一类具有变扩散系数的非局部反应-扩散方程解的爆破分析

数学物理学报2018,38A(4):750-769 h ttp://a cta m s.w ip m.a c.c n一类具有变扩散系数的非局部反应-扩散方程解的爆破分析*赵元章马相如#(中国海洋大学数学科学学院山东青岛266100)摘要：该文考虑了具有变扩散系数的反应-扩散方程D ir ic h le t初边值问题解的爆破现象.利用辅助函数法和修正微分不等式技巧，对变扩散系数和非线性项给出适当的条件，以保证解整体存在或有限时刻发生爆破，并在整体空间中（N>1)导出了爆破时间的界.同时，给出几个应用举例.关键词：反应-扩散方程；变扩散系数；爆破时间的界.M R(2010)主题分类：35K65; 35B30; 35B40 中图分类号：O175.29 文献标识码：A文章编号：1003-3998(2018)04-750-201引言我们考虑具有变扩散系数和非局部源项的反应--扩散方程ut=d iv(a(x)V u(x, t))+f (u),(x, t)G Q x(0, t*),(U)给出齐次D ir ic h le t边界条件和初始条件u(x, t)=0,(x, t)G dQ x(0, t*),(1.2)u(x, 0)=u〇 (x),:x G Q,(1.3)其中0c R n(N21)为具有光滑边界d n的有界区域，t*<+⑴表示可能发生爆破的时 间，反之t*=+⑴•变扩散系数a(x)为正的适当光滑函数，非线性项f(u)为非负连续函数并 满足非局部条件，比如，包含（u(x,t))p J^(u(x,t))qd x型非局部项，其中p + q>1•初值u〇(x) 为非负C1类函数且满足适当的相容性条件•因此，由经典拋物型理论知，问题（1.1)-(1.3) 存在唯一的非负局部解且充分光滑.方程（1.1)出现在许多物理现象和生物种群理论.比如，热传导现象中温度，流体的流 动中浓度及某种生物种群密度的扩散等，见文献[1-3]及相关文献.收稿日期：2017-07-11;修订日期：2017-12-11E-mail: zhaoyz@;xrmaouc@*基金项目：山东省研究生创新计划项目（SDYY14127)Supported by Innovation Program for Graduates of Shandong Province (SDYY14127) **通讯作者No.4赵元章等：一类具有变扩散系数的非局部反应-扩散方程解的爆破分析751近几十年来，已有许多学者致力于非线性拋物型反应-扩散方程解的爆破现象的研究.有许多文献研究了半线性拋物方程整体解的存在性与非存在性，解的爆破，爆破时间的界，爆破速率，爆破集和解的渐进行为，读者可参考专著[4-6]以及综述性文献[7-8].粗略地讲，半线性拋物方程整体解和非整体解的存在性以及解的行为依赖于非线性项，维数，初始值以 及非线性边界流.特别地，Q u it t n e r和S o u p le t[5,第五章]详细介绍了具有D ir ic h le t边界条件 的非局部反应-扩散方程解的定性性质.从某种意义上讲，非局部模型比局部模型更赃近实 际问题，而局部理论在非局部模型中不再成立，使我们必须改进和探索现有的研究方法及理 论.本文中，我们的兴趣在于讨论具有变扩散系数和非局部项半线性拋物方程解的爆破现象 中爆破时间界的估计问题.实际上，此类问题中估计爆破时间上界的方法较多（见L e v in e[9] 介绍的六种方法)，但是爆破时间下界的估计值很难得到.最近，关于爆破时间下界估计问 题的研究也有了新的进展.对具有常数扩散系数的局部反应-扩散方程，读者可参看文献 [10-11](三维情形）和文献[12](高维情形).对具有常数扩散系数的非局部反应-扩散方程的研究方面，S o n g[13]在齐次D ir ic h le t或 齐次N e u m a n n边界条件下，研究了具有非局部源项和局部吸收项的半线性拋物方程ut=A u^uqdx — kus,(x, t)G Q x(0, t*).(1.4)Jn他在三维空间中得到了问题解的爆破时间t*的下界.之后，文献[14]将文献[13]中的结果推 广至高维空间（N23). L i u[15]考虑了在非线性边界条件下的方程（1.4)的解在三维空间中爆 破时间下界.S o n g等丨16]和M a等丨17]考虑了具有空变系数非局部源项的反应扩散方程，并在高维空间中（N23)得到了解的爆破时间的上下界估计值.