苏教版五年级上册数学钉子板上的多边形课件

钉子板上 的多边形
①②③ ④
⑤
钉子板上 的多边形
“钉子板上的多边形”研究单
1. 画一画：
画4个多边形，每个多边形内有3个钉 子，即多边形内的钉子数A=3。
按照要求画出图形
收集数据整理成表
2. 填一填：
反复观察进行比较
3. 想一想： 我们发现：
发现规律并且验证
钉子板上 的多边形
谢谢
钉子板上 的多边形
钉子板上 的多边形
①②③ ④
⑤
钉子板上 的多边形
10
6
9
5.5
“钉子板上的多边形”研究单
1. 画一画：
画4个多边形，每个多边形内有3个钉 子，即多边形内的钉子数A=3。
按照要求画出图形
收集数据整理成表
2. 填一填：
反复观察进行比较
3. 想一想：
我们发现：
发现规律并且验证
钉子板上 的多边形
● 钉子板上的多边形
钉子板上 的多边形
钉子板上 的多边形
① ② ③ ④①②③⑤ ④
⑤
钉子板上 的多边形
钉子板上 的多边形
1
1617Biblioteka 1 8722
6
2
6
2 3 4 3 4 5 3 4 5 3 45
（S）
2 3
4
（N
4
）
6
7
8
钉子板上 的多边形
N=10 N=9 N=9 N=8 S=6 S=5.5 S=6.5 S=7

● 钉子板上的多边形
关系
图形编号 同学们，这个词你认识吗？
多变形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚 多边形边上的钉子数/枚 多边形边上的钉子数/枚 猜测 多变形的面积/平方厘米 猜测 多变形的面积/平方厘米
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①
②
③
④
如果多边形内有3枚、4枚、5枚…钉子， 它的面积与钉子数的关系会怎样变化？如 果多边形的内部没有钉子呢？
请先在小组内说说自己的想法，再通过围一围、算一算进行验证。
谢谢
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5÷2-1=
2
4
3
①
6
2
3
②
10
4
6
③
8
3
6
④
12
5
9
如果用S表示多边形的面积，n表示多边形上 的钉子数，a表示多边形内部的钉子数
S=n÷2-1+a
奥地利数学家皮克（Georg Alexander Pick，1859～ 1943）在1899年发现了上述规律，这个规律被称为“皮 克定理”，该定理被誉为有史以来“最重要100个的数 学定理”之一.
● 钉子板上的多边形
1厘米
1
厘 米
1 平方厘米
1厘米 厘1
米
2平方厘米 3平方厘米 3.5平方厘米 4平方厘米
1厘米
1
厘 米
1
3
图形编号
①
6
②
8
③
10
④
12
2
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2 3 4 5
图形编号
①
6
2
②
8
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③
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④
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5
如果用S表示多边形的面积，n表示多边形边上的钉子数
1
2
3
4
1
长
宽
4÷2-1=1
谢谢
1厘米
厘1
米
n=10,a=2 s=10÷2-1+2
=6
n=9,a=2
s=9÷2-1+2 n=9,a=3
=5.5
s=9÷2-1+3
=6.5
n=8,a=4
s=8÷2-1+4 =7
1厘米
1
厘 米
n=8,a=9 S=8÷2-1+9

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图形编号
① ② ③ ④
多边形的面积/平 多边形边上的
方厘米（S）
钉子数/枚（n）
2
4
3
6
3.5
7
4
8
图形中间点的个数用a来表示
当a=1时，
S =n÷2
合作交流
要求：
（1）每4人一小组，每人画一个内部有2枚钉子的多边形 （2）数一数，算一算多边形的面积和它边上的钉子数 （3）每人把获得的数据在小组内交流，并记录在表格中 （4）观察表格中的数据，小组交流：你有什么发现？
充实猜想
图形编号
① ② ③ ④
多边形的面积/平 多边形边上的
方厘米（S）
多边形的面积/
平方厘米 (s)
7 5.5
6.5
多边形边上的
钉子数/枚 (n)

钉子板上的多边形
提示：点击 进入习题
1
2
3
1．下面多边形的面积各是多少平方厘米？每个多边形 边上的钉子各有多少枚？每个多边形内的钉子各 有多少枚？数一数，算一算，将结果填入表中。
图形 编号
① ② ③ ④
多边形内的 钉子数/枚
1 1 1 1
多边形边上 的钉子数/枚
6 6 5 8
多边形的面 积/平方厘米
B．n÷2＋2 D．n÷2＋1
验证略
3．如果多边形内有3枚、4枚钉子，它的面积与它边 上的钉子数的关系会怎样变化？在钉子板上数一 数，算一算，找出规律。
图形 编号
① ② ③ ④
多边形内的 钉子数/枚
3 3 4 4
多边形边上 多边形的面积
的钉子数/枚 /平方厘米
12
8
10
7
14
10
12
9
(1)当多边形内有3枚钉子时，它的面积S与它边上的钉 子数n的关系是S＝( n÷2＋2 )。
(2)当多边形内有4枚钉子时，它的面积S与它边上的钉 子数n的关系是S＝( n÷2＋3 )。
3 3 2.5 4
(1)这些多边形的共同特点是多边形内只有( 1 ) 枚钉子。
(2)当多边形内只有1枚钉子时，这些多边形面积的 平方厘米数是它们边上钉子数的( 一半 )。
(3)用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形 的面积，那么S＝( n÷2 )。
2．如果多边形内有2枚钉子，多边形的面积与多 边形边上的钉子数又有什么关系呢？请在图 上数一数，并完成下表。
图形 编号
① ② ③ ④
多边形内的 多边形边上 多边形的面
钉子数/枚 的钉子数/枚 积/平方厘米
2
10

