新苏教版五年级数学上册钉子板上的多边形课件

5÷2-1=1.5
6÷2-1=2
6÷2-1=2
1
2
43①源自623②
10
4
6
③
8
3
6
④
12
5
9
如果用S表示多边形的面积，n表示多边形上 的钉子数，a表示多边形内部的钉子数
S=n÷2-1+a
奥地利数学家皮克（Georg Alexander Pick，1859～ 1943）在1899年发现了上述规律，这个规律被称为“皮 克定理”，该定理被誉为有史以来“最重要100个的数 学定理”之一.
1厘米
厘1
米
n=10,a=2 s=10÷2-1+2
=6
n=9,a=2
s=9÷2-1+2 n=9,a=3
=5.5
s=9÷2-1+3
=6.5
n=8,a=4
s=8÷2-1+4 =7
1厘米
1
厘 米
n=8,a=9 S=8÷2-1+9
=12
图形，视察 数据，猜想 举例，验证 得出结论
10÷2－1 =4 10÷2－1＋1=5
● 钉子板上的多边形
1厘米
1
厘 米
1 平方厘米
1厘米 厘1
米
2平方厘米 3平方厘米 3.5平方厘米 4平方厘米
1厘米
1
厘 米
1
3
图形编号
①
6
②
8
③
10
④
12
2
4
2 3 4 5
图形编号
①
6
2
②
8
3
③
10
4
④
12

钉子板上的多边形
1cm 1cm
①
②
③
④
图形编号
① ② ③ ④
多边形的面积/ 平方厘米
2
3 3.5 4
多边形边上的钉子 数/枚
4
6 7
8
观察表格，你有什么发现吗？
动手验证：
1.围一个面积为4平方厘米的多边形。 2.数出它边上的钉子数。 3.和同桌说说自己的想法。
1cm 1cm
1cm 1cm
①
②
③
图形编 多边形内的钉子 多边形边上的钉 多边形的面积/
号 数/枚
子数/枚
平方厘米
①
2
②
2
③
2
小组合作，完成下表。
图形编 多边形内的钉子 多边形边上的钉 多边形的面积/
号 数/枚
子数/枚
平方厘米
①
2
②
2
③
2
如果多边形内有3枚、4枚钉子， 它的面积与它边上钉子数可能会有 什么样的关系？
小组活动： 1.在3枚或4枚钉子中选定一种研究的内容？ 2. 围出2个符合要求的多边形。 3.数一数、算一算，看看有什么发现，并作好 记录。
如果多边形内没有钉子，它的面积 与它边上钉子数可能会有什么样的 关系？
回顾探索和发现规律的过程， 你有什么体会？
（德）高斯
数学中的一些美丽定理具有这样 的特性:
它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深。
你知道吗？
在1899年，奥地利数学家乔 治·皮克 给出的实用而有趣的定 理——“皮克定理”。
闵嗣鹤 （1913—1973）
1cm 1cm
①பைடு நூலகம்
②
③
图形编 多边形内的钉子 多边形边上的钉 多边形的面积/

学习目标
1. 估测出不规则平面图形的面 积。
2. 同学们亲身经历估测活动的 过程，发展空间观念。
油菜实验地 小麦实验地
大豆实验地
这是我们村新 规划的实验地。
哪块实验地的 面积最大呢？
大豆实验地面积最大。
海南岛
台湾岛
台湾岛面积最大。
下面这块田的面积大约有多少平方米？ （每一方格表示平方米）
约60平方米
2
2
10
6
9
5.5
当 a=2时： s=n÷2+1
● n●=9 s=●6.5
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形边上的钉子数/枚 多边形的面积/平方厘米
（n）
（S）
3
9
6.5
当a=3时：s=n÷2+2
●● ●n=8●
s=7
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形的面积/平方厘米
（S）
多边形边上的钉子数/枚
•
2.这些材料从不同的角度呈现事物或 者主题 ，单独 看是完 整的， 合在一 起又能 够综合 地表达 意义， 它们之 间的顺 序并不 固定， 打乱了 原来的 顺序， 仍然可 以表达 原来的 意义。 所以称 之为非 连续性 文本。 具有直 观、简 明、概 括性强 、易于 比较等 特点。
•
3．材料一揭示了垃圾分类的必要性和 紧迫性 ，并对 民众的 认知与 实践情 况作了 统计； 材料二 分析了 垃圾分 类难以 有效推 进的原 因并提 出破解 之道。
下面两个小岛，谁的面积大？
（1）
（2）
图（2）的面积大。
1厘米
1
厘 米
1厘米
1

