程组)221141034y x x x y x ⎧=-⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，所以1214x x +=，121x x ⋅=， 假设存在点(),0M t 使AMO BMO ∠=∠，则0AM BM k k +=.而11AM y k x t =-，22BM y k x t=-， 所以1212AM BM y y k k x t x t +=+--()()()()1221120y x t y x t x t x t -+-==--()1221120y x y x y y t ⇒+-+= ()()122112220x x x x x x t ⇒-+-+-=，即()21414201t t ---=⇒=-，故存在点()1,0M -符合条件.当直线l：)13y x =--时， 由对称性易知点()1,0M -也符合条件.综合可知在（1）的条件下，存在点()1,0M -使AMO BMO ∠=∠. 21．（12分）已知函数()ln f x x x ax =+，()f x '是()f x 的导函数.（1）若1a =-，求()f x 的最值；（2）若1a >，证明：对任意的[]11,x a ∈，存在[]21,x a ∈，使得()()121f x f x '-=.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+.当1a =-时，()ln f x x '=，0x >.所以在()0,1上()0f x '<，在()1,+∞上()0f x '>，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 因为()11f =-，所以()f x 的最小值为1-，没有最大值.（2）由题意得()ln 1f x x a '=++.因为()f x '在[]1,a 上单调递增，所以()()()1f f x f a '''≤≤， 即()[]1,ln 1f x a a a '∈+++.因为1a >且1x a ≤≤，所以()0f x '>，所以()f x 在[]1,a 上单调递增. 所以()()()1f f x f a ≤≤，即()211,ln 1f x a a a a ⎡⎤+∈+++⎣⎦.依题意知，只需2ln 1ln 1a a a a a ++≤++成立即可.要证2ln 1ln 1a a a a a ++≤++成立，即证()()1ln 0a a a -+≥成立.因为1a >，所以10a ->，ln 0a a +>，所以()()1ln 0a a a -+>，从而，原命题得证.(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）曲线1C 的参数方程为121:23x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线()2:2cos 0C a a ρθ=>关于1C 对称．（1）求1C 极坐标方程，2C 直角坐标方程；（2）将2C 向左平移4个单位长度，按照2x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩变换得到33C C ；与两坐标轴交于,A B 两点，P 为3C 上任一点，求ABP ∆的面积的最大值.【解析】（1）1C ：2123x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），消去t ，得4x y -=. 又x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入4x y -=得：cos sin 40ρθρθ--=. ∴sin cos 40ρθρθ-+=sin 404πθ⎛⎫⇒-+= ⎪⎝⎭1:sin 04C πρθ⎛⎫⇒-+= ⎪⎝⎭. 2C ：2cos a ρθ=化为：()222(0)x a y a a -+=>，又2C 关于1C ：4x y -=对称，∴()1,0a C ∈，∴4a =，∴2C ：()22416x y -+=.（2）2C 向左平移4个单位长度得：2216x y +=，按x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩变换后得：22221611612x y x y ⎫+=⇒+=⎪⎭.∴3C ：2211612x y +=，∴令()4,0A，(0,B ，∴AB =易得：AB l20y +-=，设()4cos ,P θθ到AB l 的距离为d .则d =1=≤. 当35sin 14424ππθθπθπ⎛⎫+=-⇒+=⇒= ⎪⎝⎭时，d1∴()max 1122ABP S AB d∆==⨯1=23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）设函数()13f x x x =-++.（1）求不等式()61f x -<的解集；（2）证明：24()24x f x x -≤≤+. 【解析】（1）∵()61f x -<，∴1()61f x -<-<，即5()7f x <<，当31x -≤≤时，()4f x =显然不合；当3x <-时，5227x <--<，解得9722x -<<-； 当1x >时，5227x <+<，解得3522x <<.综上，不等式()61f x -<的解集为9735,,2222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）证明：当31x -≤≤时，()424x x f =≤+；当3x <-时，()()()24222460f x x x x -+=----+=-<，则()24f x x <+； 当1x >时，()()()24222420f x x x x -+=+-+=-<，则()24f x x <+. ∵()()13134f x x x x x =-++≥--+=，∴()4f x ≥.∵244x -≤，∴2()4f x x ≥-. 故24()24x f x x -≤≤+.。

第七单元 统计与概率A 卷 基础过关检查一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+2. 【2020全国高三课时练习（理）】等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 9的公差为1，若以上述数据x 1，x 2，x 3，…，x 9为样本，则此样本的方差为（ ） A ．203B ．103C ．60D ．303.【2020山东青岛高三其他】如图是一个22⨯列联表，则表中a 、b 处的值分别为（ ）1y 2y总计1xb21e2x c25 33A ．96，94B ．60，52C ．52，54D ．50，524. 【2020山东青岛高三其他】中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ） A ．50种B ．60种C ．80种D ．90种5.【2020山东文登高三期末】二项式2()nx x-的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（ ） A ．160-B ．80-C ．80D ．1606. 【2020年高考山东】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%7. 【2020嘉祥县第一中学高三其他】 “仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一-位,且“智信”相邻的概率为（ ） A ．