初中数学应用题 对角互补模型压轴题探究

全等型---90 °相似型如图，若将条件"OC 平分/AOB”去掉,条件"N AOB = N DCE = 90°不变CD 和CE 有什么关系？对角互补模型结论：（1） CD = CE(2) OD + OE = V2OC (3)S ODCE = S -OCD + S -OCE =1OC 22条件：(1) Z AOB = Z DCE = 90° (2) OC 平分 N AOB全等型---120条件：（1）Z AOB=2Z DCE=120°（2）OC平分N AOB结论：（1）CD=CE （2）OD+OE=OC（3）S ODCE=S A OCD+S A OCE=亨0c 24（2014山西10,3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的变长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）（2015湖北黄冈，14 ）如图，在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，正方形外有一点E ，使/AED = 90°,且DE=3, OE= 1 6，则AE=如图，正方形ABCD 中，AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B ，直角 顶点P 在射线AC 上移动，另一边交DC 于Q - ⑴如图1，当点Q 在DC 边上时，猜想并写出PB 与PQ 所满足的数量关系；并加以证明；⑵如图2，当点Q 落在DC 的延长线上时，猜想并写出PB 与PQ 满足的数量关系，请证明你 的猜想•A ______________ 5 A B已知/人08=90°，在N AOB 的平分线0乂上有一点C ，将一个三角板的直角顶点与（2 重合，它的两条直角边分别与0人、0B （或它们的反向延长线）相交于点D 、E •（1）当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时（如图1），易证：0D+0E=、=0C;B. 1a 2 4 A. 2a 23 C. 5a 2 D. 4a 2 9 9B C（2 ）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段0D、0E、0C2间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明•已知/MAN，AC平分N MAN。

12024学年初中数学几何（对角互补模型）模型专项练习1．如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠BAD ．试探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．（1）小王同学探究此问题的方法是：延长EB 到点G ，使BG ＝DF ，连接AG ，先证明△ABG ≌△ADF ，再证明△AEG ≌△AEF ，可得出结论，他的结论应是 ．（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．（3）如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF ＝∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．2．已知，如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，∠A +∠C ＝180°，DE ⊥BC ，BD 平分∠ABC ，试说明AD ＝DC ．3．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 是边AB 上一点，点P 是对角线BD 上一点，且PE ⊥PC ．（1）求证：PC ＝PE ；2（2）若BE＝2，求PB的长．4．菱形ABCD中，∠B＝60°，∠MAN＝60°，射线AM交直线BC于点E，射线AN交直线CD于点F，连接EF，请解答下列问题：（1）如图1，求证：EC+FC＝AC；（2）将∠MAN绕点A旋转，如图2，如图3，请直接写出线段EC，FC，AC之间的数量关系，不需要证明；（3）若S菱形ABCD＝18，∠CAE＝30°，则CF＝ ．5．（1）如图1，四边形ABCD是边长为5 cm的正方形，E，F分别在AD，CD 边上，∠EBF＝45°．为了求出△DEF的周长．小南同学的探究方法是：如图2，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，先证△ABH≌△CBF，再证△EBH≌△EBF，得EF＝EH，从而得到△DEF的周长＝ cm；（2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是线段BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系；3（3）如图4，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E ，F 分别是线段BC ，CD 上的点，且2∠EAF ＝∠BAD ，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（4）若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，点E 、F 分别在CB 、DC 的延长线上，且2∠EAF ＝∠BAD ，请画出图形，并直接写出线段EF 、BE 、FD 之间的数量关系．