命题逻辑等值演算

第二章作业评分要求：1. 每小题6分: 结果正确1分; 方法格式正确3分; 计算过程2分. 合计48分2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由)3. 总得分在采分点1处正确设置.一. 证明下面等值式(真值表法, 解逻辑方程法, 等值演算法, 三种方法每种方法至少使用一次):说明证1. p ⇔(p ∧q)∨(p ∧¬q)解逻辑方程法设 p ↔((p ∧q)∨(p ∧¬q)) =0, 分两种情况讨论:⎩⎨⎧=⌝∧∨∧=0)()(1)1(q p q p p 或者 ⎩⎨⎧=⌝∧∨∧=1)()(0)2(q p q p p (1)(2)两种情况均无解, 从而, p ↔(p ∧q)∨(p ∧¬q)无成假赋值, 为永真式. 等值演算法(p ∧q)∨(p ∧¬q)⇔ p ∧(q ∨¬q)∧对∨的分配率⇔ p ∧1 排中律⇔ p 同一律 真值表法2. (p→q)∧(p→r)⇔p→(q∧r)等值演算法(p→q)∧(p→r)⇔ (¬p∨q)∧(¬p∨r)蕴含等值式⇔¬p∨(q∧r)析取对合取的分配律⇔ p→(q∧r)蕴含等值式3. ¬(p↔q)⇔(p∨q)∧¬(p∧q)等值演算法¬(p↔q)⇔¬( (p→q)∧(q→p) )等价等值式⇔¬( (¬p∨q)∧(¬q∨p) )蕴含等值式⇔¬( (¬p∧¬q)∨(p∧q) )合取对析取分配律, 矛盾律, 同一律⇔ (p∨q)∧¬(p∧q)德摩根律4. (p∧¬q)∨(¬p∧q)⇔(p∨q)∧¬(p∧q)等值演算法(p∧¬q)∨(¬p∧q)⇔ (p∨q)∧¬(p∧q)析取对合取分配律, 排中律, 同一律说明: 用真值表法和解逻辑方程法证明相当于证明为永真式.等值演算法证明时每一步后面最好注明理由以加深印象, 熟练后可以不写. 由于等值演算法证明具有较强的技巧性, 平时应注意总结心得.二. 求下列公式的主析取范式与主合取范式(等值演算法与用成真赋值或成假赋值求解都至少使用一次):1.2.3.4.1. (¬p→q)→(¬q∨p)解(¬p→q)→(¬q∨p)⇔ (p∨q)→(¬q∨p)蕴含等值式⇔ (¬p∧¬q)∨(¬q∨p)蕴含等值式, 德摩根律⇔ (¬p∧¬q)∨¬q ∨ p结合律⇔ p∨¬q吸收律, 交换律⇔ M1因此, 该式的主析取范式为m0∨m2∨m32. (¬p→q)∧(q∧r)解逻辑方程法设 (¬p→q)∧(q∧r) =1, 则¬p→q=1且 q∧r=1,解得q=1, r=1, p=0 或者 q=1, r=1, p=1, 从而所求主析取范式为 m3∨m7, 主合取范式为M0∧M1∧M2∧M4∧M5∧M6等值演算法(¬p→q)∧(q∧r)(p q)(q r) 蕴含等值式(p q r)(q r) 对分配律, 幂等律(p q r) (p q r)(p q r) 同一律, 矛盾律, 对分配律m7 m3主合取范式为M0∧M1∧M2∧M4∧M5∧M63. (p↔q)→r解逻辑方程法设 (p↔q)→r =0, 解得 p=q=1, r=0 或者 p=q=0, r=0, 从而所求主合取范式为M0∧M6, 主析取范式为m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7等值演算法(p↔q)→r((p q)(q p))r 等价等值式((p q)(q p))r 蕴含等值式(p q)(q p)r 德摩根律, 蕴含等值式的否定(参见PPT)(p q r)(q p r) 对分配律, 矛盾律, 同一律M0 M6主析取范式为m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m74. (p→q)∧(q→r)解等值演算法(p→q)∧(q→r)(p q)(q r) 蕴含等值式(p q)(p r)(q r) 对分配律, 矛盾律, 同一律(p q r)(p q r) (p q r)(p q r)(p q r)(p q r)m1 m0 m3 m7主合取范式为M2 M4 M5 M6.解逻辑方程法设 (p q) (q r) = 1, 则p q =1 且 q r =1.前者解得: p=0, q=0; 或者 p=0, q=1; 或者 p=1, q=1.后者解得: q=0, r=0; 或者 q=0, r=1; 或者 q=1, r=1.综上可得成真赋值为 000, 001, 011, 111, 从而主析取范式为m0m1m3m7, 主合取范式为M2 M4 M5 M6.真值表法公式 (p q) (q r) 真值表如下:p q r(p q) (qr)00010011010001111000101011001111013724 M5 M6.。

