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例谈中学数学中的探究性问题诸暨市浣江幼教

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例谈中学数学中的探究性问题

钱央君 数理学院 数学教育031专 指导老师：兰春霞

摘要：随着课程改革和新课标的实施，探究性问题随之进入课堂，成为教师的一门必修课。求解此类问题具有一定的综合性。本文就中学阶段的四类探究性问题作一些具体的探求。

关键词：中学数学 ； 探究 ； 探究性学习 ； 探究性问题

波利亚在他的著作中体现出的三个学习原则中的（1）如果“头脑不活动起来，是很难学到什么东西的，也肯定学习不到更多的东西”；（2）“学东西的最好途径是亲自去发现它”。探究性问题既可考查学生想象能力和探究能力，又能反映学生的创造性思维，具有一定的综合性。而探究性学习是培养学生主动学习，提高综合素质的一种行之有效的方法。所谓的探究性学习就是指主要以培养学生的数学创新精神和创造能力为目的的活动课程。本文抓住重点，从实际出发对探究性问题作一些具体的探求。列举了一些较典型的例子进行分析，求解。

1、执因索果，直接探求

此类题目较简单，也是最基本的。它常常只需根据已知量及其它们之间的关系，综合运用所学知识，求出未知量。此类问题常用于基本的代数、几何题中。

例1 据我国古代周髀算经记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五。后人概括为“勾三、股四、弦五。”

（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；„„，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过。计算1(91)2，1(91)2与1(251)2，1(251)2，并根据你发现规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；

（2）根据（1）的规律，用n（n为奇数且n3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合理猜想他们之间两种关系，并对你的猜想加以证明；

（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；„„，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过。运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且m4）的代数式来表示他们的股和弦。

解：（1）∵1(91)42，1(91)52；

1(251)122，1(251)132；

∴ 7，24，25的股的算式为

211(491)(71)22

弦的算式为

211(491)(71)22

（2）当n为奇数且n3时，勾、股、弦的代数式分别n，12（n2-1），12（n2+1）

关系式1，弦-股=1；关系式2，勾2+股2=弦2

证明关系式1：弦-股=12（n2+1）-12（n2-1）=12[（n2+1）-（n2-1）]=1

证明关系式2：勾2+股2=n2+[12（n2-1）]2=[12（n2+1）]2=弦2

 猜想得证

（3）探索得，当m为偶数且m4时，股、弦的代数分别为（2m）2-1，（2m）2+1。

例2（2005年金华中考题）

如图，在矩形ABCD中，AD=8，点E是AB边上的一点，AE=22。过D、E两点作直线PQ，与BC边所在直线MN相交于点F。

（1）点G是线段AD上的一个动点（不运动至点A、D），GH⊥DE，垂足为H。设DG为x，四边形AEHG的面积为y，请求出y与x之间的函数关系式。

（2）如果AE=2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O与直线PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切。问满足条件的⊙O有几个？并求出它们的半径。

Q

A D

E H

M F B C N

P

图1

解：（1）由矩形ABCD可得△AED是直角三角形

∵AE=22 ，AD=8 ∴DE=62

∵GH⊥DE ∴△DHG也是直角三角形

又∵∠HDG=∠ADE ∴△DHG∽△DAE

∴DHAD=DGDE ∴DH=DGDEAD=62x·8=223x

同理可得 3xGH 而1228822AEDS

212222339DHGxxxS

∴y82-229x

（2）有4个。①若O在MB上且与PQ、AB相切，记为O1 ，半径为r1 。

∴1FOFE=1EOBE ∵2AEEB ∴2EB

∵FEBAED DAEFBE∴AED∽FEB

∴FBBE=ADAE ∴82422ADFBBEAE

∴32EF 而111OEOBr∴114FOr

∴1432r=12r ∴11r

②若O在BC上且与PQ、AB相切，记为O2 ，半径为r2 。

同①可得 r2 =2

③若O在BC上且与PQ、CD相切，记为O3 ，半径为r3 。

可求得 r3 =3

④若O在BN上且与PQ、CD相切，记为O4 ，半径为r4 。

可求得 r4 =6

2、特例测探，由特殊到一般

通过对特殊情况的观察、猜想、归纳、探索出一般的情况，从而使问题一般化，简单化。下面就数列中的规律性话题及代数中比较两个代数式大小的问题举两个代表性的例子进行分析，求解。