此外，关于非局部拟线性拋 物型方程中爆破时间的下界估计问题，请参见文献[18] (N=1,2)和文献[19-21] (N23).对具有变扩散系数的局部反应-扩散方程的研究方面，L i等[22]考虑了非齐次N e u m a n n 边界条件下具有内部吸收项的半线性散度型偏微分方程Nut = ^2(a i j(x)u x i)x j — f (u), (x,t)G Q x(0,t*),i,j=1其中（ai j(x))为可微的N x N阶正定矩阵，非负函数f满足适当的局部条件.他们得到了 解的整体存性和爆破的充分条件，并给出了在适当测度意义下的爆破时间的上界估计及三 维空间中爆破时间下界估计.：3&旦匕&&等[231在文献[22]的基础上，将爆破时间下界的估计 推广至高维（N23)情形.F a n g和W a n g[24]及M a和F a n g[25]考虑了具有时变系数或空 变系数吸收项的局部问题，并给出了在高维空间中（N23)变系数对爆破时间上下界的影 响.对具有变扩散系数的非局部反应-扩散方程的研究方面，M a和F a n g[26]研究了具有空 变系数非局部吸收项和非线性边界流的反应-扩散方程解的爆破时间上下界.但是，前述的 文献中变扩散系数矩阵（ai j(x))是为了保证一致椭圆型且主要研究了吸收项的系数对爆破 时间界的影响.特别地，我们关注于W a n g和S o n g[27]最新研究进展.他们考虑了一类具有变扩散系数 和非局部源项的耦合方程组，并对变扩散系数适当限制后讨论了爆破时间下界及非同时爆 破现象.本文中，我们的目的在于对具有变扩散系数的非局部模型（1.1)-(1.3)建立若干不同 测度意义下解的整体存在性与爆破的充分条件，并在整体空间上（N21)讨论变扩散系数 对爆破时间界的影响.本文的剩余部分结构如下：第二节，我们给出整体解存在的充分条件.第三节，利用修 正不等式技巧，找出变扩散系数a(x)对爆破的影响且在两种不同的测度意义下得到爆破发752数学物理学报Vol.38A生的条件及爆破时间的上界.第四节，在整体空间上（N21),给出若干个不同测度意义下 的爆破时间的下界.第五节，给出几个例子来验证我们的主要结论.2整体存在性本节中，我们建立问题（1.1)一(1.3)解的整体存在性结论.定理2.1假设非负函数/(u)满足非局部条件(F i) f (s(x,t)) < (s(x,t))P fQ(s(x,t))q d x, s(x,t) >0,其中函数s(x,t)G C⑴X (0，t*))，常数p20, q >0且满足p+q >1.同时，扩散系数 a(x) G 〇0汾)门"⑶满足(a i)a(x) > c >0, x G ^1,其中c>0为常数.若初值充分小使得K -0,其中K, M>0由（2.6)式给出■则问题(1.1)-(1.3)的解u(x,t)不发生爆破，即u(x,t)对V t>0整体存在.证定义辅助函数1N't j j f t) =0~1w2n^+g_1M x, n>m a x<-,、，,,^ )Jn {2(p^q-i y 4 j7其中沒D d x.对0(t)求导并由（1.1)式，（1.2)式以及G r e e n公式得^;(t) =2n(p +q —1)^-^ /* u2n(p+q—1)—1 [d iv(a(x)V u)+ /(u)]d xJ n< 2n(p-\-q — 1)0~1 [a(x)w2n^+g_1-)_1 ——dsJan d n—2n(p+q—1)[2n(p +q —1) —1]沒—1,a(x)u2n(p+q—1)—2|V u|2d xJn十2n(p+q—1)沒—1/*u2n(p+q—i)#—M x/*u qd xJ n J n< J[M p + q-i)-i\〇-l c f|VMn(P+g-D|2dxn(p十q —1) J n十2n(p十q —1)^—1|1^*u(2n+1)(p+q—1)d x.J n令u n(p+q-i) =v,则上式可改写为^(t)<_2[2n(p+ g ~~__f\Vv\2dx +2n(p +q-l)e^1\n\[v2+idx.n(p十 q—1) J n J n对（2.1)式右端第二项应用H6ld e r不等式，我们得到y2+-d x<4n-N +22N、V N~2 d xN-24n其中n>又由(TV 23)中的S o b o le v嵌入不等式⑴）^W x，2(⑷）知N N-2j^d x< ( [ \Vv\2dxn n (2.1) (2.2)(2.3)No .4 赵元章等：一类具有变扩散系数的非局部反应-扩散方程解的爆破分析753其中C s 为S o b o le v 最优常数.