2018版高考复习(数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 M单元 推理与证明(理科) 含答案

数 学M 单元 推理与证明 M1 合情推理与演绎推理 11．M1 观察下列各式： C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________． 11．4n －1归纳可知，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1.M2 直接证明与间接证明16． N1(1)选修4­1：几何证明选讲如图1­5，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F .证明：(i )∠MEN ＋∠NOM ＝180°； (ii)FE ·FN ＝FM ·FO .图1­5N3(2)选修4­4：坐标系与参数方程已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(i)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(ii)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． N4，M2(3)选修4­5：不等式选讲 设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明：(i)a ＋b ≥2；(ii)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．16．(1)证明：(i)如图所示，因为M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，所以OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，即∠OME ＝90°，∠ENO ＝90°，因此∠OME ＋∠ENO ＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN ＋∠NOM ＝180°.(ii)由(i)知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE ·FN ＝FM ·FO . (2)解：(i)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.② (ii)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入②，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.(3)证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，a >0，b >0，得ab ＝1.(i)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2(当且仅当a ＝b 时等号成立)，即a ＋b ≥2. (ii)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1；同理，0<b <1.从而ab <1，这与ab ＝1矛盾，故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．21.D3，B11，M2 已知a >0，函数f (x )＝e axsin x (x ∈ 已知数列{a n }的各项均为正数，b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n na n (n ∈N ＋)，e 为自然对数的底数． (1)求函数f (x )＝1＋x －e x的单调区间，并比较⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n与e 的大小； (2)计算b 1a 1，b 1b 2a 1a 2，b 1b 2b 3a 1a 2a 3，由此推测计算b 1b 2…b na 1a 2…a n的公式，并给出证明；(3)令c n ＝(a 1a 2…a n )1n，数列{a n }，{c n }的前n 项和分别记为S n ，T n ，证明：T n <e S n .22．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1－e x. 当f ′(x )>0，即x <0时，f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >0时，f (x )单调递减．故f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． 当x >0时，f (x )<f (0)＝0，即1＋x <e x. 令x ＝1n ，得1＋1n <e 1n，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n <e .①(2)b 1a 1＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋111＝1＋1＝2；b 1b 2a 1a 2＝b 1a 1·b 2a 2＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝(2＋1)2＝32； b 1b 2b 3a 1a 2a 3＝b 1b 2a 1a 2·b 3a 3＝32×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋133＝(3＋1)3＝43. 由此推测：b 1b 2…b n a 1a 2…a n＝(n ＋1)n.②下面用数学归纳法证明②.(i)当n ＝1时，左边＝右边＝2，②成立． (ii)假设当n ＝k 时，②成立，即b 1b 2…b k a 1a 2…a k＝(k ＋1)k.当n ＝k ＋1时，b k ＋1＝(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1k ＋1a k ＋1，由归纳假设可得b 1b 2…b k b k ＋1a 1a 2…a k a k ＋1＝b 1b 2…b k a 1a 2…a k ·b k ＋1a k ＋1＝(k ＋1)k (k ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1k ＋1＝(k ＋2)k ＋1. 所以当n ＝k ＋1时，②也成立．根据(i)(ii)，可知②对一切正整数n 都成立．(3)证明：由c n 的定义，②，算术­几何平均不等式，b n 的定义及①得T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝(a 1)11＋(a 1a 2)12＋(a 1a 2a 3)13＋…＋(a 1a 2…a n )1n＝（b 1）112＋（b 1b 2）123＋（b 1b 2b 3）134＋…＋（b 1b 2…b n ）1nn ＋1≤b 11×2＋b 1＋b 22×3＋b 1＋b 2＋b 33×4＋…＋b 1＋b 2＋…＋b n n （n ＋1）＝b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＋b 2⎣⎢⎡12×3＋⎦⎥⎤13×4＋…＋1n （n ＋1）＋…＋b n·1n （n ＋1）＝b 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1＋…＋ b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1<b 11＋b 22＋…＋b n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋111a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n na n <e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝e S n ，即T n <e S n .23．M3 已知集合X ＝{1，2，3}，Y n ＝{1，2，3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }．令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明． 23．解：(1)f (6)＝13. (2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立．②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，f (k ＋1)在f (k )的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：(i)若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；(ii)若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－13，结论成立；(iii)若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－23，结论成立；(iv)若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋k ＋13，结论成立；(v)若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－13，结论成立；(vi)若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－23，结论成立．综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立．M4 单元综合8．M4 若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( ) A ．至多等于3 B ．至多等于4 C ．等于5 D ．大于58．B 正四面体符合要求，因此n 可以等于4.下面证明n ＝5不可能．证明：假设存在五个点两两距离相等，设为A ，B ，C ，D ，E .其中A ，B ，C ，D 构成空间的正四面体ABCD ，设其棱长为a .设G 为△BCD 的中心，则不难算出AG ＝63a ，BG ＝33a ，且AG ⊥平面BCD .如果点E 到A ，B ，C ，D 四点的距离相等，那么点E 一定在直线AG 上，且EB ＝a . 如果点E 在线段AG 上，那么在Rt △EBG 中，EG ＝BE 2－BG 2＝63a ，AG ＝63a ，此时A ，E 重合，所以点E 可能在AG 的延长线上． 如果点E 在AG 的延长线上，此时EG ＝63a ，EA ＝263a ≠a . 综上所述，如果E 到正四面体的四个顶点的距离相等，那么点E 只能是正四面体的四个顶点之一．所以若空间中n 个不同的点两两距离相等，则正整数n 的取值至多是4.15．M4 一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．15．5 1101101中x 1＝x 2＝x 4＝x 5＝x 7＝1，x 3＝x 6＝0，则x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1，不满足方程组，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，满足方程组，所以推测x 4或x 5错误．又x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1，不满足方程组，所以x 5错误，故k ＝5.7． 已知三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现，任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据该同学的发现，计算f ⎝⎛⎭⎪⎫12015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20142015＝________．7．2014 f′(x)＝x 2－x ＋3，由f″(x)＝2x －1＝0得x ＝12，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1为y ＝f(x)的对称中心，故f ⎝⎛⎭⎪⎫12015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20142015＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20132015＝…＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，故f ⎝⎛⎭⎪⎫12015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20142015＝2014. 8． 如图K52­2(1)所示，在平面几何中，设O 是等腰直角三角形ABC 底边BC 的中点，AB ＝1，过点O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q ，R ，则有1AQ ＋1AR＝2.类比以上结论，将其拓展到空间中，如图K52­2(2)所示，设O 是正三棱锥A ­BCD 中底面BCD 的中心，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB ＝1，连接AO ，且过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q ，R ，P ，则有________．图K52­28.1AQ ＋1AR ＋1AP ＝3 设O 到正三棱锥A­BCD 三个侧面的距离为d.易知V 三棱锥R ­ AQP ＝13S △AQP·AR ＝13×12·AQ ·AP ·AR ＝16AQ ·AP ·AR.又∵V 三棱锥R ­ AQP ＝V 三棱锥O ­ AQP ＋V 三棱锥O ­ ARP ＋V 三棱锥O ­ AQR ＝13S △AQP ·d ＋13S △ARP ·d ＋13S △AQR ·d ＝16(AQ·AP＋AR·AP＋AQ·AR)d， ∴16AQ ·AP ·AR ＝16(AQ·AP＋AR·AP＋AQ·AR)d， 即1AQ ＋1AR ＋1AP ＝1d. 而V 三棱锥A ­ BDC ＝13S △BDC ·AO ＝13×34×2×33＝16，∴V 三棱锥O ­ ABD ＝13V 三棱锥A ­ BDC ＝118，即13·S △ABD ·d ＝13×12·d ＝118，得d ＝13，∴1AQ＋1AR＋1AP＝3.6．由棱长为1的正方体叠成的几何体如图K52­1所示，第1个几何体的表面积为6，第2个几何体的表面积为18，第3个几何体的表面积是36. 依此规律，则第n个几何体的表面积是________.6．3n(n＋1) 第1个几何体的表面积为6×1＝6，第2个几何体的表面积为6×(1＋2)＝18，第3个几何体的表面积为6×(1＋2＋3)＝36，由此可得第n个几何体的表面积为6×(1＋2＋3＋…＋n)＝3n(n＋1)．。

