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2018年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测(二)数学(理)试题+Word版含解析

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2018年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）理科数学沈阳命题：沈阳四中 孙玉才 沈阳五中 伊全才 沈阳回民中学 程绍臣沈阳11中 孙国华 沈阳120中学 孙 爽 沈阳外国语 张 颖沈阳审题：沈阳市教育研究院 王恩宾 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效。

3.考试结束后，考生将答题交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.）1.设集合{}|1A x x =<，(){}|30B x x x =-<，则AB =(A)()1,0- (B)()0,1 (C)()1,3- (D)()1,32.若复数11iz ai+=+为纯虚数，则实数a 的值为 (A)1 (B)0 (C)12- (D)-13. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推.例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（A ）(B)(C)(D)中国古代的算筹数码1 2 3 4 5 6 7 8 9纵式横式4. 如图所示程序框图是为了求出满足2228n n ->的最小偶数n ,那么在空白框中及最后输出的n 值分别是(A)1n n =+和6 (B)2n n =+和6 (C)1n n =+和8 (D)2n n =+和8 5. 函数2tan ()1xf x x x=++的部分图象大致为6.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），若其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是是否 28A ≤ 开始输出n 结束输入0n =22n A n =-主视图侧视图正视图223421（A ）43 (B)1033 (C)23 (D)8337. 6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种(A)24 (B)36 (C)48 (D)608. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，ABC ∆面积的最大值是（ ）(A)1 (B)3 (C)2 (D)49. 在棱长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，若以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角B AD C --，则所得四面体ABCD 的外接球的表面积为 （A ）3π (B)4π (C)5π (D)6π 10.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移a 个单位得到函数()cos(2)4g x x π=+的图象，则实数a 取得的最小正数值为 (A)512π (B)712π (C)1924π (D)4124π11.已知焦点在x 轴上的双曲线222211x y m m -=-的两个焦点分别为1F 和2F ，其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为(A)52 (B)72(C)2 (D)3 12.函数f (x )＝e x ，对任意不同x 1，x 2，都有，＜|k|(f (x 1)+ f (x 2))恒成立，则实数k 的取值范围是(A)[-2,2] (B) (－∞，-2]∪[2，＋∞) (C)[-12，12] （D ）(－∞,- 12]∪[12,+∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13. 设实数,x y 满足约束条件0405y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩≤，则25z x y =++的最大值为___________.14. 为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表数据计算出回归直线方程为 2.1161.13y x =-+后，将下表中一个数据污损，则被污损的数据为 ．（结果精确到整数）15.已知函数()f x 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，当(1)2f =时，(2018)(2019)f f +的值为 ．16. 已知腰长为2的等腰直角ABC ∆中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若||2PC =，则()()PA PB PC PM ⋅⋅⋅的最小值是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n S n n =-+，在正项等比数列{}n b 中，22b a =，45b a =．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和．18.随着社会的发展，越来越多的民众开始了解生态文明建设，据此，某网站针对大众对生态文明建设的三个发展方向：“人格文明、生态文明、产业文明”的关注情况进行调查。

大量数据表明，“生态文明”仍是百姓最关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（Ⅱ）现在要从年龄较小的第1,2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，在已知第1组已抽到1人的情况下，求第3组抽到2人的概率； （Ⅲ）若从所有参与调查的人中任意选出3人，设关注“生态文明”的人数为X ，求X 的分布列与期望．19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，PA ＝AB ＝AD ＝1（Ⅰ）证明：//EF 平面DCP ；（Ⅱ）求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值． 20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知圆1C 的方程为22(1)9x y -+=，圆2C 的方程为22(1)1x y ++=，动圆C 与圆1C 内切且与圆2C 外切.(Ⅰ)求动圆C 的圆心C 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与曲线E 交于A ,B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值. 21. （本小题满分12分）已知函数2()45xaf x x x e =-+-（a R ∈）． （Ⅰ）若()f x 为在R 上是单调递增函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）设()()xg x e f x =，当1m ≥时，若12()()2()g x g x g m +=（其中1x m <，2x m >），求证：122x x m +<．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题记分.22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：cos 3ρθ=，2C ：4cos ρθ=（02πθ≤<）．（Ⅰ）求1C 与2C 交点的极坐标； （Ⅱ）设点Q 在2C 上，23OQ QP =，求动点P 的极坐标方程． 23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.已知函数()|2||23|,f x x x m m =+++∈R . (Ⅰ)当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； (Ⅱ) 对于(,0)x ∀∈-∞，都有2()f x x x+恒成立，求m 的取值范围.数学（理科）试题参考答案及评分标准1 2 3 4 5 6 C D C D D B 7 8 9 10 11 12 A B C C BD13. 14 14. 3815. 72-16. 32242-三、解答题17. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）21n S n n =-+，∴令1n =，11a =,()121n n n a S S n -=-=-，()2n ≥. ------------2分经检验：11a =不能与n a ()2n ≥时合并，∴()()()11212n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩. ------------3分又数列{}n b 为等比，222b a ==，5916b a ==,∴3528b q b ==，∴2q =，∴12n n b -=. ------------6分 （Ⅱ）由（1）得：()()()()()()111112122122n n nn n c n n n n -==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨-⋅≥-⋅≥⎪⎪⎩⎩--------7分 设数列{}n c 的前n 项和为n T ,∴()()()23121231212n n T n =+-⋅+-⋅++-⋅()231122212n n =+⋅+⋅++-⋅, ------------8分()()34121212222212n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅, ------------9分∴()341322212n n n T n +-=++++--⋅()()32121231212n n n -+-=+--⋅-()()21382112n n n -+=+---⋅()112125n n n ++=--⋅-()1225n n +=-⋅-,∴()1522n n T n +=+-⋅. 经检验1n =时，符合题意要求. ------------12分18. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =，------------1分 平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁；------------2分设中位数为x ，则()100.010100.015350.0350.5,x ⨯+⨯+-⨯=42.1x ∴≈岁.------3分 （Ⅱ）第1,2,3组的人数分别为20人,30人,70人，从第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1,2,3组抽取的人数分别为2人,3人,7人. ------------5分设从12人中随机抽取3人，第1组抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ，则()()1227312122121021031221/.()50C C P AB C P B A C C C C P A C ===+ ------------7分 （Ⅲ）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为4,5P =X 的可能取值为0,1,2,3， ------------8分()30341015125P X C ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭ ()121344121155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()212344482155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()33346435125P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭ ------------10分 所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 112512125 48125641254~3,,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴()4123.55E X np ==⨯= ------------12分 19. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）取PC 中点M ，连接MF DM ,.F M , 分别是PB PC ,中点, CB MF CB MF 21,//=∴,E 为DA 中点，ABCD 为矩形，CB DE CB DE 21,//=∴,DE MF DE MF =∴,//,MFE CAP∴四边形DEFM 为平行四边形,//.EF DM ∴------------------------------3′EF ⊄平面PDC ，⊂DM 平面PDC ，//EF ∴平面PDC .---------4′（Ⅱ）⊥PA 平面ABC ,且四边形ABCD 是矩形，AP AB AD ,,∴两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz A -，------------5′则(),0,0,1P ()(),1,1,0,1,0,0C D ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,21,21,0,0F E .--------------6′设平面EFC 的法向量为()1111,,n x y z =，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,21,21,21,21FC EF ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n FC n EF , 即111222011022x y z x y z +-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取()2,1,31-=n .-----------------------------8′ 设平面PDC 的法向量为()2222,,n x y z =，()()1,1,1,1,0,1-=-=PC PD ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022n PC n PD , 即2222200x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩, 取()1,0,12=n .------------------------------------10′()1475214120113cos 212121=⨯⨯+⨯-+⨯=⋅⋅=n n n n n n ，-------------------------------11′∴平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为1475.------------------------------12′ 20. (本小题满分12分) 解：（Ⅰ）设动圆C 的半径为r ，由题意知12||3,||1CC r CC r =-=+，------------2分从而有12||||4CC CC +=，故轨迹E 为以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(2,0)-，从而轨迹E 的方程为221(2)43x y x +=≠-.------------5分 （Ⅱ）设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x 得22(34)690m y my ++-=，------------6分zxyFECD A (O )BP设点1122(,),(,)A x y B x y ，有12122269,,3434m y y y y m m --+==++------------12分 有2222212112(1)||13434m m AB m m m ++=+=++，------------8分点(2,0)P -到直线l 21m +点(2,0)Q 到直线l 21m+从而四边形APBQ 的面积22222112(1)241234341m m S m m m++=⨯=+++.------------10分 令21,1t m t +≥，有224241313t S t t t==++， 令()13,1h t t t t =+≥，则()21'30h t t=->，所以由函数13y t t =+在[1,)+∞上单调递增有()1314t h t+≥=，故2242461313t S t t t==≤++，当且仅当1,0t m ==时，“等号”成立， 所以四边形APBQ 面积的最大值为6.------------12分（四边形的面积也可以通过()22112121242S y y PQ y y y y =-=+-在应用直线方程为斜截式直线方程时，对斜率要进行分类讨论21. (本小题满分12分) 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为x ∈R 且单调递增，∴在x ∈R 上，()240x af x x e'=-+≥恒成立，即()42x a x e ≥-. ------------2分 设()()42xh x x e =-，x ∈R ，∴()()22xh x x e '=-，∴当(),1x ∈-∞时，()0h x '>， ()h x 在(),1x ∈-∞上为增函数；当[)1,x ∈+∞时，()0h x '≤， ()h x 在[)1,x ∈+∞上为减函数， ------------4分 ∴函数()h x 有极大值，∴()()max 12hx h e ==.