一类非线性反应扩散方程的隐

一类分数阶次扩散方程交替方向隐式差分法目前来看,越来越多的人开始关注分数阶微分方程的发展及研究。

因为与经典整数阶微分方程相比,分数阶微分方程可以更精确地描述一些现象,如物理过程及化学过程。

然而,研究者们发现大多数的分数阶微分方程的解析解需要由一些特殊的函数来表示。

同时大部分的分数阶微分方程问题的解析解不能被求出,因此,分数阶微分方程的数值解法变得更加重要。

交替方向隐式方法是一种有限差分法,适用于求解二维及高维热传导方程和扩散方程。

众所周知,由于交替方向隐式法可以把求解高维问题转化为求解一系列一维问题,因此,用该方法求解高维问题会得到很好的效果。

对于大规模问题,交替方向隐式法可以有效地减少内存和计算复杂度。

本文主要研究一类具有非齐次项的二维时间项分数阶次扩散方程。

主要内容如下1.对一个有界区域内的二维次扩散方程进行了探讨,首先基于1L逼近方法,通过利用交替方向隐式方法构造相应的数值格式,并对所构造数值格式的截断误差、可解性、稳定性以及收敛性进行理论分析。

2.基于向后Euler方法以及交替方向隐式法,构造出对应所研究的此类次扩散方程的新的数值格式,同样给出可解性,稳定性,收敛性的相应证明。

3.对构造出的两种ADI格式进行数值模拟,计算出不同格式对应的收敛阶,并与真实解作比较得到误差分析结果,得到所构造格式的合理性。

第15卷第3期胜用淀幽分研字撤V ol15，N o-3 2013年9月A C TA A N A L Y SI S FU N C T I O N A L I S A PPL I C A T A Sep．，2013：==：：：=====；：：：========================================一D O I：10．3724／SP．J．1160：2013．00285文章编号：1009-1327(2013)03-0285-06一类非经典扩散方程在强拓扑空间中的指数吸引子刘转玲兰州商学院信息工程学院，兰州730020摘要：讨论了非经典反应扩散方程U t一△ut一△u=f(u)+g(x)当非线性项满足临界指数增长时，该方程在强拓扑空间日2(Q)n瑶(Q)中的指数吸引子的存在性．特别的，通过证明指数吸引子的存在性，可知文献[7，12，14】中的强拓扑空间中的全局吸引子有有限的分形维数．关键词：非经典扩散方程；指数吸引子；临界指数中图分类号：0177．911引言设Q c R”n≥3)是一个有界光滑区域，考虑如下方程：U t—A ut一△u=，(u)+9(z)，Q×R+，“=0，O i l aQ，u(z，0)=U0，z∈Q，(1．1) (1．2) (1．3)其中g∈L2(Q)．这类方程主要出现在流体力学、固体力学、以及热传导理论中[1-2】．1980年，A i fant i s 在文献【1】中指出经典的反应扩散方程ut—A u=，(让)+g(x)并没有包含反应扩散问题的各个方面，即始终忽略了固体扩散过程中母质的诸如粘性、弹性、压力等因素．而A i f ant i s在研究中进一步发现，作为揭示扩散的全部过程的能量方程，它的具体的构成方程是随着扩散物质的不同而不同的．例如，反应扩散过程中的固体母质有没有压力，有没有粘性或记忆，有没有弹性等，其相应的方程是不一样的．他通过考查许多实际问题，A i f ant m最终建立了非经典的反应扩散方程(1．1)．此后，方程(1．1)受到许多数学工作者的关注．文献[3—5，7_8，11]讨论了问题(1．1)一(1．3)在硪(Q)中全局吸引子的存在性，文献[6—7，13-14】讨论了在日2(Q)n硪(Q)中全局吸引子的存在性．文献【8，13]讨论了该问题在硪(Q)中指数吸引子的存在性，文献[10】讨论了维数小于4，，至多三次增长时日2(Q)n础(Q)中指数吸引子的存在性．本文讨论f满足如下条件时日2(Q)n瑶(Q)中指数吸引子的存在性．我们假设非线性函数满足下面的条件：f∈C2假1；R1)且满足(F1)I f(8)I≤C(1+I s11)，V s∈R，其中7"t=3，4时，0≤7<∞，n≥5时，0≤，y≤尚．(F2)，，(s)≤f．收稿日期：2013-06-26作者简介：刘转玲(1977一)，女，陕西渭南人，硕士，研究向：非线性系统，学物理程，Em ai l：l i uzhuanl i n9323@ 163．com ．286应用泛函分析学报第15卷2预备知识下面介绍用到的空间：让日=L2(Q)，Ⅵ=明(Q)，％=H2(Q)n础(Q)．(，)与¨f1分别表示日中的内积与范数．我们用¨忆表示K(s=1，2)的范数．显然¨』J。