参考答案1．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．（1）小王同学探究此问题的方法是：延长EB到点G，使BG＝DF，连接AG，先证明△ABG ≌△ADF，再证明△AEG≌△AEF，可得出结论，他的结论应是 ．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD 延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【答案解答】解：（1）由△ABG≌△ADF，△AEG≌△AEF可知，BG＝DF，EF＝EG＝BG+EF＝DF+EF，故答案为EF＝BE+FD（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．理由：延长EB到点G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABD+∠D＝180°，∠ABD+∠ABG＝180°，∴∠ABG＝∠D，∴AB＝AD，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝∠BAE+∠BAG，∴∠EAG＝∠EAF，∵AE＝AE，AG＝AF，∴△EAG≌△EAF，∴EG＝EF，∵EG＝BG+BE＝DF+BE，∴EF＝BE+DF．（3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD． 证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．2．（2020秋•西城区校级期中）已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，试说明AD＝DC．【答案解答】证明：如图，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∠F＝∠DEC＝90°，∵∠BAD+∠C＝180°，且∠BAD+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠C，在△ADF和△CDE中∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AD＝CD．3．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边AB上一点，点P是对角线BD上一点，且PE⊥PC．（1）求证：PC＝PE；（2）若BE＝2，求PB的长．【答案解答】证明：（1）过点P作PF⊥AB，PG⊥BC，∴∠PFB＝∠PGB＝∠PGC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，四边形FBGP是矩形，∴∠FPB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣45°＝45°，∴∠ABD＝∠FPB，∴FP＝FB，∴矩形FBGP是正方形，∴PF＝PG，∠FPG＝90°，∴∠FPE+∠EPG＝90°，∵EP⊥PC，∴∠EPC＝90°，∴∠GPC+∠EPG＝90°，∴∠FPE＝∠GPC，在△PFE与△PGC中，，∴△PFE≌△PGC（ASA），∴PE＝PC；（2）设EF＝x，∵△PFE≌△PGC，∴GC＝EF＝x，由BE＝2得：BF＝x+2，由正方形FBGP得：BG＝x+2，∵BC＝6，∴BG+GC＝6，∴（x+2）+x＝6，解得：x＝2，∴PF＝BF＝2+2＝4，△PFB中，∠PFB＝90°，由勾股定理得：PB2＝42+42＝32，∵PB＞0，∴PB＝．4．菱形ABCD中，∠B＝60°，∠MAN＝60°，射线AM交直线BC于点E，射线AN交直线CD于点F，连接EF，请答案解答下列问题：（1）如图1，求证：EC+FC＝AC；（2）将∠MAN绕点A旋转，如图2，如图3，请直接写出线段EC，FC，AC之间的数量关系，不需要证明；（3）若S菱形ABCD＝18，∠CAE＝30°，则CF＝ 3或12．【答案解答】解：（1）如图1所示：∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°∴AB＝BC，∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形．∴AC＝BC＝AB，∠BAC＝60°．又∵∠MAN＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．∴EC+CF＝EC+BE＝BC．又∵BC＝AC，∴EC+CF＝AC．（2）如图2所示：AC+CF＝EC．∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°∴AB＝BC，∠ACD＝∠B＝60°．∴∠ACF＝120°．∵∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC为等边三角形．∴AC＝BC＝AB，∠ABC＝60°．∴∠ABE＝120°．∴∠ABE＝∠ACF．∵∠MAN＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．