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专题二 数列、极限与数学归纳
要点知识整合 热点突破探究
第三讲 极限、数学归纳法
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要点知识整合
1．数列极限的四则运算法则
如果lni→m∞an＝A，lni→m∞bn＝B，则
(1)lim n→∞
(an±bn)＝ lni→m∞an±lni→m∞bn＝ A±B， 即 数 列 和(差 )
的极限等于数列极限的和(差)；
(2)lim n→∞
(an·bn)＝lni→m∞an·lni→m∞bn＝A·B，即数列积的极限
等于数列极限的积；
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lim an
(3)lim
n→∞
an＝ bn
n→∞
lim
＝A bn B
B．－6
C．2
D．6
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解析：(1)lim n→∞
1 (n2＋
1＋n2＋2
＋ 1
3 n2＋
1＋…＋n22＋n
1)
＝lim n→∞
nn22n＋＋11＝2.
(2)由题意知lim x→∞
2x2－ax2－ax－bx－b x＋1
－1 这样的因式，由多项式除法可知，ax2＋bx＋1 除以
x－1，商为 ax＋a＋b，余式为 1＋a＋b.
∴a＋b＋1＝0，∴a＋b＝－1，
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【答案】 (1)1 (2)(－4,2) 【题后拓展】 数列极限的求法，常见的有：利 用极限的定义求、利用极限的四则运算法则求 等．但对一些常见数列的极限的求法还是有规律 可循的，如涉及分式形式并且是幂的运算时，可 将分式的分子、分母同除以分子、分母的最高次 幂，即可求得．对于几个数列的和(或差)的形式的 极限，一般将它们先求和(或差)，再求极限．
(B≠
0)，
即
数列
商的
极
限等
于数
列极
n→∞
限的商．
2．函数的极限
(1)函数在某一点处的极限的性质：
xl→imx0f(x)＝a⇔x→limx0－f(x)＝x→limx＋0 f(x)＝a. (2)函数极限的四则运算：
若xl→imx0f(x)＝a，xl→imx0g(x)＝b，则
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热点突破探究
典例精析
题型一 数列的极限
例1 (1)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a6
＝S3＝12，则nl→im＋∞ Snn2＝________.
(2)若 lim n→＋∞
3n＋1＋3na＋1n＝13，则 a 的取值范围为
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故 lim n→＋∞
Snn2＝nl→im＋∞
(1＋1n)＝1.
(2)∵ lim n→＋∞
3n 3n＋1＋a＋
1n＝nl→im＋∞
3＋a1＋3 1n＝13.
∴ lim n→＋∞
(a＋3 1)n＝0.
∴|a＋3 1|<1，∴－4<a<2.
________．
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【解析】 (1)设首项为 a1，公差为 d，
a1＋5d＝12， 则3a1＋3×2 2d＝12，
解得da＝1＝22. ，
∴Sn＝na1＋nn2－1d＝2n＋n(n－1) ＝n2＋n， 则Snn2＝n2n＋2 n＝1＋1n，
(2)设lim x→1
ax2＋x－bx1＋1＝3，求lni→m∞
bn＋an－1 an＋bn－1.
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【解】
(1)lim x→∞
(2xx＋2 1－2xx2－3 1)
＝lim x→∞
2x4－x2－2x4－x3 2x＋12x2－1
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变式训练
1．(1)lim n→∞
(n2＋1 1＋n2＋2 1＋n2＋3 1＋…＋n22＋n 1)＝
________.
(2)已知lim x→∞
(x2＋x21－ax－b)＝2，其中
a、b∈R，
则ba的值为(
)
A．－2
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3．用数学归纳法证明时需要注意的问题 (1)数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步是验证命 题递推关系的基础，没有第一步，第二步就毫无意义； (2)第二步中，在证明“当n＝k＋1时命题成立”时，必 须利用“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”这一条件； (3)在第二步的证明中，“当n＝k时命题成立”相当于是 已知条件，而“当n＝k＋1时命题成立”则是要求证的 结果．因此在证明时，一般要先凑出归纳假设里给出 的形式，然后再利用题给关系，凑出n＝k＋1时的结 论．
＝lim x→∞
－x3－x2 2x＋12x2－
1＝lxi→m∞
－1－1x 2＋1x2－x12
＝
lim
x→∞
－1－1x
＝
lim
x→∞
2＋1x2－x12
－14.
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(2)∵lim x→1
ax2＋x－bx1＋1＝3，故 ax2＋bx＋1 中必含有 x
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xl→imx0 [f(x)±g(x)]＝a±b；xl→imx0 [f(x)·g(x)]＝a·b； xl→imx0 gfxx＝ab(b≠0)． 特别地，xl→imx0cf(x)＝cxl→imx0f(x)(c 为常数)； xl→imx0 [f(x)]n＝[xl→imx0f(x)]n(n∈N*)，x→∞时该性 质仍然成立．
＝lim x→∞
2－ax2－x＋a1＋bx－b＝2，则2－－aa＋＝b0，＝2，
∴a＝2， b＝－4，
∴ba＝－2，故选 A.
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答案：(1)2 (2)A
题型二 函数的极限
例2
(1)求lim x→∞
(2xx＋2 1－2xx2－3 1)；