第十五章推理与证明1.(2014·北京，8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A.2人B.3人C.4人D.5人1.B [学生甲比学生乙成绩好,即学生甲两门成绩中一门高过学生乙,另一门不低于学生乙.一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等.故选B.]2.(2014·山东，4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根2.A [至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”.]3.(2016·全国Ⅱ，15)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.3.1和3 [由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.]4.(2015·山东，11)观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41;C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋ C 22n －1＋…＋ C n －12n －1＝________. 4.4n －1[观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1， 第4个等式右边为43＝44－1，所以第n 个等式右边为4n －1.]5.(2015·福建，15)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1,2，…，n )称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算定义为0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________.5.5 [(ⅰ)x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x 5，x 7有一个错误，(ⅱ)中没有错误， ∴x 5错误，故k 等于5.]6.(2015·江苏，23)已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数. (1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明. 6.解 (1)f (6)＝13.(2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *).下面用数学归纳法证明：①当n＝6时，f(6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时,S k＋1在S k的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：1)若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋k－12＋k－23＋3＝(k＋1)＋2＋k＋12＋k＋13，结论成立；2)若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋k2＋k3＋1＝(k＋1)＋2＋（k＋1）－12＋（k＋1）－13，结论成立；3)若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k－12＋k－13＋2＝(k＋1)＋2＋k＋12＋（k＋1）－23，结论成立；4)若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k2＋k－23＋2＝(k＋1)＋2＋（k＋1）－12＋k＋13，结论成立；5)若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有f(k＋1)＝f(x)＋2＝k＋2＋k－12＋k3＋2＝(k＋1)＋2＋k＋12＋（k＋1）－13，结论成立；6)若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋k2＋k－13＋1＝(k＋1)＋2＋（k＋1）－12＋（k＋1）－23，结论成立.综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立.7.(2014·陕西，14)观察分析下表中的数据：7.F＋V－E＝2 [三棱柱中5＋6－9＝2;五棱锥中6＋6－10＝2;立方体中6＋8－12＝2,由此归纳可得F＋V－E＝2.]8.(2014·陕西，21)设函数f(x)＝ln (1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数.(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N *，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N *，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明. 8.由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0). (1)由已知，g 1(x )＝x1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x ，g 3(x )＝x1＋3x，…， 可得g n (x )＝x1＋nx .下面用数学归纳法证明.①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x，结论成立.②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x1＋kx 1＋x 1＋kx＝x 1＋（k ＋1）x，即结论成立.由①②可知，结论对n ∈N *成立.(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln (1＋x )≥ax1＋x 恒成立.设φ(x )＝ln (1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a （1＋x ）2＝x ＋1－a（1＋x ）2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立). 当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )＜0，∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0，即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， 故知ln (1＋x )≥ax1＋x 不恒成立.综上可知，a 的取值范围是(－∞，1].(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，n －f (n )＝n －ln (n ＋1)，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln (n ＋1). 证明如下：法一 上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln (n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln (1＋x )>x1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N *，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明.①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立.②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln (k ＋1).那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln (k ＋1)＋1k ＋2<ln (k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln (k ＋2)， 即结论成立.由①②可知，结论对n ∈N *成立.法二 上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln (n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln (1＋x )>x1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N *，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1， 上述各式相加可得ln (n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证.法三 如图，nxx ＋1d x 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和.∴12＋23＋…＋n n ＋1>0n⎰xx ＋1d x ＝0n ⎰(1－1x ＋1)d x ＝n －ln (n ＋1)， 结论得证.9.(2014·重庆，22)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *). (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论. 9.解 (1)法一 a 2＝2，a 3＝2＋1，再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0公差为1的等差数列,故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *). 法二 a 2＝2，a 3＝2＋1，可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时结论显然成立.假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1.则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1 ＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立.所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *). (2)法一 设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n ). 令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明加强命题a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立.假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数， 从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1. 故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立. 综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.法二 设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n ). 先证：0≤a n ≤1(n ∈N *).①当n ＝1时，结论明显成立.假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立，故①成立.再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *).②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，有a 2<a 3，即n ＝1时②成立. 假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1，由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2，a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立，所以②对一切n ∈N *成立.由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14.③又由①、②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2， 所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1.解得a 2n ＋1>14.④综上，由②、③、④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立.。