将（2.3)式代入（2.2)式中得2+-d x < Cp|V v |2d xN 4n其中n >夺.再把（2.4)式代入（2.1)式中，我们可以导出舞）S2[2n (p + q - 1) - 1]6-1〇|V v |2d xn (p + q -1) …+2n(p+q - l)d^^\Q\cfiN 4n4N-N + 24N|V v |2d xN 4n|V v |2d x )< 2n(p ~h q —(^(^))4n-N + 2 4n2[2n(p-hg-l) -n(p -j -g - 1)|V v |2d xn接下来，对上式大括号中第二项应用膜不等式|V v |2d x > A i / v 2d x ,Jn其中A i 为如下固定膜问题的第一特征值(2.4)A冷i 十 A i 冷i = 0, x £^i = 0,x £ 3Q.因此，我们可得^'(t )^ y j i v v|V «|2dx^) ^2n(p + q - l)\Q\cf^e^(iP(t))2[2n(p 十 q - 1) - 1]0-4n-N + 24nA n — N k4nn(p 十 q - 1)N 4n-(姻r| V v |2d x ] (♦(t))< 2n(p ~\~ q —4n_ N2[2n(p-\-q - 1) - l ]0~^c X ^~ 1n(p -\-q - l) /N0^^ (|V w |2dx ) (-0(t)) 4r l卜^⑴）5^ — y «]，(2.5)其中K = 2n(p + q - l)\Q\cf^e^,M[M p + « -n (p 十 q - 1)(2.6)nn假设初值充分小使得K - ^ <0,754数学物理学报Vol .38A则对V t > 0,M < 0 —直成立，或存在第一时刻t 〇使得-// = 0.(2.7)对f G (0，知)，若有<#))士 -// < 0,则由（2.5)式知轉）<0t G (〇,t 〇),(2.8)且与（2.7)式矛盾，即（2.8)式对V t > 0都成立且问题（1.1)-(1.3)解整体存在.■3爆破时间的上界本节中，我们对变扩散系数a (x )给出适当的条件，使问题（1.1)-(1.3)的解在有限时刻 发生爆破，并在两种不同测度意义下给出爆破时间t *的上界.首先，我们得到如下结论.定理3.1假设u (x ,t )为问题（1.1)-(1.3)的非负经典解，变扩散系数a (x ) G C 0(S ) nC 1 (卬满足条件（a i ),非负可积函数f (u )满足条件(F 2) (C )d x > 2(1 + a) fQ F (^)d x , s(x,t) > 0,其中F⑷=j 〇€ /(n )d n ,且有a 2 〇.设H(t) = ^ I a (x )|V u |2d x + 2 I F (u )d x ,J q J q并令H (0) > 0.则问题（1.1)-(1.3)的解u (x ,t )在的(t )= fQ U 2dx的意义下有限时刻^i (0)t * < T2a (1 + a )H (0))a > 0爆破，其中灼(0) = /Q U 〇d x .若a = 0,则T =⑴.证对的(t )求导，并由定理3.1中的假设可得^i (t ) = 2 j u [d iv (a (x )V u ) + /(u )]d xJ q=2 [ a(x)u——ds — 2 [ a (x )|V w |2d x + 2 [ uf(u)dxJ sq d n J q J q > —2a (x )|V u |2d x + 4(1 + a^ / F (u )d xJ qj q>—2(1 + a ) ^ a (x )|V u |2d x + 4(1 + a ) ^ F (u )d x=2(1 + a )H (t ).对H (t )求导并由G r e e n 公式，我们导出H ’(t) = —2 , a (x )V u .V u t d x + 2 , /(u )u t d x = 2 , u g d x > 0,•J q J q J qq(3.1)由 H (0) > 0 知 H (t ) > 0, t G (0,t *).No.4赵元章等：一类具有变扩散系数的非局部反应-扩散方程解的爆破分析755由S c h w a rz不等式，我们得到=4( uutdx) ^ 4 u2dx v^dx =fQ J q结合（3.1)式和（3.2)式，我们导出如下徼分不等式2(1 +a)^'1(t)H(t)<(^；(t))2<2H,(t)^i(t),即对（3.4)式从0到t积分得(H^-(1+a)), >0.H(t)(^i(t))-(1+a) >H(0)(^i(0))-(1+a).