例3.1 求数列9，99，999，9999，„„的前n项和

解：仔细观察题目，因为它既不是等差也不是等比数列，所以不能用等差或等比数列的求和公式来解决。如果能适当转化一下也许就能解决了。9最接近10，99最接近100，999最接近1000，而10，100，1000是等比数列。

∴nnS= 9 + 99 + 999 + + 999 9 =(10-1)+(100-1)+(1000-1)+ +(10-1)

1234n10109 =(10+10+10+10++10) -n = 9nn

问题已经顺利解决，对于像这样一类既不是等差也不是等比数列的数列求和问题可以运用转化的方法把它化归为我们比较熟悉的等比数列或等差数列来进行求解。

例3.2 如果把9改为3，即 求3，33，333，3333，„„的前n项和

解：9是3的倍数 n S= 3+33+333+3333++3333

则 n3S = 9+99+999+9999++9999

1234n10109 =(10+10+10+10++10) -n = 9nn

9和3是特殊数字，若改为其他数字呢？

例3.3 比如 求4，44，444，4444，„„的前n项和

解： nS= 4+44+444+4444++444

则 94nS= 9+99+999++9999 = 1101099nn

n S= 14(10109)81nn

前面已经解决了关于数字9和3的问题，对于数字为3的问题可以乘3变为9的问题，而其他数字都可以变为数字9的问题来解决，比如4可以乘以94，5可以乘以95，这样任何数字问题就能解决了。

