高中数学 考前归纳总结 导数中的图像关系问题

高中数学导数与函数图像的关系分析与讲解在高中数学中，导数与函数图像是密不可分的。

导数是函数在某一点上的变化率，而函数图像则是函数在整个定义域上的变化规律的图形表示。

理解导数与函数图像之间的关系对于学习和应用数学知识都具有重要意义。

本文将通过具体的题目举例，分析导数与函数图像的关系，并给出解题技巧和使用指导。

一、导数与函数图像的关系导数与函数图像之间有着密切的联系。

函数的导数可以帮助我们确定函数图像的特征，如函数的增减性、极值点、拐点等。

下面通过几个具体的题目来说明导数与函数图像的关系。

例题1：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，求函数在$x=1$处的导数。

解析：首先我们需要求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。

根据导函数的定义，我们可以得到$f'(x)=3x^2-6x+2$。

然后，我们将$x=1$代入导函数中，得到$f'(1)=3(1)^2-6(1)+2=-1$。

这个结果告诉我们，在$x=1$处，函数$f(x)$的导数为-1。

通过这个例题，我们可以看出，函数$f(x)$在$x=1$处的导数为-1。

这意味着函数$f(x)$在$x=1$处的斜率为-1，即函数图像在该点的切线的斜率为-1。

这个信息可以帮助我们更好地理解函数图像的特征。

例题2：已知函数$g(x)=x^2-2x$，求函数$g(x)$的极值点。

解析：为了求函数$g(x)$的极值点，我们需要先求出函数$g(x)$的导函数$g'(x)$。

根据导函数的定义，我们可以得到$g'(x)=2x-2$。

然后，我们令$g'(x)=0$，得到$2x-2=0$，解得$x=1$。

这意味着函数$g(x)$的导数在$x=1$处为0，即函数图像在该点的切线的斜率为0。

通过这个例题，我们可以看出，函数$g(x)$的极值点出现在$x=1$处。

这个点处的切线斜率为0，意味着函数图像在该点处有一个极值。

这个极值可以是最大值或最小值，需要通过进一步的分析来确定。

导数图像知识点总结导数是微积分中的一个重要概念，它表示的是一个函数在某一点的变化率。

导数图像则展示了函数在整个定义域内每一个点的变化率的情况。

导数图像的形状和特点能够告诉我们很多关于原函数的信息，对于理解函数的性质和行为具有重要意义。

在本文中，我们将对导数图像的知识点进行总结，从基本概念到常见形状和特点，帮助读者更好地理解和运用导数图像的知识。

一、导数的基本概念1. 导数的定义对于一个函数 f(x)，如果在某一点 x 处存在极限lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗则称此极限值为函数 f(x) 在点 x 处的导数，记作 f' (x) 或者 dy/dx。

2. 导数的意义导数表示的是函数在某一点的变化率，可以用来刻画函数曲线的陡峭程度和走势。

正值导数表示函数在该点上升，负值导数表示函数在该点下降，零值导数表示函数在该点的变化率为0。

3. 导数的几何意义函数的导数也可以理解为函数曲线在某一点处的切线的斜率，即切线与 x 轴的夹角。

导数从几何意义上解释为函数在某一点处的局部线性变化率。

二、导数图像的常见形状和特点1. 导数图像的水平切线函数处处可导的条件是其导数图像没有突变或者突跳。

对于函数 f(x) 而言，若 f' (x) 在某一点为常数 k，则该点处的导数图像是一条水平的直线，斜率恒为 k。

2. 导数图像的变化导数图像的斜率表示了原函数在相应点的变化率，因此导数图像上的斜率变化可以反映原函数的变化率变化。

当导数图像的斜率逐渐增大时，表示原函数的增速加快；当导数图像的斜率逐渐减小时，表示原函数的增速减慢。

而导数图像的凹凸性则反映了原函数的增速变化的变化率。

3. 导数图像的极值点导数图像上的极值点对应着原函数的极值点，即原函数经过该点处的增速或减速最快。

在导数图像上，极值点可能为极大值或者极小值，对应着原函数的增速最大或者最小。

4. 导数图像的波动一个函数曲线的导数图像的波动也可以反映原函数曲线的波动情况。

在微积分中，导数是一个至关重要的概念。

它提供了函数在不同点上的斜率或变化率的信息。

函数的图像则是通过绘制函数的曲线来呈现函数的全貌。

本文将探讨导数与函数图像之间的密切关系。

首先，我们来回顾一下导数的定义。

对于一个给定的函数f(x)，在点x处的导数可以通过以下公式计算得到：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h导数的几何解释是函数在该点的切线的斜率。

