2015-2016年四川省遂宁市高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
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第1页（共19页）
2015-2016学年四川省遂宁市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）
1．（5分）“a＞0”是“|a|＞0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（5分）命题：“对任意的x∈R，x2+x+1＞0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，x2+x+1＞0 B．存在x0∈R，x02+x0+1＞0
C．存在x0∈R，x02+x0+1≤0 D．对任意的x∈R，x2+x+1≤0
3．（5分）如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的茎叶图，则该样本数据的中位数（ ）
A．22 B．25 C．28 D．31
4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的T等于（ ）
A．32 B．30 C．20 D．0
5．（5分）已知直线l的倾斜角为θ，若cosθ=，则该直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
第2页（共19页） 6．（5分）已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，则下列命题不正确的是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，α∩β=n，则m∥n
7．（5分）已知点A（2，0），B（0，3），则直线AB的方程为（ ）
A．3x﹣2y﹣6=0 B．2x﹣3y+6=0 C．3x+2y﹣6=0 D．2x+3y+6=0
8．（5分）如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．1
9．（5分）点P（﹣2，1）关于直线l：x﹣y+1=0对称的点P′的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（﹣1，0）
10．（5分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，则异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1，设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}，B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A和B中随机取一个数记为a和b，则函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增的概率为（ ）
A． B． C． D．
第3页（共19页） 12．（5分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD是∠ACB的角平分线（如图①）．若沿直线CD将△ABC折成直二面角B﹣CD﹣A（如图②）．则折叠后A，B两点间的距离为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13．（5分）设直线l1：3x+4y﹣5=0与l2：3x+4y+5=0间的距离为d，则d=
．
14．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的y等于 ．
15．（5分）已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为 ．
16．（5分）已知圆C：x2+y2=9，直线l1：x﹣y﹣1=0与l2：x+2y﹣10=0的交点设为P点，过点P向圆C作两条切线a，b分别与圆相切于A，B两点，则S△ABP= ．
三、解答题（17题10分，18至22每小题10分，共计70分）
17．（10分）已知两条直线l1：x+（1+m）y=2﹣m，l2：2mx+4y=﹣16．m为何值时，l1与l2：
（1）相交；
第4页（共19页） （2）平行．
18．（12分）设p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0；q：实数x满足2＜x＜3．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．（12分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、B1C1的中点．
（1）求证：BD⊥平面ACC1A1；
（2）求证：EF∥平面ACC1A1．
20．（12分）某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示．
组号 分组 频数 频率
第1组 [160，165） 5 0.050
第2组 [165，170） n 0.350
第3组 [170，175） 30 p
第4组 [175，180） 20 0.200
第5组 [180，185] 10 0.100
合计 100 1.000
（Ⅰ）求频率分布表中n，p的值，并补充完整相应的频率分布直方图；
（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率．
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21．（12分）如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，CD=，点P在侧棱SD上，且SP=3PD．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）求三棱锥P﹣ACD的体积．
22．（12分）已知平面直角坐标系上一动点P（x，y）到点A（﹣2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E，F两点，点M（2，0），则是否存在直线l，使S△EFM取得最大值，若存在，求出此时l的方程，若不存在，请说明理由．
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2015-2016学年四川省遂宁市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）
1．（5分）“a＞0”是“|a|＞0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，
∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件
故选：A．
2．（5分）命题：“对任意的x∈R，x2+x+1＞0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，x2+x+1＞0 B．存在x0∈R，x02+x0+1＞0
C．存在x0∈R，x02+x0+1≤0 D．对任意的x∈R，x2+x+1≤0
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：“对任意的x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：存在x0∈R，x02+x0+1≤0．
故选：C．
3．（5分）如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的茎叶图，则该样本数据的中位数（ ）
A．22 B．25 C．28 D．31
【解答】解：从茎叶图中知共11个数据，按照从小到大排序后中间的一个数据为25，
所以这组数据的中位数为25．
故选：B．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的T等于（ ）
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A．32 B．30 C．20 D．0
【解答】解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：
是否继续循环 S n T
循环前/0 0 0
第一圈 否 5 2 2
第二圈 否 10 4 6
第三圈 否 15 6 12
第四圈 否 20 8 20
第五圈 否 25 10 30
第六圈 是
退出循环，最后输出的T值为30．
故选：B．
5．（5分）已知直线l的倾斜角为θ，若cosθ=，则该直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵直线l的倾斜角为θ，cosθ=，
∴sinθ==，
∴该直线的斜率k=tanθ==．
故选：A．
6．（5分）已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，则下列命题不正确的是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
第8页（共19页） C．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，α∩β=n，则m∥n
【解答】解：由α、β是两个平面，m、n是两条直线，知：
在A中：若m∥n，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α，故A正确；
在B中：若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故B正确；
在C中：若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；
在D中：若m⊥α，α∩β=n，则m与n相交、平行或异面，故D错误．
故选：D．
7．（5分）已知点A（2，0），B（0，3），则直线AB的方程为（ ）
A．3x﹣2y﹣6=0 B．2x﹣3y+6=0 C．3x+2y﹣6=0 D．2x+3y+6=0
【解答】解：因为A（2，0），B（0，3），则直线AB的方程=：
即3x+2y﹣6=0．
故选：C．
8．（5分）如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．1
【解答】解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，
右图为该三棱锥的直观图，
并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC．
则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，
所以这个几何体的体积，
故选：A．
第9页（共19页）
9．（5分）点P（﹣2，1）关于直线l：x﹣y+1=0对称的点P′的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（﹣1，0）
【解答】解：设点P（﹣2，1）关于直线l：x﹣y+1=0对称的点P′的坐标是（a，b），
则由，求得，
可得点P（﹣2，1）关于直线l：x﹣y+1=0对称的点P′的坐标是（0，﹣1）
故选：C．
10．（5分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，则异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长为2，
则A（0，0，0），B1（，1，2），A1（0，0，2），C（0，2，0），
=（），=（0，2，﹣2），
设异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值为θ，
则cosθ===．
∴异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小为．