以上解决的是一位数的情况，如果是两位数怎么办？

例3.4 如 求数列12，1212，121212，„„的前n项和

有了以上两题的求解做准备，此题也不难想到通过化归的数学思想，可以归结为同一类题，进而使该题简单化。

解：1212121212121212nS

22412(121210)(1212101210)241212101210

62462(1)1210121210121012101210n

2462(1)12(1)1210(2)1210(3)12101210nnnnn

∴210nS246821210(1)1210(2)1210(3)12101210nnnnn

210nS-nS246821210121012101210121012nn

246212(10101010)12nn

∴nS22222121010()101110nn

如果是三位数又该怎么办？

例3.5 如 求247，247247，247247247，„„的前n项的和

解： 根据上面的规律不难想到 nS=333332471010()101110nn

推论：如果重复数字是k位数时，归纳出nS的表达式

nS=1010()101110kknkkkan

例4 试比较2121nn与2211nn的大小

解：由2121nn=1-221n，2211nn=1-221n可知，

比较2121nn与2211nn的大小，只需比较2n与2n的大小

经计算得，1n时，1221；2n时，2222；3n时3223；

4n时，4224；5n时，5225；6n时，6226；„„

由此猜想 当5n时，22nn，

证明：（1）当5n时，因为5232，2525，而3225，

所以22nn成立

（2）假设nk（k5）时，22kk成立。

则当1nk时，122222kkk，

而22222(1)21(1)20kkkkk(5)k

所以122(1)kk成立

即1nk时，122(1)kk成立

所以5n对一切，22nn成立

综上得：当n=2或4时，2121nn=2211nn；

当3n时，22211211nnnn；当1n或5n时，22211211nnnn。

3、在探求中思疑，在思疑中启悟

求解最值问题有很多种方法，运用均值不等式求解是最基本的，也是最常用的。对于这类问题的求解要谨慎，一不留神就会出错。

例5 已知a，bR＋，a+b=1 求证（a+1a）（b+1b）254

思路1 直接用均值不等式

∵a，bR＋ ∴a+1a2 ，b+1b2 „„„„„„ ①

∴ （a+1a）（b+1b）22=4

思路1失败，于是再作新的尝试

思路2 展开后再用均值不等式

（a+1a）（b+1b）=ab+1ab+ba+ab

∵a，bR＋ ∴ab+1ab2 ba+ab2 „„„„„„ ②

仍然只能证出（a+1a）（b+1b）4

尝试再度失败

反思：观察发现①中a+1a2 ，当且仅当a=1时取等号

同理b=1时才有b+1b2取等号

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例谈初中数学探究性教学

例谈初中数学探究性教学

2016年第47期（总第311期）N·课程改革·

所谓探究式教学，就是以探究为主的教学。具体说它是指教学过程是在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以现行教材为基本探究内容，以学生周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，将自己所学知识应用于解决实际问题的一种教学形式。数学探究式教学，就是教师引导学生以探究的方式教学，这种教学方法强调从学生以有的生活经验出发，让学生充分自由表达、质疑、探究、讨论问题，从而主动地获取知识并运用知识解决问题，目的是使学生在创新能力、情感态度和价值观等方面得到发展。探究式课堂教学特别重视开发学生的智力，发展学生的创造性思维，培养自学能力，力图通过自我探究引导学生学会学习和掌握科学方法，为终身学习和工作奠定基础。教师作为探究式课堂教学的导师，其任务是调动学生的积极性，促使他们自己去获取知识、发展能力，做到自己能发现问题、提出问题、分析问题、解决问题；与此同时，教师还要为学生的学习设置探究的情境，建立探究的氛围，促进探究的开展，把握探究的深度，评价探究的成败。学生作为探究式课堂教学的主人，自然是根据教师提供的条件，明确探究的目标，思考探究的问题，掌握探究的方法，敞开探究的思路，交流探究的内容，总结探究的结果。由此可知，探究式课堂教学是教师和学生双方都参与的活动，他们都将以导师和主人的双重身份进人探究式课堂。一、创设问题,激发学生探究兴趣创设问题情景，使抽象的问题形象化，又贴近学生，能提起学生解决问题的兴趣。比如：老师：同学们喜欢足球吗？我们今天来研究一个足球问题，好吗？[问题1]足球的积分如下:比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分；辽宁队在第一轮的赛中共赛9场，得17分，它在这一轮只负了2场，那么辽宁队胜了几场？又平了几场？老师：对这个问题同学们能用几种方法来解？让学生独立思考，让他们按自己思考的方法来回答，教师根据学生的具体回答来调整课堂教学的程序。如果学生先用算术方法来解：辽宁队胜的场数为(17-7)÷(3-1)或列一元一次方程解出问题如：辽宁队胜的场数为x，则平的场数为(7-x），所列方程为3x+(7-x)=17，然后引导学生探索建立二元一次方程及其解的概念。说明：如果学生本身的基础知识掌握较好，已经发现用字母“x”和“y”来表示辽宁队胜、平的场数，并且列出了两个方程，那么教师就按学生的思路，对照问题与所列方程和学生一起演示由实际问题到列方程这一数学知识的建立过程，目的是既注重个性发展的同时，又要照顾个体的差异。二、引导学生探索欲望1.学生从胜和平的场数之和的关系中得到等式x+y=7，与得分关系式得到等式3x+y=17，后设问：（1）对于x+y=7中，如何用x来表示平的场数(即y)？（2）其中x可以取哪些值？y又可以取哪些值？能否任意取值？（3）它与一元一次方程有哪些异同点？设问的目的是：①学生在思考的过程中理解x，y的取值是成对的。②用x的代数式表示y，使学生的思维有消元意识，为下一节打下伏笔。③两者共同点是“整式”、“未知数的次数都是一次”,不同点是“有两个未知数”,学生在思考回答的过程中可以根据已有的一元一次方程的知识，建构出二元一次方程的概念。④在检验符合方程两边的值时，学生归纳出方程的解的概念。2.引导学生用方程的解去检验其中的数量关系，由此探索得出两个方程要同时满足，就应联系起来，引导学生用类比的思想，把它们称为二元一次方程组，从而从中推断出二元一次方程组的解的概念，同时也提示了二元一次方程的解和二元一次方程组的解之间的区别与联系，两者对比起来讨论，培养学生的类比思想，然后由学生根据已得出的方程组归纳二元一次方程组的特征。（1）整式；（2）二元；（3）一次。方程组的解的特征:“要同时满足两个方程”“未知数的值是一对”三、解题后的反思1.本节课按“以学生为本”的原则，兼顾个体差异，利用学生对喜闻乐见的“足球比赛”创设问题情景，采用不同的自己愿意应用的方法来解决问题，使学生感到数学就在身边，数学问题是“现实的”、“有意义的”、“富有挑战性的”,让学生觉得数学有趣、有用、好玩，学会主动探索，合作交流。2.教师既要有意识、有计划地设计教学过程，引导学生体会数学之间的联系，感受数学的整体性，又要不断丰富解决问题的策略。在具体的教学课堂中教师不能把教案的思路强加给学生，而应该根据学生的具体思维反应，及时调整教学活动，发挥学生的主体作用。总之，“探索性学习”旨在将学习更多地看作一个解决问题的过程，让学生掌握解决问题的方法。由对知识的认识过程转化为对问题的探索过程；由对知识的认知掌握转化为对问题的研究解决，这样才能使学生在复杂的社会环境中用探究科学的态度与方法去认识、发现、改变与创造，真正使今天的学习变为明天参与和改造社会的基础。通过采取探究性学习方式实施的数学教学，不仅可以促进学生学习数学，掌握和运用现代教学的学习方式，学会主动学习，而且可以促进数学教师的教学观念和教学行为方式的改变，学会指导学生学会自主学习，促进教师综合素质的提升，教学能力，研究能力的提高。例谈初中数学探究性教学袁玉娇（云南省大理州南涧县乐秋中学，云南大理671000）摘要探究性课堂教学是在教师指导下，学生运用探究方法进行学习，主动获取知识，发展能力的课堂活动。教学程序是：从问题出发，通过探究、猜想、归纳、证明，从而使问题得到解决。关键词探究式教学；问题；反思中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1002-7661（2016）47-0150-01

