山西太原市2013届高三年级调研考试数学(理)试题
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山西省太原市
2012～2013学年高三年级调研考试
数学（理）试题
说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题时间120分钟，满分150
分．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式： 样本数据X 1，X 2，…，x n 的标准差 锥体体积公式
V= 1
3Sh
其中x
为样本平均数
其中S 为底面面积，h 为高
柱体体积公式 球的表面积，体积公式
V=Sh
S= 4πR 2,V=
343
R π 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的） 1．复数31i
i
-+（i 为虚数单位）的共轭复数为
A ．1－2i
B ．1+2i
C ．-1－2i
D ．-1+2i
2．已知全集U=R ，集合A={x | x 2－3 ≥0}，B= {x|1<x<3}，则A ()U B ð=
A ．R
B ．{x|x≤或x
C ．{x|x≤1或x ≥
D ．{x|x≤3}x ≥
3．下列命题中的真命题是
A ．若a>b>0，a>c ，则a 2> bc
B ．若a>b ，n ∈N *，则a n >b n
C ．若a>b>c ，则a|c|＞b|c|
D ．若a>b>0，则1na<1nb
4．已知cos （α－
2
π）=παπ<<2,53，则sin(4πα+)=
A ．102
7-
B ．
10
2
7 C ．-
10
2 D ．
10
2
5．执行右边的程序框图，若输入x 的值依次是： 75，67，89，55，53，93，58，86，88，94，
则输出m 的值为 A ．3
B ．4
C ．6
D ．7 6．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题；
其中真命题的是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④
7．某同学一次考试的7科成绩中，有4科在80分以上．现从该同学本次考试的成绩中任选3科
成绩，则所选成绩中至少有两科成绩在80分以上的概率为
A ．
35
22 B ．
35
18 C ．
7
2 D ．
35
4 8．如图，在矩形OABC 中，点E ，F 分别在AB ，BC 上，且满足AB=3AE ，BC=3CF ，若
=λ+),,(R ∈μλμ则μλ+=
A ．38
B ．23
C ．3
5
D ．l
9．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若B=2A ，则a
b
的取值范围是 A ．(0，2) B ．(1，2)
C ．（
,22）
D ．（
,23）
10．已知=OA (2，1)，OB =（1，2），将OB 绕点O 逆时针旋转6
π
得到OC ，则OA ·OC =
A ．2
3－2
3
B ．2
3+2
3
C ．2－
2
3
3 D ．2+
2
3
3 11．．几何体ABCDEP 的三视图如图，其中正视图为直角梯形，侧视图为直角三角形，俯视图为正
方形，则下列结论中不成立．．．的是 A ．BD ∥平面PCE B ．AE ⊥平面PBC C ．平面BCE ∥平面ADP D ．CE ∥DP 12．已知定义域为R 的函数y=f(x)在[0，7]上只有l 和3两个零
点，且y=f(2-x)与y=(7+x)都是偶函数，则函数y=f(x)在[-2013，2013]上的零点个数为 A ．804 B ．805 C ．806
D ．807
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
说明：本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第2l 题为必考题，每个试题考生都必须做答，
第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2．答卷前将密封线内项目填写清楚。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．由曲线x=0，y=e 2，y=e x （e 是自然对数的底数）围成的封闭图形的面积为 。
14．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-+≤+-,0,052,01x y x y x 则z=x+y 的最大值为 。
15．已知三棱锥P －ABC 的底面是边长为3的等边三角形，PA ⊥底面ABC ，PA =2，则三棱锥P －
ABC 外接球的表面积为____ 。
16．给出下列四个命题：
①函数f(x)=e x + e －
x 有最小值2； ②函数f(x)=4sin(2x 3
π
-)的图像关于直线x=
12
11π
对称； ③若（2x －1）6=66221x a x a x a a o
++++ ，则16321=++++a a a a ；
④已知定义在R 上的可导函数y=f(x)满足：对x ∀∈R ，都有f(-x)=－f(x)成立，若当x>0时，
f '(x)>0，则当x<0时，f '(x)>0。
其中正确命题的序号是____ ．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 阅读右边的程序框图（图中n ∈N *），回答下面的问题。
（Ⅰ）当n=3时，求S 的值； （Ⅱ）当S<100时，求n 的最大值。
18.（本小题满分12分）
已知a=（sin2x ，2cos 2x-1），b=(sin θ，cos θ)(0<θ<π)，函数f(x)=a·b 的图象经过点（
6
π
，1）． （Ⅰ）求θ及f(x)的最小正周期； （Ⅱ）当x ∈]4
,6[π
π-时，求f(x)的最大值和最小值。
19．（本小题满分12分）
为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念，某市建立了公共自行车服务系统，鼓励市民租用公
共自行车出行。
公共自行车按每车每次的租用时间进行收费，具体收费标准如下： ①租用时间不超过1小时，免费；
②租用时间为1小时以上且不超过2小时，收费1元； ③租用时间为2小时以上且不超过3小时，收费3元；
④租用时间超过3小时，按每小时3元收费（不足l 小时的部分按1小时计算）．
甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙
租用时间不超过一小时的概率分别是0.6和0.7;有租用时间为1小时以上且不超过2小时的概
率分别是0.3和0.2.。
（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ。
20．（本小题满分12分） 已知矩形ABCD 中，AB=2AD=4，E 为CD 的中点，沿AE 将△ADE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE 。
（Ⅰ）求证：平面BDE ⊥平面ADE ； （Ⅱ）求二面角B －AD －E 的余弦值．
21.（本小题满分12分） 已知函数f(x)=1nx －
2
1ax 2
－bx(a ∈R ，b ∈R)． （Ⅰ）当b=1时，若y=f(x)存在单调递减区间，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若函数y=f(x)有两个不同的零点x 1，x 2，求证：
0)2
(
2
1<+'x x f 。
说明：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，写清题号。
如果多做，则按所做第一题记分。
22.（本小题满分10分） 选修4－1:几何证明选讲。
如图，⊙O 1与⊙O 2相交于点A ，B ，⊙O 1的切线AC 交⊙O 2于另一点C ，⊙O 2的切线AD 交⊙O 1
于另一点D ，DB 的延长线交⊙O 2于点E 。
（Ⅰ）求证：AB 2=BC·BD;
（Ⅱ）若AB =1，AC =2，AD=
2，求BE 。
23.（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C ：y 2= 4x ，直线l 过点P （-1，-2），倾斜角为30o ，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两
点。
（Ⅰ）求直线l的参数方程；
（Ⅱ）求|PA |·|PB|的值。
24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知f(x) =|x+l|+|x-2|,g(x)=|x+l |－|x－a|+a(a∈R)。
（Ⅰ）解不等式f(x)≤5；
（Ⅱ）若不等式f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围。