M 推理与证明M1 合情推理与演绎推理11．M1观察下列不等式1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个．．．不等式为______________．11．1＋122＋132＋142＋152＋162<116本小题主要考查了归纳与推理的能力，解题的关键是对给出的几个事例分析，找出规律，推出所要的结果．从几个不等式左边分析，可得出第五个式子的左边为：1＋122＋132＋142＋152＋162，对几个不等式右边分析，其分母依次为：2,3,4，所以第5个式子的分母应为6，而其分子依次为：3,5,7，所以第5个式子的分子应为11，所以第5个式子应为：1＋122＋132＋142＋152＋162<116.13．M1回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．13．(1)90 (2)9×10n 由题意，1位回文数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有90＝9×10个，4位回文数有1001,1111,1221，…，1991,2002，…，9999，共90个，故归纳猜想2n ＋2位回文数与2n ＋1位回文数个数相等，均为9×10n 个．16．M1 设N ＝2n (n ∈N *，n ≥2)，将N 个数x 1，x 2，…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0＝x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N 2和后N2个位置，得到排列P 1＝x 1x 3…x N －1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换．将P 1分成两段，每段N2个数，并对每段作C 变换，得到P 2；当2≤i ≤n －2时，将P i 分成2i段，每段N2i 个数，并对每段作C 变换，得到P i ＋1.例如，当N ＝8时，P 2＝x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置．(1)当N ＝16时，x 7位于P 2中的第________个位置； (2)当N ＝2n (n ≥8)时，x 173位于P 4中的第________个位置．16．(1)6 (2) 3×2n －4＋11 考查合情推理，以新定义题型为载体，依据排列，考查考生的逻辑推理能力，要求学生的想象能力相当出色．(1)由已知可得P 1＝x 1x 3x 5x 7x 9x 11x 13x 15…，P 2＝x 1x 5x 9x 13x 3x 7x 11x 15…，故x 7位于P 2中的第6个位置；(2)当i ＝1时，P 1的排列中x 173的位置是173＋12＝87位；当i ＝2时，P 2的排列中x 173的位置是87＋12＝44位；当i ＝3时，P 3的排列中x 173的位置是2n －22＋442＝2n －3＋22位；当i＝4时，P4的排列中x173的位置是2n－3＋2n－3＋222＝2n－3＋2n－4＋11＝3×2n－4＋11位．6．M1观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76 C．123 D．1996．C 考查归纳推理，以及观察能力；解题的突破口是通过观察得到后一项与前两项结果之间的关系．由于a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和．因此，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，故选C.M2 直接证明与间接证明23．M2、D1对于数集X＝{－1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y＝{a|a＝(s，t)，s∈X，t∈X}，若对任意a1∈Y，存在a2∈Y，使得a1·a2＝0，则称X具有性质P，例如{－1,1,2}具有性质P.(1)若x＞2，且{－1,1,2，x}具有性质P，求x的值；(2)若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1＝1；(3)若X具有性质P，且x1＝1、x2＝q(q为常数)，求有穷数列x1，x2，…，x n 的通项公式．23．解：(1)选取a1＝(x,2)，Y中与a1垂直的元素必有形式(－1，b)，所以x＝2b，从而x＝4.(2)证明：取a1＝(x1，x1)∈Y，设a2＝(s，t)∈Y，满足a1·a2＝0.由(s＋t)x1＝0得s＋t＝0，所以s，t异号．因为－1是X中唯一的负数，所以s，t之中一个为－1，另一个为1，故1∈X.假设x k＝1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜x n.选取a 1＝(x 1，x n )∈Y ，并设a 2＝(s ，t )∈Y 满足a 1·a 2＝0，即sx 1＋tx n ＝0， 则s ，t 异号，从而s ，t 之中恰有一个为－1. 若s ＝－1，则x 1＝tx n ＞t ＞x 1，矛盾； 若t ＝－1，则x n ＝sx 1＜s ≤x n ，矛盾． 所以x 1＝1.(3)设a 1＝(s 1，t 1)，a 2＝(s 2，t 2)，则a 1·a 2＝0等价于s 1t 1＝－t 2s 2，记B ＝⎩⎨⎧st |}s ∈X ，t ∈X ，|s |＞|t |，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B关于原点对称．注意到－1是X 中的唯一负数，B ∩(－∞，0)＝{－x 2，－x 3，…，－x n }共有n －1个数，所以B ∩(0，＋∞)也只有n －1个数．由于x n x n －1＜x n x n －2＜…＜x n x 2＜x nx 1，已有n －1个数，对以下三角数阵x n x n －1＜x n x n －2＜…＜x n x 2＜x n x 1， x n －1x n －2＜x n －1x n －3＜…＜x n －1x 1， …x 2x 1. 注意到x n x 1＞x n －1x 1＞…＞x 2x 1，所以x n x n －1＝x n －1x n －2＝…＝x 2x 1，从而数列的通项为x k ＝x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1k －1＝q k －1，k ＝1,2，…，n .19．D2、D3、M2 已知数列{a n }的各项均为正数，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，n ＝1,2，….(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．19．解：(1)对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )是等差数列，所以B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4.故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列． 于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)①必要性：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则对任意n ∈N *，有a n ＋1＝a n q .由a n ＞0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是B n A n ＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 1＋a 2＋…＋a n ＝q a 1＋a 2＋…＋a na 1＋a 2＋…＋a n ＝q ，C n B n ＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q ，即B n A n ＝C n B n ＝q .所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．②充分性：若对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )．于是C (n )－B (n )＝q ，得a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1. 由n ＝1有B (1)＝qA (1)，即a 2＝qa 1， 从而a n ＋2－qa n ＋1＝0.因为a n ＞0，所以a n ＋2a n ＋1＝a 2a 1＝q .故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．22．B12、M3、M2 (1)已知函数f(x)＝rx－x r＋(1－r)(x>0)，其中r为有理数，且0<r<1.求f(x)的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数．若b1＋b2＝1，则ab11ab22≤a1b1＋a2b2；(3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式(xα)′＝αxα－1.22．解：(1)f′(x)＝r－rx r－1＝r(1－x r－1)，令f′(x)＝0，解得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0,1)内是减函数；当x＞1时，f′(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数．故函数f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝0.(2)由(1)知，当x∈(0，＋∞)时，有f(x)≥f(1)＝0，即x r≤rx＋(1－r)．①若a1，a2中有一个为0，则ab11ab22≤a1b1＋a2b2成立；若a1，a2均不为0，又b1＋b2＝1，可得b2＝1－b1，于是在①中令x＝a1a2，r＝b1，可得⎝⎛⎭⎪⎫a1a2b1≤b1·a1a2＋(1－b1)，即ab11a1－b12≤a1b1＋a2(1－b1)，亦即ab11ab22≤a1b1＋a2b2.综上，对a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数且b1＋b2＝1，总有ab11ab22≤a1b1＋a2b2.②(3)(2)中命题的推广形式为：若a1，a2，…，a n为非负实数，b1，b2，…，b n为正有理数．若b1＋b1＋…＋b n＝1，则ab11ab22…ab nn≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n.③用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，b1＝1，有a1≤a1，③成立．②假设当n＝k时，③成立，即若a1，a2，…，a k为非负实数，b1，b2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则ab 11ab 22…ab kk ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即 1－b k ＋1＞0，于是ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1＝(ab 11ab 22…ab kk )ab k ＋1k ＋1 ＝(ab 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k1－b k ＋1k)1－b k ＋1ab k ＋1k ＋1.因b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k1－b k ＋1＝1，由归纳假设可得 a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k 1－b k ＋1k ≤a 1·b 11－b k ＋1＋a 2·b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k 1－b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k1－b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab k ＋1k ＋1.又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1·(1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1. 故当n ＝k ＋1时，③成立．由①②可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n ≥2成立，则后续证明中不需讨论n ＝1的情况．M3 数学归纳法21．D1、D3、E1、M3设数列{a n}的前n项和S n满足S n＋1＝a2S n＋a1，其中a2≠0.(1)求证：{a n}是首项为1的等比数列；(2)若a2＞－1，求证：S n≤n2(a1＋a n)，并给出等号成立的充要条件．21．解：(1)证法一：由S2＝a2S1＋a1得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1.因a2≠0，故a1＝1，得a2a1＝a2.又由题设条件知Sn＋2＝a2S n＋1＋a1，S n＋1＝a2S n＋a1，两式相减得S n＋2－S n＋1＝a2(S n＋1－S n)，即a n＋2＝a2a n＋1，由a2≠0，知a n＋1≠0，因此an＋2an＋1＝a2.综上，an＋1an＝a2对所有n∈N*成立，从而{a n}是首项为1，公比为a2的等比数列．证法二：用数学归纳法证明a n＝a n－12，n∈N*.当n＝1时，由S2＝a2S1＋a1，得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1，再由a2≠0，得a1＝1，所以结论成立．假设n＝k时，结论成立，即a k＝a k－12，那么当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝(a2S k＋a1)－(a2S k－1＋a1)＝a2(S k－S k－1)＝a2a k＝a k2，这就是说，当n＝k＋1时，结论也成立．综上可得，对任意n∈N*，a n＝a n－12.因此{a n}是首项为1，公比为a2的等比数列．(2)当n ＝1或2时，显然S n ＝n2(a 1＋a n )，等号成立．设n ≥3，a 2＞－1且a 2≠0，由(1)知a 1＝1，a n ＝a n －12，所以要证的不等式化为 1＋a 2＋a 22＋…＋a n －12≤n2(1＋a n －12)(n ≥3)， 即证：1＋a 2＋a 22＋…＋a n2≤n ＋12(1＋a n 2)(n ≥2)．当a 2＝1时，上面不等式的等号成立．当－1＜a 2＜1时，a r 2－1与a n －r2－1(r ＝1,2，…，n －1)同为负； 当a 2＞1时，a r 2－1与a n －r 2－1(r ＝1,2，…，n －1)同为正．因此当a 2＞－1且a 2≠1时，总有(a r 2－1)(a n －r 2－1)＞0，即 a r 2＋a n －r 2＜1＋a n 2(r ＝1,2，…，n －1)．上面不等式对r 从1到n －1求和得2(a 2＋a 22＋…＋a n －12)＜(n －1)(1＋a n 2)，由此可得1＋a 2＋a 22＋…＋a n2＜n ＋12(1＋a n 2)．综上，当a 2＞－1且a 2≠0时，有S n ≤n2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1,2或a 2＝1时等号成立．证法二：当n ＝1或2时，显然S n ≤n2(a 1＋a n )，等号成立．当a 2＝1时，S n ＝n＝n2(a 1＋a n )，等号也成立． 当a 2≠1时，由(1)知S n ＝1－a n 21－a 2，a n ＝a n －12，下证： 1－a n 21－a 2＜n 2(1＋a n －12)(n ≥3，a 2＞－1且a 2≠1)． 当－1＜a 2＜1时，上面不等式化为(n －2)a n 2＋na 2－na n －12＜n －2(n ≥3)． 令f (a 2)＝(n －2)a n 2＋na 2－na n －12.当－1＜a 2＜0时，1－a n －22＞0，故f (a 2)＝(n －2)a n 2＋na 2(1－a n －22)＜(n －2)|a 2|n ＜n －2， 即所要证的不等式成立．当0＜a 2＜1时，对a 2求导得f ′(a 2)＝n ＝ng (a 2)．其中g (a 2)＝(n －2)a n －12－(n －1)a n －22＋1，则g ′(a 2)＝(n －2)(n －1)(a 2－1)a n －32＜0，即g (a 2)是(0,1)上的减函数，故g (a 2)>g (1)＝0，从而f ′(a 2)＝ng (a 2)>0，进而f (a 2)是(0,1)上的增函数，因此f (a 2)＜f (1)＝n －2，所要证的不等式成立．当a 2＞1时，令b ＝1a 2，则0＜b ＜1，由已知的结论知1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n 1－1a 2＜n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n －1， 两边同时乘以a n －12得所要证的不等式． 综上，当a 2＞－1且a 2≠0时，有S n ≤n2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1,2或a 2＝1时等号成立．22．B12、M3、M2 (1)已知函数f (x )＝rx －x r ＋(1－r )(x >0)，其中r 为有理数，且0<r <1.求f (x )的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数．若b 1＋b 2＝1，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题． 注：当α为正有理数时，有求导公式(x α)′＝αx α－1.22．解：(1)f ′(x )＝r －rx r －1＝r (1－x r －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)内是减函数； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数．故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r ≤rx ＋(1－r )． ① 若a 1，a 2中有一个为0，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2成立； 若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1，于是在①中令x ＝a 1a 2，r ＝b 1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a 2b 1≤b 1·a 1a 2＋(1－b 1)，即ab 11a 1－b 12≤a 1b 1＋a 2(1－b 1)，亦即ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 2＝1，总有ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.②(3)(2)中命题的推广形式为：若a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数． 若b 1＋b 1＋…＋b n ＝1，则ab 11ab 22…ab nn ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .③ 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 1，③成立．②假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则ab 11ab 22…ab kk ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即 1－b k ＋1＞0，于是ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1＝(ab 11ab 22…ab kk )ab k ＋1k ＋1 ＝(a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k1－b k ＋1k)1－b k ＋1ab k ＋1k ＋1.因b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k1－b k ＋1＝1，由归纳假设可得a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k 1－b k ＋1k ≤a 1·b 11－b k ＋1＋a 2·b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k 1－b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k1－b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab k ＋1k ＋1.又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1·(1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1. 故当n ＝k ＋1时，③成立．由①②可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n ≥2成立，则后续证明中不需讨论n ＝1的情况．22． D3、M3 函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)、Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n <x n ＋1<3； (2)求数列{x n }的通项公式．22．解：(1)用数学归纳法证明：2≤x n <x n ＋1<3. ①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为y －5＝f－5(x －4)，令y ＝0，解得x 2＝114，所以2≤x 1<x 2<3.②假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3. 直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f x k ＋1－5x k ＋1－4(x －4)，令y ＝0，解得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1.由归纳假设知x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3，x k ＋2－x k ＋1＝－x k ＋1＋x k ＋12＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2.所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①、②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3. (2)由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n2＋x n .设b n ＝x n －3，则1b n ＋1＝5b n ＋1，1b n ＋1＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋14， 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列，因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1，所以数列{x n }的通项公式为x n ＝3－4.M4 单元综合23．M4 设集合P n ＝{1,2，…，n }，n ∈N *.记f (n )为同时满足下列条件的集合A 的个数：①A ⊆P n ；②若x ∈A ，则2x ∉A ；③若x ∈∁P n A ，则2x ∉∁P n A . (1)求f (4)；(2)求f (n )的解析式(用n 表示)．23．解：(1)当n ＝4时，符合条件的集合A 为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}， 故f (4)＝4.(2)任取偶数x ∈P n ，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是x ＝m ·2k ，其中m 为奇数，k ∈N *.由条件知，若m ∈A ，则x ∈A ⇔k 为偶数； 若m ∉A ，则x ∈A ⇔k 为奇数．于是x 是由m 是否属于A 确定的．设Q n 是P n 中所有奇数的集合，因此f (n )等于Q n 的子集个数．当n 为偶数(或奇数)时，P n 中奇数的个数是n ⎝⎛⎭⎪⎫或n ＋12，所以f (n )＝⎩⎨⎧2n2，n 为偶数，2n ＋12，n 为奇数.20．B3、D4、M4 设A 是由m ×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记S (m ，n )为所有这样的数表构成的集合．对于A ∈S (m ，n )，记r i (A )为A 的第i 行各数之和(1≤i ≤m )，c j (A )为A 的第j 列各数之和(1≤j ≤n )；记k (A )为|r 1(A )|，|r 2(A )|，…，|r m (A )|，|c 1(A )|，|c 2(A )|，…，|c n (A )|中的最小值．(1)对如下数表A，求k(A)的值；(2)设数表A∈S(2,3)求k(A)的最大值；(3)给定正整数t，对于所有的A∈S(2,2t＋1)，求k(A)的最大值．20．解：(1)因为r1(A)＝1.2，r2(A)＝－1.2，c1(A)＝1.1，c2(A)＝0.7，c3(A)＝－1.8，所以k(A)＝0.7.(2)不妨设a≤b.由题意得c＝－1－a－b.又因c≥－1，所以a＋b≤0，于是a≤0.r(A)＝2＋c≥1，r2(A)＝－r1(A)≤－1，1c(A)＝1＋a，c2(A)＝1＋b，c3(A)＝－(1＋a)－(1＋b)≤－(1＋a)．1所以k(A)＝1＋a≤1.当a＝b＝0且c＝－1时，k(A)取得最大值1.(3)对于给定的正整数t，任给数表A∈S(2,2t＋1)如下：任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*∈S(2,2t＋1)，并且k(A)＝k(A*)．因此，不妨设r 1(A )≥0，且c j (A )≥0(j ＝1,2，…，t ＋1)． 由k (A )的定义知，k (A )≤r 1(A )，k (A )≤c j (A )(j ＝1,2，…，t ＋1)． 又因为c 1(A )＋c 2(A )＋…＋c 2t ＋1(A )＝0， 所以(t ＋2)k (A )≤r 1(A )＋c 1(A )＋c 2(A )＋…＋c t ＋1(A ) ＝r 1(A )－c t ＋2(A )－…－c 2t ＋1(A )＝∑j ＝1t ＋1a j －∑j ＝t ＋22t ＋1b j≤(t ＋1)－t ×(－1)＝2t ＋1. 所以k (A )≤2t ＋1t ＋2.对数表A 0： －1＋t －1t t ＋－1＋t －1t t ＋则A 0∈S (2,2t ＋1)，且k (A 0)＝t ＋2.综上，对于所有的A ∈S (2,2t ＋1)，k (A )的最大值为2t ＋1t ＋2.。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （15概率、统计、统计案例、推理与证明）一、选择题1．（2018全国新课标Ⅰ文、理）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半1。