初中数学探究式教学与研究

初中数学探究式教学与研究

初中数学探究式教学与研究

发布时间：2021-03-25T11:00:03.107Z 来源：《教学与研究》2020年第32期 作者： 王兆龙

[导读] 当前初中数学课堂，往往是灌入式教学，老师是主动的施教者，学生则是灌输对象，多以被动接受式学习为主

王兆龙

山东省诸城市枳沟初级中学

当前初中数学课堂，往往是灌入式教学，老师是主动的施教者，学生则是灌输对象，多以被动接受式学习为主。因此，改革教学模式迫在眉睫，在教学实践中，我研究了探究式教学。

初中数学“探究式”教学指，以教师为指导、以学生为主体进行的自主、合作、探究学习的新型教学模式。 在初中数学的教学实践活动中，

教师积极做好指导工作，引导学生将已经掌握的数学知识应用到实际中解决具体的现实问题，在初中阶段培养学生的自主探究、创新和实

践的综合能力。

探究式教学，充分尊重学生的主体地位，在激发学生学习兴趣的基础上，教师进行启发式教学，引导学生自主学习，主动探究知识。在发现问题、提出问题、解决问题的过程中理解知识，掌握知识，其目的在于，通过探究式数学教学，让学生在接受数学知识的同时，树

立自主学习的信念，主动学习自行获取数学知识的方法，进而获得终身受用的数学知识和探索能力。

探究式教学是指在教师的组织下，通过观察事物、发现问题，提出假设或猜想，经过调查、实验，搜集资料，建立模型，通过分析、思考、表达、交流与反思等活动，实现每名学生科学、全面、可持续发展。

一、初中数学探究式教学的重要性

1、探究式教学模式，改变了传统初中数学课堂的灌输式教育，还学生课堂主体地位，教师主要发挥引导作用，着重培养学生独立思考、逻辑思维与分析问题的能力。同时，探究式教学注重问题和情境的设计，在数学实验、游戏、表演等动手实践中，改变学生对知识的

