线性代数知识点总结
第一章 行列式
第一节：二阶与三阶行列式
把表达式11221221a a a a -称为
1112
2122a a a a 所确定的二阶行列式，并记作1112
2112a a a a ，
即1112
112212212122
.a a D a a a a a a =
=-结果为一个数。
同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数
表11
1213
21
222331
32
33a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式，记作1112
13
2122
23313233
a a a a a a a a a 。 即111213
2122
23313233
a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- 二三阶行列式的计算：对角线法则
注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。 利用行列式计算二元方程组和三元方程组：
对二元方程组1111221
2112222
a x a x
b a x a x b +=⎧⎨
+=⎩
设1112
2122
a a D a a =
≠1121222
b a D b a =
111
2212
.a b D a b =
则1122221111122122
b a b a D
x a a D
a a ==
，
1112122211122122
.a b a b D
x a a D
a a ==
对三元方程组111122133121122223323113223333
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩，
设11
1213
21
222331
32
33
0a a a D a a a a a a =≠，
1
121312
22233
3233b a a D b a a b a a =，11113221223313
33a b a D a b a a b a =，1112132122231
32
3
a a
b D a a b a a b =，
则11D x D =
，22D
x D =，33D x D
=。（课本上没有） 注意：以上规律还能推广到n 元线性方程组的求解上。
第二节：全排列及其逆序数
全排列：把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（或排列）。
n 个不同的元素的所有排列的总数，通常用P n (或A n )表示。（课本P5）
逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。 排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。（课本P5）
计算排列逆序数的方法：
方法一：分别计算出排在1,2,,1,n n -L 前面比它大的数码之和即分别算出1,2,,1,n n -L 这n 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。 方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。（课本上没有）
第三节：n 阶行列式的定义
定义：n 阶行列式111212122212=
L L
M M O M L
n
n
n n nn
a a a a a a D a a a 等于所有取自不同行、不同列的n 个元素的乘积 1212n p p np a a a L 的代数和，其中p 1 p 2 … p n 是1， 2， … ，n 的一个排列，每一项的符号由
其逆序数决定。()()
1112112222112211220100n
t n n nn nn nn
a a a a a D a a a a a a a =
=-=L L L
L L M M O M L
也可简记为()det ij a ，其中ij a 为行列式D 的（i ，j 元）
。 根据定义，有()()
121212111212122212121=
=-∑L L L L
L M M O M L
n n n n
t p p p n p p np p p p n n nn
a a a a a a D a a a a a a 说明：
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程
组的需要而定义的;
2、n 阶行列式是!n 项的代数和;
3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n 个元素的乘积;
4、1212n p p np a a a L 的符号为()1t
-，t 的符号等于排列12,,...n p p p 的逆序数 5、一阶行列式a a =不要与绝对值记号相混淆。
推论1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积 。
即()()
11
12112222112211220100n
t n n nn nn nn
a a a a a D a a a a a a a =
=-=L L L L L M M O M L
推论2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于()()12
1n n --乘
以其副对角线上各元的乘积。
即
1
2
12n n
λλλλλλ=L O
，
()
()1
12
2
121n n n n
λλλλλλ-=-L N
第四节：行列式的性质
定义
记11
1212122212n n n n nn a a a a a a D a a a =
L L M M O M ，11211
12222
12n n T
n n nn
a a a a a a D a a a =L L M M O M L
，行列式T
D 称为行列式D 的转置行列式。
性质1 行列式与它的转置行列式相等。
说明 行列式中行与列具有同等地位，因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。 性质2 互换行列式的两行()
↔i j r r 或列()
↔i j c c ，行列式变号。 推论
如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()⨯j k r k ，等于用数k 乘此行列式；
推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则