答案：A解答：由图可得，A 选项，设建设前经济收入为x ，种植收入为0.6x .建设后经济收入则为2x ，种植收入则为0.3720.74x x ⨯=，种植收入较之前增加．另解：假设建设前收入为a ，则建设后收入为2a ，所以种植收入在新农村建设前为60%a ，新农村建设后为37%2a ⋅；其他收入在新农村建设前为4%a ⋅，新农村建设后为5%2a ⋅，养殖收入在新农村建设前为30%a ⋅，新农村建设后为30%2a ⋅ 故不正确的是A.2．（2018全国新课标Ⅱ文）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ）A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.32．【答案】D【解析】设2名男同学为1A ，2A ，3名女同学为1B ，2B ，3B ，从以上5名同学中任选2人总共有12A A ，11A B ，12A B ，13A B ，21A B ，22A B ，23A B ，12B B ，13B B ，23B B 共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共12B B ，13B B ，23B B 三种可能则选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==，故选D ．3．（2018全国新课标Ⅲ文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.73.答案：B解答：由题意10.450.150.4P =--=.故选B.二、填空1．（2018江苏）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．1．【答案】90【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为89，89，90，91，91，故平均数为8989909191905++++=．2．（2018江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ．2．【答案】310【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为310．3. （2018上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）4．（2018全国新课标Ⅲ文）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________． 14．答案：分层抽样解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.三、解答题1．（好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加01．，哪类电影的好评率减少01．，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）1．【答案】（1）0025．；（2）0814．；（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率． 【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140503002008005102000+++++=．第四类电影中获得好评的电影部数是20002550⨯=．，故所求概率为5000252000=．．（2）设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B ．没有获得好评的电影共有14006500830008520007580008510091628⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．部．由古典概型概率公式得()162808142000P B ==．．（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．2．（2018北京理）设n 为正整数，集合A =12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=和12(,,,)n y y y β=，记M （αβ，）=111122221[(||)(||)(||)]2n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+++--．（Ⅰ）当n =3时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．2（共14分）解：（Ⅰ）因为α=（1，1，0），β=（0，1，1），所以M (α，α)=12 [(1+1−|1−1|)+(1+1−|1−1|)+(0+0−|0−0|)]=2，M (α，β）=12[(1+0–|1−0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1．（Ⅱ）设α=（x 1，x 2，x 3，x 4）∈B ，则M (α，α）= x 1+x 2+x 3+x 4． 由题意知x 1，x 2，x 3，x 4∈{0，1}，且M (α，α)为奇数， 所以x 1，x 2，x 3，x 4中1的个数为1或3．所以B ⊆{(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}. 将上述集合中的元素分成如下四组：（1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).经验证，对于每组中两个元素α，β，均有M (α，β）=1. 所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素． 所以集合B 中元素的个数不超过4.又集合{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)}满足条件， 所以集合B 中元素个数的最大值为4.（Ⅲ）设S k =( x 1，x 2，…，x n ）|( x 1，x 2，…，x n ）∈A ，x k =1，x 1=x 2=…=x k –1=0）（k =1，2，…，n )，S n +1={( x 1，x 2，…，x n ）| x 1=x 2=…=x n =0}， 则A =S 1∪S 1∪…∪S n +1．对于S k （k =1，2，…，n –1）中的不同元素α，β，经验证，M (α，β)≥1. 所以S k （k =1，2 ，…，n –1）中的两个元素不可能同时是集合B 的元素． 所以B 中元素的个数不超过n +1.取e k =( x 1，x 2，…，x n ）∈S k 且x k +1=…=x n =0（k =1，2，…，n –1）.令B =（e 1，e 2，…，e n –1）∪S n ∪S n +1，则集合B 的元素个数为n +1，且满足条件. 故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．3．（2018江苏）设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．3．【答案】（1）2，5；（2）5n ≥时，()2222n n n f --=．【解析】（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有()123=0τ，()132=1τ，()213=1τ，()231=2τ，()312=2τ，()321=3τ，所以()301f =，()()33122f f ==．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，()()()()433322105f f f f =++=．（2）对一般的()4n n ≥的情形，逆序数为0的排列只有一个：12n ，所以()01n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以()11n f n =-．为计算()12n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将1n +添加进原排列，1n +在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，()()()()()122102n n n n n f f f f f n +=++=+．当5n ≥时，()()()()()()()()11254422222222n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()24212422n n n n f --=-+-+++=，因此，5n ≥时，()2222n n n f --=．4．（2018天津文）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 4．【答案】（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；（2）①答案见解析；②521．【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（2）①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},A G ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},B G ，{},C D ，{},C E ，{},C F ，{},C G ，{},D E ，{},D F ，{},D G ，{},E F ，{},E G ，{},F G ，共21种．②由（1），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},B C ，{},D E ，{},F G ，共5种． 所以，事件M 发生的概率为()521P M =．5．（2018全国新课标Ⅰ文）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：（（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）5．答案：略 解答：（1）（2）由题可知用水量在[0.3,0.4]的频数为10，所以可估计在[0.3,0.35)的频数为5，故用水量小于30.35m 的频数为1513524+++=，其概率为240.4850P ==.（3）未使用节水龙头时，50天中平均每日用水量为： 31(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.657)0.50650m ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 一年的平均用水量则为30.506365184.69m ⨯=. 使用节水龙头后，50天中平均每日用水量为： 31(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550m ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 一年的平均用水量则为30.35365127.75m ⨯=， ∴一年能节省3184.69127.7556.94m -=.6．（2018全国新课标Ⅱ文、理） 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5yt =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5yt =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．6．【答案】（1）模型①226.1亿元，模型②2565．亿元；（2）模型②，见解析． 【解析】（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 30.413.5192ˆ26.1y=-+⨯=（亿元）． 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ˆ9917592565y =+⨯=．．（亿元）． （2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下： （i ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型ˆ99175y t =+．可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．7．（2018全国新课标Ⅲ文、理）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m（3附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()0.0500.0100.0013.8416.63510.828P K k k ≥．7.答案：见解析解答：（1）第一种生产方式的平均数为184x =，第二种生产方式平均数为274.7x =，∴12x x >，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.（2）由茎叶图数据得到80m =，∴列联表为（3）222()40(151555)10 6.635()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