()max42xa x e ⎡⎤≥-⎣⎦,∴2a e ≥，即[)2,a e ∈+∞. ------------5分 （Ⅱ）()()()245x x g x e f x x x e a ==-+-，且()()()122g x g x g m +=，[)1,m ∈+∞，∴()()()12222112245452452x x m x x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+-，∴()()()1222211224545245x x m x x e x x e m m e -++-+=-+，------------6分 设()()245x x x x e ϕ=-+，x ∈R ，则()()()122x x m ϕϕϕ+=， ∵()()210x x x e ϕ'=-≥，∴()x ϕ在x ∈R 上递增，且()10ϕ'=.------------7分 令()1,x m ∈-∞，()2,x m ∈+∞，设()()()F x m x m x ϕϕ=++-，[0,)x ∈+∞，------------8分∴()()()211m x m x F x m x e m x e +-'=+---- ，当0x >时，∵ 0m x m x e e +->>，()()()22112220m x m x m x +----=-≥， ∴()0F x '≥，()F x 在[0,)x ∈+∞上递增，∴()()()02F x F m ϕ>=， ------------9分 ∴()()()2m x m x m ϕϕϕ++->，()0,x ∈+∞，令1x m x =-，∴()()()112m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>，即()()()1122m x x m ϕϕϕ-+>.------------10分又()()()122x x m ϕϕϕ+=，∴()()()()12222m x m x m ϕϕϕϕ-+->，即()()122m x x ϕϕ->.------------11分 ∵1x m <，2x m >，∴12m x m ->，()x ϕ在x ∈R 上递增，∴122m x x ->，即122x x m +<. 得证. ------------12分22. (本小题满分10分)（Ⅰ）联立⎩⎨⎧==θρθρcos 43cos ，23cos ±=θ， ..........................................2分 20πθ<≤ ，∴6πθ=，32=ρ. .....................................................................4分 交点坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛6,32π. . .............5分（Ⅱ）设()θρ,P ,()00,θρQ 且.cos 400θρ= ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈2,00πθ...................................6分 由已知,32QP OQ =得⎪⎩⎪⎨⎧==θθρρ0052，...............................................................................8分 θρcos 452=∴，点P 的极坐标方程为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=2,0,cos 10πθθρ..............................10分 23. (本小题满分10分)解：（Ⅰ）当2m =-时，()()4103223-2=1023452x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪⎛⎫=++-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩＜＜ 当4130x x +≤⎧⎨≥⎩时，解得12x ≤≤0； 当30132x -≤＜＜时，恒成立； 当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩时，解得32x ≤≤--2， 此不等式的解集为1-22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，..............................4分 （分三部分分别解f (x )≤3，每部分解对给一分） （Ⅱ）()()43+03223=3023432x m x f x x x m m x x m x ⎧⎪+≥⎪⎪⎛⎫=++++-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--+≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩＜＜当(),0x ∈-∞时，()3302223=3432m x f x x x m x m x ⎧⎛⎫+- ⎪⎪⎪⎝⎭=+++⎨⎛⎫⎪--+≤- ⎪⎪⎝⎭⎩＜＜； 当302x -＜＜时，()=3+f x m ，当32x ≤-时，当()3=432x f x x m ≤---+，单调递减，∴函数f (x )在3[,0)2-内都有最小值，且最小值为3+m. ……….6分 设()()20g x x x x=+<. 当20,22x x x->-+≥-， 当且仅当2=x x --时，取“等号”，2-22,x x∴+≤ 即2x =-时，g (x )取得最大值-22.………….8 分 因为32[,0)2x =-∈-，结合两个函数的图象， 要使()2f x x x≥+恒成立，只需322m +≥-，即22-3m ≥-. ……………10 分，即22-3m ≥-. ……………10 分。

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2018年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(理科)

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2018年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在本小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z=(1−i)(2−i)，则它的共轭复数z的虚部为（）A.3iB.−3iC.3D.−3【答案】C【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵z=(1−i)(2−i)=1−3i，∴z=1+3i．∴z的虚部为（3）2. 已知集合A={x|y=log2(1−x)}，B={y|y=2x, x∈R}，则A∩B=()A.⌀B.(0, 1)C.(0, +∞)D.(1, +∞)【答案】B【考点】交集及其运算【解析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】A={x|x<1}，B={y|y>0}；∴A∩B=(0, 1)．3. 已知数列{a n}为等差数列，S n是它的前n项和，若S4=20，a4=8，则S8=()A.52B.72C.56D.64【答案】B【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】设等差数列{a n}的公差为d，∵S4=20，a4=8，∴4a1+4×3d=20，a1+3d=(8)2联立解得a1=d=(2)×2=7(2)则S8=8×2+8×724. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）A.72B.66C.60D.30【答案】 A【考点】由三视图求体积 【解析】本题主要考查三视围及空间几何体的表面积． 【解答】解：由三视图可知{x +y −2=3,x −y +3=2y,解得{x =3,y =2,结合题意可知该几何体是一个直三棱柱，且直三棱柱的底面是以3，4为直角边的直角三角形，直三棱柱的高为5，又底面直角三角形的周长为3+4+5=12，所以S 侧面=12×5=60，又S 底面=2×12×3×4=12，故该几何体的表面积S =60+12=72．故选A ．5. 已知向量a →=(−1, 3)，b →=(2, m)，则“m =−1”是“b →⊥(a →+b →)”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】由b →⊥(a →+b →)”，可得b →⋅(a →+b →)=2+m(3+m)=0，解得m ，即可判断出结论． 【解答】a →+b →=(1, 3+m)．∵ b →⊥(a →+b →)”，∴ b →⋅(a →+b →)=2+m(3+m)=0，解得m =−1或−(2)∴ “m =−1”是“b →⊥(a →+b →)”的充分不必要条件．