极差、方差与标准差的课件 北师大版

【规律总结】对平均数、中位数、众数描述一组数据的数字特
征的分析
描述数据集中趋势的统计量；中位数更实际地描述了数据
的中心，它不受极端数据的影响；众数作为一组数据的代表， 可靠性较差，但由于其求法较简便，所以在现场检查中常被用 到.
主题二
方差、标准差
【解题指南】1.根据所给数据按平均数、众数和中位数的含义 来求解.
2.根据各种数字特征的定义及意义解决问题.
【解析】1.该歌手得分为(9.5+9.4+9.5+9.6)÷4=9.5.
9.5在这组数据中出现2次,出现次数最多,故评分的众数是9.5.
将这组数据按从小到大顺序排列后最中间的两个数都是 9.5,故 中位数是9.5. 答案：9.5 9.5 9.5
2.(1)由平均数公式得 x 1 (82×27+80×21)≈81.13(分).
48
(2)∵男生的中位数是75分,∴至少有14人得分不超过75分.
又∵女生的中位数是80分,∴至少有11人得分不超过80分，
∴全班至少有25人得分不超过80分.
(3)男生的平均分与中位数的差别较大,说明男生中两极分化 现象严重,得分高的和低的相差较大.
2.极差、方差、标准差
最大值 与_______ 最小值 的差. (1)极差：一组数据中_______
(2)标准差为 s= . n _____________________________
1 2
x
x
x
2
x

2
x n x


2
(3)方差是
n . s 2= 1 2 n __________________________

统计分析
在统计分析中，标准差是描述数据 分布的重要参数之一，可以帮助我 们了解数据的离散程度和波动情况 。
05
极差、方差与标准差的关 系
三者之间的关系
01
02
03
极差
表示数据分布的离散程度 ，计算公式为最大值减去 最小值。
方差
表示数据偏离平均值的程 度，计算公式为每个数据 点与平均值的差的平方和 的平均值。
案例三：标准差在人力资源管理中的应用
总结词
评估员工绩效稳定性
详细描述
标准差用于评估员工绩效的稳定性，通过计算员工绩效数据的离散程度，可以了解员工工作表现是否 稳定可靠，为人力资源管理和员工培训提供参考依据。

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感谢观看
标准差的值越大，表示数据点越离散 ；标准差的值越小，表示数据点越集 中。
计算公式：标准差 = sqrt[(1/N) * Σ(xi-μ)^2]，其中xi是数据点，μ是平 均值，N是数据点的数量。
标准差的计算方法
手动计算
适用于数据量较小的情况，可以通过 逐一计算每个数据点与平均值的差的 平方，然后求和，最后除以数据点的 数量得到标准差。
标准差
是方差的平方根，表示数 据点与平均值的偏离程度 。
三者在数据分析中的作用
极差
用于初步了解数据的分布 范围，判断数据的离散程 度。
方差
用于量化数据点与平均值 的偏离程度，帮助了解数 据的稳定性。
标准差
用于量化数据点与平均值 的偏离程度，常用于金融 、统计学等领域。
06
案例分析
案例一：极差在金融领域的应用
课程目标
知识目标
掌握极差、方差与标准差的计算方法 ，理解其数学意义。
能力目标

5. （例3）在这学期的六次体育测试中，甲、乙两同 学的平均成绩一样，方差分别为1.5，1.0，则下列说
法正确的是（ A ）
A. 乙同学的成绩更稳定 B. 甲同学的成绩更稳定 C. 甲、乙两位同学的成绩一样稳定 D. 不能确定哪位同学的成绩更稳定
6. 茶叶厂用甲、乙两台包装机分装质量为400克的茶叶， 从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取10盒，测得它们实 际质量的平均数和标准差分别如表所示，则包装茶叶质量
8. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名运动员参加男子 跳高选拔赛成绩的平均数x与方差s2：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的
运动员参加比赛，应该选择（ A ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
三级检测练
一级基础巩固练 9. 已知一组数据：4，-1，5，9，7，则这组数据的 极差是 10 .
第六章 数据的分析
第4课 数据的波动（1）——极差与方差
新课学习
知识点1.极差 求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值.
1. （例1）在10，20，40，30，80，90，50，40，40，
50这10个数据中，算出这组数据的极差是（ C ）
A. 40 B. 70 C. 80 D. 90
2. 某班数学学习小组某次测验成绩分别是63，72，70，
49，66，81，53，92，69，则这组数据的极差是（ B ）
A. 47分 B. 43分 C. 34分 D. 29分
知识点2.标准差和方差
3. （例2）有一组数据如下：3，a，4，6，7，它们的平
均数是5，那么这组数据的方差是 2
.
4.ห้องสมุดไป่ตู้已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是