将（3.5)式代入（3.1)式中，我们得到如下微分不等式^i(t)>2(1 +a)H(0)(^i(0))-(1+a)(^i(t))1+a.再对（3.6)式从0到t积分得如下不等式(仍⑴)—a <—1(0))—a -2a(1+ a)H(0)(仍(0))—(1+a)t.(3.2) (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) (3.7)<T y i(〇)2a(l十o〇H(0) •若a=0,则由（3.6)式我们得仍⑴>p i(0)e2H(0)(糾（0))—(1十叫对尤>0成立，这说明t*=〇〇,即T=〇〇且发生无限爆破.定理3.1证毕. I 下面，我们在加权L1意义下得到解在有限时刻发生爆破及爆破解的爆破时间的上界.定理3.2假设0〔股#(#>2)为具有光滑边界的有界区域，以卜，〇为问题（1.1)-(1.3)的非负经典解，变扩散系数a(x)G C0(n)n C2(卬满足条件(a2) a"(x)> C >0, x G其中c为常数.同时，非负函数/满足非局部条件(F3) f (s(x,t))>(s(x,t))p JQ(s(x,t))q d x, s(x,t)>0,其中函数s(x,t)G C⑴X (0，t*))，常数p>0 ,q>0且满足p +q >1.定义辅助函数^2(t)=/a(x)v(x,t)d x,J q则当p + q >1时，问题（1.1)-(1.3)的解v(x，t)在加权测度内(t)的意义下有限时刻t*发生 爆破，且满足t*<T i =p +q - lc v广—如)，其中C为下面证明过程中给出的可计算常数.当p + q =1时，t*=⑴，即解无限爆破.756数学物理学报Vol .38A证当p + q >1时，我们对們⑷求导并由（1.1)式，条件（F 3)以及G r e e n 公式得a (x )[d iv (a (x )V u ) + f (u )]d xJn >(a (x ))2——d s — a(x)'Va(x)-'Vudx-\- a(x)updx uqdxdn ./〇 . n . n fan 1~2V(a(x))2 • Vudx + I a(x)updx I uqdxrnfn fn1—/u ^ ^ ^dg + —[ uA(a(x))2dx-\- [ a(x)updx [ uqdx ^ Jan dn ^ Jn Jn Jn-u(a(x)af f (x ) -\- (a(x)))d x +a(x)updx uqdx 2 Jn Jn Jn>a(x)upd^ uqdx.(3.8)对（3.8)式利用C a u c h y 不等式以及反向H o ld e r 不等式，我们导出>a (x )u d xp +q +i2(a (x )) p+9-i up+i-1 dxi -(p +q )2Jn^p +q +1(t)(a (x )) p+9-i w p +q -i d x1-(p+q)(3.9)由于p + q > 1，对（3.9)式中积分项应用H o ld e r 不等式，我们得(a (x )) p+9-1 w p +q -i d x < (a(x)udxIn\Jn yip +q_ (p+q)2-(p +q -i )(a (x ))(p + q -l)2U (p + q -l )2 d x将（3.10)式代入（3.9)式并由H 6ld e r 不等式，我们有p +q — 1p+q(3.10)f p+q+1-沪2 >沪2p+q— 1p+qp+q+1- > ^2•p+q—1 p +q⑴⑴(p +q )^-(p +q -i )(a (x )) (p+g-i)2u(p+q-i)2 d x(l-p -q ”p+q(p +q )(p +q -i)^2(p + q -l )2(a (x ))(p +q -l )2 + l d x(p + q -l )2 + l _ (p + q -l )2(p + q -l )2(p +q )(p +q -i)(p+q_i )2 + i记c := (fQ (a(x)r (P+.-1)^+1 d x ),则我们得到如下微分不等式侧>C w P +q (t )，(3.11)对上式在[〇，t ]上积分11 - (p + q)(p +q)⑴ il —(P+q)(0)]>C t即(^2(t ))1 —(p+q) < (^2(0))1 —(p+q)Ctp 十 q -1(3.12)n22nNo .4 赵元章等：一类具有变扩散系数的非局部反应-扩散方程解的爆破分析757显然，（3.12)式不可能对t > 0总是成立. 