∴FC+BC＝BE+BC＝CE．∵BC＝AC，∴FC+AC＝CE．如图3所示：又∵BC＝AC，∴EC+CF＝AC．如图3所示：CF＝AC+CE．在△ACE和△ADF中，△ACE≌△ADF（ASA）．∴CE＝DF．∴CF＝CD+DF＝CD+CE＝AC+CE，即CF＝AC+CE． （3）如图1所示：∵∠CAE＝30°，∠CAB＝60°，∴AE平分∠CAB．又∵AB＝AC，∴AE⊥BC，BE＝CE．∴AE＝AB．∵S菱形ABCD＝18，∴AB•AB＝18．∴AB＝6．∴BE＝EC＝3．∴CF＝3．如图3所示：∵∠CAE＝30°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝90°．又∵AB＝6，∠B＝60°，∴BE＝12．∴CF＝AC+CE＝BC+CE＝12．综上所述，CF＝3或CF＝12．故答案为：3或12．5．（1）如图1，四边形ABCD是边长为5 cm的正方形，E，F分别在AD，CD边上，∠EBF ＝45°．为了求出△DEF的周长．小南同学的探究方法是：如图2，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，先证△ABH≌△CBF，再证△EBH≌△EBF，得EF＝EH，从而得到△DEF的周长＝ 10cm；（2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是线段BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系；（3）如图4，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是线段BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（4）若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在CB、DC的延长线上，且2∠EAF＝∠BAD，请画出图形，并直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系．【答案解答】解：（1）如图1，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝5cm，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAH＝∠BCF＝90°，又∵AH＝CF，AB＝BC，∴△ABH≌△CBF（SAS），∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，∵∠EBF＝45°，∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF，∴∠EBH＝∠EBF，又∵BH＝BF，BE＝BE，∴△EBH≌△EBF（SAS），∴EF＝EH，∴EF＝EH＝AE+CF，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝10（cm）． 故答案为：10．（2）EF＝BE+DF．证明：如图2所示，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°，∴∠BAE+∠F AD＝∠DAG+∠F AD＝50°，∴∠EAF＝∠F AG＝50°，在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝BE+DF；（3）成立．证明：如图3，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，∴∠ABG＝∠D，∵在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵2∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF， ∴∠GAE＝∠EAF，又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF，∵EG＝BE+BG，∴EF＝BE+FD；（4）EF＝BE﹣FD，理由如下：在BC上截取BH＝DF，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，且AB＝AD，BH＝DF，∴△ABH≌△ADF（SAS），∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAE+∠BAH＝∠BAD，∴∠HAE＝∠BAD＝∠EAF，且AE＝AE，AH＝AF， ∴△HAE≌△F AE（SAS），∴HE＝EF，∴EF＝HE＝BE﹣BH＝BE﹣DF．。

