1 2.2.2反证法
一、学习目标
1.结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2.了解反证法的思考过程、特点;
3.会用反证法证明问题.
教学重点：反证法的证明步骤
教学难点：运用反证法证题
二、自主预习
预习课本42页至43页,完成以下问题：
1.桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？
2.上述用了什么方法解析？
3.反证法定义：一般地，假设 不成立（即在 的条件下，
不成立），经过
的推理，最后得出
。因此说明假设
，从而证明了 ，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）。
4.请同学们回想命题讲的非命题、逆命题中讲到的关键词的否定有哪些？
三、 合作探究
1.小组学习例7、例8完成练习总结出反证法的步骤
变式训练1
求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.
反思总结：用反证法的基本步骤：
第一步 作出与所证不等式相反的假定；
第二步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；
第三步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利
例 求证：2不是有理数
变式训练2
已知0ba，求证：nnba（Nn且1n） 正面词 等于 小于 都是 至少一个 至少n个
否定 不大于（小于或等于） 不是 至多n-1个
2 反思总结
1.反证法中可能出现的矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
2. 适宜使用反证法的情况：
(1) 否定性命题；
(2) 结论含有“至少”、“至多”、“有无穷多个”“唯一”等词语时；
（3)直接证明困难，而反面情况简单.
四、当堂检测
宁乡县玉潭中学高中部 数学 科导学案 为每个孩子的终身幸福奠基
1 2.2.2反证法
设计 高二数学组 审 核 高二数学组 授课人 课 型 新授课
年级 高二 班 级 小 组 姓 名
学习课题
使用时间 年 月 日第 节 第 课时 累计 课时
学习
目标 知识与技能：理解反证法的概念，掌握反证法的步骤.
过程与方法：通过反证法的学习，体会直接证明和间接证明之间的辩证关系.
情感、态度与价值观：通过反证法的学习，培养审慎思维的习惯，认识数学的科学价值.
学习重点 反证法.
学习难点 用反证法证明题目.
学 习 过 程
学 习 过 程【导、探、练、展、评】 备 注
导 [提出问题] 著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友们一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”
问题1：王戎的论述运用了什么推理思想？
问题2：反证法解题的实质是什么？
[导入新知]
1．反证法
假设______不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明______，从而证明了_________，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与____________矛盾，或与______矛盾，或与______、______、______、______矛盾等．
2．2.2 反 证 法
1．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．
2．掌握反证法证题的步骤以及哪些类型的题目宜用反证法证明．
基础梳理
反证法的定义：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．
基础自测
1．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有唯一解”的结论的否定是(D)
A．无解 B．两解
C．至少两解 D．无解或至少两解
解析：易知此命题结论的否定是：无解或至少两解．故选D.
2．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则(B)
A．a，b都与l相交 B．a，b至少有一条与l相交
C．a，b至多有一条与l相交 D．a，b都与l不相交
解析：若a，b都与l不相交，则a∥l，b∥l，∴a∥b，这与a，b为异面直线矛盾．∴a，b至少有一条与l相交．故选B.
3．用反证法证明“已知a3＋b3＝2，求证a＋b≤2”时的反设为______，得出的矛盾为______．
解析：假设a＋b＞2，则a＞2－b，∴a3＞(2－b)3＝8－12b＋6b2－b3，又a3＋b3＝2，∴6b2－12b＋6＜0，即6(b－1)2＜0，由此得出矛盾． 答案：a＋b＞2 6(b－1)2＜0
4．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定应是________________________________________________________________________．
解析：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定应是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．
答案：a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
(一)用反证法证明数学命题的一般步骤
(1)反设——即先弄清命题的条件和结论，然后假设命题的结论不成立；
2.2直接证明与间接证明
学习目标：
1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法，了解间接证明的一种基本方法：反证法；
2．了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点.
重点：
根据问题的特点，结合综合法、分析法和反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.
难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.
知识点一：直接证明
1、综合法
（1）定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.
（2）综合法的的基本思路：执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论.
（3）综合法的思维框图：用表示已知条件，为定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
（已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论）
2、分析法
（1）定义：一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.
（2）分析法的基本思路：执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
（3）分析法的思维框图：用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：
（结论）
（逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知）
（4）分析法的格式：要证„„，只需证„„，只需证„„，因为„„成立，所以原不等式得证。