当a=1时，S=n÷2
当a=2时，S=n÷2+1
当a=3时，S=n÷2+2
……
你能用一个式子，表示出s与n之
间的关系吗？
当a=x时，S=n÷2+(x-1)
课堂小结
回顾探索和发现规律的过程，你有什 么体会？
要善于从不同的多变形中找到它们的相同点。
用含有字母的式子表示规律，简明易记。
探索规律时，要认真观察、反复比较，发 现规律后要验证。
贴近教学 服务师生 方便老师
义务教育教科书苏教版
五年级 数学 上册
第八单元 用字母表示数
4 钉子板上 的多边形
学习目标
1.使学生在操作、观察、猜测、验证等活动中，发 现在钉子板上围出的多边形与它的边所经过的钉子 数，以及多边形内部钉子数的关系，会用含有字母 的式子表示发现的规律。
2.使学生在探索规律、发现规律和表达规律的过程 中，进一步感受数学抽象的意义，培养比较、分析 和简单推理的能力，增强发现问题、提出问题的意 识，积累数学活动经验。
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①
②
③
④
充实猜想
1㎝
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1㎝
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11
2024/10/25
12
边上钉子数：6 边上钉子数：9 n：8 面积是：3 面积是：4.5 S：5
5
请你画一个部有2枚钉子的多边形，并数出边上的 钉子数，算出它的面积。
1cm
1cm
①
②
图形编号
① ② ③
多边形边上的钉 多边形的面积 子数（枚）n （平方厘米）s
10
6
9
5.5
8
5
6
2024/10/25
7
1cm 1cm
S=n÷2+a-1 S=n÷2+a-1 S=n÷2+a-1
6÷2+1-1 9÷2+2-1 9÷2+3-1
S=3cm2
S=5.5cm2 S=6.5cm2
8
9
10
闵嗣鹤 著
第1章 什么是格点 第2章 我们的中心问题 第3章 面积的近似计算 第4章 格点多边形的面积公式 第5章 格点多边形面积公式的证明 第6章 另外一个问题的提出 第7章 重叠原则 第8章 有理数和无理数 第9章 用有理数逼近无理数 第10章 小数部分{ka}的分布 第11章 另一种重叠原则 第12章 数的几何中的基本定理
苏教版 五年级上册
1
1cm 1cm
3cm2
5.5cm2 6.5cm2
2
图形编号
① ② ③ ④
多边形的面积 （平方厘米）
多边形边上的钉子 数（枚）
3
1cm 1 1cm
2 ①3 4
②
③
④
图形编号
① ② ③ ④
多边形的面积 （平方厘米）
2 3 3.5
4
多边形边上的钉子 数（枚）
4 6 7 8
4
1cm 1cm

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②
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a S n 图形编号 多边形内部的钉子数/枚 多边形的面积/平方厘米多边形边上的钉子数/枚
4
7
8
②
4
9
12
当a=4时,S=n÷2+3
返回
钉子板上的多边形
概括规律 当a=1时，S=n÷2 当a=2时，S=n÷2+1 当a=3时，S=n÷2+2 ……
你能用一个式子，表示出S与n之间的关系吗？
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①
②
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n=10 ●
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n=9 ●
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S=6 ●
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S=5.5 ●
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5
精选课件
6
1cm 1cm
S=n÷2+a-1 S=n÷2+a-1 S=n÷2+a-1
6÷2+1-1
S=3cm2
9÷2+2-1 9÷2+3-1
S=5.5cm2 S=6.5cm2
精选课件
7
精选课件
8
精选课件
9
闵嗣鹤 著
第1章 什么是格点 第2章 我们的中心问题 第3章 面积的近似计算 第4章 格点多边形的面积公式 第5章 格点多边形面积公式的证明 第6章 另外一个问题的提出 第7章 重叠原则 第8章 有理数和无理数 第9章 用有理数逼近无理数 第10章 小数部分{ka}的分布 第11章 另一种重叠原则 第12章 数的几何中的基本定理
4 6 7 8
精选课件
4
1cm 1cm
边上钉子数：6 边上钉子数：9 n：8
面积是：3 面积是：4.5 S：5
精选课件
5
请你画一个内部有2枚钉子的多边形，并数出边上的 钉子数，算出它的面积。1cm1cm Nhomakorabea①
②
图形编号
① ② ③
多边形边上的钉 多边形的面积
子数（枚）n （平方厘米）s
10
6
9
5.5
8
精选课件
10
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苏教版 五年级上册
精选课件
1
1cm 1cm
3cm2
5.5cm2 6.5cm2
精选课件
2
图形编号
① ② ③ ④
多边形的面积 （平方厘米）
多边形边上的钉子 数（枚）