110B ．15C ．310D ．258.【2019山东省实验中学高三一模（理）】已知三个村庄A ，B ，C 构成一个三角形，且AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米．为了方便市民生活，现在△ABC 内任取一点M 建一大型生活超市，则M 到A ，B ，C 的距离都不小于2千米的概率为 A ．25B ．35C ．115π-D ．15π 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9. 【2020烟台市教育科学研究院高三其他】某校计划在课外活动中新増攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男女生人数相同，并绘制如下等高条形图，则（ ）参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.05 0.010k3.841 6.635A ．参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多B ．参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多C ．若参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关D ．无论参与调查的男女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关10. 【2020肥城市教学研究中心高三其他】某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中任选3门进行学习. 现有甲、乙、丙三人，若同学甲必选物理，则下列结论正确的是（ ） A ．甲的不同的选法种数为10B ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件C ．乙同学在选物理的条件下选化学的概率是15D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是1411. 【2020新泰市第二中学高三其他】下列说法正确的是（ ）A ．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6：5：5：4，则应从一年级中抽取90名学生B ．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率为12C ．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得x =3，y =3．5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是y =0.4x +2.3D ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件12. 【2020年高考山东】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni ii H X p p ==-∑.A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【2020年高考江苏】已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是 ． 14.【2020山东省桓台第一中学】已知样本122018,,,x x x ⋯的平均数与方差分别是1和4，若(1,2,,2018)i i y ax b i =+=⋯ ，且样本122018,,,y y y ⋯的平均数与方差也分别是1和4，则b a =________________.15. 【2020山东威海高三二模】()()52x y x y +-的展开式中24x y 的系数为________． 16. 【2020年高考天津】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.18．【2020年高考全国III卷理数】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：K219．【2020山东高三其他】某企业进行深化改革，使企业的年利润不断增长．该企业记录了从2014年到2019年的年利润y（单位：百万）的相关数据，如下：年利润/y 百万 3 58111314（1）根据表中数据，以年份代号t 为横坐标，年利润y 为纵坐标建立平面直角坐标系，根据所给数据作出散点图；（2）利用最小二乘法求出y 关于t 的线性回归方程（保留2位小数）；（3）用ˆi y表示用正确的线性回归方程得到的与年份代号t 对应的年利润的估计值，i y 为与年份代号t 对应的年利润数据，当ˆ0i i yy -<时，将年利润数据i y 称为一个“超预期数据”，现从这6个年利润数据中任取2个，记X 为“超预期数据”的个数，求X 的分布列与数学期望．附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211ˆnniii ii i nniii i xxy y x y nx ybxxxnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 20．【2020重庆高三月考】某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：空气质量指数(]0,50(]50,100(]100,150(]150,200(]200,300300以上空气质量等级一级（优）二级（良）三级（轻度污染）四级（中度污染）五级（重度污染）六级（严重污染）（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数；（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）.①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X，求X 的分布列和数学期望；②以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.21.【2020山东济宁高三二模】在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下22⨯列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时 4 19（1）请完成上面22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.（下面的临界值表供参考）（参考公式22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++其中n a b c d=+++）22. 【2020山东高三其他】据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50％的高速年均增长.