一类非线性反应扩散方程解的Blow—up问题
张海亮;于鸣歧
【期刊名称】《数学杂志》
【年(卷),期】1997(17)4
【摘要】本文得用极大值原理研究一类非线性反应扩散方程在各种边界条件下解的Ｂｌｏｗ－ｕｐ问题，给出了整体解不存在的一系列定理，并得到了Ｂｌｏｗ－ｕｐ时间Ｔ的上界。

【总页数】5页(P482-486)
【作者】张海亮;于鸣歧
【作者单位】山西大学;山西大学
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.一类非线性扩散方程解的blow up速率估计 [J], 容跃堂;马福敏
2.混合边界条件的非线性反应扩散方程解的Blow-up问题 [J], 张菊平;樊志良
3.非线性反应扩散方程解的Blow-up问题 [J], 刘金枝
4.一类非线性反应扩散方程解的Blow-up问题 [J], 张杰民
5.一类非线性耗色散方程解的Blow—up [J], 郑镇汉;姚正安
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【正文】时滞反应扩散方程(组)的行波解和整体解一、引言时滞反应扩散方程(组)作为一类重要的非线性偏微分方程，在生物学、生态学、化学工程等领域都具有重要的应用价值。

本文将围绕时滞反应扩散方程(组)的行波解和整体解展开讨论，通过深入分析和探讨，帮助读者对这一主题有更深刻的理解。

二、时滞反应扩散方程(组)的基本形式时滞反应扩散方程是描述空间中自然界中的许多现象的重要数学模型，其一般形式可以写为：\[ u_t = d\Delta u + f(u) - \int_0^{\tau} k(s)g(u(x-s))ds \]其中，\( u(x,t) \) 是待求函数，表示空间位置为x、时间为t时的物理量；\( d \) 是扩散系数；\( f(u) \) 是物质的产生项和消耗项；\( k(\tau) \) 是时间滞后函数；\( g(u) \) 则表示物质的扩散项。

对于时滞反应扩散方程(组)的行波解和整体解的研究，需要深入理解方程中的各个参数和函数，以及它们之间的相互作用关系。

本文将分别从行波解和整体解两个方面进行探讨。

三、时滞反应扩散方程(组)的行波解行波解是非线性偏微分方程中的一类特殊解，描述了波的传播和形变过程。

对于时滞反应扩散方程(组)，其行波解的研究是非常重要的。

行波解可以通过变量变换和特定的求解方法得到，通常具有局部化、稳定性和非扩散性等特点。

针对时滞反应扩散方程(组)的行波解，我们可以通过一系列的推导和分析，得到其具体的数学形式。

在得到行波解的还需要对解的性质和行为进行分析和讨论，以便更好地理解方程描述的现象和规律。

基于行波解的特点，我们可以进一步讨论时滞反应扩散方程(组)在具体问题中的应用，例如在生态系统中的物种传播和竞争问题，以及化学反应过程中的物质扩散和转化等。

通过具体的案例分析和数值模拟，可以更直观地展示行波解在实际问题中的作用和意义。

四、时滞反应扩散方程(组)的整体解除了行波解之外，时滞反应扩散方程(组)的整体解也是我们关注的重点。

非线性反应-扩散方程指数吸引子的存在性唐莹;李晓军【摘要】The paper proves the existence of exponential attractors for nonlinear reaction-diffusion equations.It is proved that the corresponding semigroup is Lipschitz,and the corresponding discrete semigroup satisfies the squeezing property.%证明一类非线性反应-扩散方程指数吸引子的存在性。

为此,证明对应的解半群是Lipschitz的,且对应的离散半群满足squeezing特性。

【期刊名称】《金陵科技学院学报》【年(卷),期】2012(028)001【总页数】4页(P1-4)【关键词】非线性;反应-扩散方程;squeezing特性;指数吸引子【作者】唐莹;李晓军【作者单位】河海大学理学院,江苏南京210098;河海大学理学院,江苏南京210098【正文语种】中文【中图分类】O175.29研究发展型数学物理方程的主要问题之一是研究其解的长时间行为,其表述为全局吸引子。

全局吸引子是解空间中的紧不变集,吸引解空间的所有轨道。

众所周知,全局吸引子有两个本质的缺陷:对扰动的不稳定性和以低速吸引解轨道。

这给数值模拟带来很大困难,为了克服全局吸引子的缺陷,前人做了很多工作。

C.Foias,G.Sell,R.Temam提出了惯性流形的概念[1,2]。

由定义知,惯性流形是具有指数吸引性质的有限维光滑流形,且在半群作用下满足正不变性。

但惯性流形的构造基于一个本质的假设:谱分离条件。

对一般的发展方程而言,都不满足该条件,这使得惯性流形在具体的方程中很难应用。

为了克服谱分离条件的限制,C.Foias,R.Temam等人在文献 [3]中提出了指数吸引子的概念。

一、项目名称：非线性反应扩散方程理论及应用二、提名者及提名意见(专家提名项目还应公示提名专家的姓名、工作单位、职称和学科专业)提名单位：陕西省教育厅提名意见：本项目是系统研究非线性反应扩散方程稳态解及大时间行为的原创性成果。