4.
8
55
你们小组有什么发现？先在全班 交流，再把表示多边形面积与它 边上钉子数关系的式子填写完整。
当多边形内有2枚钉子 n÷2+
时，S=
1
如果多边形内有3枚、4枚……钉 子，它的面积与它边上钉子数的 关系会怎样变化？如果多边形内 没有钉子呢？
● n●=9 s●=6.5
图形 编号
多边形内部的钉
…… 当 a=m时：n÷S=2+m-1
先在小组里说说自己的想法，再通过围一围、 算一算进行验证。
回顾探索和发现规律的过程，你有 什么体会？
要善于从不同的多边形中找到它
们的相同点。
探索规律时，
用含有字母的
要认真观察、
式子表示规律， 反复比较，
简明易记。
发现规律后
要验证。
间钉子数之间的规律。
【难点】探索并表达规律。
同学们：你能数出或用公 式计算出上面多边形的面 积吗？
2
4
3
6
3.5
7
4
8
这些图形还 有什么共同 特点？
这些多边形面积的平方厘米数是它们 边上钉子数的一半。
这些多边形， 边上的钉子数 越多，面积就 越大。
图形内都只 有1枚钉子。
多边形内只有1枚钉子时，它的面积与 它边上的钉子数有什么关系？
钉子板上的多边形 第1课时
苏教版 数学 五年级 上册
课堂导入-新知探究-课堂练习-课堂小结-课堂作业
苏教版 数学 五年级 上册
1.经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程， 发现皮克公式。 2.初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量 的变化规律的科学思维方法。 3.能类比迁移探求问题的方法，尝试拓展研究同类 新问题 【难点】得出多边形的面积与边上钉子数和多边形中

