初升高衔接教材第7讲分式方程与无理方程的解法

高次方程分式方程无理方程的解法教程高次方程的解法教程：高次方程是指方程中的最高次项的指数大于1的方程。

一般来说，高次方程的解法相对比较复杂，需要通过一定的代数运算和分解因式的方法逐步求解。

以下是一个示例来说明解高次方程的步骤：假设我们要解方程：x^3-5x^2+6x=0第一步：因式分解观察方程，我们可以发现x是公因子，所以我们可以将方程进行因式分解，得到：x(x^2-5x+6)=0第二步：化简因式继续观察因式(x^2-5x+6)，我们可以发现它可以被进一步分解成(x-2)(x-3)，所以方程可以进一步化简为：x(x-2)(x-3)=0第三步：等式成立条件我们知道，一个数的乘积等于0的时候，其中至少有一个因子等于0。

所以我们得到以下三个解：x=0,x-2=0,x-3=0解得：x=0,x=2,x=3因此，方程的解是x=0,x=2,x=3分式方程的解法教程：分式方程是指方程中含有分式的方程，需要通过合理的方法消去分式并求出方程的解。

以下是一个示例来说明解分式方程的步骤：假设我们要解方程：2/(x-1)+3/(x+2)=1第一步：通分观察方程，我们可以发现，左边的两个分式的分母互为相反数，所以我们可以通过通分来消去分母。

将方程两边乘以(x-1)(x+2)，得到：2(x+2)+3(x-1)=(x-1)(x+2)第二步：化简将方程进行化简，得到：2x+4+3x-3=x^2+x-2第三步：整理将方程整理为标准形式，得到：x^2-x-3=0第四步：因式分解或使用求根公式我们可以尝试将方程进行因式分解或使用求根公式来求解。

这里我们使用求根公式来求解。

根据求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，我们可以得到：x=(1±√(1+12))/2计算得到：x=(1±√13)/2因此，方程的解是x=(1+√13)/2,x=(1-√13)/2无理方程的解法教程：无理方程是指方程中含有无理数的方程，需要通过合理的方法化简方程并求出方程的解。

初高中衔接知识专题（六）：无理方程的解法
一、概念引入
1、无理式：像、这样根号下有未知数，且开方开不尽的根式称为无理式.
2、无理方程：含有无理式的方程称为无理方程.
二、无理方程的解法
例解方程：
无理方程常见的解法有两种.
第一种是利用“转化与化归” 的数学思想，把无理方程转化成我们以前学过的方程，也就是要把根号给去掉. 要去掉根号，就要用到开方. 怎么样通过开方把根号去掉？
这是我们要着重解决的问题！思路是，让根号单独在等号左端，其它的项都移到等号右端，就可以解决问题了.
解法一：移项，得
两边同乘-1，得
两边同时开平方，得
x²+17=(x²-3)²
即：
x²+17=(x²)²-6x²+9
所以
(x²)²-7x²-8=0
解之得
x²=-1 (舍去)，或x²=8
经检验：原方程的根为
无理方程的第二种方法是利用构造思想和换元思想.
主要是针对根号下的式子，要在根号外部造出一个和根号下的式子一模一样的式子，然后用一个字母替换整个根式.
解法二：
原方程可变为：
即
令则原方程化为：
t²-t-20=0
解之得：
t=-4(舍去)，或t=5
于是
经检验：原方程的根为
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第7讲 分式方程及其应用
分式方程的概念及其解法
1. 概念：分母中含有__未知数__的方程叫做分式方程．
2. 解分式方程的一般步骤
分式方程――→ 去分母 乘最简公分母整式方程――→解整式方程x ＝a ――→ 检验 ⎩
⎪⎨⎪⎧――→最简公分母为0a 不是分式方程的解――→最简公分母不为0a 是分式方程的解 3. 分式方程的增根：使最简公分母为__0__的根．
温馨提示：分式方程的增根与无解并非同一概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
分式方程的实际应用常见类型
1. 工程问题：工作效率＝工作量工作时间
； 工作时间＝__工作量工作效率
． 2. 销售问题：售价＝标价×折扣． 3. 行程问题：时间＝路程速度
.。