1设A与B均为含n个命题变项的公式, 判断下列命题是否为真？.（1）A B 当且仅当 A B是可满足式.该命题为真该命题为假（2）A B 当且仅当 A与B有相同的主析取范式.该命题为真该命题为假（3）若A为重言式, 则A的主析取范式中含有2n个极小项.该命题为真该命题为假（4）若A为矛盾式, 则A的主析取范式为1.该命题为真该命题为假（5）若A为矛盾式, 则A的主合取范式为1.该命题为真该命题为假（6）任何公式A都能等值地化为联结词集{∧、∨} 中的公式.该命题为真该命题为假（7）任何公式A都能等值地化为联结词集{┐、→、∧}中的公式.该命题为真该命题为假用等值演算法来判断下列公式的类型.2.（1）(p→q)→(┐q→┐p)（2）┐(p→q)∧r∧q（3）(p→q)∧┐p3用主析取范式法判断题2中3个公式的类型, 并求公式的成真赋值. .题2中三个公式如下：（1）(p→q)→(┐q→┐p)（2）┐(p→q)∧r∧q（3）(p→q)∧┐p求题2中3个公式的主合取范式, 并求公式的成假赋值.4.题2中三个公式如下：（1）(p→q)→(┐q→┐p)（2）┐(p→q)∧r∧q （3）(p→q)∧┐p5 . 已知命题公式A中含3个命题变项p, q, r, 并知道它的成真赋值分别为001, 010, 111, 求A的主析取范式和主合取范式.6. 用等值演算法证明下面等值式.（1）(┐p∨q)∧(p→r)p→(q∧r)（2）(p∧q)∨┐(┐p∨q)p7.求公式(p→┐q)∧r在以下各联结词完备集中与之等值的一个公式：（1）{┐,∧, ∨}（2）{┐,∧}（3）{┐,∨}（4）{┐, →}（5）{↑}8.用等值演算法求解下面问题.某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：（1）若赵去, 则钱也去（2）李、周中至少去一人（3）钱、孙中去且仅去一人（4）孙、李两人都去或都不去（5）若周去, 则赵、钱也同去问该公司应选派哪些人出国？例题分析题1分析：（1）A B 当且仅当 A B为重言式, 而不是可满足式.（2）A B说明A与B有相同的成真赋值, 因而有相同的主析取范式；反之若A与B有相同的主析取范式,说明它们有相同的成真赋值,当然也有相同的成假赋值. 因而A B为重言式,故A B.（3）若A为重言式, 说明2n个赋值都是成真赋值, 因而主析取范式中含有2n个极小项.（4）若A为矛盾式, 则A无成真赋值, 因而A的主析取范式不含任何极小项, 规定A的主析取范式为0, 而不是1. 若是1, 则A1, 这与A为矛盾式不是矛盾了吗？（5）若A为矛盾式, 则A的2n个赋值都是成假赋值, 因而主合取范式应含有2n个极大项, 而不是1. 若为1,则A1, A不就成了重言式了吗？（6）{∧、∨}不是联结词完备集. 因而, 有的公式不能等值地化为它中的公式. 例如：p q ┐p∨q ┐(p∧┐q) ... 但无论如何不能只含联结词∧和∨.（7）{┐、→}是联结词完备集, 在它中再加一个联结词∧, 所得集合{┐、→、∧}也为完备集, 因而任何公式A都能等值地化为联结词集{┐、→、∧}中的公式.题2分析：（1）(p→q)→(┐q→┐p)┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (蕴涵等值式)(p∧┐q)∨(┐p∨q) (德·摩根律、交换律)((p∧┐q)∨┐p)∨q (结合律)((p∨┐p)∧(┐q∨┐p))∨q (分配律)(1∧(┐p∨┐q))∨q (排中律、交换律)┐p∨(┐q∨q) (同一律、结合律)┐p∨1 (排中律)1 (零律)由于该公式与1等值, 故它为重言式.