机械记忆，加深对抽象知识的直观感受；注重数学的实际应用，引导学生自主探索、合作交流，通过运用数学知识解释自然现象、解决生

活中的实际问题，体会数学的应用价值，提高数学学习的积极性。

初中数学探究式教学探析

初中数学探究式教学探析

ｌ教学研究　２０１３年第２期（总第１７４期）　

初中数学探究式教学探析　

卫永山　（沙河市柴关乡高庄中学，河北　沙河０５４１００）　

为适应时代发展的要求，以信息科学和生命科学为代表的　

现代科学技术突飞猛进．为世界生产力的发展打开了广阔前　

景　传统的填鸭式教学已经不适应现代教育的发展，学生在被　动的听说读写和盲目地背诵公式中．很难有自己的思想和观　

点　所以，在数学课堂中，我们应该积极探索新方法。教学课堂　

探究式教学应运而生。所谓探究式教学，顾名思义，就是以学生　

的探索和研究为主体．在这样的教学模式下．教师只是课堂的　

引导者和带路人．教师的作用是引导学生把自己内心的想法和　

观点总结归纳并表达出来。通过讨论和思考．让学生主动探索　

问题的答案．亲生体验知识的生成．让背后蕴含的道理更加直　

观地展现在自己眼前　

笔者想通过具体实例．谈谈在数学课堂中实施探究式教学　

的做法。　

一、创设情境。提出问题　

爱因斯坦说：“提出问题往往比解决一个问题更要。”只有　

有了十足的好奇心．对所学的知识兴趣盎然．才能提出有益于　

数学学习的好办法。数学知识的学习是无处不在的，数学知识　

的疑问也是无时不有的，教师在教授新知识的时候。不能仅仅　

是枯燥知识点的新输入．而是应该建构新知识和旧知识之间的　

联系　并且引导学生将课堂上学到的知识运用到生活和实践的　

过程中．让他们在平素的生活中感悟到数学的魅力．让他们乐　

于学习数学．积极学习数学．以一种饱满的热情去投入到数学　

的思考和研究中　

例１：某校要在校园中辟出一块面积为８４ｍ２的长方形地　做花圃．求这个花圃的长ｙ（ｍ）关于宽　（ｍ）的函数关系式，自　

变量　的取值范围　

例２：把上题中长方体改为矩形，一边长为ｙ（ｍ），另一边长　

为　（ｍ），写出Ｙ与　之间的函数关系式，自变量　的取值范　

围。　在上面的问题中．虽然自变量的代表符号都分别是　和ｙ。　

但是．因为问题的对象变了，所以自变量的取值范围也不一样　

了。学生通过具体问题具体分析。即可以切身体会到数学的奥　

初中数学教学中探究性教学研究

初中数学教学中探究性教学研究

初中数学教学中探究性教学研究

初中数学教学中探究性教学研究

从初中数学探究性教学过程中，可以看出教师在这个过程中，只起到了启发与引导的作⽤，⽽作为教学主体的学⽣在探究性教学过程中起着关键作⽤。

摘要：初中数学教学中的探究性教学，顾名思义，就是围绕某⼀个数学问题进⾏思考与探究.由于新课标的改⾰要求，在

初中数学教学中，不只是要求教师拥有独⽴思考的能⼒，还需要把教学主体———学⽣，带⼊教学课堂中，尤为重要的培养学

⽣独⽴思考问题的能⼒.因此，在现代初中数学教学中实施探究性教学模式，是⼀种培养学⽣⾃主独⽴思考问题，并且是发散

性的思考问题的最佳⽅法.⽽本⽂以初中数学教学为背景，探讨探究性教学对学⽣⾼效学习数学的重要作⽤，以及培养学⽣在

各⽅⾯潜能的发展.

关键词：初中数学;探究性教学;探讨

教学是教师与学⽣共同作⽤下进⾏的⼀种活动，可以说，教学中的教师是学⽣的指明灯，教学中的学⽣是教师教学动⼒的

源泉，在初中数学探究性教学中，少不了教师对学⽣的启发与指引，也少不了学⽣的艰苦奋⽃、勇于发现问题、思考问题和提

出问题的精神，⽽这⼀切都是培养学⽣在各个⽅⾯的潜能，使学⽣能够不断地锻炼⾃⼰，寻找与发展⾃⾝的优点，为以后的⼈

⽣道路指引⽅向.因此，在初中数学探究性教学中，教师需要制定⼀系列⽅案，使学⽣能够在数学探究性教学中收获更多的'知

识.

⼀、初中数学探究性教学中教师发挥的作⽤

(⼀)提出疑问进⾏问题探讨

在初中数学教学中，知识并不是教师教，学⽣就可能学会，这是⼀种错误的教学思想，反⽽教师要完全摒弃这种思想，建

⽴⼀种新的教学理念，学会提出疑问，让学⽣能够拥有思考问题的机会.所以，⾸先，教师需要在讲学的内容上，进⾏规划，

在知识点上设定⼀些疑问，引起学⽣的关注，像在《概率统计学》这⼀章，提出这样⼀个问题：投掷六次骰⼦，六次投掷骰⼦

有多少种情况?让学⽣对问题产⽣疑问“到底有多少种情况”，让学⽣通过思考与实践去寻找问题的答案.或者是在初中数学课堂