M 推理与证明M1 合情推理与演绎推理11．M1 观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个．．．不等式为______________．11．1＋122＋132＋142＋152＋162<116本小题主要考查了归纳与推理的能力，解题的关键是对给出的几个事例分析，找出规律，推出所要的结果．从几个不等式左边分析，可得出第五个式子的左边为：1＋122＋132＋142＋152＋162，对几个不等式右边分析，其分母依次为：2,3,4，所以第5个式子的分母应为6，而其分子依次为： 3,5,7，所以第5个式子的分子应为11，所以第5个式子应为：1＋122＋132＋142＋152＋162<116.13．M1 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n ＋1(n ∈N *)位回文数有________个．13．(1)90 (2)9×10n 由题意，1位回文数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有90＝9×10个，4位回文数有1001,1111,1221，…，1991,2002，…，9999，共90个，故归纳猜想2n ＋2位回文数与2n ＋1位回文数个数相等，均为9×10n 个．16．M1 设N ＝2n (n ∈N *，n ≥2)，将N 个数x 1，x 2，…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0＝x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N2和后N2个位置，得到排列P 1＝x 1x 3…x N －1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换．将P 1分成两段，每段N2个数，并对每段作C 变换，得到P 2；当2≤i ≤n－2时，将P i 分成2i段，每段N2i 个数，并对每段作C 变换，得到P i ＋1.例如，当N ＝8时，P 2＝x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置．(1)当N ＝16时，x 7位于P 2中的第________个位置； (2)当N ＝2n (n ≥8)时，x 173位于P 4中的第________个位置．16．(1)6 (2) 3×2n －4＋11 考查合情推理，以新定义题型为载体，依据排列，考查考生的逻辑推理能力，要求学生的想象能力相当出色．(1)由已知可得P 1＝x 1x 3x 5x 7x 9x 11x 13x 15…，P 2＝x 1x 5x 9x 13x 3x 7x 11x 15…，故x 7位于P 2中的第6个位置；(2)当i ＝1时，P 1的排列中x 173的位置是173＋12＝87位；当i ＝2时，P 2的排列中x 173的位置是87＋12＝44位；当i ＝3时，P 3的排列中x 173的位置是2n －22＋442＝2n －3＋22位；当i ＝4时，P 4的排列中x 173的位置是2n －3＋2n －3＋222＝2n －3＋2n －4＋11＝3×2n －4＋11位．6．M1 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．1996．C 考查归纳推理，以及观察能力；解题的突破口是通过观察得到后一项与前两项结果之间的关系．由于a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和．因此，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123，故选C.M2 直接证明与间接证明23．M2、D1 对于数集X ＝{－1，x 1，x 2，…，x n }，其中0＜x 1＜x 2＜…＜x n ，n ≥2，定义向量集Y ＝{a |a ＝(s ，t )，s ∈X ，t ∈X }，若对任意a 1∈Y ，存在a 2∈Y ，使得a 1·a 2＝0，则称X 具有性质P ，例如{－1,1,2}具有性质P .(1)若x ＞2，且{－1,1,2，x }具有性质P ，求x 的值； (2)若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1＝1； (3)若X 具有性质P ，且x 1＝1、x 2＝q (q 为常数)，求有穷数列x 1，x 2，…，x n 的通项公式．23．解：(1)选取a 1＝(x,2)，Y 中与a 1垂直的元素必有形式(－1，b )，所以x ＝2b ，从而x ＝4.(2)证明：取a 1＝(x 1，x 1)∈Y ，设a 2＝(s ，t )∈Y ，满足a 1·a 2＝0.由(s ＋t )x 1＝0得s ＋t ＝0，所以s ，t 异号．因为－1是X 中唯一的负数，所以s ，t 之中一个为－1，另一个为1，故1∈X .假设x k ＝1，其中1＜k ＜n ，则0＜x 1＜1＜x n .选取a 1＝(x 1，x n )∈Y ，并设a 2＝(s ，t )∈Y 满足a 1·a 2＝0，即sx 1＋tx n ＝0，则s ，t 异号，从而s ，t 之中恰有一个为－1. 若s ＝－1，则x 1＝tx n ＞t ＞x 1，矛盾； 若t ＝－1，则x n ＝sx 1＜s ≤x n ，矛盾． 所以x 1＝1.(3)设a 1＝(s 1，t 1)，a 2＝(s 2，t 2)，则a 1·a 2＝0等价于s 1t 1＝－t 2s 2，记B ＝⎩⎨⎧st|}s ∈X ，t ∈X ，|s |＞|t |，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点对称．注意到－1是X 中的唯一负数，B ∩(－∞，0)＝{－x 2，－x 3，…，－x n }共有n －1个数，所以B ∩(0，＋∞)也只有n －1个数．由于x n x n －1＜x n x n －2＜…＜x n x 2＜x nx 1，已有n －1个数，对以下三角数阵x n x n －1＜x n x n －2＜…＜x n x 2＜x nx 1， x n －1x n －2＜x n －1x n －3＜…＜x n －1x 1， …x 2x 1. 注意到x n x 1＞x n －1x 1＞…＞x 2x 1，所以x n x n －1＝x n －1x n －2＝…＝x 2x 1，从而数列的通项为x k ＝x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1k －1＝q k －1，k ＝1,2，…，n .19．D2、D3、M2 已知数列{a n }的各项均为正数，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，n ＝1,2，….(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．19．解：(1)对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )是等差数列，所以B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4.故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列． 于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)①必要性：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则对任意n ∈N *，有a n ＋1＝a n q .由a n ＞0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是B n A n ＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 1＋a 2＋…＋a n ＝q a 1＋a 2＋…＋a na 1＋a 2＋…＋a n ＝q ， C n B n ＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q ， 即B n A n ＝C n B n＝q .所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．②充分性：若对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )．于是C (n )－B (n )＝q ，得a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1.由n ＝1有B (1)＝qA (1)，即a 2＝qa 1， 从而a n ＋2－qa n ＋1＝0.因为a n ＞0，所以a n ＋2a n ＋1＝a 2a 1＝q .故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．22．B12、M3、M2 (1)已知函数f (x )＝rx －x r ＋(1－r )(x >0)，其中r 为有理数，且0<r <1.求f (x )的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数．若b 1＋b 2＝1，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2；(3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式(x α)′＝αx α－1.22．解：(1)f ′(x )＝r －rx r －1＝r (1－x r －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)内是减函数； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数． 故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r ≤rx ＋(1－r )． ①若a 1，a 2中有一个为0，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2成立； 若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1，于是在①中令x ＝a 1a 2，r ＝b 1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a 2b 1≤b 1·a 1a 2＋(1－b 1)，即ab 11a 1－b 12≤a 1b 1＋a 2(1－b 1)，亦即ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2. 综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 2＝1，总有ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.②(3)(2)中命题的推广形式为：若a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数． 若b 1＋b 1＋…＋b n ＝1，则ab 11ab 22…ab nn ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .③ 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 1，③成立．②假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则ab 11ab 22…ab kk ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即 1－b k ＋1＞0，于是ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1＝(ab 11ab 22…ab kk )ab k ＋1k ＋1 ＝(a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k1－b k ＋1k )1－b k ＋1ab k ＋1k ＋1.因b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k1－b k ＋1＝1，由归纳假设可得 ab 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k 1－b k ＋1k ≤a 1·b 11－b k ＋1＋a 2·b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k 1－b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k1－b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab k ＋1k ＋1. 又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k1－b k ＋1·(1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1. 故当n ＝k ＋1时，③成立．由①②可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n ≥2成立，则后续证明中不需讨论n ＝1的情况．M3 数学归纳法21．D1、D3、E1、M3 设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a 2S n ＋a 1，其中a 2≠0.(1)求证：{a n }是首项为1的等比数列；(2)若a 2＞－1，求证：S n ≤n2(a 1＋a n )，并给出等号成立的充要条件．21．解：(1)证法一：由S 2＝a 2S 1＋a 1得a 1＋a 2＝a 2a 1＋a 1，即a 2＝a 2a 1.因a 2≠0，故a 1＝1，得a 2a 1＝a 2.又由题设条件知S n ＋2＝a 2S n ＋1＋a 1，S n ＋1＝a 2S n ＋a 1，两式相减得S n ＋2－S n ＋1＝a 2(S n ＋1－S n )， 即a n ＋2＝a 2a n ＋1，由a 2≠0，知a n ＋1≠0，因此a n ＋2a n ＋1＝a 2. 综上，a n ＋1a n＝a 2对所有n ∈N *成立，从而{a n }是首项为1，公比为a 2的等比数列．证法二：用数学归纳法证明a n ＝a n －12，n ∈N *. 当n ＝1时，由S 2＝a 2S 1＋a 1，得a 1＋a 2＝a 2a 1＋a 1，即a 2＝a 2a 1，再由a 2≠0，得a 1＝1，所以结论成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a k ＝a k －12，那么 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(a 2S k ＋a 1)－(a 2S k －1＋a 1)＝a 2(S k－S k －1)＝a 2a k ＝a k 2，这就是说，当n ＝k ＋1时，结论也成立．综上可得，对任意n ∈N *，a n ＝a n －12.因此{a n }是首项为1，公比为a 2的等比数列．(2)当n ＝1或2时，显然S n ＝n2(a 1＋a n )，等号成立．设n ≥3，a 2＞－1且a 2≠0，由(1)知a 1＝1，a n ＝a n －12，所以要证的不等式化为1＋a 2＋a 22＋…＋a n －12≤n2(1＋a n －12)(n ≥3)，即证：1＋a 2＋a 22＋…＋a n2≤n ＋12(1＋a n 2)(n ≥2)．当a 2＝1时，上面不等式的等号成立．当－1＜a 2＜1时，a r 2－1与a n －r 2－1(r ＝1,2，…，n －1)同为负； 当a 2＞1时，a r 2－1与a n －r 2－1(r ＝1,2，…，n －1)同为正． 因此当a 2＞－1且a 2≠1时，总有(a r 2－1)(a n －r 2－1)＞0，即 a r 2＋a n －r 2＜1＋a n 2(r ＝1,2，…，n －1)．上面不等式对r 从1到n －1求和得2(a 2＋a 22＋…＋a n －12)＜(n －1)(1＋a n 2)， 由此可得1＋a 2＋a 22＋…＋a n2＜n ＋12(1＋a n 2)．综上，当a 2＞－1且a 2≠0时，有S n ≤n2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1,2或a 2＝1时等号成立．证法二：当n ＝1或2时，显然S n ≤n2(a 1＋a n )，等号成立．当a 2＝1时，S n ＝n ＝n2(a 1＋a n )，等号也成立．当a 2≠1时，由(1)知S n ＝1－a n 21－a 2，a n ＝a n －12，下证：1－a n 21－a 2＜n 2(1＋a n －12)(n ≥3，a 2＞－1且a 2≠1)． 当－1＜a 2＜1时，上面不等式化为(n －2)a n 2＋na 2－na n －12＜n －2(n ≥3)． 令f (a 2)＝(n －2)a n 2＋na 2－na n －12.当－1＜a 2＜0时，1－a n －22＞0，故 f (a 2)＝(n －2)a n 2＋na 2(1－a n －22)＜(n －2)|a 2|n ＜n －2， 即所要证的不等式成立．当0＜a 2＜1时，对a 2求导得f ′(a 2)＝n ＝ng (a 2)．其中g (a 2)＝(n －2)a n －12－(n －1)a n －22＋1，则g ′(a 2)＝(n －2)(n －1)(a 2－1)a n －32＜0，即g (a 2)是(0,1)上的减函数，故g (a 2)>g (1)＝0，从而f ′(a 2)＝ng (a 2)>0，进而f (a 2)是(0,1)上的增函数，因此f (a 2)＜f (1)＝n －2，所要证的不等式成立．当a 2＞1时，令b ＝1a 2，则0＜b ＜1，由已知的结论知1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n1－1a 2＜n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n －1， 两边同时乘以a n －12得所要证的不等式． 综上，当a 2＞－1且a 2≠0时，有S n ≤n2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1,2或a 2＝1时等号成立．22．B12、M3、M2 (1)已知函数f (x )＝rx －x r ＋(1－r )(x >0)，其中r 为有理数，且0<r <1.求f (x )的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数．若b 1＋b 2＝1，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2；(3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式(x α)′＝αx α－1.22．解：(1)f ′(x )＝r －rx r －1＝r (1－x r －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)内是减函数； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数． 故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r ≤rx ＋(1－r )． ①若a 1，a 2中有一个为0，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2成立； 若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1，于是在①中令x ＝a 1a 2，r ＝b 1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a 2b 1≤b 1·a 1a 2＋(1－b 1)，即ab 11a 1－b 12≤a 1b 1＋a 2(1－b 1)，亦即ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2. 综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 2＝1，总有ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.②(3)(2)中命题的推广形式为：若a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数． 若b 1＋b 1＋…＋b n ＝1，则ab 11ab 22…ab nn ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .③用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 1，③成立．②假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则ab 11ab 22…ab kk ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即 1－b k ＋1＞0，于是ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1＝(ab 11ab 22…ab kk )ab k ＋1k ＋1＝(ab 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k1－b k ＋1k )1－b k ＋1ab k ＋1k ＋1.因b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k1－b k ＋1＝1，由归纳假设可得 a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k 1－b k ＋1k ≤a 1·b 11－b k ＋1＋a 2·b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k 1－b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k1－b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab k ＋1k ＋1. 又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k1－b k ＋1·(1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1. 故当n ＝k ＋1时，③成立．由①②可知，对一切正整数n，所推广的命题成立．说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n≥2成立，则后续证明中不需讨论n＝1的情况．22． D3、M3函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{x n}如下：x1＝2，x n＋1是过两点P(4,5)、Q n(x n，f(x n))的直线PQ n与x轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n<x n＋1<3；(2)求数列{x n}的通项公式．22．解：(1)用数学归纳法证明：2≤x n<x n＋1<3.①当n＝1时，x1＝2，直线PQ1的方程为y－5＝f－52－4(x－4)，令y＝0，解得x2＝114，所以2≤x1<x2<3.②假设当n＝k时，结论成立，即2≤x k<x k＋1<3.直线PQ k＋1的方程为y－5＝f x k＋1－5x k＋1－4(x－4)，令y＝0，解得x k＋2＝3＋4x k＋1 2＋x k＋1.由归纳假设知x k＋2＝3＋4x k＋12＋x k＋1＝4－52＋x k＋1<4－52＋3＝3，x k＋2－x k＋1＝－x k＋1＋x k＋12＋x k＋1>0，即x k＋1<x k＋2.所以2≤x k＋1<x k＋2<3，即当n＝k＋1时，结论成立．由①、②知对任意的正整数n,2≤x n<x n＋1<3.(2)由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n2＋x n .设b n ＝x n －3，则1b n ＋1＝5b n＋1，1b n ＋1＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋14， 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列，因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1，所以数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1.M4 单元综合23．M4 设集合P n ＝{1,2，…，n }，n ∈N *.记f (n )为同时满足下列条件的集合A 的个数：①A ⊆P n ；②若x ∈A ，则2x ∉A ；③若x ∈∁P n A ，则2x ∉∁P n A . (1)求f (4)；(2)求f (n )的解析式(用n 表示)．23．解：(1)当n ＝4时，符合条件的集合A 为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故f (4)＝4.(2)任取偶数x ∈P n ，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是x ＝m ·2k ，其中m 为奇数，k ∈N *.由条件知，若m ∈A ，则x ∈A ⇔k 为偶数； 若m ∉A ，则x ∈A ⇔k 为奇数．于是x 是由m 是否属于A 确定的．设Q n 是P n 中所有奇数的集合，因此f (n )等于Q n 的子集个数．当n 为偶数(或奇数)时，P n 中奇数的个数是n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫或n ＋12，所以f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧2n2，n 为偶数，2n ＋12，n 为奇数.20．B3、D4、M4 设A 是由m ×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记S (m ，n )为所有这样的数表构成的集合．对于A ∈S (m ，n )，记r i (A )为A 的第i 行各数之和(1≤i ≤m )，c j (A )为A 的第j 列各数之和(1≤j ≤n )；记k (A )为|r 1(A )|，|r 2(A )|，…，|r m (A )|，|c 1(A )|，|c 2(A )|，…，|c n (A )|中的最小值．(1)对如下数表A ，求k (A )的值；(2)设数表A ∈S求k(A)的最大值；(3)给定正整数t，对于所有的A∈S(2,2t＋1)，求k(A)的最大值．20．解：(1)因为r1(A)＝1.2，r2(A)＝－1.2，c1(A)＝1.1，c2(A)＝0.7，c3(A)＝－1.8，所以k(A)＝0.7.(2)不妨设a≤b.由题意得c＝－1－a－b.又因c≥－1，所以a＋b≤0，于是a≤0.r1(A)＝2＋c≥1，r2(A)＝－r1(A)≤－1，c1(A)＝1＋a，c2(A)＝1＋b，c3(A)＝－(1＋a)－(1＋b)≤－(1＋a)．所以k(A)＝1＋a≤1.当a＝b＝0且c＝－1时，k(A)取得最大值1.(3)对于给定的正整数t，任给数表A∈S(2,2t＋1)如下：任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*∈S(2,2t＋1)，并且k(A)＝k(A*)．因此，不妨设r1(A)≥0，且c j(A)≥0(j＝1,2，…，t＋1)．由k(A)的定义知，k(A)≤r1(A)，k(A)≤c j(A)(j＝1,2，…，t＋1)．又因为c 1(A )＋c 2(A )＋…＋c 2t ＋1(A )＝0，所以(t ＋2)k (A )≤r 1(A )＋c 1(A )＋c 2(A )＋…＋c t ＋1(A )＝r 1(A )－c t ＋2(A )－…－c 2t ＋1(A )＝∑j ＝1t ＋1a j －∑j ＝t ＋22t ＋1b j≤(t ＋1)－t ×(－1)＝2t ＋1. 所以k (A )≤2t ＋1t ＋2.对数表A 0： －1＋t －1t t ＋－1＋t －1t t ＋则A 0∈S (2,2t ＋1)，且k (A 0)＝t ＋2.综上，对于所有的A ∈S (2,2t ＋1)，k (A )的最大值为2t ＋1t ＋2.。