的标准差为
.
第六章第4课 数据的波动（1）——极差与方差-202 0秋北 师大版 八年级 数学上 册课件
第六章第4课 数据的波动（1）——极差与方差-202 0秋北 师大版 八年级 数学上 册课件
二级能力提升练 11. 若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5， 6，7，8，9的方差相等，则x的值为（ C ） A. 1 B. 6 C. 1或6 D. 5或6
知识点2.标准差和方差
第六章第4课 数据的波动（1）——极差与方差-202 0秋北 师大版 八年级 数学上 册课件
第六章第4课 数据的波动（1）——极差与方差-202 0秋北 师大版 八年级 数学上 册课件
3. （例2）有一组数据如下：3，a，4，6，7，它们的平
均数是5，那么这组数据的方差是 2
第六章 数据的分析
第4课 数据的波动（1）——极差与方差
新课学习
知识点1.极差 求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值.
1. （例1）在10，20，40，30，80，90，50，40，40，
50这10个数据中，算出这组数据的极差是（ C ）
A. 40 B. 70 C. 80 D. 90
第六章第4课 数据的波动（1）——极差与方差-202 0秋北 师大版 八年级 数学上 册课件
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第六章第4课 数据的波动（1）——极差与方差-202 0秋北 师大版 八年级 数学上 册课件
第六章第4课 数据的波动（1）——极差与方差-202 0秋北 师大版 八年级 数学上 册课件
4. 已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是
（D ）
A. 9 B. 3 C. D.
第六章第4课 数据的波动（1）——极差与方差-202 0秋北 师大版 八年级 数学上 册课件

的绝对值刻画： 甲厂的差距依次是：0, 1, 1, 1, 2, 1, 0, 2, 2, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3. 丙厂的差距依次：0.1, 1.1, 2.1, 2.9, 3.1, 0.9, 1.1, 0.9, 1.1, 0.1,1.1, 3.1, 2.1, 3.1, 2.9, 0.9, 1.9, 1.9, 1.9, 3.9,
(1)丙厂这20只鸡腿质量的平 均数和极差分别是多少？ (2)如何刻画丙厂这20只鸡腿 的质量与其平均数的差距？分 别求出甲、丙两厂的20只鸡腿 质量与其相应平均数的差距． (3)在甲、丙两厂中，你认为 哪个厂的鸡腿质量更符合要求？ 为什么？
讲授新知
解：(1)丙厂这20只鸡腿质量的平均数是 75.1g，极差是7g； (2)可分别用这20只鸡腿的质量与其平均数差
证产量稳定，适合推广的品种为（ A ）
A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．无法确定
当堂训练
4.两支仪仗队队员的身高 (单位:cm)如下：
甲队：178 177 179 179 178 178 177 178 177 179
乙队：178 177 179 176 178 180 180 178 176 178
74 75 75 76 73 76 73 78 77 72 乙厂：75 78 72 77 74 75 73 79 72 75
80 71 76 77 73 78 71 76 73 75 把这些数据表示成下图：
讲授新知
(1)你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的
平均质量是多少？ (2)求甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量，并在 图中画出表示平均质量的直线。
基础题：1.课后习题6.5 第 1,2题。 提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集 整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课 为全班展示。

39.8 40.1
40.2 39.8 40.0 39.9
分别计算(jì suàn)上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的 标准差.，并判断哪一个机床更稳定.
解：从数据容易得到甲、乙两台(liǎnɡ tái)机床生产的这10件
产品直径的平均x甲值: 40(mm) x乙 40(mm)
我们分别计算它们直径的标准差：
解：（1）x甲 30(cm2) ，x乙 31(cm2 ) x甲 x乙 ，即乙种玉米的苗长得高. （2） s甲2 104.2(cm2 ),s乙2 128.8(cm2 ) ,即甲种玉米的苗长得齐.
s甲2 s乙2
第十九页，共21页。
1. 根据实际(shíjì)问题的需求，能够从数据中提取基本的 数字特征，如平均数、中位数、众数、极差、方差、标准 差等.
第十五页，共21页。
对数据数字特征内容的评价，应当更多地关注(guānzhù)对 其本身意义的理解和在新情境中的应用，而不是记忆和使用的熟 练程度.
第十六页，共21页。
x, y
1.下表是某班40名学生参加“环保(huánbǎo)知识竞赛”的得
分统计表： 分数 0 1
23
4
5
人数 4
7
10 x
8
y
第六页，共21页。
平均数、中位数、众数(zhònɡ shù)、极差、方差、标准差
1.一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据 x1, x2, , xn 的平均数为 x x1 x2 xn .平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的
n
平均水平. 2.一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数. 一组数据的中位数是唯一的，反映了数据的集中趋势. 3. 一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数.一组数据中的众数可能不止 一个，也可能没有，反映了数据的集中趋势.

解析答案
(2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品 比较稳定.
解析答案
题型三 数据的数字特征的综合应用 例3 在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
分数 50 60 70 80 90 100 人 甲组 2 5 10 13 14 6 数 乙组 4 4 16 2 12 12 已经算得两个组的平均分都是80分.请根据你所学过的统计知识，进 一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由.
平均数 )的数称为这组数据的中位数. (3)平均数：如果 n 个数 x1，x2，…，xn，那么 x ＝1n(x1＋x2＋…＋xn)称为 这 n 个数的平均数.
答案
2.三种数字特征与频率分布直方图的关系
众 众数是最高长方形的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值
数 中 (1)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等， 位 由此可以估计中位数的值，但是有偏差；(2)表示样本数据所占频 数 率的等分线 平
反思与感悟 解析答案
跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员 的成绩如表所示：
成绩 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
(单位：m)
人数
2 323 4 1 1 1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.
解析答案
题型二 平均数和方差的运用 例2 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从 中抽取6件测量，数据为 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；
2.方差 标准差的平方 s2 叫作方差. s2＝1n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]， 其中，xi(i＝1,2，…，n)是 样本数据 ，n 是 样本容量 ， x 是样本平均数.