爆破且满足t * < T 1因此，u (x ，t )在加权L 1意义下在有限时刻发生p -\- q -Ic ^-^o y对p + q > 1成立.当p + q = 1时，对辅助函数内(t )求导并由（1.1)和（1.2)式，G r e e n 公式得^2^) ^/ (a (x ))2d s ------[ V (a (x ))2 • V w d x +[ a(x)updx [ uqdx dn2 九 JQ JQJ8Q>-I_ 2..V (a (x ))2 • V u d x2川> C ；^2(t).(a (x )a "(x )十（a /(x ))2)u d x(3.13)对（3.13)式从0到f 上积分得們⑷2 ^2(0)e 气对f > 0成立，其中^2(0) =a (x )w 〇d x.因此，我们得到t *=〇〇且发生无限爆破.定理3.2证毕.■4爆破时间的下界本节中，我们在整体空间（N > 1)上导出当问题（1.1)-(1.3)解发生爆破时若干个适当的测意义下的爆破时间下界.4.1 N >3的情形我们利用修正不等式技巧，得到爆破时间的下界.因为我们用到了 S o b o le v 不等式，所 以要求Q C R N (N > 3)为具有光滑边界如的有界区域.定理4.1假设u (x ，t )为问题（1.1)-(1.3)的非负经典解，u (x ，t )在有限时刻t *发生爆 破，非线性项f (u )满足非局部条件（F i ),其中常数p > 0, q > 0且满足p + q > 1.若扩散系 数a (x ) G C 0(S ) n C 2间满足条件（a i )和(a 3) |V a 5(x )|2<M , x G Q,其中M > 0为常数且定义辅助函数小办）=I ul 十1dx,JQ其中l 十 1 > m a x j 1, (2N - 4)(p - 1), 1 - p 十 q, 1 - p 十Nq .37V -8则爆破时间t *满足d n. (2iV —3)(Z + p+q)y0l (〇) J l + J 277 2(JV-2)(；+p )____3(^+p+q) (N — 2)____J ^T j 4(n -2)(1+p )-n (1+p +q )t其中扣(0) = L U +M x , J i, J2 J 3为后面证明过程中给出.证对也⑴求导并由（1.1)和（1.2)式以及G r e e n 公式得汐 1(t) = (1十 1)/ u ([d iv (a (x )V u ) +/(u )]d xJ q758数学物理学报Vol .38A<(/+!)[ a(x)ul —~ds — 1(1-\-1) ( a(x)ul ~1\\/u \2dx-\-(l-\-1) f ul ^pdx f uqdxJdQ -i f，十1九dn _a (x )|V w ^~ |2d x + (/+ 1)f ul ^pdx f uqdx.(4.1)JQ JQ对（4.1)式中右端第二项应用H o ld e r 不等式，我们得(/ + 1)v !'+pdx uqdx <(l ^l )\Q \^J Q J Qj l+pdxl +P + Ql +P(4.2)其中 l +p - q > 〇.由条件知l +1 > (2N -4)(p - 1)且对（4.2)式右端积分项应用Y o u n g 不等式，我们导出,, / /(Z + l)(2iV-3)\, f (Z + l)(2iV-3)v !1+pdx < u2(^-2)dx|^| gi<qiw 2(w-2) d x 十（1 —仍）|Q |,(4.3)IQ \』Q)J Q其中奶 U;+5(〇，i ).(4.4)(l +1)(2N - 3)将（4.3)式代入（4.2)式中，并由基本不等式（a i + a 2)r < 2r -Y a ! + a2), a i, a 2 > 0, r > 1可得(l +1W ul +pdx uqdxJ Q J Q< (/+l +p +ql +p记(Z + l)(2iV-3)qiu 2(j v —2) dx + (1 — ^i)|^|J q.l + p +ql +P + Q ( f (l + l )(2N -3) \ l + P l +p + q Q i l +p y J u 2(JV_2) dx J + ((1 — ^i )|^|) l +pK 1 = (l + 1)|Q |^2^((1 - qi)\Q\)^, K 2 = (l+ l )\Q \^2^qi^T则上式可改写为_ \i +p +qf , , f ( f (Z+l)(2iV-3) \l +P(/+1) ul+pdx uqdx < Ki-\-K 2i u ~2(w-2)~ dx J.J Q J Q \JQ J再对（4.5)式右端积分项应用H 6ld e r 不等式并由条件（a i )得(4.5)(Z + l)(2iV-3)U 2(iV -2)d x <((a(x))iut ^1)^d x(a(x))~ 3(^-2) ul+1dx < c N 4(N -2)((a (x ))5M 今)N-2 d x圓]3.