第四节归纳与类比[考纲传真] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性；掌握演绎推理的基本模式，并能用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．1．归纳推理(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性的推理方式．(2)特点：①是由部分到整体，由个别到一般的推理．②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．2．类比推理(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程．(2)特点：①是两类事物特征之间的推理．②利用类比推理得出的结论不一定是正确的．3．合情推理(1)定义：是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．4．演绎推理(1)定义：是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．( )(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( )(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是( )A ．归纳推理B ．类比推理C ．演绎推理D ．以上都不是B [类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理．]3．(教材改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝4n －3C ．a n ＝n 2D ．a n ＝3n －1 C [a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.]4．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( ) A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提错误导致结论错误A [“指数函数y ＝a x是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a 的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．]5．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．A [由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A.](1)(2016·武汉4月调研)数列12，13，23，14，24，34，…，1m ＋1，2m ＋1，…，mm ＋1，…的第20项是( )A.58B ．34C ．57D ．67(2)(2016·山东高考)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； ……照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. (1)C (2)43n (n ＋1) [(1)数列m m ＋1在数列中是第1＋2＋3＋…＋m ＝m m ＋1 2项，当m ＝5时，即56是数列中第15项，则第20项是57，故选C. (2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．] [规律方法] 1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．2．归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．[变式训练1] (1)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋a x n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝__________. (2)下面图形由小正方形组成，请观察图6­4­1(1)至图(4)的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是__________.【导学号：66482303】图6­4­1(1)n n (n ∈N *) (2)n n ＋1 2(n ∈N *) [(1)第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .(2)由题图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n .所以总个数为n n ＋1 2(n∈N *)．]n 数列，则数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n nB ．d n ＝c 1·c 2·…·c n nC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n n nD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n(2)(2016·贵州六校联考)在平面几何中，△ABC 的∠C 的平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AE BE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A ­BCD 中(如图6­4­2)，DEC 平分二面角A ­CD ­B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________________.【导学号：66482304】图6­4­2(1)D (2)AE EB ＝S △ACD S △BCD[(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故d n 的表达式为d n ＝n c 1·c 2·…·c n .法二：若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －1 2d ，∴b n ＝a 1＋ n －1 2d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n n －1 2，∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D.(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACD S △BCD.] [规律方法] 1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键．2．类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比(和与积、乘与乘方，差与除，除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．[变式训练2] 给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”；④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”类比推出“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1.”其中类比结论正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [类比结论正确的有①②.]数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .【导学号：66482305】[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 2分∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)5分(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)8分又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)12分[规律方法] 演绎推理的一般模式为三段论，三段论推理的依据是：如果集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P .应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．[变式训练3] 如图6­4­3所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来).图6­4­3【导学号：66482306】[证明] (1)同位角相等，两条直线平行，(大前提)∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提)所以DF ∥EA .(结论)5分(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE ∥BA 且DF ∥EA ，(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论)8分(3)平行四边形的对边相等，(大前提)ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提)所以ED ＝AF .(结论)上面的证明可简略地写成：⎭⎪⎬⎪⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥BA ⇒ 四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF . 12分[思想与方法]1．合情推理的过程概括为从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．[易错与防范]1．在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．2．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．3．演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严谨性，书写格式的规范性．。

