第十一章 级数的收敛、求和与展开

第十一章 函数级数 级数的收敛、求和与展开
一、数项级数的审敛法√ 二、求幂级数收敛域的方法
4、5、7节
三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数
展开法
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三、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限
• 利用幂级数性质，借用已知幂级数的和函数求解 （在收敛区间内）

anxn
n0
难
逐项求导或求积分

an xn
n0
求和
S(x)
对和式积分或求导
S * ( x)
• 数项级数 直接求和: 求部分和等 求和 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
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常用函数的幂级数（或常用幂级数的展开式）
ex 1 x 1 x2 1 xn ,
2!
n!
x (, )

ln(1 x)
x
1x2 2
1 x3 1 x4 34
(1)n n 1
xn1
x (1, 1]
sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x (, )
cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
2! 4! 6!
(2n)!
x (, )
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(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1)(m n 1) xn x (1, 1) n!
当 m = –1 时
1 1 x x2 x3 (1)n xn , 1 x
x (1, 1)

高中数学教案级数的求和与收敛性判断高中数学教案：级数的求和与收敛性判断引言：在高中数学中，我们学习了很多数学概念和方法，其中级数是一个重要的内容。

级数在数学领域中具有广泛的应用，了解如何求解级数的和以及判断级数的收敛性对于我们深入理解数学的原理和应用具有重要意义。

本教案将介绍级数的求和方法和收敛性判断方法，并通过具体例题来加深对这些方法的理解。

一、级数的概念1.1 级数的定义在数学中，级数是指将一系列数进行无穷次相加的运算。

级数通常表示为∑(an)，其中n表示级数的次序，an表示级数的第n项。

1.2 级数的部分和级数的部分和是指将级数的前n项相加所得的和，通常表示为Sn。

部分和Sn可以通过递推公式来计算，即Sn = a1 + a2 + … + an。

二、级数的求和方法2.1 等差数列求和当级数的通项为等差数列时，我们可以利用等差数列求和公式来求解级数的和。

对于等差数列an = a1 + (n-1)d，级数的部分和Sn可以表示为Sn = n(a1 + an)/2。

其中，n为级数的项数，a1为级数的首项，an为级数的末项，d为等差数列的公差。

2.2 等比数列求和当级数的通项为等比数列时，我们可以利用等比数列求和公式来求解级数的和。

对于等比数列an = a1 * r^(n-1)，级数的部分和Sn可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)。

其中，n为级数的项数，a1为级数的首项，r为等比数列的公比。

2.3 其他级数求和方法除了等差数列和等比数列之外，还存在一些特殊级数的求和方法。

在高中数学中常见的特殊级数包括调和级数、几何级数和幂级数等。

针对这些特殊级数，我们需要掌握相应的求和公式和求和技巧。

三、级数的收敛性判断方法3.1 收敛与发散的概念在级数的研究中，我们常常关注级数是否会趋于一个确定的有限值，这就是级数的收敛性。

如果一个级数的部分和Sn在无限项时趋于一个有限值S，我们称该级数为收敛的；反之，如果Sn在无限项时无法趋于有限值，我们称该级数为发散的。

一、问题的提出
1. 计算圆的面积
正六边形的面积 a1
R
正十二边形的面积 a1 a2
n 正 3 2 形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 an 1 3 3 3 3 2. n 3 10 100 1000 10
二、级数的概念
1 1 1 1 解 un ( ), ( 2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1 1 sn 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1 1 1 (1 ), 2 2n 1 1 1 1 lim sn lim (1 ) , n n 2 2n 1 2
n 2,3,
于是有
1 3 2 3 3 lim An A1 (1 ) A1 (1 ) . n 4 5 5 1 9 雪花的面积存在极限（收敛）．
n
lim Pn
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0
若记
un n 1

任意加括号
bk u pk 1 1 u pk
bk k 1 bk 的部分和记为 k k 1

则加括号后级数成为
记
un n 1

的部分和为 sn
则 k s pk 由数列和子数列的关系知 lim sn 存在， lim k 必定存在
1 dx 即 x 1 1 1 Sn 1 2 n n1 1 dx ln( n 1) , ( n ) x 1 故调和级数发散

大学数学无穷级数的收敛性与求和大学数学：无穷级数的收敛性与求和无穷级数是数学中一个重要的概念，它由一系列无穷多项的代数和组成。

在数学中，我们对于一个无穷级数的收敛性和求和有着浓厚的兴趣和研究。

本文将讨论无穷级数的基本概念、收敛性判定方法以及求和公式。

一、无穷级数的概念无穷级数的概念可表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...其中，a₁，a₂，a₃，...，aₙ代表级数的每一项。

根据级数的无穷性质，我们可以看到级数的项数n无限大。

因此，无穷级数可以看作是无限多项求和的结果。

二、无穷级数的收敛性对于无穷级数的研究，我们最关注的问题之一就是它的收敛性。

在数学中，无穷级数可能出现以下三种情况：1. 收敛：如果一个无穷级数的部分和数列存在有限的极限值，即Sₙ的极限存在，则称该级数是收敛的。

我们可以用符号表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...= lim Sₙ (n→∞)2. 发散：如果一个无穷级数的部分和数列没有有限的极限值，即Sₙ的极限不存在，则称该级数是发散的。

3. 不确定：在某些情况下，我们无法判断一个无穷级数的收敛性，这种情况被称为不确定。

三、无穷级数的收敛性判定为了确定一个无穷级数的收敛性，数学家们发展了许多判定方法。

下面介绍其中几种主要的方法：1. 正项级数判别法：如果一个无穷级数的每一项都是非负数，并且部分和数列有界，则该级数是收敛的。

2. 比较判别法：如果一个无穷级数的每一项都大于等于另一个级数的对应项，而另一个级数是收敛的，则该级数也是收敛的。

类似地，如果一个无穷级数的每一项都小于等于另一个级数的对应项，而另一个级数是发散的，则该级数也是发散的。

3. 比值判别法：对于一个无穷级数，如果存在一个正常数r，使得级数的项的绝对值与n的幂次之比的极限为r，则有以下结论： - 当r<1时，级数收敛；- 当r>1时，级数发散；- 当r=1时，判定不确定。