实用文档《对角互补模型》专题16破解策略°”．全等型之“901AOBOCAOBDCE＝∠平分∠＝90°，如图，∠，则ACDOEBCDCE；＝（1）2OCOEOD；＋（2）＝12OC?S?S．（3）OCE??OCD2CCMOACNOBMN．，⊥，垂足分别为，如图，过点证明方法一：⊥分别作CMCNMCN＝90°．＝由角平分线的性质可得，∠MCDNCE，所以∠＝∠AM ASANCEMCD（从而△），≌△CD CECD＝故．MONC为正方形．易证四边形E2OONONNEODODOE＋．＝＝＋2 所以＝＋C OBN122OC?SS??ONS?所以．OCE?OCD?MONC正方形2FOBOCCCF如图，过于点作⊥．，交方法二：ECFDCOEFCCOCFDOC＝45°，＝∠＝易证∠，∠＝∠．ASAECFDCO所以△（≌△）AC FECDCEOD所以，＝＝，D OC2OFODOE＝．可得＝＋12B OC??SSS?所以．OFE OCF???OCEOCD2DAODCE】如图，当∠【拓展的一边与的延长线交于点时，则：文案大全．实用文档ACBOEDCECD＝（1）；2OCODOE；）＝－（212OC?S?S．（3）OCD?OCE?2如图，证明同上．AACCMBBOOEFENDD120”2．全等型之“AOBOCAOBDCE平分∠如图，∠＝120°，＝2∠，则：CADEBO CECD）；＝（1OCOEOD＝；（2）＋32OC?S?S．（ 3）OCE?OCD?4NOBMCCMOACN分别作，垂足分别为⊥，．⊥，证明方法一：如图，过点32OC?SS??2S所以ONC?OCDOCE??4ASAMCDNCE （），易证△≌△OONOECECDOD．所以＝，＋＝2＝C文案大全．实用文档CNOCFFCOFCOOB方法二：如图，以，则△为一边作∠于点＝60°，交为等边三角形．ASAECFDCO（≌△易证△）．OCOFCDCEODOE＝，，所以＝＋＝32OC SSS＝＋∴＝OCFOCEOCD△△△4EBODCE的延长线交于点的一边与【拓展】如图，当∠时，则：32OC SSCDCEODOEOC－（1）＝＝；（；（2）3－）＝OCEOCD△△4如图，证明同上．A AAD DD C CCME EE BOF BBNOO、全等型之“任意角”3??AOBDCEAOBOC°－2如图，∠平分∠＝2，，∠，则：＝180???2OC SOCSOECDCEOD·；（3）sin（1）＝＋；（2）＝＋＝2cos·cos OECODC△△A DCBOENOBMCCMOACN，垂足分别为，证明：方法一：如图，过点分别作，⊥⊥A MCDBOENASAMCDNCE（易证△）≌△?OCONODCDCEOE＝·2∴cos＝，2＋＝??2OC SSS∴＋＝·sin＝2cos ONCOECODC △△△?FOBCOFCO方法二：如图，以为一边作∠＝180．，交°－2于点文案大全．实用文档ADFASADCOECF≌△）易证△（?OCOFCEODOECD，2＋cos＝∴·＝＝??2OC SSS＝sin＝cos·∴＋OCFODCOEC???2OC ODCEOEOCSSCD＝2cos·cos·；△△△EBODCE的延长线交于点【拓展】如图，当∠时，则：的一边与（3（1））＝2；（）－－sin＝OECODC△△如图，证明同上AADDAD MC C CBB B EEOOFN EO90°”4、相似性之“??CDCOBCEAOBDCE＝＝＝90°，∠，则如图，∠＝∠·tan ADCBEONCMOACNOBMC⊥，，垂足分别为方法一：如图，过点分别作⊥、ADMCENOCNCENE??tan???CDNCEMCDCE，即＝·tan易证△∽△，∴CMMDCD FOBCCFOC作⊥．，交于点方法二：如图，过点ADCBFEO文案大全．实用文档CFFECE??tan???CDECFDCOCE＝易证△∽△，即，∴·tanCOODCD DE．方法三：如图，连接ADC BEOCEDO易证、、四点共圆、??CDCECDECOE，故·＝∴∠＝＝∠tan?CDDCEDCEAO时，则·【拓展】如图，当∠＝的一边与tan的延长线交于点A CBOED如图，证明同上．AA C A C CM BOE BO BO FE NE D D D例题讲解ADDABACBACBCABCO，＝，在∠，所对弧、例1已知△连接是⊙上任取一点的内接三角形，CBD，．D ADBACBDCD＝120°，那么与＋（1）如图1，若∠之间的数量关系是什么？?ADBDBACCD＋之间的数量关系是什么？（2）如图2，若∠与＝，那么DDCBOOCBAA2图1图3ADBDCD＝解：（1）＋D OECBFA3图FEABDC分别向∠的两边作垂线，垂足分别为．、，过点如图3ADCADB°由题意可得∠＝∠＝30文案大全．实用文档AFCAEB易证△≌△3ADBDCDDE＋＝＝2∴?ADBDCD sin＝．⑵＋22EDBEADBAC如图4，作∠的延长线于点＝∠．，交DFBCEA 4图AAEBECDEBADCA＝．，，所以D则△＝≌△??FADAFDEBDCDDEDFADF＝．所以⊥＋＝，则∠＝2作＝2于点sin．22BDPABCD上滑动，并使其放在正方形，将一个直角三角板的直角顶点的对角线例2如图1FBCA相交于点，另一条直角边与一条直角边始终经过点．PEPA＝；⑴求证：PEADCDAP10，：＝8，求2⑵如图，将⑴中的正方形变为矩形，其余不变，且的值；＝PEBDAPP的延长线上时，的值是否发生变化？滑动到：3⑶如图，在⑵的条件下，当DAP DAAPFDPC BE CBE EC B3图图图12NBCMPPMABPN分别作，垂足分别为⊥，过点，，．⊥解：⑴如图4APMEPNPNMPNAPEAPMPM≌＝∠＝90°，由已知条件可得∠90＝则°，所以∠＝，∠，所以△EPN△．PEAP＝．故DAMPCBE N 4图CADPMPNABPNBCMNPPM⊥，，垂足分别为D，∥．则，过点⑵如图5∥分别作⊥．，5PMADPNPMBP BCBNPBPMBDA．∽△D，△．可得∽△，所以所以△????CDADBD4CDPN5PMAP EPNAPM，所以∽△．易证△??PEPN4文案大全．实用文档DAPCE N B5图PFAP][⑶如图，理由同⑵：的值不变．