1．综合法(1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法．(2)框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．2．分析法(1)定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．(2)框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.3．反证法我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．反证法的证题步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(×)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( × ) (3)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a <b ”．( × ) (4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( × )(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( √ )(6)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．( √ )1．若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2<bc 2 B ．a 2>ab >b 2 C.1a <1b D.b a >a b答案 B解析 a 2－ab ＝a (a －b )，∵a <b <0，∴a －b <0，∴a 2－ab >0， ∴a 2>ab .①又ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，② 由①②得a 2>ab >b 2.2．用反证法证明命题：“a ，b ∈N ，若ab 不能被5整除，则a 与b 都不能被5整除”时，假设的内容应为( ) A ．a ，b 都能被5整除 B ．a ，b 不都能被5整除 C ．a ，b 至少有一个能被5整除 D ．a ，b 至多有一个能被5整除 答案 C解析 “都不能”的否定为“至少有一个能”，故假设的内容应为“a ，b 至少有一个能被5整除”．3．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0 答案 D解析 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.4．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是__________________________． 答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b 解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a ) ＝a (a －b )＋b (b －a ) ＝(a －b )(a －b ) ＝(a －b )2(a ＋b )．∴当a ≥0，b ≥0且a ≠b 时，(a －b )2(a ＋b )>0. ∴a a ＋b b >a b ＋b a 成立的条件是a ≥0，b ≥0且a ≠b .5．(2016·青岛模拟)如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x n n )，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________． 答案332解析 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)． ∴f (A )＋f (B )＋f (C )3≤f (A ＋B ＋C 3)＝f (π3)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，∴sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.题型一 综合法的应用例1 数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1.(1)证明：数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{1a n }的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n >nn ＋1.(1)证明 ∵a n ＋1＝a n2a n ＋1，∴1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n ，即1a n ＋1－1a n＝2，故数列{1a n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)解 由(1)知1a n ＝2n －1，∴S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.方法一1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2>11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 方法二1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n2>1， 又∵1>nn ＋1，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n >n n ＋1. 思维升华 (1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c . 证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0. 由于a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴上述三个不等式中等号不能同时成立， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc >0成立． 上式两边同时取常用对数，得 lg(a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2)>lg abc ，∴lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c .题型二 分析法的应用例2 已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.证明 要证12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22， 即证明12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22，只需证明12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>tan x 1＋x 22，只需证明sin (x 1＋x 2)2cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2).由于x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故x 1＋x 2∈(0，π)． 所以cos x 1cos x 2>0，sin(x 1＋x 2)>0,1＋cos(x 1＋x 2)>0， 故只需证明1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2， 即证1＋cos x 1cos x 2－sin x 1sin x 2>2cos x 1cos x 2， 即证cos(x 1－x 2)<1.由x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x 1≠x 2知上式显然成立， 因此12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 引申探究若本例中f (x )变为f (x )＝3x －2x ，试证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有f (x 1)＋f (x 2)2≥f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 证明 要证明f (x 1)＋f (x 2)2≥f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22， 即证明1212(32)(32)2x x x x -+-≥1223x x +－2·x 1＋x 22，因此只要证明12233x x +－(x 1＋x 2)≥1223x x +－(x 1＋x 2)，即证明，121223233x xx x ++≥因此只要证明12233x x+由于x 1，x 2∈R 时，13x >0,23x>0，由基本不等式知12233x x+思维升华 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．(2016·重庆月考)设a >0，b >0,2c >a ＋b ，求证：(1)c 2>ab ；(2)c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab . 证明 (1)∵a >0，b >0,2c >a ＋b ≥2ab ， ∴c >ab ，平方得c 2>ab .(2)要证c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab ， 只要证－c 2－ab <a －c <c 2－ab ， 即证|a －c |<c 2－ab ，即(a －c )2<c 2－ab . ∵(a －c )2－c 2＋ab ＝a (a ＋b －2c )<0成立， ∴原不等式成立． 题型三 反证法的应用 命题点1 证明否定性命题例3 (2016·西安模拟)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明：数列{a n ＋1}不是等比数列． (1)解 设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q，q ≠1.(2)证明 假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列． 命题点2 证明存在性问题例4 已知四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1. (1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定F 点的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明 由已知得SA 2＋AD 2＝SD 2，∴SA ⊥AD . 同理SA ⊥AB .又AB ∩AD ＝A ，AB 平面ABCD ，AD 平面ABCD ， ∴SA ⊥平面ABCD .(2)解 假设在棱SC 上存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD . ∵BC ∥AD ，BC 平面SAD . ∴BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ， ∴平面FBC ∥平面SAD .这与平面SBC 和平面SAD 有公共点S 矛盾， ∴假设不成立．∴不存在这样的点F ，使得BF ∥平面SAD .命题点3 证明唯一性命题例5 已知a ≠0，证明关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个根． 证明 由于a ≠0，因此方程至少有一个根x ＝b a .假设x 1，x 2是它的两个不同的根，即ax 1＝b ，① ax 2＝b ，②由①－②得a (x 1－x 2)＝0， 因为x 1≠x 2，所以x 1－x 2≠0，所以a ＝0，这与已知矛盾，故假设错误． 所以当a ≠0时，方程ax ＝b 有且只有一个根．思维升华 应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤： 第一步：分清命题“p ⇒q ”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q 相反的假设綈q ；第三步：由p 和綈q 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q 不真，于是原结论q 成立，从而间接地证明了命题p ⇒q 为真．所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a>c .证明 (1)∵f (x )的图像与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2， ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根， 又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a ≠c )，∴1a 是f (x )＝0的一个根． 即1a是函数f (x )的一个零点． (2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0，与f (1a )＝0矛盾，∴1a≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a >c .23．反证法在证明题中的应用典例 (12分)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A 、C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．思想方法指导 在证明否定性问题，存在性问题，唯一性问题时常考虑用反证法证明，应用反证法需注意：(1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的．(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法．(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去． 规范解答(1)解 因为四边形OABC 为菱形， 则AC 与OB 相互垂直平分． 由于O (0,0)，B (0,1)，所以设点A ⎝⎛⎭⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1， 则t ＝±3，故|AC |＝2 3.[4分] (2)证明 假设四边形OABC 为菱形，因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ， 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.[6分] 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 2＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2.所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.[8分]因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0， 所以直线OB 的斜率为－14k，因为k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1，所以AC 与OB 不垂直．[10分] 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．[12分]1．(2017·泰安质检)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案 A解析 因为“方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A. 2．若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0]C ．[－3,0)D ．(－3,0]答案 D解析 2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k ×(－38)<0或k ＝0. 解得－3<k ≤0.3．(2017·上饶质检)设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2答案 C解析 因为(y x ＋y z )＋(z x ＋z y )＋(x z ＋x y) ＝(y x ＋x y )＋(y z ＋z y )＋(z x ＋x z)≥6， 当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立． 所以三个数中至少有一个不小于2，故选C.4．①已知p 3＋q 3＝2，证明：p ＋q ≤2.用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②若a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①的假设正确；②的假设错误C ．①与②的假设都正确D ．①的假设错误；②的假设正确答案 D解析 对于①，结论的否定是p ＋q >2，故①中的假设错误；对于②，其假设正确，故选D.5．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2答案 C解析 因为a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a≤－6， 所以三者不能都大于－2.6．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是________．①假设a ，b ，c 都是偶数；②假设a ，b ，c 都不是偶数；③假设a ，b ，c 至多有一个偶数；④假设a ，b ，c 至多有两个偶数．答案 ②解析 “至少有一个”的否定为“都不是”，故②正确．7．(2016·全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．答案 1和3解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．8．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析 若二次函数f (x )≤0在区间[－1,1]内恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝－2p 2＋p ＋1≤0，f (1)＝－2p 2－3p ＋9≤0， 解得p ≤－3或p ≥32， 故满足题干条件的p 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－3，32. 9．已知m >0，a ，b ∈R ，求证：(a ＋mb 1＋m )2≤a 2＋mb 21＋m. 证明 因为m >0，所以1＋m >0.所以要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图像关于y 轴对称，求证：f (x ＋12)为偶函数．证明 由函数f (x ＋1)与f (x )的图像关于y 轴对称，可知f (x ＋1)＝f (－x )．将x 换成x －12代入上式可得f (x －12＋1)＝f [－(x －12)]， 即f (x ＋12)＝f (－x ＋12)， 由偶函数的定义可知f (x ＋12)为偶函数． 11．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证明 (1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0.∵a >1，∴21x x a－>1且1x a >0， ∴21x x a a －＝121(1)x x x a a -－>0.又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1) ＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0. 于是f (x 2)－f (x 1)＝21x x a a －＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则0x a ＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，∴0<0xa <1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0相矛盾， 故方程f (x )＝0没有负数根．12．(2016·浙江)设函数f (x )＝x 3＋11＋x，x ∈[0,1]，证明： (1)f (x )≥1－x ＋x 2；(2)34＜f (x )≤32. 证明 (1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－(－x )41－(－x )＝1－x 41＋x ，由于x ∈[0,1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1， 即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1， 所以f (x )≥1－x ＋x 2.(2)由0≤x ≤1，得x 3≤x ，故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝(x －1)(2x ＋1)2(x ＋1)＋32≤32， 所以f (x )≤32. 由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， 又因为f ⎝⎛⎭⎫12＝1924＞34，所以f (x )＞34. 综上，34＜f (x )≤32. 13.(2015·课标全国Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ； (2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd ，得(a ＋b )2＞(c ＋d )2. 因此a ＋b ＞ c ＋d .(2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2,即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得a ＋b ＞ c ＋d .②若a ＋b ＞ c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |＜|c －d |. 综上，a ＋b ＞ c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．。