(4.6)对（4.6)式中积分项应用0C R w (W 2 3)中的加权S o b o le v 嵌入不等式（L &(⑷wi,2m )ii+iii+iQ Q34QQQQ<~^No .4 赵元章等：一类具有变扩散系数的非局部反应-扩散方程解的爆破分析759其中C s 为S o b o le v 最优常数，并由J e n s e n 不等式可得< C s 2(N-2)< C s 2(N-2)(a(x))\\/u^~\2dx-\- f|V (a (x ) 2|2^^+1d xiJn(a (x ))\V u ^\2d x -\-M f u l^1dx4(N -2)4(N -2)< C biv, ,、、iv7Vf4(iV —2)(咖⑷）4(JV —2)a (x )|V w _2_ |2d x 4(N -2),(4.7)其中C b2臺(e g 鲁，N= 3,((7s)2(iV-2)，N > :i .由（4.5)和（4.7)式以及带e 的Y o u n g 不等式，我们导出(1 + 1) f ul +pd^ f uqdxJ n J n< K\-\- i ^2{c _4(JV_2)({a(x))^u ^~) N-2d x .,.,,3 .. z+p+q(祕)）4} !+pN (Z + P + q )l +p + q < + K 2c— — -2刈冰 Cb~^~十a{x)\Vu^~ |2d xN4(N -2)M 4(N-2) (0i ⑷)2(w-2)i +P + Ql + PN (l + p + q ) l +P + Q qN(l + p +q ) (2N -3)(l + p +q <+ i^2c _4(JV-2)(i+p) (7^2I+^M4(J V -2)(； + p ) (^>l(t)) 2(JV-2)(i + P)+if 2C -3^^T C 7^2^( e / a |V W^|2c3)(丨十 P+q)-2)丨十p+q)4(iV-2)(Z + p )________N (l +p + q )______ 3(l +p + q )(N -2)e 4(iV-2)(Z + p )-iV(Z+p + q ) f (pif -l -\\4(N -2)(l + p )-N (l + p +q )4(N -2)(l + p )-N (l +p + g ) 4(n-2)(l + p )(4.8)__ZV(Z + p + q )_ i +P + Q q N(l + p +q ) (2N -3)(l + p +q )<C K \ -\- K 2^ 4(JV —2)(i +p ) (^7^2 ； + P A d 4(W —2)(； + p) (^l (t )) 2(W —2)(；+p )+i f 2C-4(^+2^)P )C7；7^21^a (x )|V M ^|2d x4(jV -2)(l+p )-N (l +p + g ) -MN_2)^；+^\l +p +q )4(N -2)(l+p)w y n其中Z > -p + ^且 e > 0为待定常数.将（4.8)式代入（4.1)式并整理得(2M -3)(l +p + q ) 3(M -2)(l +p + q ) /^ + i 0⑷乞 J i +七(>1 ⑷）2(JV -2)(z+p) J3(4>1(t ))4(N -2)(i +P)-N (i +P+q) + J 4 a(x )\V u^\2dx, (4.9)其中nnnnnx nJi = Ki ,N (l +p + q ) i +P + Q q N (i +p + q )J 2 = 7^2C _4(JV-2)(i+p) C J h l+P2I +^M 4(J V -2)(； + p ),N(i+p+g)L±£±r q4(N - 2)(l-\-p) - N(l -\-p -\-q)________N(i+P+q) J^ =K〇C M N-2)(l+p)C ul+P2^—---------------------—-------------------------— e 4(N-2)(l+P)-N(l+P + q)3 2b4(N-2)(l+p) :N(i+P+q)m l+l+q g N(l q)eJ4=K2c M N-2)(i+P)C b l+p2^v\74l4(N-2)(l + p) l +1*取适当的e >0,使得J4=〇,则（4.8)式可改写为(2N-3)(l + p+q)s(N-2)(l + p + q)七(>1 ⑷）2(JV —2)(Z+P)十J3(>1⑷）4(w-2)(…)-叩十…）:(4.10)且由条件知>0.