第八单元
用字母表示数
4 钉子板上 的多边形
学习目标
1.使学生在操作、观察、猜测、验证等活动中，发 现在钉子板上围出的多边形与它的边所经过的钉子 数，以及多边形内部钉子数的关系，会用含有字母 的式子表示发现的规律。
2.使学生在探索规律、发现规律和表达规律的过程 中，进一步感受数学抽象的意义，培养比较、分析 和简单推理的能力，增强发现问题、提出问题的意 识，积累数学活动经验。
用含有字母的式子表示规律，简明易记。
探索规律时，要认真观察、反复比较，发 现规律后要验证。
“部编本”语文教材解读 “部编本”语文教材的编写背景。 （一）教材要体现国家意识、主流意识形态、党的认同，体现立德 树人从娃娃抓起。 （二）体现核心素养，中国学生发展核心素养包括社会责任，国家 认同、国际理解、人文底蕴、科学精神、审美情趣、学会学习、身 心健康、实践创新。 （三）语文、道德与法制、历史三个学科教材统编是大趋势。 （四）“一标多本”教材质量参差不齐，“部编本”力图起到示范 作用。 二、“部编本”教材的编写理念： （一）体现核心价值观，做到“整体规划，有机渗透”。 （二）接地气，满足一线需要，对教学弊病起纠偏作用。提倡全民 阅读，注重两个延伸：往课外阅读延伸，往语文生活延伸。 （三）加强了教材编写的科学性，编研结合。 （四）贴近当代学生 生活，体现时代性。
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⑤
⑥
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●●Leabharlann ●●●●
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图形编号 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
⑤
4
8
⑥
6
10
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①
②
③
④
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● 钉子板上的多边形
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· · ··
乔治 ·皮克
皮克定理
1㎝
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1㎝
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5.一切表现形式都应该是创造的成果 。今天 的浪漫 或许是 明天的 现实， 当下的 现实也 可能是 昨天的 浪漫。 重要的 是我们 的作品 是否揭 示生命 本质， 精神是 否向真 向善向 上，以 及手上 的“主 义”是 否与我 们的诉 求达成 一致。
•
6.而批评要做的，就是把真正的创造 性成果 点亮， 让不同 形式、 不同风 格、不 同创造 性诉求 的佳作 ，在反 复的研 读与辨 析中沉 淀价值 。
亲爱的同学们，再见！
•
2.但与此同时，诗歌批评庸俗化的趋 势越来 越明显 ，不少 诗歌批 评为了 应酬需 要，违 心而作 ，学术 含量可 疑，甚 至堕落 为诗人 小圈子 里击鼓 传花的 游戏道 具。这 类批评 对诗歌 创作来 说类同 饮鸩止 渴，还 不如索 性没有 的好。
•
3.批评文章却写得天花乱坠，一再上 演“皇 帝的新 衣”闹 剧。这 些批评 牵强附 会、肆 意升华 ，外延 无限扩 张，乃 至另起 炉灶， 使批评 成为原 创式的 畅想， 早已失 去了与 原作品 的联系 。
数/颗 （n） /颗 （a）
厘米
（S）
3
0
0.5
4
0
1
5
0
1.5
6
0
2
观察多边形边上的钉子数和面积，你们有什么发现？
1厘米 1
厘 米
（7－2）×0.5＝2.5（平方厘米） （7－2）×0.5＝2.5（平方厘米）
1厘米
1
厘 米
（8－2）×0.5＋3＝6（平方厘米）
背景介绍
☆ 皮克，1859~1943年，奥地利数学家。
☆ 1889年发现了S、n、a 三者数量关
系的“皮克公式”，并进行了证明，得 到“皮克定理”。

13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8. 921.8.9 00:58:3 100:58: 31August 9, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。202 1年8月 9日星 期一上 午12时5 8分31 秒00:58: 3121.8. 9
当a=1时，S=n÷2 当a=2时，S=n÷2＋1 当a=3时，S=n÷2＋2 当a=m时，S=n÷2＋m－1
课堂练习
1.利用公式计算下图中多边形的面积（1个小正方形是1平方厘米）
解析：这道题是对教材内容的巩固，利用公式s=n÷2＋m－1，然 后根据找到公式中的字母在这道题中所表的数字进行计算。
s=n÷2＋m－1 =12÷2+9-1=14（平方厘米）
•
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
•
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
S=n÷2
面积=钉子数÷2

a＝ 6 多我边想形 验的证面积/平方厘米
4人一组，每人画一个内部有2枚钉子的多边形。
S＝n÷2＋5
… …
回顾反思
回顾探索和发现规律的过程，你有什么体 会与经验和大家分享？
谢谢
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⑤
⑥
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合作探究
1号研究单
小组探究要求：
1.4人一组，每人画一个内部有2枚钉子的多边形。
记下多边形面积和边上钉子数，向组长汇报。
2.组长填写汇总表。
图形编3号.小多组边讨形内论部钉：子数能/枚发现多什边（形S么面）积规/平律方厘？米 用含多边有形边字上（母钉n）子的数/枚式 子①表示出来。

（4）将数据填入下表。
多边形内的钉子 多边形边上的钉 多边形的面积/
数/枚
子数/枚
平方厘米
独立探究
内部钉子数
1 2 3 4 5
多边形的面积 边上钉子数
S=
S=
S= S= S=
n ÷2 n ÷2 +1
n ÷2 +2 ？ n ÷2 +3 ？ n ÷2 +4 ？
独立探究
3 我研究的是 ：多边形内有
枚钉子
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n=8 n=10 n=10 ●
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猜想： S=4 S=5 S=5 ●
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： ●
验证
4×2÷2 2×2=4 （2+3）×1÷2 ●
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●
我的结论是 ：当多边形内有
枚钉子时，S=
归纳规律
内部钉子数
1 2 3 4 5
多边形的面积 边上钉子数
S=
S=
S= S= S=