专题30 推理与证明考纲解读明方向考纲解读分析解读 1.能利用已知结论类比未知结论或归纳猜想结论并加以证明.2.了解直接证明与间接证明的基本方法,体会数学证明的思想方法.3.掌握“归纳—猜想—证明”的推理方法及数学归纳法的证明步骤.4.归纳推理与类比推理是高考的热点.本章在高考中的推理问题一般以填空题形式出现,分值约为5分,属中档题;证明问题一般以解答题形式出现,分值约为12分,属中高档题.2017年高考全景展示1. 【2017课标II，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。

老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。

看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。

根据以上信息，则（）A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【考点】合情推理【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理。

数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向。

合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确。

而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)。

2.(2017北京,14,5分)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.①记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;②记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.答案①Q1②p23.(2017江苏,19,16分)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足:a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”;(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n}是等差数列.(2)数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n≥3时,a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n,①当n≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n.②由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n+a n+1),③a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n).④将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d',在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d',所以数列{a n}是等差数列.4.(2017北京,20,13分)设{a n}和{b n}是两个等差数列,记c n=max{b1-a1n,b2-a2n,…,b n-a n n}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,x s}表示x1,x2,…,x s这s个数中最大的数.(1)若a n=n,b n=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明{c n}是等差数列;(2)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,>M;或者存在正整数m,使得c m,c m+1,c m+2,…是等差数列.解析本题考查等差数列,不等式,合情推理等知识,考查综合分析,归纳抽象,推理论证能力.(1)c1=b1-a1=1-1=0,c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=-2.当n≥3时,(b k+1-na k+1)-(b k-na k)=(b k+1-b k)-n(a k+1-a k)=2-n<0,所以b k-na k关于k∈N*单调递减.所以c n=max{b1-a1n,b2-a2n,…,b n-a n n}=b1-a1n=1-n.所以对任意n≥1,c n=1-n,于是c n+1-c n=-1,所以{c n}是等差数列.(2)设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1,d2,则b k-na k=b1+(k-1)d2-[a1+(k-1)d1]n=b1-a1n+(d2-nd1)(k-1).所以c n=①当d1>0时,取正整数m>,则当n≥m时,nd1>d2,因此c n=b1-a1n.此时,c m,c m+1,c m+2,…是等差数列.②当d1=0时,对任意n≥1,c n=b1-a1n+(n-1)max{d2,0}=b1-a1+(n-1)(max{d2,0}-a1).此时,c1,c2,c3,…,c n,…是等差数列.③当d1<0时,当n>时,有nd1<d2.所以==n(-d1)+d1-a1+d2+≥n(-d1)+d1-a1+d2-|b1-d2|.对任意正数M,取正整数m>max,故当n≥m时,>M.2016年高考全景展示1.【2016高考新课标2理数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．【答案】1和3考点：逻辑推理.【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.。

M单元推理与证明M1合情推理与演绎推理M2直接证明与间接证明M3数学归纳法M4 单元综合23.M4[2018·江苏卷]设n∈N*,对1,2,…,n的一个排列i1i2…i n,如果当s<t时,有i s>i t,则称(i s,i t)是排列i1i2…i n的一个逆序,排列i1i2…i n的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记f n(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求f3(2),f4(2)的值;(2)求f n(2)(n≥5)的表达式(用n表示).23.解:(1)记τ(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此,f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以f n(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以f n(1)=n-1.为计算f n+1(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此,f n+1(2)=f n(2)+f n(1)+f n(0)=f n(2)+n.当n≥5时,f n(2)=[f n(2)-f n-1(2)]+[f n-1(2)-f n-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n2-n-2,2因此,当n≥5时,f n(2)=n2-n-2.21.[2018·河南中原名校五联]老师在4个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌,分别是红桃A,梅花A,方片A以及黑桃A,小明、小红、小张、小李四个人进行猜测:小明说:第1个盒子里面放的是梅花A,第3个盒子里面放的是方片A;小红说:第2个盒子里面放的是梅花A,第3个盒子里面放的是黑桃A;小张说:第4个盒子里面放的是黑桃A,第2个盒子里面放的是方片A;小李说:第4个盒子里面放的是红桃A,第3个盒子里面放的是方片A.老师说:小明、小红、小张、小李,你们都只说对了一半.则可以推测,第4个盒子里装的是()A.红桃A或黑桃AB.红桃A或梅花AC.黑桃A或方片AD.黑桃A或梅花A1.A[解析] 因为四个人都只猜对了一半,所以有以下两种可能:(1)当小明猜对第1个盒子里面放的是梅花A时,则第3个盒子里面放的不是方片A,小李猜对第4个盒子里面放的是红桃A,小张猜对第2个盒子里面放的是方片A,小红猜对第3个盒子里面放的是黑桃A;(2)当小明猜对第3个盒子里面放的是方片A时,则第1个盒子里面放的不是梅花A,小红猜对第2个盒子里面放的是梅花A,小张猜对第4个盒子里面放的是黑桃A,小李猜对第3个盒子里面放的是方片A,则第1个盒子里面放的只能是红桃A.故选A.2.[2018·广东佛山模拟]德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想:任给一个正整数n,);如果n是奇数,则将它乘3加1(即3n+1),不断重复这样的运如果n是偶数,就将它减半(即n2算,经过有限步后,一定可以得到1.对于科拉茨猜想,目前谁也不能证明,也不能否定.现在请你研究:如果对正整数n(首项)按照上述规则进行变换后的第9项为1(注:1可以多次出现),则n 的所有不同值的个数为()A.4B.5C.6D.72.D[解析] 如果正整数n按照规则实行变换后的第9项为1,则第8项一定是2,第7项一定是4,按照这种逆推的对应关系可得如下树状图:则n的所有可能的取值为4,5,6,32,40,42,256,共7个.3.[2018·乌鲁木齐一检]甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话:甲说:“如果我中奖了,那么乙也中奖了.”乙说:“如果我中奖了,那么丙也中奖了.”丙说:“如果我中奖了,那么丁也中奖了.”结果三人都没有说错,但是只有两人中奖,那么这两人是()A.甲、乙B.乙、丙C.丙、丁D.甲、丁3.C[解析] 假设甲中奖,则乙、丙、丁都中奖,此时四人都中奖,故甲不可能中奖;假设乙中奖,则丙、丁都中奖,甲不一定中奖,此时至少三人中奖,故乙不可能中奖.故只有可能是丙、丁均中奖,符合题意.5.[2018·吉林二调]某公司招聘员工,有甲、乙、丙三人应聘并进行面试,结果只有一人被录用,当三人被问到谁被录用时,甲说:丙没有被录用;乙说:我被录用;丙说:甲说的是真话.事实证明,三人中只有一人说的是假话,那么被录用的人是.5.甲[解析] 如果甲说假话,则丙被录用,那么乙也说了假话,与题设矛盾;如果乙说假话,甲、丙说了真话,则乙没有被录用,丙也没有被录用,则甲被录用,满足题意;如果丙说假话,则甲也说了假话,与题设矛盾.综上,被录用的是甲.6.[2018·广东茂名五校一联]某校的团知识宣讲小组由学生和青年教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;(ⅱ)女学生人数多于青年教师人数;(ⅲ)青年教师人数的两倍多于男学生人数.若青年教师人数为3,则该宣讲小组总人数为.6.12[解析] 设男学生人数、女学生人数、青年教师人数分别为a,b,c,则2c>a>b>c,a,b,c∈N*,由青年教师人数为3,可得c=3,6>a>b>3,所以a=5,b=4,所以a+b+c=12,即该宣讲小组总人数为12.。