•
引出问题
1厘米 厘1
米
数一数，下面图形的面积？
引出问题
1厘米 厘1
米
数一数，下面图形的面积？
想一想：钉子板上多边形的面积可能 跟什么有关？
激活猜想 1㎝
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第8单元 用字母表示数
4 钉子板上 的多边形
学习目标
1.使学生在操作、观察、猜测、验证等活动中，发 现在钉子板上围出的多边形与它的边所经过的钉子 数，以及多边形内部钉子数的关系，会用含有字母 的式子表示发现的规律。
2.使学生在探索规律、发现规律和表达规律的过程 中，进一步感受数学抽象的意义，培养比较、分析 和简单推理的能力，增强发现问题、提出问题的意 识，积累数学活动经验。
2
4
3
6
3.5
7
4
8
数学是研究千变万化中不变的规律 ——开普勒
进行验证
1㎝
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a＝ 6 多我边想形 验的证面积/平方厘米
4人一组，每人画一个内部有2枚钉子的多边形。
S＝n÷2＋5
… …
回顾反思
回顾探索和发现规律的过程，你有什么体 会与经验和大家分享？
谢谢
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⑤
⑥
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合作探究
1号研究单
小组探究要求：
1.4人一组，每人画一个内部有2枚钉子的多边形。
记下多边形面积和边上钉子数，向组长汇报。
2.组长填写汇总表。
图形编3号.小多组边讨形内论部钉：子数能/枚发现多什边（形S么面）积规/平律方厘？米 用含多边有形边字上（母钉n）子的数/枚式 子①表示出来。

● 钉子板上的多边形
三角形的内角和
320。
930。 601。 （1） 1 + 2 + 3=( )° 180
找一些怎样的三角形研究才更有说服力？
三角形
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
小组活动：
1、用自己喜欢的方法验证三角形的内角和是否正好是180°。
2、和同学交流你的方法。
三角形的内角和是180度。
图形
…
名称 三角形 四边形 五边形 六边形 …
边数 内角和
3
4
5
6…
。
180
180。×2 180。×3 180。×4 …
谢谢
钝角三角形的两个锐角度数之和一定（小于）90°。 直角三角形的两个锐角度数之和一定（等于）90°。 锐角三角形的任意两个内角度数之和一定（大）于90°。
从已知三角形的两个锐角的度数你能判断它是什么三角形吗？
已知42°∠1和3∠8°2是直角三2角7°形6中3°的两个锐角80°： 56°
100°
（1）∠1=35°，∠2=（55）°
44°
（2）∠1=68°，∠2=（22）°
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
在这三类三角形中，哪一类三角形的两 个锐角的度数之和是一个确定的数？
50。
你能根据这个露出的角设计出怎样的三角形？
1
2
3
直角三角形
。50Leabharlann 90°40°。
锐角三角形 50
。
钝角三角形 50
根据三角形的内角和是180°的特点，你能推算出 四边形、五边形、六边形的内角和是多少吗？从中能发 现什么规律？
三角形的内角和是180度。
80°
90° 110°

猜测 多边形的面积/平方厘米 验证 多变形的面积/平方厘米 猜测 多变形的面积/平方厘米 请先在小组内说说自己的想法，再通过围一围、算一算进行验证。 如果多边形内有3枚、4枚、5枚…钉子，它的面积与钉子数的关系会怎样变化？如果多边形的内部没有钉子呢？ 验证 多变形的面积/平方厘米 请先在小组内说说自己的想法，再通过围一围、算一算进行验证。 想一想：你发现钉子数增加时，多边形的面积 想一想：你发现钉子数增加时，多边形的面积 验证 多变形的面积/平方厘米 验证 多变形的面积/平方厘米 验证 多变形的面积/平方厘米 如果多边形内有3枚、4枚、5枚…钉子，它的面积与钉子数的关系会怎样变化？如果多边形的内部没有钉子呢？ 如果多边形内有3枚、4枚、5枚…钉子，它的面积与钉子数的关系会怎样变化？如果多边形的内部没有钉子呢？ 如果多边形内有3枚、4枚、5枚…钉子，它的面积与钉子数的关系会怎样变化？如果多边形的内部没有钉子呢？ 请先在小组内说说自己的想法，再通过围一围、算一算进行验证。
● 钉子板上的多边形
关系
同学们，这个词你认识吗？
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