针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值志为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k，并分成以下5组：[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，其统计结果及产品等级划分如下表所示：试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）：（1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k近似地服从正态分布()2N,μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本的标准差s ，并已求得10.03s ≈.记X 表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k 在区间(50.54,80.63]之外的包装胶带个数，求P(X 1)=及X 的数学期望；（精确到0.001）（2）已知每个包装胶带的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所示：((1,4))t ∈假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为5000万元（含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由. 参考数据：若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.68.27P Z μσμσ-<≤+=，(22)P Z μσμσ-<≤+0.9545=，(33)0.9973P Z μσμσ-<≤+=，290.81860.0030≈，ln13 2.6≈.。

2021年高考数学三轮复习试题汇编专题7 概率与统计第3讲统计与统计案例（B卷）理（含解析）一、选择题（每题5分，共30分）1．(xx·德州市高三二模（4月）数学（理）试题·4)若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是（）A．91 5.5 B．91 5C．92 5.5 D．92 52．(xx·聊城市高考模拟试题·6)利用简单随机抽样从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示．在这些用户中，用电量落在区间[150，250]内的户数为（）A．46 B．48C．50 D．523. (xx·山东省潍坊市第一中学高三过程性检测·4)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:根据下表可得回归方程中的b=10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）A.112.1万元B.113.1万元C.113.9万元D.111.9万元4.（xx·山东省潍坊市高三第二次模拟考试·6）5.(xx·济宁市5月高考模拟考试·5)6.（xx·山东省枣庄市高三下学期模拟考试·4）8．（xx·陕西省安康市高三教学质量调研考试·3）五位同学在某次考试的数学成绩如茎叶图：则这五位同学这次考试的数学平均分为（）A．88 B．89 C．90 D．91二、非选择题(60分)9．（xx·武清区高三年级第三次模拟高考·9）书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，则应抽出的英语书本．10．(xx·德州市高三二模（4月）数学（理）试题·11)某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩（，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人．11．(xx.绵阳市高中第三次诊断性考试·13)右图是绵阳市某小区100户居民xx年月平均用水量（单位：t）的频率分布直方方图的一部分，则该小区xx年的月平均用水量的中位数的估计值为12．(xx.南通市高三第三次调研测试·4)为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在中的频数为100，则n的值为．13．(xx.菏泽市高三第二次模拟考试数学（理）试题·13)采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001，300]的人做问卷A ，编号落入区间[301，495]的人做问卷B ，编号落入区间[496，60]的人做问卷C ,则抽到的人中，做问卷C 的人数为 ．14．（xx ·南京市届高三年级第三次模拟考试·5）如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ．15. ( 徐州、连云港、宿迁三市xx 届高三第三次模拟·3)如图是某市xx 年11月份30天的空气污染指数的频率分布直方图. 根据国家标准，污染指数在区间内，空气质量为优；在区间内，空气质量为良；在区间内，空气质量为轻微污染；由此可知该市11月份空气质量为优或良的天数有 ▲ 天.16．(xx ·盐城市高三年级第三次模拟考试·5)某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[61, 120]的人数为 ．17.（xx ·漳州市普通高中毕业班适应性考试·13）某校高三（1）班的一次数学测试成绩甲 乙 8 9 7 8 9 3 1 0 6 9 7 8 9 （第5题图）的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）频率分布直方图中［80，90）间的矩形的高为．（2）若要从分数在［80，100］之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，至少有一份分数在［90，100］之间的概率为．18. （xx·海南省高考模拟测试题·19）（本小题满分12分）某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练，从中抽出N名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间[90，100]内的学生人数为2人．（1）求N的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数；（2）学校从成绩在[70，100]的三组学生中用分层抽样的方法抽取12名学生进行复试，若成绩在[80，90）这一小组中被抽中的学生实力相当，且能通过复试的概率均为，设成绩在[80，90）这一小组中被抽中的学生中能通过复试的人数为，求的分布列和数学期望. 19．(江西省九江市xx届高三第三次模拟考试·18)（本小题满分12分）如图所示的茎叶图为甲、乙两家连锁店七天内销售额的某项指标统计：（1）求甲家连锁店这项指标的平均数、中位数和众数，并比较甲、乙两该项指标的方差大小；（2）每次都从甲、乙两店统计数据中随机各选一个进行对比分析，共选了7次（有放回选取），设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为，求的数学期望．专题7 概率与统计第3讲 统计与统计案例(B 卷)参考答案与解析1.【答案】A【命题立意】本题旨在考查茎叶图．【解析】由茎叶图可知这8所中学学生得分的成绩分别为：，从而平均数为：，方差为：()()()()()()()()2222222287918891909191919291939193919491 5.58-+-+-+-+-+-+-+-=故选：A2.【答案】D【命题立意】本题主要考查频率分布直方图中频数，频率的有关知识。