6. (1−x)6(1−2x)4=a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 10x 10，则a 0+a 1+．……+a 10的值为（ ） A.0 B.2 C.−1 D.1 【答案】 A【考点】二项展开式的特定项与特定系数 二项式系数的性质 【解析】在已知二项式定理中，取x =1，即可求得a 0+a 1+……+a 10的值． 【解答】在(1−x)6(1−2x)4=a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 10x 10中， 取x =1，可得a 0+a 1+……+a 10=(0)7. 已知α∈(π, 3π2)，sinα=−√55，则tan(α+π4)的值为（ ）A.32B.−32C.3D.−3【答案】 C【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用两角和的正切公式求得tan(α+π4)的值． 【解答】 ∵ α∈(π,3π2)，sinα=−√55，∴ cosα=−√1−sin 2α=−2√55，tanα=sinαcosα=12， 则tan(α+π4)=tanα+11−tanα=3，8. 已知直线ax +by +c −2=0(b >0, c >0)经过双曲线：y 2−x 24=1的上顶点，则4b +1c 的最小值是（ ）A.92B.4C.72D.2【答案】 A双曲线的特性 【解析】利用双曲线的简单性质，写出b 、c 的关系，然后利用基本不等式求解表达式的最小值即可． 【解答】直线ax +by +c −2=0(b >0, c >0)经过双曲线：y 2−x 24=1的上顶点，可得b +c =2，则4b+1c=12(4b+1c)(b +c)=12(5+4c b+b c)≥12(5+2√4c b×b c)=92，当且仅当b =2c 时，等号成立．9. 在如图的程序框图中，任意输入一次x(0≤x ≤2)与y(0≤y ≤2)，则输出“恭喜中奖”的概率为（ ）A.π2B.π4C.π6D.π8【答案】 D【考点】 程序框图 【解析】根据程序框图转化为几何概型进行计算即可． 【解答】由程序框图知{0≤x ≤20≤y ≤2 ，求y ≤√1−(x −1)2的概率， 作出对应的图象如图： 则对应的概率P =π×1222×2=π8，10. 已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，过右焦点F(2, 0)且在y 轴上的截距为−2的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，以OA 和OB 为邻边作平行四边形OBCA ，其中OC |OC →|=(2√55,−√55)，则椭圆E 的方程为（ ） A.x 212+y 28=1 B.x 25+y 2=1 C.x 26+y 22=1D.x 28+y 24=1D【考点】 椭圆的定义 【解析】设椭圆的标准方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．直线l 的方程为：y =x −(2)联立{y =x −2x 2a 2+y 2b 2=1，化为：(a 2+b 2)x 2−4a 2x +4a 2−a 2b 2=0，由以OA 和OB 为邻边作平行四边形OBCA ，其中OC |OC →|=(2√55,−√55)，可得OC →=OA →+OB →=(x 1+x 2, y 1+y 2)=(4a 2a 2+b2,−4b 2a 2+b 2)．可得a 2=2b 2，又a 2−b 2=4，联立解得．【解答】设椭圆的标准方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 直线l 的方程为：y =0−(−2)2−0x −2，化为：y =x −(2)联立{y =x −2x 2a 2+y 2b 2=1，化为：(a 2+b 2)x 2−4a 2x +4a 2−a 2b 2=0，△>0，x 1+x 2=4a 2a 2+b 2，∴ y 1+y 2=x 1+x 2−4，∵ 以OA 和OB 为邻边作平行四边形OBCA ，其中OC |OC →|=(2√55,−√55)， ∴ OC →=OA →+OB →=(x 1+x 2, y 1+y 2)=(4a 2a 2+b 2,−4b 2a 2+b 2)． ∴ a 2=2b 2，又a 2−b 2=4， 解得b 2=4，a 2=(8) ∴ 椭圆的标准方程为：x 28+y 24=(1)故选：D ．11. 甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试．当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”．如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】 B【考点】进行简单的合情推理 【解析】本题主要考查逻辑推理，考查的核心素养是逻辑推理． 【解答】解：若是甲申请了，则甲、乙、丙、丁四人说的都是错的，不符合题意；若是乙申请了，则甲、乙两人说的都是错的，丙、丁两人说的都是对的，符合题意；若是丙申请了，则甲、乙、丙三人说的都是对的，只有丁一人说的是错的，不符合题意；若是丁申请了，则只有甲一人说的是对的，乙、丙、丁三人说的都是错的，不符合题意．综上可知，选B．故选B．12. 函数f(x)=x+e x|x|−e x的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】分类讨论，当x≥0时，根据函数的零点存在定理，可以判断f(x)在[0, +∞)有唯一的零点，再根据导数和函数的最值可以判断f(x)在(−∞, 0)上无零点，即可得到答案．【解答】当x≥0时，f(x)=x+xe x−e x，则f′(x)=1+e x+xe x−e x=1+xe x>0恒成立，∴f(x)在[0, +∞)上单调递增，∴f(x)≥f(0)=0+0−1=−1，∵f(1)=1>0，∴f(0)f(1)<0，∴f(x)在[0, +∞)有唯一的零点，当x<0时，f(x)=x−xe x−e x，则f′(x)=1−e x−xe x−e x=1−e x(2+x)，设g(x)=1−e x(2+x)，∴g′(x)=−e x(x+3)，令g′(x)=0，解得x=−3，当x∈(−∞, −3)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x∈(−3, 0)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递增减，∴g(x)max=g(−3)=1+e−3>0，∵g(0)=−1，当x→−∞时，g(x)→1，g(−1)=1−1>0e∴存在x0∈(−1, 0)使得g(x0)=0，即1−e x0(2+x0)=0，当x∈(−∞, x0)时，f′(x)=g(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(x0, 0)时，f′(x)=g(x)<0，函数f(x)单调递减，∴f(x)max=f(x0)=x0−x0e x0−e x0=x0−x0+1<0，x0+2∴f(x)在(−∞, 0)上无零点，综上所述，f(x)在R上有唯一的零点，故选：B．二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

东北三省四市2018届高三高考第二次模拟考试数学(理)试题

东北三省四市2018届高三高考第二次模拟考试数学(理)试题

2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（二）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.已知复数12z i =+，则z z ⋅=A. 5B. 54i +C. 3-D.34i -2.已知集合{}{}2|230,|2A x x x B x x =--<=<，则AB =A.{}|22x x -<<B. {}|23x x -<<C. {}|13x x -<<D. {}|12x x -<<3.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.设A,B 为两个等高的几何体，p ：A,B 的体积不相等，q:A,B 在同高处的截面面积相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4.若点P 为抛物线22y x =上的动点，F 为抛物线的焦点，则PF 的最小值为 A. 2 B.12 C. 14 D.185.已知数列{}n a 满足112,5n n a a a +-==-，则126a a a +++=A. 9B. 15C. 18D.30 6.平面内的动点(),x y 满足条件3010x y x y +-≤⎧⎨-+≤⎩，则2z x y =+的取值范围是A. (),-∞+∞B. (],4-∞C. [)4,+∞D.[]2,2- 7.某几何体的三视图如图所示，则其体积为 A. 4 B.73 C. 43 D.838.