（2）┐(p→q)∧r∧q┐(┐p∨q)∧q∧r (蕴含等值式、交换律)p∧(┐q∧q)∧r (德·摩根律、结合律)p∧0∧r (矛盾律)0 (零律)由于公式与0等值, 故它为矛盾式.（3）(p→q)∧┐p(┐p∨q)∧┐p (蕴含等值式)┐p (吸收律)由最后一步可知, 该公式既有成真赋值00和01, 又有成假赋值10和11, 故它为可满足式.注意：等项演算的过程不是唯一的, 但重言式一定与1等值, 矛盾式一定与0等值. 而可满足式化简到能观察出成真和成假赋值都存在即可.题3分析：求主析取范式可用真值表法, 也可以用等值演算法, 这里用等值演算法.（1）(p→q)→(┐q→┐p)┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→)(p∧┐q)∨┐p∨q(┐内移) (已为析取范式)(p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q)（*）m2∨m0∨m1∨m1∨m3m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序)(*)由┐p及q派生的极小项的过程如下：┐p┐p∧(┐q∨q)(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)q(┐p∨p)∧q(┐p∧q)∨(p∧q)熟练之后, 以上过程可不写在演算过程中. 该公式中含n=2个命题变项, 它的主析取范式中含了22=4 个极小项, 故它为重言式, 00, 01, 10, 11全为成真赋值.（2）┐(p→q)∧r∧q┐(┐p∨q)∧r∧q (消去→)p∧┐q∧q∧r(┐内移)0 (矛盾律和零律)该公式的主析取范式为0, 故它为矛盾式, 00, 01, 10, 11全为成假赋值, 无成真赋值.（3）(p→q)∧┐p(┐p∨q)∧┐p (消去→)┐p∨(┐p∧q) (分配律、幂等律) 已为析取范式(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)m0∨m1主析取范式中含2个极小项, 成真赋值为00和01.题4分析：求公式的主合取范式一般可有三种方法：（i）真值表法；（ii）等值演算法；（iii）用主析取范式求主合取范式.这里用方法（iii）, 其余两种方法留给读者.（1）由题3可知, 主析取范式为：(p→q)→(┐q→┐p)m0∨m1∨m2∨m3因而该公式为重言式, 它的主合取范式为1, 无成假赋值.（2）由题3可知, 它为矛盾式, 即它的主析取范式为0, 因而无成真赋值, 于是主合取范式含8个极大项,即：┐(p→q)∧r∧q M0∧M1∧M2∧M3∧M4∧M5∧M6∧M7（3）该公式的主析取范式中含2个极小项m0和m1, 故主合取范式中含22-2=2个极大项M2和M3, 即(p→q)∧┐p M2∧M3成假赋值为10和11.题5分析：由于公式含3个命题变项, 并且已知有3个成真赋值001, 010, 111, 因而有5个成假赋值000, 011, 100, 101, 110.成真赋值对应的极小项分别为m1, m2, m7, 故主析取范式为A m1∨m2∨m7成假赋值对应的极大项分别为M0, M3, M4, M5, M6, 故主合取范式为A M0∧M3∧M4∧M5∧M6注意：公式的真值表与主析取范式(主合取范式)可以相互唯一确定.题6分析：用等值演算法证明A B, 可以有3种方式. 从A出发, 证到B；从B出发证到A；或证明A C和BC,由于等值关系有传递性和对称性, 故A B.