1厘米
1厘米
① 当a=②3时：s=n③÷2+2 ④
表格三
图形 编号
①
②
③
④
多 边 形 内 的 多 边 形 边 上 的 多边形的面积/cm²
钉子数/枚 a 钉子数/枚 n
S
3
4
4÷2+2=4 4
3
12
12÷2+2=8 8
4
14
14÷2+3=10 10
4
6
6÷2+3=6 6
当a=4时：s=n÷2+3
a
米
表格三 图形 多 边 形 内 的 多 边 形 边 上 的
编号 钉子数/枚 a 钉子数/枚 n ① ② ③ ④
多边形的面积/cm²
S
1厘米
1厘米
表格三
①
图形 编号
①
②
③
④
②
③
多边形内的 多边形边上的
钉子数/枚 a 钉子数/枚 n
④
多边形的面积/cm²
S
小组合作：
1.组长分配任务，最后组长汇总填写表格。 2.小组讨论，多边形的面积与它边上得钉子数有什么关系？ 3.再把字母关系式写完整。
钉子数/枚 a 钉子数/枚 n 2 2 2
多边形的面积/cm²
S
1厘米
1厘米
①
表格二 图形 编号 ①
②
③
②
③
多边形内的 多边形边上的
钉子数/枚 a 钉子数/枚 n 2
2
2
多边形的面积/cm²
S
小组合作：
1.组长分配任务，最后组长汇总填写表格。 2.小组讨论，多边形的面积与它边上得钉子数有什么关系？ 3.再把字母关系式写完整。

钉子板上 的多边形
钉子板上 的多边形
①②③ ④
⑤
钉子板上 的多边形
10
6
9
5.5
“钉子板上的多边形”研究单
1. 画一画：
画4个多边形，每个多边形内有3个钉 子，即多边形内的钉子数A=3。
按照要求画出图形
收集数据整理成表
2. 填一填：
反复观察进行比较
3. 想一想：
我们发现：
发现规律并且验证
钉子板上 的多边形
● 钉子板上的多边形
钉子板上 的多边形
钉子板上 的多边形
① ② ③ ④①②③⑤ ④
⑤
钉子板上 的多边形
钉子板上 的多边形
1
16
17
1 87
2
2
6
2
6
2 3 4 3 4 5 3 4 5 3Fra bibliotek45（S）
2 3
4
（N
4
）
6
7
8
钉子板上 的多边形
N=10 N=9 N=9 N=8 S=6 S=5.5 S=6.5 S=7
钉子板上 的多边形
①②③ ④
⑤
钉子板上 的多边形
“钉子板上的多边形”研究单
1. 画一画：
画4个多边形，每个多边形内有3个钉 子，即多边形内的钉子数A=3。
按照要求画出图形
收集数据整理成表
2. 填一填：
反复观察进行比较
3. 想一想： 我们发现：
发现规律并且验证
钉子板上 的多边形
谢谢

第 8 单元 用 字 母 表 示 数
第 6 课时 钉 子 板 上 的 多 边 形
1厘米
1
厘 米
1厘米
1
厘 米
绿色圃小学教育网 绿色圃中学资源网
1厘米 1
1
厘 米
16 2
17
2
6
187
2
6
3
3 45
2
4
3 45
3 45
图形编号
多边形的面积/平方厘米
（S） 2
多边形边上的钉子数/枚
（n） 4
3
6
3.5
2022/5/82022/5/8 • 16、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年5月2022/5/82022/5/82022/5/85/8/2022 17、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
You made my day!
我们，还在路上……
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形边上的钉子数/枚
（n）
多边形的面积/平方厘米
（S）
2
2
10
6
9
5.5
当 a=2时： s=n÷2+1
● n●=9 s=●6.5
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形边上的钉子数/枚 多边形的面积/平方厘米
（n）
（S）
3
9
6.5
当a=3时：s=n÷2+2
●● ●n=8●
s=7
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形的面积/平方厘米
（S）
多边形边上的钉子数/枚