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，事件“至少有一次正面向上”的概率为1516p p ⎛⎫≥⎪⎝⎭，则n 的最小值为 A. 4 B.5 C. 6 D. 79.若关于x 的方程2sin 26x m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根12,x x ，则12x x +=A.2π B. 4π C. 3π D.23π10.运行如图所示的程序框图，则输出的,,a b c 满足 A. c b a ≤≤ B. a b c ≤≤C. a c b ≤≤D. b c a ≤≤ 11.已知向量()()3,1,1,3,OA OB ==-()0,0OC mOA nOB m n =->>,若1m n +=，则OC 的最小值为12.已知函数()cos cos 2x mf x x ++，若对于,,a b c R ∀∈,()()(),,f a f b f c 都为某个三角形的三边长，则实数m 的取值范围是 A. 5,64⎛⎫⎪⎝⎭B. 5,63⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 7,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D.5,54⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，若甲乙分得的电影版连号，则共有 种不同的分法.（用数字作答）14.函数()sin xf x e x =在点()()0,0f 处的切线方程为 .15.等比数列{}n a 的各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足2124283,16S a a a =+=，则4S = .16.F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，过F 作某一渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于A,B 两点，若12AFBF =，则双曲线的离心率为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知点)(),cos ,sin PQ x x ，O 为坐标原点，函数().f x OP QP =⋅（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若A 为ABC ∆的内角()4,3f A BC ==，求ABC ∆周长的最大值.18.（本题满分12分）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频率分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样的方法从男性用户中抽取20名用户，再从这20名用户中满足评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数X 的分布列和期望.19.（本题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，,AD AP E =为棱PD 的中点.（1）证明：PD ⊥平面ABE ；（2）若F 为AB 的中点，()01PM PC λλ=<<,试确定λ的值，使得二面角P FM B --的余弦值为20.（本题满分12分）椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为P 为椭圆C 上异于顶点的一个动点，O 为坐标原点，2A 为椭圆C 的右顶点，点M 为线段2PA 的中点，且直线2PA 与直线OM 的斜率之积为12-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左焦点1F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于两点,A B ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，N 点的横坐标的取值范围是1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭，求线段AB 的长的取值范围.21.（本题满分12分） 已知函数()ln xf x x=（1）求函数()f x 的极值；（2）当0x e <<时，证明：()()f e x f e x +>-；（3）设函数()f x 的图象与直线x m =的两个交点分别为()()1122,,,,A x y B x y AB 的中点的横坐标为0x ，证明：()00f x '<.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

东北三省四市教研联合体高考2018年数学三模试卷（理科）Word版含解析

东北三省四市教研联合体高考2018年数学三模试卷（理科）Word版含解析

东北三省四市教研联合体⾼考2018年数学三模试卷（理科）Word版含解析东北三省四市教研联合体⾼考2018年三模试卷（理科数学）⼀、选择题1．若集合A={1，2}，B={1，3}，则集合A ∪B 的真⼦集的个数为（）A ．7B ．8C ．15D ．162．设复数z 1，z 2在复平⾯内对应的点关于虚轴对称，且z 1=2+i ，则=（）A ．﹣4+3iB ．4﹣3iC ．﹣3﹣4iD ．3﹣4i3．已知函数f （x ）=，则f （a ）的值不可能为（）A ．2016B ．0C ．﹣2D ．4．设等⽐数列{a n }的公⽐q=，前n 项和为S n ，则=（）A ．5B ．7C ．8D ．155．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平⾯，给出下列四个命题：其中正确命题的个数是（）（1）若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β；（2）若n ⊥α，m ⊥β，且n ⊥m ，则α⊥β；（3）若α⊥β，m ?α，m ⊥β，则m ∥α；（4）若m ，n 是异⾯直线，m ?α，m ∥β，n ?β，n ∥α，则α∥β．A ．1B ．2C ．3D ．46．在边长为2的等边三⾓形△ABC 中，点M 在边AB 上，且满⾜=3，则?=（）A ．B ．C ．D ．47．见如图程序框图，若输⼊a=110011，则输出结果是（）A ．51B ．49C ．47D ．458．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，直线y=﹣3与抛物线交于点M ，|MF|=5，则抛物线的标准⽅程是（）A ．y 2=2xB ．y 2=18xC ．y 2=xD ．y 2=2x 或y 2=18x9．已知长⽅体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=BB 1=，在四边形ABC 1D 1内随机取⼀点M ，则满⾜∠AMB ≥135°的概率为（）A ．B ．C ．10．已知双曲线C ：的右焦点为F ，以F 为圆⼼和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的⼀个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离⼼率为（）A ．B ．C ．D ．211．△ABC 中，D 为BC 的中点，满⾜∠BAD+∠C=90°，则△ABC 的形状是（）A ．等腰三⾓形B ．直⾓三⾓形C ．等腰直⾓三⾓形D ．等腰或直⾓三⾓形12．已知函数f （x ）=|ln|x ﹣1||+x 2与g （x ）=2x 有n 个交点，它们的横坐标之和为（）A ．0B ．2C ．4D ．8⼆.填空题13．设a 为⾮零常数，已知（x+）（1﹣ax ）4的展开式中各项系数和为3，展开式中x 2项的系数是______．14．在椭圆=1上有两个动点M ，N ，K （3，0）为定点， ?=0，则?最⼩值为______．15．已知三棱锥的三视图的正视图是等腰三⾓形，俯视图是边长为的等边三⾓形，侧视图是直⾓三⾓形，16．已知数列{2n ?a n }的前n 项和为，若存在n ∈N *，使得a n ≥m 成⽴，则m 的取值范围是______．三.解答题17．函数f （x ）=Asin （?x+φ）（A ＞0，0＜?＜4，|φ|＜）过点（0，），且当x=时，函数f （x ）取得最⼤值1．（1）将函数f （x ）的图象向右平移个单位得到函数g （x ），求函数g （x ）的表达式；（2）在（1）的条件下，函数h （x ）=f （x ）+g （x ）+2cos 2x ﹣1，如果对于?x 1，x 2∈R ，都有h （x 1）≤h （x ）≤h （x 2），求|x 1﹣x 2|的最⼩值．（2）若从甲、⼄两位同学的数学考试成绩中各随机抽取2次成绩进⾏分析，设抽到的成绩中130分以上的次数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底⾯四边形ABCD是正⽅形，PA=PD，且PA⊥CD．