题7分析：（1）(p→┐q)∧r(┐p∨┐q)∧r (已满足要求)（2）(p→┐q)∧r(┐p∨┐q)∧r┐(p∧q)∧r (已满足要求)（3）(p→┐q)∧r(┐p∨┐q)∧r┐┐((┐p∨┐q)∧r)┐(┐(┐p∨┐q)∨┐r) (已满足要求)（4）(p→┐q)∧r┐┐((p→┐q)∧r)┐(┐(p→┐q)∨┐r)┐( (p→┐q)→┐r) (已满足要求)（5）(p→┐q)∧r(┐p∨┐q)∧r┐(p∧q)∧r(p↑q)∧r┐┐((p↑q)∧r)┐((p↑q)↑r)((p↑q)↑r)↑((p↑q)↑r)注意：以上各式的推导和最后形式不唯一.题8分析：解此类问题的步骤应为：① 将简单命题符号化② 写出各复合命题③ 写出由各复合命题组成的合取式④ 将写出的公式化成析取范式, 给出其成真赋值, 即可得到答案.具体解法如下：① 令 p：派赵去q：派钱去r：派孙去s：派李去u：派周去② (1) p→q(2) s∨u(3) ((q∧┐r)∨(┐q∧r))(4) ((r∧s)∨(┐r∧┐s))(5) u→(p∧q)③ 设A=(p→q)∧(s∨u)∧((q∧┐r)∨(┐q∧r))∧((r∧s)∨(┐r∧┐s))∧(u→(p∧q))④ 求A的析取范式(用等值演算法), 简要过程如下：A(┐p∨q)∧(s∨u)∧((q∧┐r)∨( ┐q∧r))∧((r∧s)∨(┐r∧┐s))∧(┐u∨(p∧q))(┐p∨q)∧((q∧┐r)∨(┐q∧r))∧((r∧s)∨(┐r∧┐s))∧(s∨u)∧(┐u∨(p∧q))((┐p∧q∧┐r)∨(q∧┐r)∨(┐p∧┐q∧r))∧((r∧s)∨(┐r∧┐s))∧(s∨u)∧(┐u∨(p∧q))((q∧┐r)∨(┐p∧┐q∧r))∧((r∧s)∨(┐r∧┐s))∧(s∨u)∧(┐u∨(p∧q)) （用了吸收律）((┐p∧┐q∧r∧s)∨(q∧┐r∧┐s))∧(s∨u)∧(┐u∨(p∧q))((┐p∧┐q∧r∧s)∨(┐p∧┐q∧r∧s∧u)∨(q∧┐r∧┐s∧u))∧(┐u∨(p∧q))(┐p∧┐q∧r∧s∧┐u)∨(p∧q∧┐r∧┐s∧u)最后一步得到一个主析取范式, 含有两个极小项. 当p, q, r, s, u取值分别为0, 0, 1, 1, 0 或 1, 1, 0, 0, 1 时, A为真, 故公司应派孙、李去, 而赵、钱、周不去,或赵、钱、周去, 而孙、李不去.注意, 在演算中, 多次用了矛盾律和同一律.返回例题答案题1答案：（1）为假；（2）为真；（3）为真；（4）为假；（5）为假；（6）为假；（7）为真.题2答案：（1）为重言式；（2）为矛盾式；（3）为可满足式.题3答案：（1）为重言式, 00, 01, 10, 11为成真赋值.（2）为矛盾式, 无成真赋值. （3）为可满足式, 成真赋值为00和01.题4答案：（1）该公式的主合取范式为1, 无成假赋值.（2）它的主合取范式为：M0∧M1∧M2∧M3∧M4∧M5∧M6∧M7, 8个赋值全是成假赋值.（3）该公式的主析取范式为M2和M3, 成假赋值为10和11.题5答案：A的主析取范式为 m1∨m2∨m7；A的主合取范式为 M0∧M3∧M4∧M5∧M6.题6答案：（1）从左出发证(┐p∨q)∧(p→r)(┐p∨q)∧(┐p∨r) (蕴涵等值式)┐p∨(q∧r) (分配律)p→(q∧r) (蕴涵等值式)也可以从右出发证(请读者自己证).（2）从右出发证pp∧1 (同一律)p∧(q∨┐q) (排中律)(p∧q)∨(p∧┐q) (分配律)(p∧q)∨┐┐(p∧┐q) (双重否定律)(p∧q)∨┐(┐p∨q) (德·摩根律)题7答案：答案不唯一, 参看分析.题8答案：应该派赵、钱、周或派孙, 李去.返回。