M P AFDEC BN 6图进阶训练BCDBADCBDABCDBDABD都是，其中∠Rt△△和1．如图，四边形Rt被对角线和∠分为等腰ABCDAC．的面积为直角，另一条对角线_________的长度为2，则四边形ADBC第1题图ABCD的面积为2答案：四边形．ABCDBCABDAABDACD，由“全等型之‘、＝∠、90四点共圆，则∠°'＝∠【提示】易证＝∠、”12SAC＝2．的结论可得＝ABCD四边形2ABCABACADBCEDFDEAB边相交于与60°，＝是2．在△120中，＝边的中点，∠，∠°，＝EDFACACF．点边（或，与边的延长线）相交于点AAEENFC D BCD BF21第1题图题图第11ABBECFDFACF；，与＋边相交于点＝，求证：⑴如图12EDFDDFAC边的延长线交于点1中的∠与绕点顺时针旋转一定的角度，使⑵如图2，将图BECFCFBEDNACFDNNFN）．－，作⊥于点，若＝，求证：＋（＝3答案：略．文案大全．实用文档1ABGCFBEEGGDDGACABDEGDFCBE＝＝【提示】⑴过点＋作从而∥B交于点＋，证△＝≌△．， A GFC BD1 题答图第1DN21HABABDDGACABGBECFDC，使⑵过点至点作＝∥＝交＝于点，同⑴可得，延长－23CFBECFHEDNDEBEDNDEBHCFDHDF＝＋，＝所以＝＝＝，从而2＋得＝＝，则×＝3222CFBE－（）．AEGNB C DFH2题答图第1OMONOMONBCDABCDACBD绕点，∠1803．在菱形＋∠中，两条对角线°，∠，＝相交于点EFFEONCDOMBC，射线，连结旋转，射线交交于点于点．OEFABC；的形状是＝90°时，△____⑴如图1，当∠OEFABC°时，请判断△，当∠的形状，并说明理由；＝60⑵如图2OMONMONAOO 旋转，仍'3，在⑴的条件下，将∠的顶点移动到'的中点绕点'处，∠⑶如图BCFNEOCDNMOBCDOMBC，当，射线满足∠''＋∠于点＝180°，射线'于点交直线交直线S9CE EFVO'时，求4，且的长．＝ 8S ABCD四边形DAADDAO'OOOFN FNBC E E BCMBM3题图3题图23第3题图1 第第CEOEF3－3．的长为＋33或答案：⑴等腰直角三角形；⑵△是等边三角形；⑶线段33OEOF．⑶两种情况，如图： 120【提示】⑵由“全等型之‘°'”的结论可得＝文案大全．实用文档'N 'DAOEBC MMFN题答图第3文案大全．。

专题05 对角互补模型基本模型：例题精讲例1．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，FD ⊥ED ．(1)如图1，若点E 在线段AB 上，点F 在线段AC 上，求证 BE ＝AF ；(2)如图 2，若点E 在线段AB 的延长线上，点F 在线段CA 的延长线上．请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)成立，见解析【解析】(1)证明：连接AD ．如图1所示，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点，∴45B C ∠=∠=︒，AD BC ⊥，1452DAF BAD BAC ∠=∠=∠=︒， ∴B DAF ∠=∠，90ADB ∠=︒，∴ABD △为等腰直角三角形，AD BD =，又∵FD ED ⊥，∴90EDF ∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在BDE 和ADF 中，B DAF BD AD BDE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BDE ADF ASA ≌．∴BE AF =；(2)解：BE AF =仍然成立．证明：连接AD ，如图2所示．同①得：BDE ADF ∠=∠，AD BD =，45ABD CAD ∠=∠=︒，∴135DBE DAF ∠=∠=︒，在BDE 和ADF 中，BDE ADF BD AD DBE DAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BDE ADF ASA ≌，∴BE AF =．例2．已知：如图，在等边△ABC 中，点O 是BC 的中点，∠DOE ＝120°，∠DOE 绕着点O 旋转，角的两边与AB 相交于点D ，与AC 相交于点E ．(1)若OD ，OE 都在BC 的上方，如图1，求证：OD ＝OE ．(2)在图1中，BD ，CE 与BC 的数量关系是 ．(3)若点D 在AB 的延长线上，点E 在线段AC 上，如图2，直接写出BD ，CE 与BC 的数量关系是 ． 【答案】(1)见解析；(2)()2CE BD BC +=；(3)2()CE BD BC -=【解析】(1)证明：取AB 的中点F ，连接OF ．∵△ABC 是等边三角形，∴,60AB BC ABC ACB =∠=∠=︒，∵点O 与点F 分别是BC 与AB 的中点，∴BF BO OC ==，∴△BOF 是等边三角形，∴OF OB OC ==，60OFD OCE BOF ∠=∠=∠=︒，∴120COF DOE ∠=︒=∠，∴DOF EOC ∠=∠，∵在△DOF 和△EOC 中，OFD OCE OF OC DOF EOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()DOF EOC ASA ≅，∴OD OE =．