Matlab中的小波变换与小波包分析方法详解
引言
近年来，小波变换在信号处理领域中得到了广泛的应用。小波变换是一种能够捕捉信号时频特性的有效工具，可以用来分析、压缩和去噪各种类型的信号。本文将详细介绍Matlab中的小波变换和小波包分析方法，以帮助读者更好地理解和应用这一强大的信号处理技术。
一、小波变换（Wavelet Transform）
小波变换是一种将信号分解成不同尺度的基函数的技术。与传统的傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时频局部化特性。Matlab中提供了丰富的小波分析工具箱，可以方便地进行小波变换的计算。
1.1 小波基函数
小波基函数是小波变换的基础。不同类型的小波基函数适用于不同类型的信号。在Matlab中，我们可以使用多种小波基函数，如Daubechies小波、Haar小波和Morlet小波等。
1.2 小波分解
小波分解是指将信号分解成多个尺度的小波系数。通过小波分解，我们可以获取信号在不同尺度上的时频特性。Matlab中提供了方便的小波分解函数，例如'dwt'和'wavedec'。
1.3 小波重构
小波重构是指根据小波系数重新构建原始信号。通过小波重构，我们可以恢复原始信号的时域特性。在Matlab中，可以使用'idwt'和'waverec'函数进行小波重构。
二、小波包分析（Wavelet Packet Analysis） 小波包分析是对小波变换的进一步扩展，它允许对信号进行更精细的分解和重构。小波包分析提供了一种更灵活的信号分析方法，能够获得更详细的时频特性。
2.1 小波包分解
小波包分解是指将信号分解成具有不同频带的小波包系数。与小波分解相比，小波包分解提供了更高的分辨率和更详细的频谱信息。在Matlab中，可以使用'wavedec'函数进行小波包分解。
2.2 小波包重构
小波包重构是根据小波包系数重新构建原始信号。通过小波包重构，我们可以恢复原始信号的详细时频特性。在Matlab中，可以使用'waverec'函数进行小波包重构。
题 目： 多分辨率分析 ＆ 连续小波变换
TITLE: MULTIRESOLUTION ANALYSIS &
THE CONTINUOUS WAVELET
TRANSFORM
院 系： 电气信息工程系
专 业： 通信工程
姓 名：
学 号：
【指导教师评语】
评定成绩： 教师签章： 年 月 日
毕业设计（论文）外文资料翻译 多分辨率分析 ＆ 连续小波变换
多分辨率分析
虽然时间和频率分辨率的问题是一种物理现象（海森堡测不准原理）无论是否使用变换，它都存在，但是它可以使用替代方法分析，称为信号多分辨率分析（MRA）。MRA，如它的名字一样，分析了不同分辨率不同频率的信号。每个频谱分量不能得到同样的解决是因为在STFT的情况下。
MRA是为了在高频率时，能够得到良好的时间分辨率和较差的频率分辨率，而在低频率时，能够得到良好的频率分辨率和较差的时间分辨率而设计的。这种方法是十分有意义的，特别是当手头的信号高频成分持续时间短和低频成分持续时间长时。幸运的是，在实际应用中所遇到的信号往往是这种类型。例如，下面显示了这种类型的信号。它有一个贯穿整个信号相对较低的频率分量，而在信号中间有一个短暂的、相对较高的频率成分。
连续小波变换
连续小波变换作为一种替代快速傅里叶变换办法来发展，克服分析的问题 。小波分析和STFT的分析方法类似，在这个意义上说，就是信号和一个函数相乘，{\它的小波}，类似的STFT的窗口功能，并转换为不同分段的时域信号。但是，STFT和连续小波变换二者之间的主要区别是：
1、Fourier转换的信号不采取窗口，因此，单峰将被视为对应一个正弦波，即负频率是没有计算。
2、窗口的宽度是相对于光谱的每一个组件变化而变化的，这是小波变换计算最重要的特征。
连续小波变换的定义如下：
公式3.1
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ 计算机应用，２０１３，３３（Ｓ１）：３３１—３３４ ＩＳＳＮ １０ｏ１．９Ｏ８１ Ｃ０ＤＥＮ ＪＹＩＩＤＵ ２Ｏ１３．Ｏ６．３Ｏ ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｊｏｃａ．ｅｎ
文章编号：１００１—９０８１（２０１３）Ｓ１—０３３１—０４
小波变换分析降水时间序列的多分辨率特性研究
何锡玉 ，蔡夕方，景嘉洲
（海军海洋水文气象中心，北京１００１６１） （｝通信作者电子邮箱ｈｅｘｙｎｅｗ＠１６３．ｃｏｒｎ）