离散数学基础2017-11-17•定义：命题逻辑等值式−给定两个命题公式 A、B，设 p1, p2,…… p n 为所有出现于 A、B 中的命题变量。

若对 p1, p2,…… p n 中的任何一组逻辑解释，A 和 B 的真值都相同，则称 A、B 是等值的或逻辑相等的。

记为 A ⇔ B。

−p1, p2,…… p n 的所有逻辑解释总数为 2n 个。

•定义：命题逻辑等值式−若两个命题公式 A、B 在任意的真值赋值函数 t : Var→{0,1} 下取得相同的真值，则称 A、B 是等值的（或逻辑相等的）。

记为 A ⇔ B。

上述定义是前一个定义的等价定义， 利用了之前定义复合语句的真值时引用的真值赋值函数 t。

我们马上意识到，使用真值表可以判断两个逻辑公式的等值性。

•定义：命题逻辑等值式−例：证明 ¬p∨q ⇔ p→qp q¬p¬p∨q p→q00111011111000011011在每个解释下， ¬p∨q 和 p→q 取相同的真值， 所以是一对等值式•等值的基本性质−对公式 A、B、C，按照等值的定义显然有：»A ⇔ A；（自反性）»若 A ⇔ B 则 B ⇔ A；（对称性）»若 A ⇔ B 且 B ⇔ C 则 A ⇔ C。

（传递性）−具有自反性、对称性和传递性的关系称为等价关系。

所以命题逻辑公式的等值性通常也称为等价性。

•定理：等值定理−设命题公式 A、B，则 A ⇔ B iff A↔B 是重言式。

−证：⇒ 若 A ⇔ B，则 A 与 B 在任意解释下都有相同的真值。

由“↔”的定义，A↔B 只能取值1，即 A↔B 是重言式。

⇐ 若 A↔B 只取值1，由“↔”的真值表， A 与 B 在任意解释下都有相同的真值。

由“⇔”的定义，有 A ⇔ B。

−定理给出验证两个命题公式相等的一种基本方法。

•命题逻辑的等值演算−当命题公式所含的命题变量个数较多时，使用真值表方法判断公式的等价性有困难。

高考命题逻辑知识点在高考中，命题逻辑是考察学生思维能力和逻辑推理能力的重要知识点之一。

掌握命题逻辑的基本概念和方法，对于高考取得好的成绩非常重要。

本文将为大家介绍高考命题逻辑的几个重要知识点。

一、命题与命题联结词在命题逻辑中，命题是一个陈述句，可以判断为真或者假。

命题联结词是连接命题的词语，常见的有“与”、“或”、“非”、“蕴含”等。

在逻辑推理中，我们需要灵活运用这些命题联结词，进行复合命题的分析和推理。

二、真值表真值表是一种用来表示逻辑命题真假的表格。

通过真值表，我们可以得到复合命题的真值情况。

学生在解答高考命题逻辑题时，可以通过绘制真值表的方式来分析问题，找到正确答案。

三、命题公式的等值演算命题公式是由命题联结词和命题变元构成的复合命题。

在等值演算中，我们通过等值式的推导，将一个命题公式转化为另一个等值的命题公式。

这种方法在高考命题逻辑题中经常用到，可以帮助我们简化问题，找到解题的突破口。

四、充分条件与必要条件在命题逻辑中，我们常常遇到充分条件和必要条件的推理。

充分条件是指当某个命题为真时，另一个命题也一定为真；必要条件是指当某个命题为真时，另一个命题可能为真。

在高考命题中，我们需要判断充分条件和必要条件的关系，从而进行正确的推理。

五、谓词与量词谓词是指含有占位符的命题，通过为这些占位符赋予具体的对象，可以将谓词转化为命题。

量词则是用来限定变量的范围，常见的有“对于一切”、“存在”等。

谓词与量词的运用，在高考命题逻辑题中很常见，需要我们准确理解其含义，灵活运用推理。

六、假言命题假言命题是由一个条件句和一个结论句组成的命题。

在高考命题逻辑中，我们需要判断假言命题的真假，并进行推理。

常见的假言命题形式有：如果A则B；A是B的充分条件；B是A的必要条件等。

七、逻辑等价与矛盾命题逻辑等价是指两个命题具有相同的真值，可以相互替代。

矛盾命题则相反，指两个命题互为否命题。

在高考命题逻辑中，我们需要通过判断命题的逻辑等价性和矛盾性，找到正确的推理方法。