针对具有重要生物、几何背景的反应扩散方程开展了系列深入细致的研究。

率先提出了多资源空间异质恒化器模型，完整刻画了模型共存态的整体分歧结构，提出了扩散驱动的物种共存机制，激发和推动了空间异质恒化器模型的研究。

建立了系列具有抑制剂的空间异质恒化器模型，发展了相关模型稳态解性态的研究，揭示了抑制剂对物种共存的调节作用。

研究了有关二维Minkowski问题的非线性偏微分方程正解的存在性，建立了负指数的Sobolev不等式。

研究了相关反应扩散模型稳态解及大时间行为，揭示了趋化、化感、周期介质等因素对反应扩散系统整体解、行波解及空间斑图形成机制的影响。

8篇代表性论文主要发表于美国工业与应用数学学会会刊《SIAM J. Appl. Math.》、《SIAM J. Math. Anal.》、国际数学著名期刊《Adv. Math.》及《J. Differential Equations》、《Indiana Univ. Math. J.》等国际知名SCI刊物。

8篇代表性论文总他引232次，SCI他引162次；1篇代表性论文入选SCI高被引论文。

研究成果丰富了非线性反应扩散方程理论，多项研究工作处于国际领先水平，获得了2017年陕西高等学校科学技术一等奖。

提名该项目为陕西省自然科学一等奖。

三、项目简介本项目属于非线性反应扩散方程研究领域，是项目组近二十年来在该领域研究工作的总结。

项目组先后承担国家自然科学基金项目8项，承担教育部高等学校博士学科点专项科研基金、教育部新世纪优秀人才支持计划、教育部骨干教师资助计划、教育部优秀青年教师资助计划等项目5项。

反应扩散方程不仅具有强烈的实际背景，而且对数学分析也提出了许多挑战性的问题，一直是偏微分方程的重要研究方向。

一些重要的非线性偏微分方程非线性偏微分方程是物理学、化学学、计算机科学、工程学等多个学科中最具挑战性和重要性的一类数学工具。

这种类型的方程在实际问题中经常会出现，如流体力学、电磁场理论、量子场论、相场理论等都是常常使用非线性偏微分方程来描述其行为和性质的。

下面我们将介绍一些重要的非线性偏微分方程及其应用。

1. 密涡流方程密涡流是流体力学领域中非常重要的现象。

其在大气科学到海洋科学中都有广泛的应用。

密涡流方程是一种解释这种现象的数学模型。

密涡流方程是一个非线性的偏微分方程，它的解决方法和得到精确解的难度都比较大。

2. 反应扩散方程反应扩散方程被广泛用于描述生物学和生态学中的现象。

这种方程模型将可以扩散的物种的分布与其吸收或消耗或生成速率联系起来。

这种方程重要的应用之一就是可以模拟稳态下的生态系统。

反应扩散方程在生态学中广泛应用，它可以帮助我们研究种群动态系统的空间演化效果、物种竞争等问题。

3. 应力平衡方程应力平衡方程是计算机科学中非常重要的非线性偏微分方程之一。

在计算机图形学和计算机动画的设计和制作中，这种方程被广泛应用。

这种方程旨在计算和控制三维形状和它们所受的外部力的影响，比如人物的动作捕捉、轮胎滚动、物体的形变等问题。

4. 广义KdV方程广义KdV方程是一种描述偏移与变形波的演化的非线性偏微分方程。

它被广泛应用于自然科学中的多个领域，比如地球物理学、天文学和物理学等。

广义KdV方程也可用于描述激波的逆反效应，它还可以用于研究孔径分布函数的相关问题。

总结：非线性偏微分方程是一个非常复杂和广泛的数学工具。

在应用于实际问题中，我们往往需要根据实际需求和模型构建选择相应的模型。

上述几种模型并不穷尽，我们还有许多其他的模型可用于描述实际问题的行为和性质，比如Navier-Stokes方程、Helmholtz-Hodge分解方程、大地热流平衡方程等。

有趣的是，随着计算机科学和数值方法的发展，我们可以使用高性能计算机和等离子体仿真等工具对这些方程进行求解，同时通过对这些方程的研究我们可以更好地理解自然界的复杂性质，不断拓展我们的科学认识。