摘要：利用小波变换的多分辨率特性分析降水时间序列，其小波分解级数应是确定的。为解决此问题，提出一
种新的框架：首先利用ａ ｔｒｏｕｓ小波变换对降水时间序列进行分解，然后对分解的序列进行多尺度熵（ＭＳＥ）分析以获
取原始降水时间序列的一些潜在特征。分析表明，小波分解级数可以由不同尺度下近似信号ＭＳＥ曲线的Ｍａｎｎ． Ｋｅｎｄａｌｌ（ＭＫ）检验确定。对环渤海湾地区包括大连、锦州、天津、潍坊四个站点的降水时间序列复杂度进行多尺度分 析比较，结果表明，利用ＭＳＥ分析和ＭＫ检验可以得到较理想的小波分解级数。不同地方的降水时间序列复杂度分
析可以为水资源的规划和应用提供参考。
关键词：小波变换；多尺度熵；ＭＫ检验；降水时间序列
中图分类号：ＴＰ３１１．１１；ＴＰ１８ 文献标志码：Ａ
Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ ｍｕｌｔｉｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｔｏ ｒａｉｎｆａｌｌ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ
ＨＥ Ｘｉｙｕ’，ＣＡＩ Ｘｉｆａｎｇ，ＪＩＮＧ Ｊｉａｚｈｏｕ
（Ｎａｖｙ Ｍａｒｉｎｅ Ｈｙｄｒｏｍｅｔｅｏｒｏｌｏｇｌｃ Ｃｅｎｔｅｒ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １００１６１，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｌｅｖｅｌｓ ｏｆ ａ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｔｏ ｂｅ ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ａＤｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ ａ ｒａｉｎｆａｌｌ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ．Ｔｏ ｒｅｓｏｌｖｅ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ａ ｎｏｖｅｌ ｆｒａｍｅｗｏｒｋ．Ｆｉｒｓｔ，ｔｈｅ ｒａｉｎｆａｌｌ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ ｗｅｒｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ａ ｔｒｏｕｓ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ．Ｔｈｅｎ，Ｍｕｌｔｉ—Ｓｃａｌｅ Ｅｎｔｒｏｐｙ（ＭＳＥ）ａｎａｌｙｓｉｓ ｔｈａｔ ｈｅｌｐｓ ｔｏ ｅｌｕｃｉｄａｔｅ ｓｏｍｅ
小波变换(WT)
一、小波变换的原理
小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。小波变换继承和发展了Garbor变换的局部化思想它除了窗口大小随频率增高而缩小 以外还存在着离散的正交基等优良的性质小波的原始概念最早是法国的地质学家J.Mrolet 和AGrossman在70年代分析处理地质数据时引进的（1）。
与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。
二、小波变换的定义及方法（2）(3)
(1) 基本思想
小波变换的基本思想是：非均匀地划分时间轴和频率轴，通常对高频成分分析时采用相对短的时间窗，对低频成分分析时采用相对长的时间窗。这样就可以在服从式(1)的Heisenberg不等式前提下，在不同的时频区都能获得比较实用的时间和频率分辨率。 …………….（1）
△ t时间分辨率
△f 频率分辨
(2)定义
小波变换是对一个信号与某个核函数的修正形式乘积的一种积分运算，这个核函数称为小波(小波基)。用作小波基的函数，它必须是可允许的，即满足
…………（2）
其中()h是()ht的傅里叶变换，则()ht叫做允许小波(AdmissibleWavelet)，而式(2) 称为允许条件(AdmissibleCondition)。信号x(t)的连续小波变换定义为
…（3）
这里的a称为尺度因子，其定义如下