月收入/元 45 000 18 000 10 000 5 500 5 000 3 400 3 000 2 000
人数
1
1
1
3 6 1 11 2
(1)请计算以上样本的平均数和中位数；

解：样本的平均数为
45 000＋18 000＋10 000＋5 500×3＋5 000×6＋3 400＋3 000×11＋2 000×2 1＋1＋1＋3＋6＋1＋11＋2
8．【2017·潍坊】甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选拔赛中，
每人射击了 10 次，甲、乙两人的成绩如表所示，丙、丁
两人的成绩如图所示．欲选一名运动员参赛，从平均数
与方差两个因素分析，应选( C )
甲
平均数 9
方差
1
A．甲 B．乙
乙 8 1
C．丙
D．丁
9．【2018·杭州】测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到
得出结论：
包装机分装情况比较好的是__乙__(_答__案__不__唯__一__)__(填甲或乙)，
说明你的理由．
理由：由表二知，乙包装机分装的奶粉质量的方差小，分装 质量比较稳定，所以包装机分装情况比较好的是乙．
谢谢大家
＝6 150(元)；
这组数据共有 26 个，第 13，14 个数据分别是 3 400，3 000，
所以样本的中位数为3
400＋3 2
000＝3
200(元)．
(2)甲、乙两人分别用样本平均数和中位数来估计推断公司全 体员工月收入水平，请你写出甲、乙两人的推断结论； 解：甲：由样本平均数为 6 150 元，估计公司全体员工月平 均收入大约为 6 150 元； 乙：由样本中位数为 3 200 元，估计公司约有一半的员工月 收入超过 3 200 元，约有一半的员工月收入不足 3 200 元．

归纳总结
数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差刻画.
一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小， 这组数据就越稳定.
应用举例
例1 计算从甲厂抽取的20只鸡腿质量的方差.
解：甲厂20只鸡腿的平均质量：
72 73 3 74 4 75 4 76 4 77 3 78 x甲
20 7（5 g）
(3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是78 g，最小值 是72 g，它们相差6g；乙厂抽取的这20只鸡腿质量的最大 值是80g，最小值是71g，它们相差9g. (4)如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸 应买甲厂的鸡腿 ，理由是甲厂的质量相对集中．
归纳总结
实际生活中，除了关心数据的“集中趋势”外， 人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于“集 中趋势”的偏离情况．极差就是刻画数据离散程度的 一个统计量．极差是指一组数据中最大数据与最小数 据的差．
探究新知
探究
如果丙厂也参与了竞争，从该厂抽样调查了20只鸡腿， 数据如图所示：
（1）丙厂这20只鸡腿的平均 数和极差分别是多少？为什
么？ 平均数: x丙 75(g)
极差: 79 72 7( g )
（2）如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距？分 别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其相应平均数的差距。 甲厂这20只鸡腿质量与平均数的差距(单位：g)依次是0，1，1， 1，2，1，0，2，2，1，1，0，0，1，2，1，2，3，2，3．
甲厂20只鸡腿质量的方差：
s
2 甲
(72
75)2
(73
75)2
3 (77
75)2
3
(78
75)2
20
2.5
例2 （1）计算从丙厂抽取的20只鸡腿质量的方差。 （2）根据计算结果，你认为甲、丙两厂的产品哪个更符合规 格？

10
9
第六次
9
8
(1)分别求甲、乙六次测试成绩的方差;
(2)你认为推荐谁参加全国比赛更合适?说明理由.
思路分析 (1)利用平均数公式计算甲、乙六次测试的平均成绩→利用方差
公式计算甲、乙六次测试成绩的方差;(2)根据二人成绩的平均数、方差进
行分析,作出决策.
解 (1)由平均数公式,得
1
甲 = 6×(10+8+9+8+10+9)=9(环),
1
乙 = 6×(10+7+10+10+9+8)=9(环).
2
由方差公式,得甲
2
乙
1
2
2
2
2
2
2
2
= 6×[(10-9) +(8-9) +(9-9) +(8-9) +(10-9) +(9-9) ]=3;
1
4
2
2
2
2
2
2
= ×[(10-9) +(7-9) +(10-9) +(10-9) +(9-9) +(8-9) ]= .
6
3
(2)推荐甲参加全国比赛更合适,理由如下:两人的平均成绩相等,说明实力
相当;但甲的六次测试成绩的方差比乙小,说明甲发挥较为稳定,故推荐甲
参加比赛更合适.
+(95-100)2+(97-100)2+(97-100)2+(99-100)2]÷10=9.
知识点二
根据方差进行决策
【例2】省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛,对他
们进行了六次测试,测试成绩如下表(单位:环):