(2)解：结论：()2CE BD BC +=．理由：∵DOF EOC ≌，∴DF EC =，∴BD EC BD DF BF +=+=， ∵BOF 是等边三角形，∴OB BF =，∵2BC OB =，∴()2CE BD BC +=．故答案为：()2CE BD BC +=；(3)结论：2()CE BD BC -=．理由如图2中，取AB 的中点F ，连接OF ．同（1）中的方法可证BOF 是等边三角形，DOF EOC ≌，∴DF CE =，∴EC BD DF BD BF OB -=-==，∵2BC OB =，∴2()CE BD BC -=例3．在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验：画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F．(1)若PE⊥OA，PF⊥OB（如图①），PE与PF相等吗？请说明理由；(2)把三角尺绕点P旋转（如图②），PE与PF相等吗？请说明理由；(3)探究：画∠AOB＝50°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF＝130°．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图③），PE与PF相等吗？请说明理由．【答案】(1)相等，见解析；(2)PE＝PF，见解析；(3)PE＝PF，见解析【解析】(1)解：∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF；(2)解：PE＝PF，理由如下：当PE⊥OA时，如图①，∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠POE＝∠POF＝45°，∵∠PEO＝∠EPF＝∠EOF＝90°，且∠PEO+∠EPF+∠EOF+∠PFO＝360°，∴∠PFO＝90°，∴∠PEO＝∠PFO，∵OP＝OP，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴PE＝PF；当PE与OA不垂直时，如图②，作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，∵∠OMP＝∠ONP＝90°，∠POM＝∠PON＝45°，OP＝OP，∴△POM≌△PON（AAS），∴PM＝PN，∵∠OMP＝∠ONP＝∠MON＝90°，且∠OMP+∠ONP+∠MON+∠MPN＝360°，∴∠MPN＝90°，∵∠EPF＝90°，∴∠MPE＝∠NPF＝90°﹣∠EPN，∵∠PME＝∠PNF＝90°，∴△PME≌△PNF（ASA），∴PE＝PF，综上所述，PE＝PF．(3)解：PE＝PF，理由如下：如图③，在OF上取一点G，使OG＝OE，连接PG，∵OC平分∠AOB，∴∠POG＝∠POE，∵OP＝OP，∴△POG≌△POE（SAS），∴∠OGP＝∠OEP，PG＝PE，∴∠PGF+∠OEP＝∠PGF+∠OGP＝180°，∴∠AOB＝50°，∠EPF＝130°，且∠AOB+∠EPF+∠PFG+∠OEP＝360°，∴∠PFG+∠OEP＝180°，∴∠PGF＝∠PFG，∴PG＝PF，∴PE＝PF．课后训练1．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF 的两边分别与线段AB 、AC 交于点E 、F ．（1）当DF ⊥AC 时，求证：BE=CF ；（2）在旋转过程中，BE+CF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）是，2.【详解】（1）∵△ABC 是边长为4的等边三角形，点D 是线段BC 的中点，∴∠B=∠C=60°，BD=CD ， ∵DF ⊥AC ，∴∠DFA=90°，∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∴∠DEB=∠DFC ，且∠B=∠C=60°，BD=DC ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．∵∠A=60°，∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF ．在△MBD 和△NCD 中，BMD CND B C BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△MBD ≌△NCD （AAS ），BM=CN ，DM=DN ．在△EMD 和△FND 中，EMD FND DM DNMDE NDF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△EMD ≌△FND （ASA ）∴EM=FN ， ∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=12BC=2.2．如图，点P （3m -1，-2m +4）在第一象限的角平分线OC 上，AP ⊥BP ，点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴正半轴上．(1)求点P 的坐标．(2)当∠APB 绕点P 旋转时，①OA +OB 的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．②请求出OA 2+OB 2的最小值．