（1）求证：平⾯PAD⊥底⾯ABCD；（2）设=λ，当λ为何值时直线PA与平⾯PBC所成⾓的余弦值为？20．已知A（﹣2a，0），B（2a，0）（a＞0），||=2a，D为线段BP的中点．（1）求点D的轨迹E的⽅程；（2）抛物线C以坐标原点为顶点，以轨迹E与x轴正半轴的交点F为焦点，过点B的直线与抛物线C交于M，N两点，试判断坐标原点与以MN为直径的圆的位置关系．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，x=0是极值点．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=，试⽐较g（4）+g（9）+…+g（n2）与（n∈Z，n≥2）的⼤⼩．[选修4-4坐标系与参数⽅程]22．经过抛物线C：y2=2px（p＞0）外的点A（﹣2，﹣4），且倾斜⾓为的直线l与抛物线C交于M，N两（1）求抛物线C的⽅程；（2）E，F为抛物线C上的两点，且OE⊥OF（O为坐标原点），求△OEF的⾯积的最⼩值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+2|+|x+m|（m＜2），若f（x）的最⼩值为1．（1）试求实数m的值；（2）求证：log（2a+2b）﹣m≥．2东北三省四市教研联合体⾼考2018年三模试卷（理科数学）参考答案与试题解析⼀、选择题1．若集合A={1，2}，B={1，3}，则集合A ∪B 的真⼦集的个数为（）A ．7B ．8C ．15D ．16【考点】⼦集与真⼦集．【分析】由根据集合的定义得到：集合A ∪B={1，2，3}，由此能求出集合A ∪B 的真⼦集个数．【解答】解：∵A={1，2}，B={1，3}，∴集合A ∪B={1，2，3}，∴集合A ∪B 的真⼦集个数为23﹣1=7．故选：A ．2．设复数z 1，z 2在复平⾯内对应的点关于虚轴对称，且z 1=2+i ，则=（）A ．﹣4+3iB ．4﹣3iC ．﹣3﹣4iD ．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利⽤复数的运算法则与共轭复数的定义、⼏何意义即可得出．【解答】解：依题z 2=﹣2+i ，从⽽，于是=﹣3﹣4i ，故选：C ．3．已知函数f （x ）=，则f （a ）的值不可能为（）A ．2016B ．0C ．﹣2D ．【考点】函数的值．【分析】由分段函数分类讨论以确定函数的值域，从⽽确定答案．【解答】解：①当x ＞0时，f （x ）=x （x+4）＞0，②当x ≤0时，f （x ）=x （x ﹣4）≥0，故f （x ）≥0，故f （a ）的值不可能为﹣2，故选C ．4．设等⽐数列{a n }的公⽐q=，前n 项和为S n ，则=（）A ．5B ．7C ．8D ．15【考点】等⽐数列的通项公式．【分析】利⽤等⽐数列的通项公式与前n 项和公式即可得出．【解答】解：S 3==，a 3==，∴=7．故选：B ．5．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平⾯，给出下列四个命题：其中正确命题的个数是（）（1）若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β；（2）若n ⊥α，m ⊥β，且n ⊥m ，则α⊥β；（3）若α⊥β，m ?α，m ⊥β，则m ∥α；（4）若m ，n 是异⾯直线，m ?α，m ∥β，n ?β，n ∥α，则α∥β．A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】空间中直线与平⾯之间的位置关系．【分析】根据线⾯位置关系的性质和判定定理进⾏分析或举出反例，属于中档题．【解答】解：对于（1），设α∩β=l ，则当m ∥l ，m ?β时，结论不成⽴，故（1）错误．对于（2），设m ，n 的⽅向向量分别是，则分别为平⾯β，α的法向量，∵m ⊥n ，∴的夹⾓为90°，∴平⾯α与β所成⼆⾯⾓为直⾓，即α⊥β．故（2）正确．对于（3），∵α⊥β，m ⊥β，∴m ∥α，或m ?α．⼜m ?α，∴m ∥α．故（3）正确．对于（4），假设α，β不平⾏，则α，β相交，设交线为l ，∵m ?α，m ∥β，α∩β=l ，∴m ∥l ，同理：n ∥l ，∴m ∥n ，与m ，n 是异⾯直线⽭盾．∴假设错误，即α∥β．故（4）正确．故选：C ．6．在边长为2的等边三⾓形△ABC 中，点M 在边AB 上，且满⾜=3，则?=（）A ．B ．C ．【分析】⽤表⽰出，再计算?．【解答】解：∵=3，∴==，∴==+，∴则?=（+）=+=+=．故选：A ．7．见如图程序框图，若输⼊a=110011，则输出结果是（）A ．51B ．49C ．47D ．45【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利⽤循环结构计算并输出变量b 的值，模拟程序的运⾏过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第⼀次执⾏循环体后，t=1，b=1，i=2，不满⾜退出循环的条件，第⼆次执⾏循环体后，t=1，b=3，i=3，不满⾜退出循环的条件，第三次执⾏循环体后，t=0，b=3，i=4，不满⾜退出循环的条件，第四次执⾏循环体后，t=0，b=3，i=5，不满⾜退出循环的条件，第五次执⾏循环体后，t=1，b=19，i=6，不满⾜退出循环的条件，第六次执⾏循环体后，t=1，b=51，i=7，满⾜退出循环的条件，故输出b 值为51，故选：A ．8．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，直线y=﹣3与抛物线交于点M ，|MF|=5，则抛物线的标准⽅程是（）A ．y 2=2xB ．y 2=18xC ．y 2=xD ．y 2=2x 或y 2=18x【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得|MF|=5=x M +，解得x M =5﹣＞0，把M代⼊抛物线⽅程解出即可得出．【解答】解：由题意可得|MF|=5=x M +，解得x M =5﹣＞0，∴M代⼊抛物线⽅程可得：（﹣3）2=2p，化为：p2﹣10p+9=0，解得p=1或9．∴抛物线的标准⽅程是y2=2x或y2=18x．故选：D．9．已知长⽅体ABCD﹣AB1C1D1中，AB=2，BC=BB1=，在四边形ABC1D1内随机取⼀点M，则满⾜∠AMB≥135°的概率为（）A．B．C．D．【考点】⼏何概型．【分析】由题意通过圆和三⾓形的知识确定满⾜条件的图形，分别找出满⾜条件的点集对应的图形⾯积，及图形的总⾯积，作⽐值即可．【解答】解：长⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=，∴B11=2，∴四边形ABC1D1为正⽅形，其⾯积为2×2=4，以AB为底边，向正⽅形外作顶⾓为90°的等腰三⾓形，以等腰三⾓形的顶点O为圆⼼，OA为半径作圆，根据圆周⾓相关定理，弧AB所对的圆周⾓为135°．即当M取圆O与ABC1D1的公共部分（⼸形），∠AMB必⼤于135°其中AB=2，OA=，S阴影=π（）2﹣××=﹣1，故所求的概率为=，故选：B．10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆⼼和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的⼀个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离⼼率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（c，0），渐近线⽅程为y=x，运⽤点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF 垂直于x轴，可得a=b，运⽤a，b，c的关系和离⼼率公式，即可得到所求值．【解答】解：设F（c，0），渐近线⽅程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离⼼率e==，故选C．11．△ABC中，D为BC的中点，满⾜∠BAD+∠C=90°，则△ABC的形状是（）A．等腰三⾓形B．直⾓三⾓形C．等腰直⾓三⾓形D．等腰或直⾓三⾓形【考点】三⾓形的形状判断．【分析】由∠BAD+∠C=90°，根据三⾓形的内⾓和定理得到剩下的两⾓相加也为90°，设∠BAD=α，∠B=β，可得∠C=90°﹣α，∠CAD=90°﹣β，在三⾓形ABD和三⾓形ADC中，分别根据正弦定理表⽰出BD：AD及CD：AD，由D为BC中点，得到BD=CD，从⽽得到两⽐值相等，列出关于α和β的关系式，利⽤诱导公式及⼆倍⾓的正弦函数公式化简后，得到sin2α=sin2β，由α和β的范围，可得出α=β或α+β=90°，由α=β根据等⾓对等边可得AD=BD=CD，根据三⾓形⼀边上的中线等于这边的⼀半可得三⾓形ABC为直⾓三⾓形；由α+β=90°，可得AD与BC垂直，⼜D为BC中点，故AD垂直平分BC，故AB=AC，此时三⾓形ABC为等腰三⾓形．【解答】解：∵∠BAD+∠C=90°，∴∠CAD+∠B=180°﹣（∠BAD+∠C）=90°，设∠BAD=α，∠B=β，则∠C=90°﹣α，∠CAD=90°﹣β，在△ABD和△ACD中，根据正弦定理得：sinα：sinβ=BD：AD，sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）=CD：AD，⼜D为BC中点，∴BD=CD，∴sinα：sinβ=sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）=cosβ：cosα，∴sinαcosα=sinβcosβ，即sin2α=sin2β，∴2α=2β或2α+2β=180°，∴α=β或α+β=90°，∴BD=AD=CD或AD⊥CD，∴∠BAC=90°或AB=AC，∴△ABC为直⾓三⾓形或等腰三⾓形．。