一、一元高次方程解方程的思想：降次，方法：换元、因式分解等． 例1 解方程： (1)x 4－13x 2＋36＝0； (2)x 6－9x 3＋8＝0.例2 解方程：(1)x 3＋3x 2－4x ＝0； (2)x 3－2x ＋1＝0. 二、解方程组解方程组的思想：消元，方法：代入消元、加减消元、整体消元等． 例3 解方程组： (1)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4z ＝7， ①2x ＋3y ＋z ＝9， ②5x －9y ＋7z ＝8； ③(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3， ①y ＋z ＝4， ②z ＋x ＝5. ③例4 解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，xy ＝10；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，xy ＝2. 例5 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0， ①x 2－4y 2＋x ＋3y －1＝0. ② 例6 解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧xy －x －y ＋1＝0， ①3x 2＋4y 2＝1； ②(2)⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－xy －4y 2－3x ＋4y ＝0， ①x 2＋y 2＝25. ② 例7 解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋xy ＋y 2＝15， ①3x 2－31xy ＋5y 2＝－45； ② (2)⎩⎨⎧4a 2＋4b 2＝1， ①16a 2＋1b 2＝1. ②(a >0，b >0)例8 已知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A (1,3)，B (2,7)，C (3,13)三点，求二次函数的表达式．1．解方程：(1)x 3－5x －2＝0； (2)x 3＋3x 2－4x －6＝0.2．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝15， ①2x ＋3y －z ＝9， ②5x －4y －z ＝0； ③ (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝y 4＝z 5， ①x ＋y ＋z ＝24. ②3．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1， ①y ＝x 2＋2x －1； ② (2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1， ①x 24＋y 22＝1. ②4．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＋3x ＋y ＋3＝0， ①x 24＋y 23＝1； ② (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＋x ＋y ＝0， ①x 22－y 22＝1. ②5．已知二次函数的图象的对称轴为x ＝1且经过A (1,2)，B (2,4)，求二次函数的表达式．6．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝b ， ①a ＋b ＋c ＝1， ②ca 2＋b 2＝1. ③答案解析例1 解 (1)令t ＝x 2，t 2－13t ＋36＝0，t ＝4或t ＝9，∴x ＝±2或x ＝±3. (2)令t ＝x 3，t 2－9t ＋8＝0，t ＝1或t ＝8，∴x ＝1或x ＝2.例2 解 (1)x (x 2＋3x －4)＝0，x (x ＋4)(x －1)＝0，x ＝－4或x ＝0或x ＝1. (2)x 3－x －(x －1)＝0，(x －1)(x 2＋x －1)＝0，x ＝1或x ＝－1±52. 例3 解 (1)由②③得：11x ＋10z ＝35，④ 由①④得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝13z ＝－2.(2)3式相加得：x ＋y ＋z ＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1z ＝3.例4 解 (1)设x ，y 为方程t 2－7t ＋10＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5 ①xy ＝2 ②将y ＝2x代入①得：x 4－5x 2＋4＝0，x 2＝1或x 2＝4，∴x ＝±1或x ＝±2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－1. 例5 解 由①得：y ＝2x －1 ③将③代入②得：15x 2－23x ＋8＝0，x ＝815或x ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎨⎧x ＝815y ＝115.例6 解 (1)由①得：(x －1)(y －1)＝0，即x ＝1或y ＝1.1°当x ＝1时，4y 2＝－2无解．2°当y ＝1时，3x 2＝－3无解．∴原方程无解．(2)由①得：(3x －4y )(x ＋y )－(3x －4y )＝0，(3x －4y )(x ＋y －1)＝0，即3x －4y ＝0或x ＋y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝0x 2＋y 2＝25得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－3由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x 2＋y 2＝25得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝4.例7 解方程组：解 (1)①×3＋②得：3x 2－7xy ＋2y 2＝0，(3x －y )·(x －2y )＝0,3x －y ＝0或x －2y ＝0，将y ＝3x 代入①得：x 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3，将x ＝2y 代入①得：y 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝－1∴原方程的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－1.(2)令x ＝1a 2，y ＝1b2∴⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋4y ＝116x ＋y ＝1⇒⎩⎨⎧ x ＝120y ＝15⇒⎩⎨⎧1a 2＝1201b 2＝15∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25b ＝5(∵a >0，b >0)．例8 解 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝34a ＋2b ＋c ＝79a ＋3b ＋c ＝13得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1c ＝1∴y ＝x 2＋x ＋1. 强化训练1．解 (1)x 3－4x －(x ＋2)＝0，x (x －2)(x ＋2)－(x ＋2)＝0，(x ＋2)(x 2－2x －1)＝0，x ＝－2或x ＝1±2.(2)x 3＋x 2＋(2x 2－4x －6)＝0，x 2(x ＋1)＋2(x ＋1)·(x －3)＝0，(x ＋1)(x 2＋2x －6)＝0，x ＝－1或x ＝－1±7.2．解 (1)①＋②得：3x ＋4y ＝24 ④，①＋③得：2x －y ＝5⑤，由④⑤③得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3z ＝8.(2)设x 3＝y 4＝z5＝k ，得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3k y ＝4kz ＝5k (*)时将(*)代入②得：12k ＝24，k ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝8z ＝10.3．解 (1)消y 得：x －1＝x 2＋2x －1，x ＝0或x ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2. (2)将①代入②得：3x 2＋4x －2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋103y ＝1＋103或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－103y ＝1－103.4．解 (1)由①得：(x ＋1)(y ＋3)＝0即x ＝－1或y ＝－3. 将x ＝－1代入②得：y 23＝34，y ＝±32，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－32. 将y ＝－3代入②得：x 24＝－2无解．∴原方程组解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－32.(2)由①得(x ＋y )(x －y ＋1)＝0，x ＋y ＝0或x －y ＋1＝0，将y ＝－x 代入②得：x 22－x 22＝1方程无解，将y ＝x ＋1代入②得：x 2－(x ＋1)2＝2得：x ＝－32，y ＝－12.∴原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝－32y ＝－12.5．解 设二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a＝12＝a ＋b ＋c4＝4a ＋2b ＋c⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－4c ＝4∴表达式为y ＝2x 2－4x ＋4.6．解 由题意知b ≥0，则由①得：b ＝a 或b ＝－a .1°b ＝a 时⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝1c2a＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－22c ＝2－1b ＝1－222°b ＝－a 时⎩⎪⎨⎪⎧c ＝112|a |＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－22b ＝22c ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22b ＝－22(舍去)c ＝1.。