【答案】(1)P （2，2）；(2)①不变，定值为4；②OA 2+OB 2的最小值为8．【解析】(1)解：∵点P （3m -1，-2m +4）在第一象限的角平分线OC 上，∴3m -1=-2m +4，∴m =1，∴P （2，2）；(2)①过点P 作PM ⊥y 轴于M ，PN ⊥OA 于N ．∵∠PMO =∠PNO =∠MON =90°，∴四边形OMPN 是矩形，∵OP 平分∠MON ，PM ⊥OM ，PN ⊥ON ，∴PM =PN ，∴四边形OMPN 是正方形，∵P （2，2），∴PM =PN =OM =ON =2，∵AP ⊥BP ，∴∠APB =∠MPN =90°，∴∠MPB +∠BPN =∠BPN +∠NP A =90°，∴∠MPB =∠NP A ，在△PMB 和△PNA 中，MPB NPA PM PN PMB PNA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△PMB ≌△PNA （ASA ），∴BM =AN ，∴OB +OA =OM -BM +ON +AN =2OM =4．②连接AB ，∵∠AOB =90°，∴OA 2+OB 2=AB 2．∵∠BP A =90°，∴AB 2=P A 2+PB 2=2P A 2，∴OA 2+OB 2=2P A 2，当P A 最小时，OA 2+OB 2也最小．根据垂线段最短原理，P A 最小值为2．∴OA 2+OB 2的最小值为8．3．一位同学拿了两块45︒三角尺MNK ∆，ACB ∆做了一个探究活动：将MNK ∆的直角顶点M 放在ACB ∆的斜边AB 的中点处，设4AC BC ==.（1）如图1所示，两三角尺的重叠部分为ACM ∆，则重叠部分的面积为______，周长为______.（2）将如图1所示中的MNK ∆绕顶点M 逆时针旋转45︒，得到如图2所示，此时重叠部分的面积为______，周长为______.（3）如果将MNK ∆绕M 旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形，如图3所示，请你猜想此时重叠部分的面积为______.【答案】（1）4，4+（2）4，8；（3）4；（4）4+【详解】解：()14AC BC ==，90ACB ∠=，AB ∴==M 是AB 的中点，AM ∴=45ACM ∠=，AM MC ∴=，∴4=， ∴周长为：44AM MC AC ++==+4，4+；()2重叠部分是正方形，∴边长为1422⨯=，面积为14444⨯⨯=， 周长为248⨯=．故答案为4，8．()3过点M 分别作AC 、BC 的垂线MH 、ME ，垂足为H 、E ， M 是ABC 斜边AB 的中点，4AC BC ==，12MH BC ∴=，12ME AC =，MH ME ∴=， 又90NMK HME ∠∠==，90NMH HMK ∠∠∴+=，90EMG HMK ∠∠+=，HMD EMG ∠∠∴=，在MHD 和MEG 中，HMD GME MH ME DHM MEG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，MHD ∴≌()MEG ASA ，∴阴影部分的面积等于正方形CEMH 的面积，正方形CEMH 的面积是1144422ME MH ⋅=⨯⨯⨯=；∴阴影部分的面积是4；故答案为4． ()4如图所示， 过点M 作ME BC ⊥于点E ，MH AC ⊥于点H ，∴四边形MECH 是矩形， MH CE ∴=，45A ∠=， 45AMH ∠∴=， AH MH ∴=，AH CE ∴=，在Rt DHM 和Rt GEM 中，DMH EMG MH MEDHM GEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，Rt DHM ∴≌.Rt GEM GE DH ∴=，AH DH CE GE ∴-=-， CG AD ∴=，1AD =， 1.DH ∴=DM ∴==．∴四边形DMGC 的周长为：CE CD DM ME +++ 2AD CD DM =++4=+．4．如图所示，ABC ∆为等边三角形，边长为4，点O 为BC 边中点，120EOF ∠=︒，其两边分别交AB 和CA 的延长线于E ，F ，求AE AF -的值.【答案】6【详解】过点O 作OD ∥AB 交AC 于点D ，∴∠CDO=∠A=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠DOC=60°，∠ADO=∠BOD=120°．∴△CDO 是等边三角形，∴DO=CO ，∴DO=BO=AD ．∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC ．∠CAB=∠ABC=∠C=60°，∴∠OBE=120°，∴∠ODF=∠OBE ．∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°，∠DOF+∠FOB=∠BOD=120°∴∠FOD=∠EOB ．在△DOF 和△BOE 中，ODF OBE DO BO FOD EOB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△DOF ≌△BOE （ASA ）．∴FC=EB ．OF=OE ．∵AE=AB+BE ，∴AE=AB+DF ，∴AE=AB+AD+AF ，∴AE -AF=AB+AD ．∵AB+AD=32AB ，∴AE -AF=32AB ．∵AB=4，∴AE -AF=6.。