东北三省四市2018届高考第二次模拟数学试题(理)有答案AlUlAP

东北三省四市2018届高考第二次模拟数学试题(理)有答案AlUlAP

东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考试理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}03,1ππ-==x x x B x x A ，则B A Y （ ） A ．（-1,0） B ．（0,1） C ．（-1,3） D ．（1,3） 2.若复数aiiz ++=11为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．21-D ．-1 3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示).表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示.以此类推.例如3266用箅筇表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）中国古代的算筹数码 A ．B ．C ．D ．4.右图所示的程序框图是为了求出满足2822φn n -的最小偶数n ，那么在空白框内填入及最后输出的n 值分别是（ ）A ．1+=n n 和6B ．2+=n n 和6 C.1+=n n 和8 D ．2+=n n 和8 5.函数xxx x f tan 1)(2++=的部分图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．6.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．34B ．3310 C.32 D ．3387.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种A ．24B ．36 C.48 D ．608.ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若ABC b A c C a B b ∆=+=,2,cos cos cos 2的面积最大值是（ ）A ．1B ．3 C.2 D ．49.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角C AD B --，则过D C B A ,,,四点的球的表面积为（ ）A ．π3B ．π4 C.π5 D ．π6 10.将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin )(πx x f 的图像向右平移a 个单位得到函数()cos(2)4g x x π=+的图象，则a 的值可以为（ ）A ．512π B ．712π C ．924π1 D ．4124π11..已知焦点在x 轴上的双曲线222211x y m m -=-的左右两个焦点分别为1F 和2F ，其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）A．2BC ．2D ．312.若直线10kx y k --+=（k R ∈）和曲线:E 3253y ax bx =++（0ab ≠）的图象交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y （123x x x <<）三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行，则过点(,)b a 可作曲线E 的（ ）条切线 A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数x ，y 满足约束条件0,40,5,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩则25z x y =++的最大值为．14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为$ 2.1161.13y x =-+，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为．（最后结果精确到整数位）15.已知函数()f x 满足(1)1()f x f x +=-，当(1)2f =时，(2018)(2019)f f +的值为．16.已知腰长为2的等腰直角ABC ∆中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若||2PC =u u u r，则()()PA PB PC PM ⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r的最小值是．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n S n n =-+，正项等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且22b a =，45b a =．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）数列{}n c 中，11c a =，且1n n n c c T +=-，求{}n c 的通项n c ．18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望．19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，1PA AB ==．（1）证明：//EF 平面DCP ；（2）求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值．20.在平面直角坐标系中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，点3(1,)2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值． 21.已知函数2()45xaf x x x e =-+-（a R ∈）． （I ）若()f x 为在R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；（II ）设()()xg x e f x =，当1m ≥时，若12()()2()g x g x g m +=（其中1x m <，2x m >），求证：122x x m +<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：cos 3ρθ=，曲线2C ：4cos ρθ=（02πθ≤<）．（I ）求1C 与2C 交点的极坐标；（II ）设点Q 在2C 上，23OQ QP =u u u r u u u r，求动点P 的极坐标方程．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x x m =+++，m R ∈． （I ）当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； （II ）对于(,0)x ∀∈-∞都有2()f x x x≥+恒成立，求实数m 的取值范围．数学（理科）试题参考答案一、选择题1-5:CDCDD 6-10:BABCC 11、12：BC 二、填空题13.14 14.38 15.72- 16.22432- 三、解答题17.解：（1）∵21n S n n =-+，∴令1n =，11a =，12(1)n n n a S S n -=-=-，(2)n ≥，经检验11a =不能与n a （2n ≥）时合并， ∴1,1,2(1), 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩又∵数列{}n b 为等比数列，222b a ==，458b a ==， ∴2424b q b ==，∴2q =， ∴11b =，∴12n n b -=．（2）122112nn n T -==--， ∵12121c c -=-，23221c c -=-，…，1121n n n c c ---=-，以上各式相加得112(12)(1)12n n c c n ---=---， 111c a ==，∴121nn c n -=--，∴21nn c =-．18.