中考数学知识点梳理第7讲分式方程分式方程是指含有分式（即含有未知数的分数形式）的方程。

解分式方程的关键是化简、消去分母，找到未知数的值。

1.分式方程的定义分式方程是指方程的一种形式，其中包含了未知数的分式，并要求找到满足方程的未知数的值。

2.分式方程的基本形式(1)真分式方程：分子次数小于分母次数的分式方程。

示例：$\dfrac{2x+3}{x-1}=3$(2)假分式方程：分子次数大于或等于分母次数的分式方程。

示例：$\dfrac{x^2+1}{x-1}=3$3.分式方程的解法(1)化简分式方程将分式方程中的分数进行通分、化简，使得方程的表达式更简洁。

示例：$\dfrac{x+2}{x-3}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{2x+1}{x-3}$，通分后可得到$(x-2)(x-3)+(x-3)=(2x+1)(x-2)$。

(2)消去分母在化简后的方程中，通过乘以适当的数值，消去方程中的分母。

示例：在上述化简后的方程中，可以通过乘以$(x-2)(x-3)$来消去分母，得到$(x-2)(x-3)^2+(x-3)(x-2)=(2x+1)(x-2)(x-3)$。

4.分式方程的解的判断(1)求解方程将已化简且消去分母的方程转化为一元一次方程，并求解得到未知数的值。

示例：在上述方程中，将其展开并整理后，得到$x^3-3x^2-17x+23=0$，解得$x=1,x=2,x=10$。

(2)检验解将求得的解代入原方程中，检验是否满足分式方程。

示例：将$x=1$代入原方程中，有$\dfrac{2\cdot1+3}{1-1}=3$，左右两边相等，所以$x=1$是方程的解。

5.分式方程的注意事项(1)分母不为零分式中的分母不能为零，否则方程无意义。

示例：在$\dfrac{1}{x-1}=3$中，$x=1$是方程无意义。

(2)未知数的范围分式方程的解必须满足未知数的范围限制。

示例：在$\dfrac{x^2+1}{x-1}=3$中，$x=2$是方程无意义。