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幂 函 数
一、幂函数定义：对于形如：
()x f x α
=，其中α为常数.叫做幂函数
定义说明：
1、
定义具有严格性，x α
系数必须是1，底数必须是x
2、 α取值是R .
3、
《考试标准》要求掌握α=1、2、3、½、-1五种情况
习题：定义应用
1、下列函数是幂函数的是 ______
①21()y x -= ②22y x = ③21(1)y x -=+ ④0
y x = ⑤1y =
2、若幂函数()y f x =
的图像过点
22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的解析式为______. 3、已知函数()()2
21
44m
m f x m m x --=--是幂函数，且经过原点，则实数m 的值为
__________.
二、幂函数的图象
幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x =
2）=1α时图像是一条直线.即()
x f x =
3）01α＜＜
时图像是横卧的抛物线.例如()1
2x f x
=
4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即()
0x f x =（0x ≠）
具备规律:
①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高）
②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称
③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像
三、幂函数的性质
幂函数中，当12
1321a -=，，，，时性质如下表所示：
函数
特征 性质 y=x y x =2
y x =3
y x =
12
y x =-1
定义域 R R R [0，+∞） {|}x x ≠0
值域 R [0，+∞） R [0，+∞）
{|}y y ≠0
x ∈+∞[)0，增 x ∈+∞()0，增 单调性 增 x ∈-∞(]，0减 增 增 x ∈-∞()，0减
所过定点
（1，1） （0，0）
（1，1） （0，0）
（1，1） （0，0）
（1，1） （0，0）
（1，1）
0y=x
结合以上特征，得幂函数的性质如下：
（1）所有的幂函数在()0，+∞都有定义，并且图象都通过点（1，1）； （2）当a 为奇数时，幂函数为奇函数；当a 为偶数时，幂函数为偶函数； （3）如果a>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间)0[∞+，上是增函数； （4）如果a<0，则幂函数在区间()0，+∞上是减函数
习题：图象及性质应用
1、右图为幂函数y x α
=在第一象限的图像,则,,,a b c d 的大小关系是 （ ）
()A a b c d >>> ()B b a d c >>> ()C a b d c >>>
()D a d c b >>>
x
O
y
2、如图：幂函数n m
y x =（m 、n N ∈，且m 、n 互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有
（ ）
()A m 、n 为奇数且1m n <
()B m 为偶数，n 为奇数，且1m n
>
()C m 为偶数，n 为奇数，且1m n <
()D m 奇数，n 为偶数，且1m n
>
3、比较下列各组数的大小：
（1）13
1.5，13
1.7，1；（2）()
37
2
，(37
3
-，(37
5
；（3）2
3
22-
⎛-
⎝⎭
，
23
107-
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，()431.1--．
y x
0c1
c2综合练习：
1.下列函数是幂函数的是（ ）
A ．y=x x
B.y=3x 2
C.y=x 2
1+1 D.y=x 3
-
2、在函数y ＝21x
，y ＝2x 3，y ＝x 2
＋x ，y ＝1中，幂函数有 （ ） A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
3、设 1.5
0.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫
=== ⎪
⎝⎭
，则 （ ）
A 、312y y y >>
B 、213y y y >>
C 、132y y y >>
D 、123y y y >> 4、比较下列各组数的大小 （1）7.17
.14.3____5
.3 （2）3.03.03.1___2.1 （3）6.16.15.2___4.2--
5．如图，曲线c1, c2分别是函数y ＝xm 和y ＝xn 在第一象限的图象，那么一定有（ ）
A ．n B ．m C ．m>n>0 D ．n>m>0 6．函数3 4x y =的图象是 （ ） 7、若一个幂函数)(x f 的图象过点)4 1,2(，则)(x f 的解析式为 8、已知函数22 21 ()(1)m m f x m m x --=++是幂函数，求实数m 的值为 。 9、已知f （x ）＝x 5 ＋ax 3 ＋bx －8，f （－2）＝10，则f （2）=____、 10、函数y ＝(x 2－2x)2－9的图象与轴交点的个数是_________。 11、函数y ＝(x －1)3＋1的图象的中心对称点的坐标是_________。 12、使x 2 ＞x 3 成立的x 的取值范围是 （ ）