这意味着如果我们在点(x, f(x))处绘制切线，那么切线的斜率就是导数f'(x)。

根据这个定义，我们可以得出一些与函数图像有关的结论。

首先，导数提供了函数图像的局部信息。

通过计算导数，我们可以了解函数曲线在特定点的陡峭程度。

如果导数为正，那么函数曲线在该点上升；如果导数为负，那么函数曲线在该点下降。

导数的绝对值表示曲线的斜率的大小，即曲线的陡峭程度。

因此，导数可以帮助我们确定函数曲线在特定点的行为。

其次，导数提供了函数图像的全局信息。

通过计算导数，我们可以确定函数曲线在整个定义域内的变化规律。

如果导数始终为正，那么函数曲线将一直上升；如果导数始终为负，那么函数曲线将一直下降。

导数为零的点则表示函数曲线的极值点或拐点。

通过分析函数的导数，我们可以推断函数的整体行为，包括最大值、最小值和凹凸性等。

此外，导数还可以用于绘制函数的图像。

绘制函数的图像是通过连接许多点来得到的。

这样做的问题是，我们只能得到离散的点，而无法得到具体点之间的信息。

然而，通过计算导数，我们可以得到函数在每个点的斜率。

这些斜率可以帮助我们绘制更平滑的曲线，而不是简单地连接离散点。

因此，导数在绘制函数图像时起到了至关重要的作用。

最后，我们要注意到导数并不是函数图像的一切。

有些函数可能在某些点上没有导数，即导数不存在。

例如，函数在某些点上可能有间断或不可导的奇点。

在这种情况下，导数无法提供关于函数图像的任何信息。

因此，在分析函数图像时，我们应该综合考虑导数以及函数的其他特性。

导数中的图像关系问题一、常见基本题型：（1）已知图像交点个数，求参数的取值范围，例1. 已知3x =是函数2()16ln(1)10f x x x x =++-的一个极值点．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若直线y b =与函数()y f x =的图像有三个交点，求b 的取值范围．解：(1) f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)， 2243()1x x f x x-+'=+. 当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，()0f x '>；当x ∈(1,3)时，()0f x '<.∴()f x 的单调增区间是(－1,1)，(3，＋8)；()f x 的单调减区间是(1,3)，（2）由(1)知()f x 在(－1,1)单调增加，在(1,3)单调减小，在(3，＋∞)上单调增加，且当x ＝1，或x ＝3时，f ′(x )＝0，∴f (x )的极大值为f (1)＝16ln2－9，极小值为f (3)＝32ln2－21.∵f (16)＞162－10×16＞16ln2－9＝f (1)， f (e －2－1)＜－32＋11＝－21＜f (3)，∴在f (x )的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)，直线y ＝b 与y ＝f (x )的图像各有一个交点，即f (3)＜b ＜f (1)．∴b 的取值范围为(32ln2－21,16ln2－9).例2.已知函数))(1ln()(2R a x a ax x x f ∈---=（1）当1=a 时，求函数)(x f 的最值；（2）说明是否存在实数)1(≥a a 使)(x f y =的图象与2ln 85+=y 无公共点. 解：（1）函数))(1ln()(2R a x a ax x x f ∈---=的定义域是（1，+∞）当a=1时，1)23(21112)('--=---=x x x x x x f ， 所以)(x f 在)23,1(为减函数，在),23(+∞为增函数，所以函数)(x f 的最小值为2ln 43)23(+=f .（2）1≥a 时，由（1）知)(x f 在（1，+∞）的最小值为2ln 14)22(2a a a a f -+-=+， 令2ln 14)22()(2a a a a f a g -+-=+=在［1，+∞）上单调递减， 所以2ln 43)1()(max +==g a g ，则,081)2ln 85()(max >=+-a g 因此存在实数)1(≥a a 使)(x f 的最小值大于2ln 85+，故存在实数)1(≥a a 使y=)(x f 的图象与y=2ln 85+无公共点.(2)已知图像的位置关系求参数的取值范围例 3.已知二次函数2()(0)h x ax bx c c =++>，其导函数()y h x '=的图象如图所示，()ln ()f x x h x =-．若函数2ln y x x =-, ([1,4])x ∈的图象总在函数()y f x =的图象的上方，求c 的取值范围．解：由题意可知，2x －ln x >x 2－3x －c ＋ln x 在x ∈[1,4]上恒成立，即当x ∈[1,4]时，c >x 2－5x ＋2ln x 恒成立设g (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，x ∈[1,4]，则c >g (x )max .易知()g x '=＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x =(21)(2)x x x--. 令()0g x '=得，x ＝12或x ＝2. 当x ∈(1,2)时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当x ∈(2,4)时，()0g x '>，函数()g x 单调递增．而g (1)＝12－5×1＋2ln 1＝－4，g (4)＝42－5×4＋2ln 4＝－4＋4ln 2，显然g (1)<g (4)，故函数g (x )在[1,4]上的最大值为g (4)＝－4＋4ln 2，故c >－4＋4ln 2. ∴c 的取值范围为(－4＋4ln 2，＋∞)．二、针对性练习1．已知函数21()ln 12f x x x =+-.，求证：在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数 32()3g x x =的图象的下方. 证明：令2312()()()ln 123F x f x g x x x x =-=+-- 则2322112(1)(1)'()2x x x x x F x x x x x x+--++=+-== ∵当1x >时'()0F x <，∴函数()F x 在区间(1,)+∞上为减函数∴12()(1)1023F x F <=--< 即在(1,)+∞上，()()f x g x <∴在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方。