若l i m咖⑷=⑴，我们对（4.9)式在[0，t*]上积分得t—t*d n. (2iV —3)(Z + p+q)y0l(〇)Jl +J27]2(J V-2)(；+p)___3(Z+p +q) (iV— 2)___J^T j 4(n-2)(1+p)-n(1+p+q)其中(2iV—3)G+p+g)2{N-2){l^p)夕下面，我们考虑加权测度意义下的爆破时间的下界.定理4.2假设u(x,t)为问题（1.1)-(1.3)的非负经典解，破，非负函数f满足如下非局部条件u(x,t)在有限时刻t*发生爆(F4) f (s(x,t))<(s(x,t))p fQ b(x,t)(s(x,t))qdx, s(x,t) >0,其中函数s(x,t)G C(n x(0,t*)),常数p20, q>0且p+q>1.若加权函数b(x) G C0(句n c1^)满足如下条件(B i)b(x) >0,x G Q 且b(x) =0,x G 如，或(B2) b(x) >c〇,x G且(B3) -b{x)B <V6(x) <b{x)B^|^|<Bib{x), x G Q,其中B i >0, B=(B i,B2,…，B n)为正常蠢向量.同时，扩散系数a(x) G C0(Q) n"(Q)满足条件（a i).定义辅助函数^2(t)=b(x)u1+1d x, J q其中l 十1 >m a x|1,(2N- 4)(p-1), 1 - p十 q, 1 - p十N q} m -8 j则爆破时间t*满足d n. (2iV —3)(Z+p + q) ^02(〇) L l+L277+-L3772(J V-2)(i +p)___3(Z+ p+q)(iV —2)___十_L4?y4(iV-2)(z+p5-iV(z+?:>+g)其中扣(0) =/Q b(x)u〇十1d x.证对如(t)求微分并且由（1.1)和（1.2)式以及G r e e n公式，条件（a i),(F4)可得汐2(t) =(1十1) /b(x)u’[d iv(a(x)V u)+f(u)]d xJ q=(/+1) [ a(x)b(x)ul——ds — (l-\-1) [ a(x)\/u •\/(b(x)ul)dxJdQ d n J q+ (1 + 1Wb(x)ul f(u)dxJn— (I + 1)c I ul V u •'Vb(x)dx — 1(1 +1)^/ b (x )u 1-1|V u |2d x+ (1 + 1)b (x )u 1+pd ^ /b(x)uqdx(/十 l)c |B |,b(x)ul \Vu\dx — 1 ^ 1 I b(x)\\/u^~\2dxAle<十1川+(1 + 1) I b(x)ul 十pdx I b(x)uqdx,Jn Jn(4.11)其中e i >〇为待定常数.对（4.11)式右端第一项应用Y o u n g 不等式，我们得(I-\-l)c\B\ [ b(x)ul \\/u\dx <------------Lf b(x)ul ^1d x ———[ b(x)\Vu^\2dx.Jn 2eiJn (l + 1)W n(4.12)将（4.12)式代入（4.11)式整理得2e i Alem<(/+1^2网2蝴_(1 + 1)21 + 1_b(x)\Vu~^~\2dx+ (1 + 1Wb(x)ul +pdxb (x )u qd x.(4.13)对（4.13)式右端最后一项应用H o ld e r 不等式，我们导出(1 +1Wb(x)ul +pdx b (x )u qd x < (l +1)Jn Jnb (x )d xi +p -b (x )u l +pd x l +P + Ql + P.(4.14)其中 1 +p - q > 0.再对（4.14)式右端第二个积分项应用Y o u n g 不等式可得I b(x)ul^pdx < T /* ((b (x ))^u ^) N~2 dx^]f ( (6(x ))叫十。