解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=，得0.035a =， 平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁；设中位数为x ，则100.010100.015(35)0.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=，∴42.1x ≈岁． （2）第1,2组抽取的人数分别为2人，3人． 设第2组中恰好抽取2人的事件为A ，则1223353()5C C P A C ==． （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注环境治理和保护问题的概率为45P =，X 的所有可能取值为0，1,2,3，∴03341(0)(1)5125P X C ==-=，11234412(1)()(1)55125P X C ==-=，2234448(2)()(1)55125P X C ==-=， 333464(3)()5125P X C ===， 所以X 的分布列为：∵4~(3,)5X B ， ∴412()355E X =⨯=． 19.解：（1）取PC 中点M ，连接DM ，MF ， ∵M ，F 分别是PC ，PB 中点，∴//MF CB ，12MF CB =， ∵E 为DA 中点，ABCD 为矩形，∴//DE CB ，12DE CB =， ∴//MF DE ，MF DE =，∴四边形DEFM 为平行四边形， ∴//EF DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， ∴//EF 平面PDC ．（2）∵PA ⊥平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，∴AD ，AB ，AP 两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， 则(1,0,0)P ，(0,0,1)D ，(0,1,1)C ，1(0,0,)2E ，11(,,0)22F ，设平面EFC 法向量1(,,)n x y z =u r ，111(,,)222EF =-u u u r ，11(,,1)22FC =-u u u r ，则110,0,EF n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r 即0,110,22x y z x y z +-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取1(3,1,2)n =-u r ， 设平面PDC 法向量为2(,,)n x y z =u u r ，(1,0,1)PD =-u u u r ，(1,1,1)PC =-uu u r，则220,0,PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u ru u u r u u r 即0,0,x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩取2(1,0,1)n =u u r ， 121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r所以平面EFC 与平面PDC所成锐二面角的余弦值为14． 20.解：（1）∵12c a =，∴2a c =， 椭圆的方程为2222143x y c c+=，将3(1,)2代入得22191412c c+=，∴21c =， ∴椭圆的方程为22143x y +=． （2）设l 的方程为1x my =+，联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得22(34)690m y my ++-=， 设点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 有122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，有2212(1)||34m AB m +==+， 点P (2,0)-到直线l点(2,0)Q 到直线l从而四边形APBQ的面积22112(1)234m S m +=⨯=+（或121||||2S PQ y y =-）令t =，1t ≥， 有22431t S t =+2413t t =+，设函数1()3f t t t =+，21'()30f t t =->，所以()f t 在[1,)+∞上单调递增， 有134t t+≥，故2242461313t S t t t==≤++，所以当1t =，即0m =时，四边形APBQ 面积的最大值为6． 21.解：（1）∵()f x 的定义域为x R ∈且单调递增， ∴在x R ∈上，'()240xaf x x e =-+≥恒成立，即：(42)xa x e ≥-，所以设()(42)xh x x e =-，x R ∈， ∴'()(22)xh x x e =-，∴当(,1)x ∈-∞时，'()0h x >，∴()h x 在(,1)x ∈-∞上为增函数， ∴当[1,)x ∈+∞时，'()0h x ≤，∴()h x 在[1,)x ∈+∞上为减函数，∴max ()(1)2h x h e ==，∵max(42)x a x e ⎡⎤≥-⎣⎦，∴2a e ≥，即[2,)a e ∈+∞．（2）∵2()()(45)x xg x e f x x x e a ==-+-， ∵12()()2()g x g x g m +=，[1,)m ∈+∞，∴122221122(45)(45)2(45)2xxmx x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+-，∴122221122(45)(45)2(45)xx m x x e x x em m e -++-+=-+，∴设2()(45)xx x x e ϕ=-+，x R ∈，则12()()2()x x m ϕϕϕ+=， ∴2'()(1)0xx x e ϕ=-≥，∴()x ϕ在x R ∈上递增， ∴设()()()F x m x m x ϕϕ=++-，(0,)x ∈+∞， ∴22'()(1)(1)m xm x F x m x e m x e +-=+----，∵0x >，∴0m x m x e e +->>，22(1)(1)(22)20m x m x m x +----=-≥， ∴'()0F x ≥，()F x 在(0,)x ∈+∞上递增， ∴()(0)2()F x F m ϕ>=，∴()()2()m x m x m ϕϕϕ++->，(0,)x ∈+∞， 令1x m x =-，∴11()()2()m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>，即11(2)()2()m x x m ϕϕϕ-+>， 又∵12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴12(2)2()()2()m x m x m ϕϕϕϕ-+->，即12(2)()m x x ϕϕ->， ∵()x ϕ在x R ∈上递增，∴122m x x ->，即122x x m +<得证．22.解：（1）联立cos 3,4cos ,ρθρθ=⎧⎨=⎩cos 2θ=±，∵02πθ≤<，6πθ=，ρ=∴所求交点的极坐标)6π．（2）设(,)P ρθ，00(,)Q ρθ且004cos ρθ=，0[0,)2πθ∈，由已知23OQ QP =u u u r u u u r ，得002,5,ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴24cos 5ρθ=，点P 的极坐标方程为10cos ρθ=，[0,)2πθ∈． 23.解：（1）当2m =-时，41,0,3()|2||23|21,0,2345,.2x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=++-=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩当413,0,x x +≤⎧⎨≥⎩解得102x ≤≤；当302x -<<，13≤恒成立；当453,3,2x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-， 此不等式的解集为1|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）令233,0,22()()2353,,2x m x x g x f x x x x m x x ⎧--++-≤<⎪⎪=--=⎨⎪--+-≤-⎪⎩当302x -≤<时，22'()1g x x =-+，当0x ≤<时，'()0g x ≥，所以()g x在[0)上单调递增，当32x -≤≤时，'()0g x ≤，所以()g x在3[,2-上单调递减，所以min ()(g x g =30m =+≥，所以3m ≥-， 当32x ≤-时，22'()50g x x =-+<，所以()g x 在3(,]2-∞-上单调递减， 所以min 335()()026g x g m =-=+≥， 所以356m ≥-，m≥-．综上，3。